最短路径问题归纳总结（精选8篇）
篇1：最短路径问题归纳总结
八年级数学最短路径问题
一、两点在一条直线异侧
例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
练习、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
二、两点在一条直线同侧
例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。三、一点在两相交直线内部
例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC，使三角形周长最小.练习1：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC周长最小值为OA.求∠MON的度数。
练习2：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
提高训练
一、题中出现一个动点。
1.当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。
二、题中出现两个动点。当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。
例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求 C、D的坐标。
练习1如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是
．
三、题中出现三个动点时。
在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点,(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.例：如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点, 求PE+PF最小值 例：如图，∠AOB=45°，角内有一动点P，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值。
练习1如图，∠AOB=30°，角内有一定点P，PO=20cm，在AO，BO上有两动点C、D，求△PCD周长的最小值。
篇2：最短路径问题归纳总结
课题学习
最短路径问题
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理．
一师一优课 一课一名师(设计者：)
一、创设情景，明确目标
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
二、自主学习，指向目标
自学教材第85
页至87
页，思考下列问题：
1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求，其依据是两点的所有连线中，线段最短．
2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
3．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．
三、合作探究，达成目标
探索最短路径问题
活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B
两地抽象为两个点，将河l
抽象为一条直线．
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
答：(1)从A
地出发，到河边l
饮马，然后到B
地；
(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B
连接起来的两条线段的长度之和，就是从A
地到饮马地，再回到B
地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C
为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C
在l的什么位置时，AC
与CB的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B
在直线l的同侧，点C
是直线上的一个动点，当点C
在l的什么位置时，AC与CB的和最小？
追问1：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l
上的任意一点C，都保持CB
与CB′的长度相等？
追问2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
展示点评：作法：
(1)作点B
关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l
交于点C.则点C
即为所求．
问题3 你能用所学的知识证明AC
＋BC最短吗？
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C
不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC
＝B′C，BC′＝B′C′.∴
AC
＋BC＝
AC
＋B′C
＝
AB′，AC′＋BC′＝
AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴
AC
＋BC＜AC′＋BC′.即
AC
＋BC
最短.小组讨论：证明AC
＋BC
最短时，为什么要在直线l
上任取一点C′(与点C
不重合)，证明AC
＋BC
＜AC′＋BC′？这里的“C′”的作用是什么？
反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C
不重合)与A，B
两点的距离和都大于AC
＋BC，就说明AC
＋BC
最小.C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点．
针对训练：
1．如图，A、B是河流
同侧的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出来．
答：如下图，作点B关于l的对称点B′，连接AB′交l于点P，点P即为所求．
2．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC
上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．
答：作Q关于直线BC的对称点Q′，连接PQ′交BC于R，∴旅游船线路：P—Q—R—P.选址造桥问题
活动二：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)
篇3：最短路径问题及其解法研究
1 最短路径的搜索算法概要
1.1 动态规划算法
