高中数学必修1总结

高中数学必修1总结（共8篇）

篇1：高中数学必修1总结

一 集合

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的对象的全体。

2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

3、集合的表示：

（1）用大写字母表示集合：A,B„

（2）集合的表示方法：

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来

{a,b,c„„} b、描述法：集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合，c、维恩图：用一条封闭曲线的内部表示.4、集合的分类：

（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：(A； 注意：常用数集及其记法： 非负整数集：（即自然数集）N

正整数集: N*或 N+

整数集:Z

有理数集:Q

实数集:R

6、集合间的基本关系（1）“包含”关系—子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：（或BＡ）注意：有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA（2）“包含”关系—真子集

如果集合，但存在元素x(B且xA，则集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)（3“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”，如果A(B 同时 B(A 那么A=B 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。（4）集合的性质

① 任何一个集合是它本身的子集，A(A ②如果 A(B, B(C ,那么 A(C

③如果AB且BC，那么AC ④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 集合的运算

运算类型 交

集 并

集 补

集

定

义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’）由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’）

全集：一般，若一个集合含有我们所研究问题中的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，韦恩图示

性

质 A ∩ A=A

A ∩Φ=Φ A ∩B=BA A ∩BA A ∩BB A U A=A

A U Φ=A A U B=B U A

A U BＡ A U BB

AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ．

二 函数

1.函数的概念：记法 y=f(x)，x∈A．

2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则 3.函数的表示方法：（1）解析法：（2）图象法：（3）列表法：

4.函数的基本性质

a、函数解析式子的求法（1）代入法：（2）待定系数法：（3）换元法：（4)拼凑法：

b、定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数大于等于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

（4）零次幂式的底数不等于零;（5）分段函数的各段范围取并集;(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合;(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.c、相同函数的判断方法；(定义域一致②对应法则一致

d.区间的概念：

e.值域（先考虑其定义域）5.分段函数

6．映射的概念

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意：函数是特殊的映射。

7、函数的单调性(局部性质)（1）增减函数定义（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法： 取值； 作差； 变形； 定号； 结论．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8、函数的奇偶性（整体性质）（1）奇、偶函数定义

（2）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（3）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断； b、确定f(－x)与f(x)的关系；

c、作出相应结论：若f(－x)= f(x)，则f(x)是偶函数；

若f(－x)=－f(x)，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.（4）函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；

偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。（5）若已知是奇、偶函数可以直接用特值

9、基本初等函数 一、一次函数 二、二次函数：二次函数的图象与性质，注意：二次函数值域求法

三、指数函数

（一）指数

1、有理指数幂的运算法则

2、根式的概念

3、分数指数幂

正数的分数指数幂的，（二）指数函数的性质及其特点

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

2、指数函数的图象和性质 a>1 0

定义域 R 定义域 R 值域 值域

在R上单调递增 在R上单调递减

非奇非偶函数 非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）

四、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）

两个重要对数：

常用对数：以10为底的对数；

自然对数：以无理数为底的对数的对数．

（二）对数的运算性质 如果，且，，那么：

·＋；

－；

．

注意：换底公式

（，且；，且；）． 利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）．

（三）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

2、对数函数的性质： a>1 0

定义域 定义域

值域为R 值域为R

在R上递增 在R上递减

函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）

五、幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

10、方程的根与函数的零点

（1）函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。（2）函数零点个数的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（3）二次函数的零点：判断（4）二分法可用来求变号零点.

篇2：高中数学必修1总结

新课程内容新、单位课时知识点多，密度大，以前一年要完成的内容现在半年就得完成。在内容增加而课时相对没有增加的前提下，每节课的容量特别大，每节课的内容都是新的，复习与巩固提高全靠学生自己课后下功夫了。没有时间讲评练习，没有时间进行单元测试反馈学生学习情况，学生学的累，教师教的苦，教学效果差。一学期将要结束，我们对人教A版高中数学必修1、必修2的教学总结如下：

一教学情况

高一学生刚踏入高中大门，他们对高中阶段到底该如何学习、怎样学习，可以说是心里没底、心中无数，脑中基本属于空白。

1．教师要转变观念

在课程改革中，教师是关键，教师对新课程的理解与参与是推进课程改革的前提。认真学习数学课程标准，达到对课改有所了解的目的，以便能更快、更好地进入角色。课程标准是指导我们教学的主要的纲领性文件，它明确规定了教学的目的、教学目标、教学的指导思想以及教学内容的确定和安排。