动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。动态规划算法使用于解最优化问题。通常可以按以下步骤设计动态规划算法:
1)找出最优解的性质,并刻画其结构特征;
2)递归地定义最优解;
3)以自底向上的方式计算出最优解;
4)根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。
步骤1)~3)是动态规划算法的基本步骤。在只需要求最优值的情形,步骤4)可以省去。若需要求问题的最优解,则必须执行步骤4),此时,在步骤3)中计算最优解时,通常需记录更多的信息,以便在步骤4)中,根据所记录的信息,快速构造出最优解。
1.2 Dijkstra算法
Dijkstra算法是Dijkstra提出的一个按路径长度递增的顺序逐步产生最短路径的算法。该算法的基本思想是:设置两个定点的集合T和S,集合S中存放已找到最短路径的定点,集合T中存放当前还未找到的最短路径的定点。初始状态时,集合S中只包含原点v0,然后不断从集合T中选取到定点v0路径长度最短的顶点u加入集合S,集合S中每加入一个新的顶点u,都要修改定点v0到集合T中剩余顶点的最短路径长度值,集合T中个顶点新的最短路径长度值为原来的最短路径长度值与定点u的最短路径长度值加上u到该顶点的路径长度值中的较小值。次过程不断重复,直到集合T的顶点全部加入到集合S为止。
1.3 A*算法
A*算法则是人工智能领域的一种图搜索策略,采用了启发式函数对搜索过程中产生的分支进行评估,以选择最佳的分支进行搜索。其更一般的引入了一个估价函数f(n),其定义为f(n)=g(n)+h(n)。其中g(n)为到达当前节点的耗费,而h(n)表示对从当前节点到达目标节点的耗费的估计,要求评估函数满足h(n)<=h*(n)。其必须满足两个条件:
1)h(n)必须小于等于实际的从当前节点到达目标节点的最小耗费h*。
2)f(n)必须保持单调递增。
1.4 遗传算法
遗传算法是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机化的搜索算法,由美国J.Holland教授提出,其主要特点是群体搜索策略、群体中个体之间的信息交换和搜索不依赖于梯度信息。因此它尤其适用于处理传统搜索方法难于解决的复杂和非线性问题。遗传算法是一种群体型操作,该操作以群体中所有个体为对象。选择、交叉和变异是遗传算法的三个主要算子,他们构成了遗传算法的主要操作,使遗传算法具有了其它传统方法所没有的特性。
2 最短路径问题的提出
如图1,给定一个运输网络,两点之间连线上的数字表示两点间的距离。求一条从A到E的运输线路,使总距离为最短。
3 求解最短路径问题
3.1 利用动态规划解最短路径问题
3.1.1 算法实现
图1中,过程的始点是A,终点是E,过程的实际行进方向是由A经第1,2,3,4阶段到达终点E。
在第4阶段有两个初始状态D1和D2。那么,从A-E的全过程最短路径,在第4阶段究竟经过D1、D2中的哪一个呢?目前,我们还不得而知,因此只能各种可能都考虑:若全过程最短路径经过D1,,则有f(D1)=4;若全过程最短路径经过D2,则有f(D2)=3。
第3阶段假设全过程最短路径在第3阶段经过C1点,则有:
若由C1—D1—E,则有d3(C1,D1)+f4(D1)=4+4=8;
若由C1—D2—E,则有d3(C1,D2)+f4(D2)=6+3=9;因此,由C1到E的最短路径是由C1—D1—E,最短距离是f3(C1)=8。
假设全过程最短路径在第3阶段经过C2点,则有:
f3(C2)=min{[d3(C2,D1)+f4(D1)],[d3(C2,D2)+f4(D2)]}=7;因此,由C2到E的最短路径是由C2—D1—E,最短距离是f3(C2)=7。
同理由C3到E的最短路径是由C3-D1-E和C3-D2-E,最短距离是f3(C3)=6。
同理,可得到第2阶段由B到E的最短路径有三条:B1到E:B1—C2—D1—E或B1—C3—D12—E,最短距离都是14;B2到E:B2—C1—D1—E,最短距离是11;B3到E:B3—C3—D12—E,最短距离都是13。
第一阶段,计算如下:
f1(A)=min{[d1(A,B1)+f2(B1)],[d1(A,B2)+f2(B2),[d1(A,B3)+f2(B3)]}=15
因此,由A--E的全过程最短路径是A—B2—C1--D1--E,最短距离是15。
3.1.2 算法分析及改进
利用动态规划求解最短路径问题的复杂度为O(min{nc,2n})。动态规划主要是求解最优决策序列,当最优决策序列中包含最优决策子序列时,可建立动态规划递归方程,它可以帮助高效地解决问题。用动态规划方法不仅能得到全局最优结果,还能得到一族最优结果。有了这一族最优结果,便于分析、比较不同的结果,且如果由于某种原因偏离了原始最优轨迹,也可以很方便地找出余下阶段的新的最优子策略。
3.2 利用Dijkstra算法解最短路径问题
3.2.1 算法实现
将图1采用邻接矩阵来存储,设为有向网G=(V,E);若邻接矩阵问C,并规定:
为wij表示顶点i和顶点j之间有直接边,且权值问wij,为0表示i=j,同一个顶点。为∞表示顶点i和顶点j没有边。
设置一个一维数组S,用来标记已找到的最短路径的顶点,并规定:
S[i]=0表示未找到源点到顶点vi的最短路径;
S[i]=1表示已找到源点到顶点vi的最短路径;
初始状态时,S[0]=1,对于其余的顶点vj(vj≠v0),有S[j]=0;设置另一个一维数组D,用来存放源点到其余各顶点的当前最短路径长度。初始状态时,D[i]=C[ORG(v0)][i](其中ORG(v0)表示源点v0在存储结构中的位置号),即一维数组D各分量的值为邻接矩阵C中ORG(v0)行上各元素的值。
首先利用D数组中各分量的值,选取当前具有最短路径的顶点u,使得,
然后将顶点u加入集合S中,即令S(u)=1,同时对于所有的S[i]=0的顶点vi,判断D[i]是否小于D[u]+C[u][i],使得
D[i]=min{D[i],D[u]+C[u][i]}
上述过程重复执行n-1后,就得到了按路径长度递增的顺序求源点到其余各顶点的最短路径值。
3.2.2 算法分析及改进
Dijkstra算法的成功率是最高的,因为它每次必能搜索到最优路径。另一方面,有利必有弊,如果要找到最优路径必然要在速度上做出牺牲。这导致Dijkstra算法的搜索速度是最慢的。Dijkstra算法求一个点到其他所有点的最短路径复杂度为O(n2),求一个点到其他所有点最短路径等效于求一个点到另一个点的最短路径n个点之间互相的最短路径复杂度为O(n3)。
3.3 A*算法解最短路径问题
3.3.1 算法实现
A*算法的基本思想是:
Procedure A-star
Begin
1)把源节点放入队列Q;
2)For(i=2,i
Begin
If队列Q为空then退出;删除队列中最小代价结点current
If current==goat then结束;找到最优;
If current有子女,源结点到本结点权值更小,即有更新,且该结点不在队列,则插入;
End For
输出路费和路径
End.