2．加强合作，积极开展教学研究

教师作为课程实施的主体，面对严峻的挑战，教师之间应加强合作，积极开展集体备课，通过不断的交流获取教学信息与灵感。定时间、定地点、定内容、定主讲人进行集体备课。教师应认真阅读整套的新课程教材，这样才能对新课标中螺旋式上升进行准确的把握和定位；建议各学校尽快每位高中数学教师配备人手一套初中新课程教材，了解、研究初中新课程的教材内容和课标要求，作好初高中衔接。

3．合理运用教科书，提高课堂效益

从学科能力方面来说，课程标准是最低标准，是课堂教学的最低目标。教材是素材，教学时需要处理和加工，适当补充或降低难度是备课的中心议题。大胆创新，灵活使用教材，才能使新课程改革在前进中少走弯路，全面提高教育教学质量。数学必修1，必修2中存在许多问题，教师应认真理解课标，对教材中不符合课标要求的题目要大胆地删减；对课标要求的重点内容要作适量的补充；对教材中不符合学生实际的题目要作适当的改编。此外，还应全面了解必修与选修内容的联系，要把握教材的“度”，不要想一步到位，如函数性质的教学，要多次接触，螺旋上升，实行分层教学。

4．通过变式训练提高学生的双基水平

高中数学课标指出：“我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，新世纪的高中数学课程应发扬这种传统”。“随着时代和数学的发展，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化，教学中要与时俱进地审视基础知识和基本技能”。高中数学课标对“双基”没有给出明确的界定，传统的听课理解、模仿记忆、练习作业等，仍然是当前数学学习的主要形式。教师应注意“双基”的发展变化，认识“双基”的新的内涵，围绕落实“双基”，设计教学过程，设计练习，提高教学质量。学生通过“双基”训练记忆数学概念、公式、法则中的每一个字词及记号，并理解其内在含义，在比较、辨析中形成知识网络。适当挖掘课本例习题深层次的隐含知识点，对教材中的例习题进行变式，纵横联系，多角度地考虑问题，使思维呈现辐射状展开，提出新假设、新论断，通过探求问题拓展学习的知识视野。有些例、习题还蕴含着解题思路或方法上的规律性，引导学生去分析、归纳、挖掘、提炼，有助于提高学生的解题能力。

5．改进学生的学习方式，强调问题意识

改进学生的学习方式，有必要从教学中好的问题开始，教会学生发现问题和提出问题的方法。以问题引导学生应成为数学教学的一条基本原则。通过恰时恰点的提出好问题，使学生领悟到发现和提出问题的艺术，引导他们更加主动、有兴趣的学，富有探索的学，培养问题意识，孕育创新精神。

6．现代教育技术与课堂教学的整合在信息技术与课程整合的教学模式中，通过信息技术与课程整合采用“目标—任务”驱动式的教学过程。利用一套完整的教学监控系统(包括目标、任务、资源、评价方法等)，以各种各样的主题任务进行驱动教学，使学生置身于提出问题、思考问题、解决问题的动态过程中进行学习。

7．教学误区

(1)刻意追求教学活动的形式，但形式不能服务教学目标；

(2)刻意追求是生活化，情景冲淡教学目标；

(3)过于注重探索过程，过程偏离教学目标；

(4)双基没有得到有效落实。

二存在困难

1．教材内容的人为割裂，使学生在学习的道路上困难重重。这种人为设计的“螺旋”，不能很好的解决不同内容之间的有机联系，使学生本来能在一个相对连贯的系统中学习和掌握的内容被支离破碎，加重学生的学习负担。

2．新课标课本习题都较简单和基础，而市面发行的各类教辅参考书几乎都不能适应新课程改革的需要。偏、难、超纲现象严重，大大加重了学生的学习负担。因此，编写适合新课程大纲要求的同步练习势在必行。

3．教材越编越厚，习题越配越难，内容越上越多，课时严重不足，教学如同追赶。在教学中，经常出现一节课的教学任务完不成的现象，更谈不上留有巩固练习的时间了。如果勉强按规定时间讲完，学生形成似懂非懂，“夹生饭”造成差生越来越多。没有足够的时间训练学生的“双基”，学生的计算能力，逻辑推理能力明显下降。

4．知识的顺序编排不合理，未学解不等式，就学指数函数、对数函数，造成学函数的定义域、值域，集合的运算等等问题难以解决。部分应用题过难，影响教学进度。

5．知识容量大，学生遗忘快。

6．知识内容的衔接存在脱节，需要补充的内容有：乘法公式；因式分解；一元二次方程及根与系数的关系；根式的运算；解不等式等。

7．由于学校条件的限制，大多数学校没有多媒体教室，大多数学生没有计算器，函数应用教学无法进行，教学资源要求过高，达不到应有的教学效果。

8．课时紧张使教师参与研究《新课标》和教材的精力不足，由于教师教学负担过重，大部分数学老师没有时间和精力来思考深层次的问题。

9．由于普通高中数学新课程中数学知识的编排系统出现了较大的调整，导致一些必备知识的欠缺，为解决这些困难，教师不得采取一些措施，导致学生学习负担加重。

三解决方法

1．吃透课标，继承传统，更新教学观念。高中数学新课标指出：“丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动”。新课程呼唤新的学习方式，在教学中教师应创造条件使学生有机会经历数学知识的发现、发生、发展的过程，在尊重传统的学习方式的同时,渗透探究性学习的某些因素，通过探究性学习活动,培养学生学习数学的能力.然而，由于学生在数学课主要学习的是间接知识，不易过多地使用“数学建模”、“数学探究”等学习方式。如果每个概念都从实践中引入，每个定理都在探索中发现，需要多少时间才能完成？过分强调探索与发现，违反人类文化继承和发展的规律，也给高中数学已经饱满的内容安排增加更大的压力。所以开展探究性学习活动要量力而行。

2．在课时拮据的条件下，我们不在偏题怪题上浪费时间，也不求知识的传授须面面俱到，而是全面把握重点章节内容，所选例、习题也不在多，但求精彩，具有相当的典型或模式作用。不在细枝末节上纠缠不休，学生能把握课本内容便可以了。

3．教学辅导书是令人头疼的问题，学生不加强巩固显然不行，但若按以上方式授课，则练习册上便有许多习题学生无法完成，因而，我们自己设计一套适合本校学生实际的练习。力求从基础知识、基本数学思想方法入手，重要内容重点演练。让学生只要稍加努力便可顺利解决，经常有成功的喜悦，保持高昂的学习兴趣。

4．高一新生比高三学生的学习还要辛苦，因为刚入学对高中的学习方法不习惯，必要的知识储备不足倒致学习困难。因此要帮助学生转变学习方式，帮助学生完善知识系统。我们利用开学第一周时间复习二次三项式等知识，其余的知识需要用到的时候再做适当的补充与拓展。在学法上给学生恰当的指导。

5.重新认识“双基”，确保数学教学质量，如：，一元二次不等式的解集可以通过判断二次函数图象与x轴的位置关系得到，此内容义务教育阶段已有教学，可以使用；在设计不等式的题目是力求数据简单，避免学生陷入复杂的计算而忽略了对数学方法的理解和掌握。“简单分式不等式”应只要求形如 的类型，利用符号判断写出解集。

四 总结和建议

1．必修1的教学总结

函数概念的教学可以从学生在义务教育阶段已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法和解析法；重视图形在函数学习中的作用，结合函数图形帮助学生对函数概念和性质的理解。不过分强调细枝末节的讲解和训练，避免人为地编制一些繁难的偏题。在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数和幂函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学；同时可对教材进行适当的增减，如对数函数应用等。

2．必修2的教学总结

立体几何初步遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法，引导学生认识和探索空间几何图形及其性质。借助实物模型帮助学生掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。

解析几何初步结合具体图形，探索确定直线与圆的几何要素；掌握直线方程与圆的方程的几种形式；掌握有关的距离公式；能用直线和圆的方程解决一些简单的位置关系与度量问题；体会用代数方法处理几何问题的思想。对教材进行适当的增减，如几何体的计算，三垂直线定理，圆与圆的应用等。

3．必修4的教学建议

（1）在三角函数的教学中，建议教师关注以下几点：

第一认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型。

第二注重三角函数模型的运用，即运用三角函数模型刻画和描述物理和数学等学科中的周期问题。

第三弧度是本模块中引进的一个新概念，是学生比较难接受的概念，随着后续课程的学习，他们将会逐步理解这一概 念，在此不必深究。

第四三角恒等变换的教学.，应鼓励学生通过练习掌握两角的和差，倍角，以此作为三角恒等变换的基本训练。教学中不要在半角公式、积化和差、和差化积上大做文章。

（2）在向量概念的教学中，教师也应关注以下两点：

第一平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题；

第二 引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。

总之, 高一教师不但要给新生传授知识，更要在引导学生建立良好的学习习惯与掌握科学的学习方法上下功夫。即不但要教书，更要教方法、教习惯。我们都知道，高一是基础、是关键，如果高一这年没抓好，高