3.3.2 算法的分析与改进
空间复杂性:A*算法生成的总节点数为N,解的深度为d,那么b*就是尝试为d的一致搜索树为了包括N+1个节点所必需的分支因子。因此,N+1=1+b*+(b*)2+…+(b*)d,从中可看出空间复杂度高。
时间复杂性:充分利用问题内在信息,启发函数设计的好,可以极大降低扩展的结点,从而在较小的时间内即可完成最佳路径搜索。
如果h(n)是可采纳的,那A*算法是完备的也是最优的。
3.4 遗传算法解最短路径问题
3.4.1 算法实现
1)编码方案:设aij表示第i个结点到第j个结点的路径信息,l<=i<=N,l<=j<=N,(其中i,j为整数值,N为网络中的结点的个数)。若aij为零表示两个结点间无直接路径存在;不为零则表示这两点间存在直接路径为aij。
2)初始群体的生成:将个体初始化成零个体,即置个体点的集合信息为:al=0,ai=0(0≤i≤N-1),ai=N(i=N),对每个个体作同样操作。然后对整个群体进行初始化。
3)适应度函数的设计:根据个体所指示的路径信息,判断这条路径中没两个点间的距离大小,,若两点间存在路径且没有到达最后一个点,则将适应值的值加上当前两点间的路径长度,若不存在连线,则将适应值加上惩罚值,最后保存该个体的适应值,以便在选择时进行优先选择。对每一个个体进行此操作,直到整个群体适应度求解完毕。最后根据计算结果确定是否更新最小路径信息。
4)选择操作:算法中选择机制采用适应度比例法(即赌轮选择)实现选择。设群体大小为n,其中个体i的适应度fi,则i被选择的概率Psi为:
概率Psi反映了个体i的适应度在整个群体的个体适应度总和中所占的比例。按式(1)计算出群体中各个个体的选择概率。
5)交叉操作:文中采用一点交叉,但因路径交叉以后出现实际不存在的路径,所以对交叉采取一定的限止措施,防止交叉后出现不存在的路径。并对生成的新个体做相应的修正,使其成为满足条件的新个体。
6)变异操作:文中采用常规变异策略,变异后再根据确定的位对原来的个体进行修正,防止出现不存在的路径,避免程序发生异常。
7)程序进行选择与交叉过程中,根据运行前指定的参数,对群体中一定概率的最优个体进行了直接保留,从而大大提高了优秀个体被保留的概率,提高了算法的搜索效率。
4.4.2算法的分析与改进
利用遗传算法求解最短路径问题具有与传统方法不同的效益,它可以获得最优解,解决传统算法设计方法所不能解决的问题。该算法的复杂度为:O(n2n)。对于遗传算法的改进体现在基于惩罚函数修正方法和译码方法上,通过修正得到最优解。
4各种算法设计方法比较
通过以上对最短路径问题的求解分析,我们可以看到各种算法设计方法有各自不同的特点,针对不同的问题领域,它们有不同的效率。对于求解最短路径问题,各算法的时间复杂、优缺点以及改进方法的比较如表1所示。
5 结束语
以上是对动态规划,Dijkstra算法,A*算法,遗传算法这四种常用算法设计方法原理的概要介绍,并具体应用于求解最短路径问题中,以及对各种设计方法的算法分析。通过论述研究,得出各种算法在求解特定问题领域的优缺点和改进方法。
摘要：最短路径问题是在给定的网络图中寻找出一条从起始点到目标点之间的最短路径。该文分别从动态规划、Dijkstra、A*算法、遗传算法这四种算法设计方法入手,概述了各种设计方法的原理,提出了求解最短路径的算法思想,并对算法进行分析,提出了改进方法。
关键词：最短路径,动态规划,Dijkstra算法,A*算法,遗传算法
参考文献
[1]余祥宣,崔国华,邹海明.计算机算法基础[M].武汉:华中科技大学出版社,2003.
[2]王志和,凌云.Dijkstra最短路径算法的优化及其实现[J].软件时空,2007(11).
[3]王凌.智能优化算法及其应用[M].北京:清华大学出版社,2001.
[4]陈圣群,滕忠坚,洪亲,等.四种最短路径算法实例分析[J].开发研究与设计技术,2007(7).
[5]梁娟,郭军丽,魏勇.利用动态规划算法求解最短路径[J].河南机电高等专科学校学报,2006(5).
篇4：求最短路径问题的策略与方法
关键词：基本事实；数学模型；策略方法；转化
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）36-0053-06
求最短路径问题是历年数学中考中的常见题型，在选择、填空和解答题中均有体现，其灵活多变的考查形式，较易与其他知识融合的显著特点，受到许多命题者的青睐。
在中考数学试题中，求最短路径问题常常以求两条线段之和最小值的形式出现，并以特殊三角形、特殊四边形和函数图象等初中数学中的核心知识为载体，以考查学生灵活运用转化、化归等数学思想方法为目的，通过操作探究、推理论证、灵活求解的方式来解决问题。此类问题的解决是以基本事实“两点之间线段最短”为依据，以探寻转化方法为核心，实现对学生综合运用数学知识解决问题能力的全面考查。此类题目充满了探究性和思辨性，常常在中档题和压轴题中出现。
如何利用基本事实“两点之间线段最短”，解决最短路径问题呢？
一、建立数学模型
基本事实“两点之间线段最短”，从宏观上说明了“两点之间的所有连线中，线段最短。”在解决问题时，此基本事实常常以下面的具体模型呈现：
数学模型：如图1，已知点A、点B在直线l 的两侧，点P是直线l上的一个动点，连接AB、PA、PB，则有PA+PB≥AB。
根据“两点之间线段最短”这一基本事实可知：PA+PB≥AB，即当点P与AB和直线l的交点O重合时，PA+PB=OA+OB的值最小，最小值即为线段AB的长。因此，在求两条动线段之和的最小值时，我们只要能够将两条线段转化为一条线上的一个动点到两个定点（在这条线的两侧）的两条线段之和的形式，就可以直接应用这个数学模型来解决问题。
二、应用数学模型
结合2015年全国各地中考数学试卷中，有关求最短路径问题的部分题目，探究解决此类问题的具体策略与方法。
（一）单动点类问题
单动点类问题是指一个点在一条直线上运动，求它到两个定点距离之和的最小值问题。在此类中考数学试题中，给出的两个定点常常是在已知直线的同侧。解决此类问题，常用的方法是：将其中的一个定点转移到动点所在直线的另一侧，使其满足动点到该定点和转移后的点之间的距离相等，这样就可运用这个数学模型，将求两条线段之和的最小值问题，转化为求一条线段长度的问题。