篇3：高中数学必修1总结

顺应着这一趋势, 高一数学教学也相应发生了变化, 具体来说, 《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教版 (A版) 分三章, 第一章:集合与函数的概念;第二章:基本初等函数 (I) :第三章:函数的应用。由于本书的主要内容是函数, 所以笔者从“函数”的教学和学习中, 提出个人对新课程的一些研究心得。

一强调函数的背景及对其本质的理解

无论是引入函数概念, 还是学习三类初等函数模型, 《新课程标准》都要求充分展现函数的背景, 从具体实例进入知识的学习, 从函数的现实背景实例出发, 加强概念的概括过程, 有利于学生建立函数概念, 使丰富的实例既是概念的背景又是理解抽象概念的具体例证;同时在实例问题情境下, 为学生提供了进行判断、练习、比较、讨论交流的机会, 以便学生通过主动思考与动手操作更好地理解函数概念。而对函数定义教学中, 先理解函数的定义再学习映射的概念, 更好地体现了从特殊到一般的学习过程, 更好地体会函数的本质。

二加强数形结合思想教学

函数图像是函数关系的一种直观的表示, 具有直观、形象、容量大, 便于观察、记忆和联想等优点, 它可以帮助学生方便地理解和记忆函数有关性质, 处理一些其他语言无法表达的思维过程, 是一种较方便地搜集有用信息、激活解题思路、减少盲目性、顺利解题的手段。所以数形结合、几何直观等数学思想方法是本书学习中的重要思想方法, 它们对于理解本书中的几个基本初等函数的性质 (例如增长模式) 是十分重要的, 为学生利用图像直观研究函数性质提供了有力工具。因此, 教学中应充分注意发挥函数图像的作用, 让学生自己作出函数图像, 通过观察图像变化规律来研究函数的性质。比如在函数的奇偶性, 更多的是要求学生学会画出函数的简图, 通过简图能够解出相关的问题, 这在老教材中是没有明确体现出来的。

三恰当使用信息技术教科书

虽然没有明确提示利用信息技术研究指数函数、对数函数和幂函数的图像与性质, 但本章中有许多内容适合使用信息技术, 例如指数、对数值的计算;借助计算工具, 比较指数函数、对数函数与幂函数增长的差异;借助计算器或计算机画出具体的指数函数、对数函数的图像, 探索并理解它们的单调性与特殊点, 二分法一节中, 更多的是由信息技术作出相关函数的图像, 从而学会判断并求出零点所在的大致区间等等。因此, 只要条件允许, 教材中就会充分使用信息技术。

四体验数学在现实中的应用, 培养学生的应用能力

数学与现实生活是紧密联系的, 函数是我们研究数量关系和变化规律、认识现实世界的数学模型, 是解决实际问题和进行交流的重要工具。由于函数关系广泛存在于自然界的许多问题中, 学生可通过对现实世界中具有函数数量关系及其规律的问题的探索活动, 不仅能使学生体会到数学与现实生活的紧密联系, 而且能促进学生对数学的学习兴趣, 如函数在地震仪中的运用, 化学中的p H值测试的原理、人口增长问题、商品定价问题、未成年人的生长发育问题等, 更好地让学生体现并能够把握现实世界的变化规律。

总之, 新教材更多从现实出发, 提出相关的函数概念及相关性质, 同时又让学生体会到函数对现实的促进作用, 进一步提高学生学习函数的知识, 使函数这一抽象的概念不再枯燥无味, 同时又顺应社会发展, 充分运用信息技术展现更多学习素材, 让学生感受到从仿佛毫不相关的数据或信息中体会并发现规律, 从而更好地把握相关知识的本质, 更好地达到新课改的教育目标。

参考文献

[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准 (实验) 解读[M].南京:江苏教育出版社, 2004

[2]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003

篇4：高中数学必修1总结

针对数学概念的学习与教学，有研究者将学生普遍感到难学、老师感到难教的概念称为难点概念。阮晓明、王琴文等通过调查研究指出高中数学教师和学生教与学的十大难点概念，其中，师生共同认定的难点概念为以下六个[2]：函数、反函数、球面距离、二面角、反正弦函数、参数方程。所以，函数概念既是高中学生数学学习的难点，也是教师教学的难点，因此成为高一数学教学研究的重点。不仅如此，纵观整个高中数学以致大学数学，函数作为刻画变量与运动的数学模型是贯穿始终的一条主线，因此既是数学教学的重点也是分析和解决问题的一种重要思想方法。

事实上，函数概念教学的研究一直是数学教学研究的课题。总体看，研究者分别从函数概念的形成，函数概念的思想、演变，图式理论、APOS理论等不同层面对函数概念教学进行了研究[3]，但尚未从函数概念教学的难点深入分析研究。下面结合《高中数学课程标准》的要求，探究数学概念的启发式教学策略，旨在为突破数学难点概念教学的瓶颈提供一种视角。

一、《普通高中数学课程标准》对启发式教学的要求

《普通高中数学课程标准》在基本理念中指出：高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。这就要求教师在数学教学过程中，要实施启发式教学，要激发学生的数学学习兴趣、充分发挥其学习主体的作用，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

二、数学概念启发式教学策略构建

1.创设情境、激发动机，发挥典型范例的意象表征作用

数学概念学习是一种有意识的思维活动，具有高度的抽象性和逻辑的严密性要求，需要学生较强的内在动机的驱使与推动，才能坚持下来和达到良好的学习效果。由于先入为主的心理机制，概念教学中第一个或第一组恰当例子的引入常常具有意象表征的作用。如高一映射概念的教学，有人通过一组贴近学生生活的实例来引人映射的概念，其一是给学生指定座位（一对一的样本），其二是给住校生安排宿舍（多对应一的样本），由此启发学生对映射本质属性的分析、抽象与概括，引领学生能动、自然地建构映射概念。这种来自学生熟悉的生活实际、易激发学生学习兴趣动机的典型范例，对抽象的概念教学既意义清晰又简洁明了，具有事半功倍之效。所以，概念教学的导入环节，应注重创设和引入贴近学生实际、简洁明了、典型的样本范例，以引发学生的问题意识、抓住学生的注意力、激发学生的学习动机，从而高效引领学生对它所表征的抽象概念的认知、理解和掌握。事实上，随着学段的升高，数学概念变得越来越抽象，理解也越来越困难，如果教学中对这类范例的积极意义认识不足，不善于运用范例来进行概念教学，或轻视范例的这种意象表征作用，只关注概念的形式化定义与分析，不仅会极大地增加学生概念认知、理解和记忆的难度，而且会削弱学生数学学习的热情。

2.忆旧迎新、分步设问，搭建思维的脚手架

根据概念定义的规则，定义由定义项、被定义项和定义联项三要素构成。其中，定义项必须是已被定义过的概念。换言之，新概念的获得是在已有认知结构的基础上进行的，并依赖认知结构中原有的相关概念、通过新旧概念之间发生联系而实现。所以，概念教学中，教师要透彻理解所教概念的本质和来龙去脉，按照概念建构与发展的逻辑递进轨迹，从学生的认知水平及规律出发，先复习定义项中涉及的已有概念、后导入新课;之后进行分层次、有梯度的分步设问与递进启发，以帮助学生弄清概念的来龙去脉及新旧概念之间的联系与区别。“尤其是核心概念的教学，常常需要教师‘不惜力、不惜时，费一番周折”[5]，切忌照本宣科、生搬硬套的“空降式”教学。例如高中函数概念教学，为突破教学中的上述难点，帮助学生理解再次学习函数概念的必要性，弄清高初中函数概念的区别与联系，在复习导入环节，依据高中函数概念建构依赖于初中函数概念、自变量因变量等已有概念，可创设如下分层次、递进式的问题串，为新知识的建构搭建思维的脚手架：（1）我们生活的世界充满着变化，还记得初中数学刻画变化的知识是什么？你能举几个例子吗？（2）判断它们是不是函数的依据是什么？初中函数概念是怎么说的？它涉及几个变量？它们的变量所属的集合有哪些异同点？（3）y=1是函数吗？

3.时间等待、适时点拨，先辨析本质属性后建构概念

数学概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动。而本质属性的概括基于学生的认知，体现了由具体到抽象的升华，这既是概念教学的重点，往往也是概念教学的难点。为了突破这一难点，概念教学应力求返璞归真，使学生自然地实现概念的形成[5]。换言之，数学概念教学应尽可能从具体实例出发，而不是从抽象定义开始。数学学习心理学也启示我们，本质属性的探索是应用分析、比较、抽象、概括等思维方法，对所研究对象的具体实例去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼的加工和改造过程，它不是一蹴而就的，需要花一些时间。所以，在引领学生感悟、辨析这类事物所独有而其他事物所没有的本质特征的过程中，教师不仅要通过分层次、递进式的问题串启发学生观察、分析、比较，还要在启发提问后留给学生必要的思考时间与空间，让学生进行辨析、抽象、概括，做必要的时间等待。