通性通法：（1）定点移位：根据轴对称的性质，过其中一个定点作线段，使动点所在的直线是所作线段的垂直平分线；（2）获得等线：根据线段垂直平分线的性质定理，动点到所作线段两端点的距离相等；（3）运用模型，化二为一：根据基本事实的具体数学模型，连接另一定点和所作线段的新端点，所得线段的长即为所求两条线段之和的最小值；（4）根据题设，求出结果。
1.特殊三角形为背景
【原题再现】例1（2015·四川攀枝花第15题）：如图2，在边长为 2 的等边△ ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BE+DE 的最小值为 。
【探究方法】本题属于直接求两条线段之和的最小值问题，且两定点B、D在动点E所在线段AC的同侧，因此，可分两大步骤解决问题：（1）转化：因为点B是等边△ ABC的一个顶点，AC是点B的对边，根据等腰三角形的性质（三线合一），过点B作BO⊥AC，垂足为O，延长BO到点B′，使OB′=BO，则有AC和BB′互相垂直平分，连接EB′，则有B′E=BE；连接DB′，则线段DB′的长即为BE+DE 的最小值（如图3）。（2）求值：如图3，过点D作DG⊥AC，垂足为G，设DB′交AC于点F，则有Rt△DFG ∽Rt△B′FO，易得，OB′=BO=■×2=■， OG=■OC=■AC=■，DG=■BO=■OB′。根据相似三角形的性质，得■=■=■，所以OF=2GF=■OG=■，在R△ B′FO中，FB′=■=■■，所以DF=■FB′=■■，故DB′=■。
【思维拓展】（1）如果将点D转移到直线AC的另一侧，应如何作出所求的线段并求得结果呢？（2）你能直接求出DB′的长度吗？试试看。（事实上，过点B′作B′H⊥BC，交BC的延长线于点H，构造出Rt△ B′DH，解此直角三角形即可。）
2.特殊四边形为载体
（1）正方形
【原题再现】例2（2015·贵州安顺第17题）：如图4，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为 。
【探究方法】（1）转化：因为正方形是关于对角线所在直线对称的轴对称图形，所以作点E关于对角线AC所在直线的对称点E ′，点E ′落在BC的对应线段CD上，连接E ′F，则E ′F即为所求。（如图5）。（2）求值：如图5，过点F作FG⊥CD，垂足为G，易得，DE′=BE=1，DG=AF=2，FG=AD=4，所以在Rt△FGE′ 中，GE′=DG-DE′=1，根据勾股定理，得E′F=■。
【思维拓展】（1）如果将题目中的条件“F为AB上的一点，AF=2”改为“F为边AB上的一点，且F点到边AB端点的距离为1”时，其他内容不变，结果又如何呢？
（2）矩形
【原题再现】例3（2015·湖北孝感第16题）如图6，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2。对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G。
有如下结论：
① ∠ABN=60°； ②AM=1；
③■； ④△BMG是等边三角形；
⑤P为线段BM上一动点， H是BN的中点，则PN+PH的最小值是■。
其中正确结论的序号是 。
【探究方法】在本题所给的五条结论中，我们重点对结论⑤进行探究。在①中，连接AN（如图7），易得△ABN为等边三角形，所以∠ABN=60°，故①正确；在②中，易求出AM=■，所以②不正确；在③中，易得BN是MG的垂直平分线，QN是△MBG的中位线，所以BG=BM，QN=■，所以③不正确；在④中，易得∠BMG=60°，BG=BM，所以△BMG是等边三角形，故④正确；在⑤中，由于定点H，N在折痕BM的同侧，动点P在BM上，所以应先“转移定点”。因为H，E两点是等边△ABN两边的中点，因此H，E两点关于折痕BM对称，连接PE（如图7），则有PE=PH，根据基本事实的具体数学模型，当点P与点Q重合时，PN+PH取得最小值，即线段NE的长就是PN+PH的最小值；其次求值。因为NE是边长为2的等边△ABN边AB上的高，所以PN+PH的最小值为2×■=■，故⑤正确。所以本题答案是①，④，⑤。
【思维拓展】如果将结论⑤改为“P为线段GM上一动点，H是BN的中点，则PQ+PH的最小值是■。”结论⑤还正确吗？（提示：不正确，此时PQ+PH的最小值是■。）
3.函数图象为依托
（1）抛物线
同抛物线相结合的最短路径问题，常常是综合类试题中所考查的部分内容，一般情况下，双定点选取抛物线与坐标轴的交点，动点在抛物线的对称轴上。
【原题再现】例5（2015·广西柳州第26题）如图8，已知抛物线y=-■（x2-7x+6）的顶点为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C。
（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；
（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线。
【探究方法】重点探究解决（2）的策略和方法。（1）y=-■（x-■）2+■，M（■，■）；（2）A，C两定点是抛物线与坐标轴的交点，且在对称轴x=■的左侧，动点R在对称轴上。①转化：根据抛物线的对称性，A点关于直线x=■对称点是B点，连接BC（如图9），由基本事实的具体数学模型可知，BC与对称轴的交点即为R，连接AR，此时CR+AR的值最小，其最小值为线段BC的长。②求值：根据抛物线的解析式，求出点A、B、C的坐标，易得A（1，0），B（6，0），C（0，-3）。在Rt△OBC 中，根据勾股定理，求出BC=■=■=3■；再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=■x-3，当x=■时，y=-■，所以点R的坐标为（■，-■）。（3）略。
（2）双曲线
同双曲线相结合的最短路径问题，也常常是综合类试题中所考查的部分内容，一般情况下，双定点在双曲线上，动点在坐标轴上。
【原题再现】例6（2015·四川成都第19题）如图10，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=■（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点。
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积.