4.设计变式、巩固运用，例题教学先分析后解答

“举一反三”是数学启发式教学的目的之一。概念建构后，接下来就要围绕概念精心选择或创设样本全面的典型例题，再一次运用和发挥典型范例的意象表征作用，启发学生辨析、判断、巩固、运用，达到变式拓展、触类旁通、掌握概念的目标。尤其是要注重设计和应用“形同质异、形变质同”的问题，教学中要借助分层次、递进式的问题串，带领学生对例题进行审题、分析，启发学生质疑辨析本质属性，从中发展学生举一反三、触类旁通、透过现象看本质的能力，实现概念学习由抽象到具体的第二次螺旋上升。

三、启发式教学的关键是合理设置课堂提问

启发式教学的宗旨是激发学生探索知识的欲望，发展学生自己解惑、释疑、创新的能力。研究表明，实施启发式教学的关键在于课堂教学提问策略的应用，分层次、问题串式的提问是实施启发式教学最重要而有效的教学策略。为使分层次、问题串式的提问具有启发性，要注意提问的针对性和恰当难度，要以学生的原有知识为基础、在学生的最近发展区内;提问要有层次和梯度，考虑大多数学生的认知水平，使学生跳一跳、够得着;注重在教学重点、难点、关键处设问，切实揭示教材或者学生学习活动的实际矛盾，形成问题串;提问要精心设计、表达简洁明确，避免事无巨细、无的放矢;要恰当运用提问的方式，如正问、逆问、追问、填空式提问等，提高提问的效率。总之，无论进行哪一种类型和方式的提问，提问前对于问什么、怎样问、问哪些学生一定要心中有数、精心准备，切忌盲目、随意地发问。

参考文献

[1] 陈静安，黄永明.数学课程标准与学科教学.江苏：南京师范大学出版社，2012.

[2] 阮晓明，王琴.高中数学十大难点概念的调查研究.数学教育学报，2012（5）.

[3] 乔石.数学启发式教学研究.陕西：陕西师范大学，2011.

[4] 欧慧谋.高中函数概念的教学策略研究——基于数学多元表征学习视角.广西：广西师范大学，2012.

[5] 章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学（续）.数学通报，2009（7）.

篇5：高中数学必修1总结

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

二、教学重点、难点

教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图

三、教学设想

1、复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、设置情境

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

3、新课讲授

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

(2)例

1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)

提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得 AB = AC sinACBsinABCsinABC55sin75 = 55sin75 ≈ 65.7(m)

sin(1805175)sin54 AB = ACsinACB= 55sinACB= sinABC答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。解略：2a km 例

2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得

AC = BC =

asin()= asin()sin[180()]sin()asinasin = sin[180()]sin()计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB = AC2BC22ACBCcos

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，=60 ACD=30，CDB=45，BDA 略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

4、学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

5、课堂练习：课本第14页练习第1、2题

6、归纳总结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

四、课后作业

1、课本第22页第1、2、3题

2、思考题：某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得

AC2BC2AB223cosC==，2ACBC31432则sin2C =1-cos2C =2，31sinC =

123, 31353 62所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC-cos120sinC =在MAC中，由正弦定理得 MC =ACsinMAC31353==35 62sinAMC32从而有MB= MC-BC=15 答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。

篇6：高中数学教案必修1

1 知识与技能

〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值

2 过程与方法

结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3 情感与价值

感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、重点：利用导数求函数的极值

难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件

三、教学基本流程

回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系

提出问题，激发求知欲

组织学生自主探索，获得函数的极值定义

通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解

四、教学过程

〈一〉创设情景，导入新课

1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么?

(提问C类学生回答，A，B类学生做补充)

函数的极值与导数教案 2、观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数函数的极值与导数教案=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题

函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案

函数的极值与导数教案

函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案

(1)当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度，那么函数函数的极值与导数教案在t=a处的导数是多少呢?

(2)在点t=a附近的图象有什么特点?

(3)点t=a附近的导数符号有什么变化规律?

共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t0;当t>a时,函数函数的极值与导数教案单调递减, 函数的极值与导数教案 <0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 函数的极值与导数教案 先正后负,且函数的极值与导数教案连续变化,于是h/(a)=0.

3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢?

<二>探索研讨

函数的极值与导数教案1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：

函数的极值与导数教案(1)函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?

(2) 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?

(3)在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?

2、极值的定义:

我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;

点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。

极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.

3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗?

充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反

4、引导学生观察图1.3.11，回答以下问题：

(1)找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点?

(2)极大值一定大于极小值吗?