【探究方法】（1）y=■，B（3，1）。（2）A，B两点是在x轴上方双曲线上的两个定点，动点P在x轴上。①转化：作点B关于x轴的对称点B′（如图11），得到B′（3，-1），连接AB′，由基本事实的具体数学模型可知，AB′与x轴的交点即为点P，连接PB，此时PA+PB=AB′，其值最小。②求值：易得直线AB′的解析式为y=-2x+5：，当y=0时，得x=■，所以，满足条件的点P的坐标为（■，0）。设y=-x+4交x轴于点C，则C（4，0），所以，S△PAB=S△APC-S△BPC=■。
【思维拓展】如果将（2）中“在x轴上找一点P”改为“在y轴上找一点P”，其他内容不变，应如何求解呢？（答案：B（0，■），S△PAB=■。）
（二）双动点类问题
双动点类问题是指两条线段各有一个端点或一条线段的两个端点分别在两条线上运动，求两条线段之和的最小值问题。虽然此类中考数学试题，仍然需要运用上面的数学模型来解决，但是，转化到数学模型的过程需要学生具备扎实的数学基本功，以及灵活运用数学知识解决问题的能力和一定的创新意识。
1.两条线段各有一个端点在不同线上运动
【原题再现】例7（2015·天津第15题）在每个小正方形的边长为1的网格中。点A，B，C，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF。
（1）如图12-1，当BE=■时，计算AE+AF的值等于 。
（2）当AE+AF取得最小值时，请在如图12-2所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何是找到的（不要求证明） 。
【探究方法】（1）根据直角三角形的性质，易得AE+AF=■。（2）为解决问题（Ⅱ），我们先来探究：去掉（Ⅱ）中的格点背景，如何用尺规作图的方法画出线段AE和AF。
如图13，在矩形ABCD中，点E、F分别为BC、DB上的动点，且BE=DF。当AE+AF取得最小值时，用尺规作图画出线段AE和AF。
① 画线段AE。如图13，延长DC到点D ′，使CD′=DC，连接BD′，则有∠CBD ′=∠CBD=∠ADB。以点B为圆心，DA长为半径画弧，交BD′于P点，即BP=DA。连接AP，则AP与BC的交点即为AE+AF取得最小值时点E的位置。理由：当点E在BC边上的不同位置时（分别连接AE和PE），因为BE=DF，所以△BEP≌△DFA，所以PE=AF恒成立，这就实现了将两个动点重合，两个定点分别在动点所在直线两侧的目的，因此，根据基本事实的具体数学模型，当点E与AP、BC的交点重合时，AE+AF取得最小值。
② 画线段AF。如图13，在射线DC上截取DQ=DA，过Q点作QR⊥DQ，在射线QR上截取QR=AB，连接DR，在DR上截取DG=AB，连接AG，则AG与DB的交点即为AE+AF取得最小值时点F的位置。请你尝试说明理由。
下面解决原题中的（Ⅱ）。如图14，取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N，连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求。
【思维拓展】结合在无格点背景下，用尺规作图找E、F两点的方法，请你说明在图14中，确定点E和点F的方法是正确的。
2.一条线段的两个端点在不同线上运动
【原题再现】例8（2015·湖北黄石第25题）如图15-1和图15-2，已知双曲线y=■（x>0），直线l1：y-■=k（x-■）（k<0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1 （1） 若k=-1，求△OAB的面积S； （2） 若AB=■■，求k的值； （3）设N（0，2■），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取最小值时P点的坐标。 （参考公式：在平面直角坐标之中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB=■） 【探究方法】（1）S=2■；（2）k=-2或k=-■。（3）P点在双曲线上，M、N两点在双曲线的同侧。① 转化：l1：y-■=k（x-■）（k<0）过定点F，对于直线l1，无论k取何值，都有x=■时，y=■，所以知F（■，■）。又点P在双曲线上，可设P（x，■），则M（-■+■，■），连接PF（如图16），所以PF=■=■，即PF=■=x+■-■=PM，所以PM+PN=PF+PN。连接NF（如图16），NF交双曲线于P ′点，根据基本事实的具体数学模型可知，当点P与点P′重合时，PM+PN取得最小值，最小值是线段NF的长，易得NF=2。此时NF所在的直线方程为y=-x+2■，由（1）知点P与点A重合，即P（■-1，■+1），所以，PM+PN最小值是2，此时P点的坐标是（■-1，■+1）。 【思维拓展】本题属于变式运用基本事实的具体数学模型。事实上，在基本事实的具体数学模型中，无论条件怎样给出，只要能够将具有公共动端点的两条线段，转化成动点到动点所在线两侧两个定点距离之和的形式，均可使用这个具体数学模型，来解决与两条线段之和距离最短的相关问题。 三、教学建议 基本事实“两点之间线段最短”，简洁明了，浅显易懂，简单结论之中蕴含着大智慧。因此，我们的教学应该做到“知其事，明其理，用其魂”。 知其事：在初中阶段的图形与几何中，“两点之间线段最短”是我们首先要学习的基本事实之一。联系生活实际，结合简单图形，学生较易获得这一基本事实。 明其理：要真正理解这一基本事实，需要师生一起结合具体实例来完成。如，证明“三角形两边之和大于第三边”就有助于加深对这个基本事实的理解，其中教师的教学方式（引导学生用其所知，解己所惑）却起着至关重要的作用！ 用其魂：灵活运用这一基本事实解决具体问题，教材在“轴对称”中给出了求两条线段之和最小值问题的范例，不管是哪个版本的教材，其范例原型均与“将军饮马”问题有关。因此，在具体教学时，不妨用“将军饮马”问题导入，既具有较好的趣味性，又能紧扣主题，突出重点。 教学时要让学生亲身经历从实际问题抽象出数学问题的过程，并尝试建立与这一基本事实的联系。教师要为学习困难的学生搭建“桥梁”，助其领会基本事实的内涵和掌握解决具体问题的策略与方法。 总之，掌握运用基本事实解决求两条线段之和的最小值问题的策略和方法，还必须结合恰当的具体教学内容，及时渗透，经常运用。例如，在进行特殊三角形、特殊四边形、函数和圆的有关知识的教学时，要不失时机地添加相关内容，要将运用这一基本事实解决具体问题常态化、系列化，并及时归纳提升。特别是在初三复习时，不仅要在每个专题中适时渗透，同时还要进行专题训练，确保实现学生对此类问题的真正理解和掌握。 / / 假设迷宫入口的出发点存于seat [thepath(int m ,int n)/ / 0 < m ≤M 2{/ / 变量声明部分———对所用其它变量完成变 量声明 i = 0;/ / 此处开始给迷宫设置围墙 while(i < = n + 1) {maze[0 ] [i ] = 1;maze[m + 1 ] [i ] = 1;i = i + 1;} i = 1; while(i < = m + 1) {maze[i ] [0 ] = 1;maze [i ] [ n + 1 ] = 1;i = i + 1;} i = 1; / / 此处开始建立迷宫;并对标志数组初始化 while(i < = m){j = 1;while(j < = n) {maze [i ] [j ] = random(1); / / 随机函数产生0 或1 并赋予迷宫 / / 可用Pat 值调整0 与1 的比例,然后打印迷 宫相应位置(略) status [i ] [j ] = 0;j = j + 1;} i = i + 1;} / / 读入dire 数组;按顺时针建立八个方向上的位移(略); / / 寻找最短路径 if(maze [1 ] [1 ] = = 0 & & maze [m] [ n ] = = 0)/ / 出入口都可通行 top = 1; / / top 指向seat 数组中最新记入迷宫通行点的位置 f = 1; / / f 指向seat 数组中存放即将作为新出发点的位置 j = 0;/ / j = 0 ,表示找不到最短路径;j = 1 ,表示 成功找到最短路径 while(f < = top)/ / 以下为Critical Loop 循环 {i = 1;while(i < = 8) {/ / 从f 所指的出发点出发,对八个方向搜索可 通行的位置 x = seat [f ] [0 ] + dire[i ] [1 ];y = seat [f ] [1 ] + dire[i ] [2 ];if(x = = m & & y = = n){/ / 找到最短路径,打印输出 printf(“%d , %d n”,m ,n);while(f!=thepath 6.算法分析 6.1 时间复杂性 这里选用渐进时间复杂度(Asymptotic Time Complexity)。作为问题的基本操作的 原操作,应是其重复执行次数和算法的执行 时间成正比的原操作,多数情况下它是最深 层循环内的语句中的原操作,它的执行次数 和包含它的语句的频度(Frequency Count)相 同。因此,建立迷宫需要的时间为O(m 3 n)。在最坏情况下有m 3 n-1 个位置要进 入seat 数组,所以寻找路径也需要O(m 3 n),总的时间复杂性为O(m 3 n)。6.2 空间复杂性 本问题的空间复杂度(Space Complexi2 ty)与算法密切相关,它不仅需要存储空间来 寄存迷宫本身所用的信息,还需要一些对数 据进行操作的工作单元和存储一些实现计算 所需信息的辅助空间。 其中,数组maze、status、seat 所需要的空 间都与m 3 n 成正比,其余都是常数。所以, 总的空间复杂性为O(m 3 n)。 此外,尚需说明的是,所谓当前位置“可 通”,指的是未曾走到过的通道,即要求该位 置不仅是通道,而且既不在当前路径上(否则 所求路径就不是简单路径),也不是曾经纳入 过路径的通道(否则只能在死胡同内转圈)。一个迷宫的最短路径可能不止一条,本 算法只给出首先找到的一条。首先找到哪一条最短路径,与在任一位置上对八个方向的 搜索次序有关,即与dire 数组元素值的排列 次序有关(如图1 所示),调整dire 数组元素 值的排列次序,就可得到其它的最短路径。 参考文献 [1 ]严蔚敏、吴伟民.数据结构[M].北京:清华大学 出版社,2002.[2 ]郭洁志.计算机软件实践[M].陕西:西北电讯出 版社,1985.[3 ]黄刘生、唐策善.数据结构[M].安徽:中国科学 技术大学出版社,2002.[4 ]王立柱.C/ C + + 与数据结构[M].北京:清华大 学出版社,2002.45 第17 卷第1 期 2004 年2 月 高等函授学报(自然科学版) 教学目标： 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。 3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。 教学重点： 将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。 教学难点： 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。 导学过程： 一、创设情景，引入新知。 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题。 二、自主学习，探究新知。 问题1（将军饮马问题） 牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地，牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 2、探索问题： 教师提出问题，引导学生思考： （1）如何将这个实际问题转化为数学问题？转化的要点是什么？ （2）回忆以前学过的“最短”的知识点，（两点之间，线段最短；垂线段最短），思考：这个问题中的“最短”和以前学过的知识有什么相同点和不同点？