5、随堂练习:

如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=函数的极值与导数教案的图象?

函数的极值与导数教案<三>讲解例题

例4 求函数函数的极值与导数教案的极值

教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点; ②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.

学生动手做,教师引导

解:∵函数的极值与导数教案∴函数的极值与导数教案=x2-4=(x-2)(x+2)令函数的极值与导数教案=0,解得x=2,或x=-2.

函数的极值与导数教案

函数的极值与导数教案

下面分两种情况讨论:

(1) 当函数的极值与导数教案>0,即x>2,或x<-2时;

(2) 当函数的极值与导数教案<0,即-2

当x变化时, 函数的极值与导数教案 ,f(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,-2)

-2

(-2,2)

2

(2,+∞)

函数的极值与导数教案

+

0

_

0

+

f(x)

单调递增

函数的极值与导数教案

函数的极值与导数教案单调递减

函数的极值与导数教案

单调递增

函数的极值与导数教案因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= 函数的极值与导数教案 ;当x=2时,f(x)有极

小值,且极小值为f(2)= 函数的极值与导数教案

函数函数的极值与导数教案的图象如:

函数的极值与导数教案归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:

函数的极值与导数教案1求函数的极值与导数教案,解方程函数的极值与导数教案=0,当函数的极值与导数教案=0时:

(1) 如果在x0附近的左边函数的极值与导数教案>0,右边函数的极值与导数教案<0,那么f(x0)是极大值.

(2) 如果在x0附近的左边函数的极值与导数教案<0,右边函数的极值与导数教案>0,那么f(x0)是极小值

<四>课堂练习

1、求函数f(x)=3x-x3的极值

2、思考：已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1处取得极值,

求函数f(x)的解析式及单调区间。

C类学生做第1题，A，B类学生在第1,2题。

<五>课后思考题

1、若函数f(x)=x3-3bx+3b在(0，1)内有极小值，求实数b的范围。

2、已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。

<六>课堂小结

1、函数极值的定义

2、函数极值求解步骤

3、一个点为函数的极值点的充要条件。

<七>作业 P32 5 ① ④

教学反思

本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练函数的极值与导数教案

研讨评议

篇7：高中数学必修1教学大纲

1.集合

（约4课时）（1）集合的含义与表示①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。②在具体情境中，了解全集与空集的含义。

（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

2.函数概念与基本初等函数I

（约32课时）（1）函数①进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。③了解简单的分段函数，并能简单应用。④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质（参见例1）。

（2）指数函数①（细胞的分裂，考古中所用的C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。

（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的产生历史以及对简化运算的作用。②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。③知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。（4）幂函数通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图象，了解它们的变化情况。

（5）函数与方程①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

（6）函数模型及其应用①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

篇8：高中数学必修1总结

建构主义认为,学习是获取知识的过程,知识不是通过教师传授得到的,而是学习者在一定的情境下,借助其他人的帮助,利用必要的学习资料,通过有意义的建构方式获得的。《数学课程标准》也提出:数学学习“不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发”,这充分说明数学教学中创设问题情境的重要性。那么,在创设数学情境时要注意哪些问题呢?本文以必修1《3.1.1方程的根与函数的零点》的教学设计为例,谈谈如何创设数学教学情景可以极大程度上调动学生的学习积极性,以取得良好的教学效果。

一、教学观念

坚持“一个理念”——关注学习过程,体现自主探究,加强合作交流,渗透人文教育;

营造“一种氛围”——师生互动,愉快和谐;

建立“一种关系”——平等互助合作的师生关系;

做到“三个淡化”一—淡化教师说教(重在问题创设);淡化理论灌输(重在自主发现);淡化知识记忆(重在能力培养)。

二、教学设计过程

1.“问渠哪得清如许,为有源头活水来”——引入情境讲究趣味性,可以激发学生的兴趣。心理学认为,学生只有对所学的知识产生兴趣,才会爱学,才能以最大的热情投入到学习中去。因此,在教学中,教师要善于挖掘教材,积极创设生动有趣的问题情境来帮助学生学习,培养学生对数学的兴趣。此例中,游戏不仅激发了学生的好胜心,也调动了学生的学习热情,使之自然而然地进入了学习状态。其实,引入情境除了可引用游戏外,还可以是趣味性较强的名人轶事、历史故事、数学趣题等。事实证明,贴近学生生活实际的、趣味性较强的情境,能很好地吸引学生的注意,最大程度地激发学生的学习欲望,培养其学习兴趣。

创设一个现实问题情境作为提出问题的背景:蹦极运动。

设置情境:利用投影展示蹦极运动图片。

设下落的时间t秒,人离开参照点“礁石尖端”的位移为s(s=0表示人在礁石点处,向下取负,向上取正),开始下落时,时间t=0,在t∈[4,6]时的变化如下表:

问:在这段时间内,人有几次通过礁石尖端处?