（3）、如何把“不同点”化为“相同点”？（4）、如何用图形将问题展现出来？ 【学生活动】：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充，师生共同归纳：（1）、将A、B两地抽象为两个点，将河L抽象为一条直线（如图2），则问题转化为：如何在L上找一点C，使AC与BC的和最小（如图3）。转化时要注意条件和结论的转化，以及点、线的抽象。 （2）、相同点：都是两点间的最短距离问题。 不同点：一个是两点在L的同侧；一个是两点在L的异侧，并画图比较（如图4）。（3）利用轴对称的知识找出B点关于直线L的对称点B′,就可以满足C B′= CB,再连接A B′，则A B′与直线L的交点C极为所求。 【教师板书并画图】（如图5） 第一步：作出B点关于直线L的对称点B′ 第二步：连接A B′，与直线L的交点为C,则C点即为所求。 证明：略 问题二（造桥选址问题）如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.) 将实际问题中A，B两地与笔直的河L抽象成 点A.点B和直线a，b.如图： 分析：AM+NB最短，要先确定点N在直线b的位置，如果我先将A点往直线a的垂直方向平移MN个单位 后到A′，由于MN垂直直线a，N点就是M点往直线 b的垂直方向平移MN个单位后到的点，由图形平移后 的对应点之间的线段是平行且相等的，得到AM=A′N.AM+NB最短即A′N+NB最短.转变成了直线b上是找 到一点N，使A′ N+NB最短,连结A′,B,与直线b相交的 一点为N点.证明略.三、巩固练习： 1.∠WXZ内有一点Z，在WZ，ZY上分别有点A，B,当△ABZ的周长最小时，请在图中作出点A，B的位置.2.如图，A、B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） 四、课堂小结 1、本节主要知识点： 轴对称的对称知识和两点间的最短距离在“最短路径”这类问题中的运用。实际问题与数学问题的转化。 2、提出问题： 这节课你们学到了什么？还有哪些疑惑？ 五、布置作业 用dp记忆化搜索的思想来考虑是思路很清晰的，但是困难在如何求出字典序最小的路。 因为左边到右边的字典序最小就必须从左边开始找，于是我们可以换个思路，dp时从右边走到左边，这样寻找路径就可以从左向右了。 代码： /* * Author: illuz * Blog: blog.csdn.net/hcbbt * File: uva116.cpp * Create Date: -09-20 20:56:07 * Descripton: dp, memorial */ #include #include using namespace std; const int MAXN = 102; int dis[MAXN][MAXN], map[MAXN][MAXN], n, m; int cg(int x) { if (x == 0) x = n; else if (x == n + 1) x = 1; return x; } int dp(int x, int y) { x = cg(x); if (dis[x][y] != -0xffffff) return dis[x][y]; return dis[x][y] = map[x][y] + min(min(dp(x - 1, y + 1), dp(x, y + 1)), dp(x + 1, y + 1)); } void print(int x, int y) { if (y < m) printf(“%d ”, x); else { printf(“%d”, x); return; } int a[3] = {cg(x - 1), cg(x), cg(x + 1)}; sort(a, a + 3); int tt = dis[x][y] - map[x][y]; if (tt == dis[a[0]][y + 1]) print(a[0], y + 1); else if (tt == dis[a[1]][y + 1]) print(a[1], y + 1); else print(a[2], y + 1); } int main { while (scanf(“%d%d”, &n, &m) != EOF) { for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) { scanf(“%d”, &map[i][j]); if (j == m) dis[i][j] = map[i][j]; else dis[i][j] = -0xffffff; } int Min = 0xffffff, t, rx, ry; for (int i = 1; i <= n; i++) { t = dp(i, 1); if (t < Min) rx = i, Min = t; } print(rx, 1); printf(“%d”, Min); } return 0; 一、利用反射变换 案例1 (1) 如图1, 点E和点D在直线a的两侧, 有一动点P在直线a上运动.问当点P运动到哪个位置时, DP+EP的值最小?在图中找出此时点P的位置. (2) 如图2, 点E和点D在直线a的同侧, 有一动点P在直线a上运动.问当点P运动到哪个位置时, DP+EP的值最小?在图中找出此时点P的位置. 第 (1) 题只需画出线段DE, 由“两点之间线段最短”可知, 线段DE与直线a的交点, 就是所求动点P的位置. 第 (2) 题, 以直线a为对称轴, 作点D的对称点D', 即可转化为第 (1) 题.这类题目的解题思想, 是利用反射变换把其中的一条线段进行转移, 使之与另一条线段恰好组成一条线段, 然后用公理“两点之间线段最短”加以解决.反射变换的具体操作方法是:以动点所在直线为对称轴, 对其中一个已知点作反射变换. 变式1如图3, 在等边三角形ABC中, 点E是AB的中点, AD是BC边上的高, 点P是线段AD上的一个动点.问点P运动到哪个位置时, BP+EP的值最小?BP+EP的最小值是多少? 本题动点P所在的直线是AD.以直线AD为对称轴, 作出点B或点E的对称点.由于本题作点B的对称点更为简单, 因为点B的对称点就是点C.所以, 我们选点B, 然后连接CE.则CE与AD的交点就是所要找的点P位置.BP+EP的最小值等于线段CE的长. 变式2如图4, 已知⊙O的直径CD为4, 弧AD的度数为60°, 点B是弧AD的中点, 点P是直径CD上的一动点.问:当点P运动到哪个位置时, BP+AP的值最小?BP+AP的最小值是多少? 本题动点P所在的直线是CD.以直线CD为对称轴, 作出点B的对称点B' (也可以作点A的对称点) , 连接AB'.则线段AB'与直径CD的交点, 就是所求动点P的位置.所以BP+AP的最小值就是线段AB'的长.连接OB', 易得△OAB'是等腰直角三角形, 从而可得到线段AB'的长. 变式3如图5, 已知点C是∠AOB内部一点, 点D和点E分别是边OA、OB上的动点.问点D和点E在哪里才能使△CDE的周长最小?在图中, 找出此时点D和点E所在的位置. 本题动点D和动点E所在的直线分别是OA和OB, 故分别以直线OA和OB为对称轴作点C的对称点C''和C', 连接C'C'.那么, 线段C''C'与OA和OB的交点, 就是所要找的点D和点E所在的位置. 变式4如图6, 在平面直角坐标系中, 点A的坐标是 (4, 3) , 点B的坐标是 (4, 1) , 点M是y轴上的一个动点, 点N是x轴上的一个动点.当四边形AMNB的周长最小时, 求直线MN的解析式. 四边形AMNB的周长由AM、MN、NB、BA四条线段的长短来决定, 其中BA是固定不变的.四边形AMNB的周长最小, 则AM+MN+NB的值应为最小.由此, 本题可转化变式3题型, 变式3是变式4点A、B重合时的特殊情形.分别作点A关于y轴的对称点A', 作点B关于x轴的对称点B', 连接A'B'.那么, 线段A'B'与y轴和x轴的交点, 就是所动点M和动点N所在的位置.易知, 点A'的坐标是 (-4, 3) , 点B'的坐标是 (4, -1) .从而可求得直线MN的解析式是y=-0.5x+1. 二、利用平移变换 案例2如图7, 城市A和城市B坐落在河两岸.现在, 要在这条河上架一座桥 (桥通常与河岸垂直) , 开通城市A和城市B之间的城际公路.请设计一种方案, 使城市A和城市B之间公路路程最短. 因为本题中桥的长度是不变的, 所以要使城市A和城市B之间路程最短, 只要使岸上的公路路程最短即可.而岸上的公路路程与河的宽度无关.不妨假设河的宽度为零, 即把直线b和点B进行平移, 使直线b与直线a重合, 假设点B平移后为点B'.这样, 岸上公路的最短路程就等于点A和点B'之间的最短路程. 本题的方案设计如下:把点B沿与直线a垂直的方向 (往河岸方向) 平移到点B', 画线段AB', AB'交直线a于点M, 过点M作平行线间的垂线段MN.那么, 垂线段MN就是所要架桥的位置. 变式1如图8, 已知:点A的坐标是 (0, 2) , 点B的坐标是 (4, 5) , MN为x轴上的一条动线段, 且MN=2.当四边形AMNB的周长最小时, 求点M、N的坐标. 因为线段AB和MN的长度是不变的, 所以要使四边形AMNB的周长最小, 只要使AM+BN的值最小即可.这问题可通过平移点B或点A, 转化为案例1中的第 (2) 题的题型, 而加以解决.方法如下:把点B向左平移2个单位长度至B', 作出点A关于x轴的对称点A', 连接A'B', 则线段A'B'与x轴的交点就是点M.易得点A'的坐标是 (0, -2) , 点B'的坐标是 (2, 5) .可用待定系数法求得直线A'B'的解析式, 再求得点M、N的坐标. 三、利用表面展开 案例3如图9, 有一长方体的纸盒, 长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm, 在纸盒的A处有一只蚂蚁, 在B处有一粒蜜糖.蚂蚁想吃到蜜糖, 所走的最短路程是多少cm? 本题只要将蚂蚁所经过的面展开, 根据两点之间线段最短, 可求得从A到B的最短路程.由题意可知, 本题有三种不同的行走路径:如图10, 变式1如图11, 圆锥的底面半径是1cm, 母线长是3cm, 在底面圆周A处有一只蚂蚁.这只蚂蚁从点A出发, 绕侧面爬行一圈回到点A, 所走的最短路程是多少cm? 沿着过点A的母线把圆锥侧面展开, 如图12, 蚂蚁所走的最短路径就是线段AA'. ∵圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长 变式2如图13, 四边形ABCD是圆柱的轴截面图.圆柱的底面半径是1cm, 母线长是3cm. (1) 蚂蚁从点A出发, 绕侧面爬行一圈到点D, 所走的最短路程是多少cm? (2) 蚂蚁从点A出发, 绕侧面爬行二圈到点D, 所走的最短路程是多少cm? (3) 蚂蚁从点A出发, 绕侧面至少爬行一圈到点C, 所走的最短路程是多少cm? 第 (1) 题, 沿着母线AD把圆柱侧面展开, 如图14, 线段AD'的长就是所走的最短路程. 第 (2) 题, 沿着母线AD把圆柱的侧面展开, 如图15, 取线段AD和A'D'的中点E、E', AE'+ED'的值就是所走的最短路程.因为, 把矩形DEE'D'沿着直线DD'平移, 使点D到D'处, 如图16, 只有E、E'为中点时, 线段AE'、ED'才能组成线段, 其他情况均为折线. 【最短路径问题归纳总结】相关文章： 最短路径问题归纳总结05-14 短路电流的十个问题的总结04-10 财务审计问题归纳04-18 XC系列 PLC常见问题及归纳04-17 (JK)电容与电容器问题归纳2要点04-09 无墙之爱——社区养老问题路径研究09-11 金砖国家能源合作的问题与路径09-10 高校贫困生资助路径选择问题研究09-11 股民最关心的问题06-30 员工最关心的问题04-11篇5：迷宫最短路径问题的计算机解法
篇6：最短路径教案
篇7：求出最短路径实例分析
篇8：最短路径问题归纳总结