2.“不愤不启,不悱不发”——情境创设讲究引发学生的认知冲突,可以激发学生的内在需要。情境的设计必须以引起学生的认知冲突为基点,才能引起学生的学习需要。教师根据新学知识、方法特点及学生已有的认知结构,设计一个包含新知识、新方法或新思维的新问题情境(旧知识、旧方法或习惯思维不能解决的),学生运用旧知识、旧方法、习惯思维于新问题情境时便会产生认知冲突,由此产生疑问和急需找到解决方法的内在需要。在这种需要的驱使下,教师再展开教学,则能收到事半功倍的教学效果。

启发、引导学生提出自己关心的现实问题,逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题,解决过渡性问题时需要使用根的分布知识,借此引发学生的认知冲突,揭示方程的根与函数的零点的必要性,并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后,再引导学生抓住问题的数学实质,将过渡性问题引伸成一般的数学问题:蹦极运动在通过平衡位置的窜上与窜下抽象成函数图像,在x轴上下窜动。解决这个问题需要先回答目标问题:函数图像与x轴交点和方程根的关系?

3.“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”——情境创设讲究围绕问题动手实践,可以使学生获得经验。建构主义认为,动手实践与其他数学学习方式的合理配置和有效融合能够营造一种丰富多样的数学学习情境,而这种情境可以让学生初步体验将要学习的数学知识,为理解数学知识做好准备,为发现数学原理提供帮助,并且能够为学生提供与数学有着直接和重要作用的经验,以及情感性的支持。为了解决提出的目标问题,引导学生回到他们所熟悉的一元一次方程、一元二次方程根与相应函数图像和x轴交点问题,得出目标问题在以上情况下的结论,从而形成猜想,然后引导学生对猜想进行验证。

(1)提出问题。

问题:方程-x3-3x+5=0有根吗?

若有根,有几个根?能确定吗?

(2)探究问题。

师:以上函数图像与x轴交点和方程根的关系?

生:方程的根就是函数图像与x轴交点的横坐标;根的个数就是图像与x轴交点的个数。

师:一般的一元二次方程与相应的一元二次函数的联系又如何?

生:成立。得到知识:

①零点:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

②根据函数零点的定义可知:函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根。因此,判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实数根,有几个实数根。

③函数零点的求法:解方程f(x),所得实数根就是f(x)的零点。

(3)解决问题。

师:如何求方程-x3-3x+5=0的根?

生:画出函数的图像。

师:与x轴有交点吗?有几个?在哪里?

生:有,一个,(1,2)之间。

师:方程有没有根?有几个?多少?

生:有,一个。

(4)形成经验。

师:在零点两侧函数值符号如何?什么条件下有零点?

生:(归纳得到)

一般地:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

(5)发散思维。

①唯一性。

师:方程-x3-3x+5=0的根唯一吗?

生:只有一个。

师:为什么?用什么知识解决?

生:单调性。

②精确性。

师:这个(1,2)范围满意吗?可以更精确吗?

生:(1,1.5)

师:这是下节课的内容。

③知识点:函数零点具有的性质:对于任意函数y=f(x),只要它的图像是连续不断的,则有当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号,如函数f(x)=x2-2x-3=0的图像在零点-1的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-1时,函数由正变为负,在通过第二个零点3时,函数值又由负变正。在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。

(6)知识应用。

例1:设计几个函数,直接判断函数是否有零点,若有,判断零点的个数。

设计意图:判断函数y=f(x)是否有零点或零点有几个,需要准确把握零点的定义,即判断方程f(x)=0是否有实数根或有几个实数根。

例2:设计一个函数,求函数的零点的个数。

设计意图:确定函数零点所在大致区间及零点个数的方法、步骤如下:

①用计算机、计算器或笔算出x,f(x)对应值表格;

②做出函数y=f(x)的图像;

③确定y=f(x)的单调性情况;

④将定义域进行分割,应用零点存在性定理判断零点所在的大致区间,并通过单调性确定函数零点的个数。

三、教学反思

在本课的教学中,教师立足于所创设的情境,通过学生自主探索、合作交流,亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程,学生成为零点存在条件的“发现者”和“创造者”,切身感受了创造的苦和乐,知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。