级数收敛性

级数收敛性（精选五篇）

级数收敛性 篇1

第一

检查通项un (x) :若通项un (x) 不一致收敛于0, 那么非一致收敛.

例1 判别函数项级数非一致收敛.

解∀x∈ (-∞, +∞) , , 但通项关于x∈ (-∞, +∞) 非一致收敛于0.因为使得.从而数项级数非一致收敛.

第二

已知和函数 (或容易求得和函数) S (x) , 可用

(1) 和函数连续性定理:若函数项级数在区间I的和函数S (x) 不连续, 则在区间I非一致收敛 (其中每一项un (x) 在区间I连续) .

例2证明非一致收敛.

证当x=0时, 级数和为0.当x≠0时, 级数是等比级数, 所以

和函数S (x) 在x=0处间断, 因此该级数在[0, +∞) 上不一致收敛, 进而在 (0, +∞) 内也不一致收敛 (因为, 假若在 (0, +∞) 内一致收敛, 加之级数x=0处收敛, 便可推知级数在[0, +∞) 上一致收敛, 矛盾) .

(2) 非一致收敛的定义:∃ε0>0, ∀N∈N+, ∃n0>N, ∃x0∈I⇒Sn0 (x0) -S (x0) 丨>ε0.

例3判别级数在x∈[0, 1]的一致收敛性.

解函数项级数的部分和

∀x∈[0, 1], 有和函数, 而这个函数项级数在[0, 1]上非一致收敛.事实上, , 使得即这个函数项级数在[0, 1]上非一致收敛.

(3) 确界极限定理:函数项级数在区间I不一致收敛于S (x) 的充要条件是

例4判别的一致收敛性.

例5判别函数项级数在 (0, 1) 非一致收敛.

正项级数收敛性 篇2

1

?ab

n?2nlnn

1．a?1发散 2．a?1收敛 3．a?1,b?1发散 4．a?1,b?1收敛

?

lim[nln

n??

an

?1]lnn?g an?1

y?(nx?1)lnn

1yx??(?1)

nlnn

?glnlnn?lnn1nlngn

1?g??1?g????

?1?lna?lna??1nn?1????

n?lnnn?lnn??e

lnaN?

?

?1???n?

?lnn?1g??

?an?1?e

lnaN?

??1???n?

?lnn?

1g??

ee

?

??1???n?lnn??

1g??

?

?bn

现在开始讨论正项级数的收敛性，上面写得很乱的东西，没有清掉它，因为它是问题的核心，

记录着思维的真实，保持原样挺美的。

?a

n?1

?

n

（an?0）被称为正项级数，这个定义有点狭隘，因为级数的收敛性不受去掉或增加

有限项的影响，只要从某项开始，后面全部项都是an?0，就足够看成正项级数了。数列an

写成函数形式an?f(n)可以拓展解决问题的视野，比如

?f(n)的收敛性和?

n?1

?

??

f(x)dx的

a

收敛性，有着极为密切的关系，假定f(x)?0很多时候，收敛性是相同的，比如单调的时候。不单调也不怕，因为级数和广义积分的收敛都与前面有限部分的情况没什么关系。极值点是单调性改变的地方，如果只有有限个极值点，在右边足够远的区间里，函数必然单调，而这足够肯定，两者收敛性相同。只要有限个极值点，很多时候这已经够用了。如果是无穷个极值点，也不是没有作为，只要存在经过极少值点的函数，经过极大值点的函数，且这两个函数只有有限个极值点，对这两个函数进行类似讨论，也能解决绝大部分问题。当然，如果这两个函数无论走多远，都相距很远，能给我们的帮助就非常有限。不过没有必要为此担心，初等函数中，只要不是周期函数，在足够远的区间里，都可以当作是单调的，也就是说，上面所说的级数和广义积分收敛性是相同的。广义积分可以求原函数，处理手段比级数灵活，借广义积分研究级数收敛性是极为重要的渠道。最原始的级数收敛性，还非得借助广义积分不可。比如p-级数

1

，其实就是通项为幂函数的级数，其收敛性完全清楚，另一个完?p

n?1n

?

全清楚的级数是等比级数

?a

n?1

?

n

，其实就是通项为指数函数的级数。这是两个最基本的级数。

后面演绎的常见判敛方法，都与这两者有关。比如，常见的比值盼敛，根值判敛，本质上是

用等比级数作参照的。等比级数收敛或发散很快，能判的级数范围并不大。拉贝判敛是以p-级数作参照得出的，由于p-级数收敛或发散比等比级数要慢，因而可判的级数范围要广很多。有没有比p-级数还要迟钝的`级数？当然有，如

1

，高斯判敛就是以这个级数??

nlnnn?1

?

作参照的。不过，无论哪种极限判别，都有判据为1时无所作为的遗憾。

正项级数的方便之处在于，级数的收敛性等价于其部分和数列的有界性，准确说，是否有上界，因为其部分和数列是单调递增的。由于这个原因，若an?bn，则由bn的部分和有上界，必可得到an的部分和有上界，故收敛是小看大，大的收敛，小的一定收敛。这个命题的等价命题是：发散大看小，小的发散，大的必然发散。这种通过不等式比较两个数列，从而得出收敛性判定，很基础，但不方便，因为不等式的放缩不是件容易的事情。

用极限比较是个不错的主意。因为极限虽然是一个数，但这个数和数列某项以后的无穷项有着很好的大小关联性，而级数收敛性则只与某项以后无穷项有关。

lim

ana?l，（l?0）根据极限定义，有???0,?N,?n?N:|n?l|??

n??bbnn

即???0,?N,?n?N:(l??)bn?an?(l??)bn

如果l?0，由于??0的任意性，选取?使得l??为正没有任何问题。若

?b

n?1

?

n

发散，

(l??)bn?an?(l??)bn的左边不等式说明?an，若?bn收敛，其右边不等式则说明

n?1

n?1

??

?a

n?1

?

n

收敛。这个两边夹不等式，确保

?a

n?1

?

n

，

?b

n?1

?

n

收敛性相同。当l?0，这个两边夹不

等式的左边失灵了，因为所有项非正，不过右边不等式仍然可用，即可以由

?b

n?1

?

n

收敛判断

?a

n?1

?

n

收敛，但无法由

?b

n?1

?

n

发散判断

?a

n?1

?

n

发散。

这个极限比较判敛，需要知道其中一个的收敛性，当l?0时，可以肯定另一个有同样的收敛性，但l?0时，只可由

?b

n?1

?

n

收敛判断

?a

n?1

?

n

收敛，或者由

?a

n?1

?

n

发散判断

?b

n?1

?

n

发散。

l???和l?0刚好颠倒。

有时候l不存在，也不是??，只要lim

an

?l存在，这相当于

n??bn

???0,?N,?n?N:lbn?an?(l??)bn 故lim

ana

?l与limn?l判定方法完全一样，但前者有更好的适应性。

n??bn??bnn

这种事先要知道一个级数的收敛性的要求还是有点不方便，如何找那个事先知道的级数？

能否通过数列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后两项相比，会有什么消息？还是用极限方法：lim

an?1

?l，由极限定义，得

n??an

an?1

?l|?? an

???0,?N,?n?N:|

变成 ???0,?N,?n?N:(l??)an?an?1?(l??)an 这不会提供任何有效信息，因为任何一边都是未知的。 由极限定义得到???0,?N,?n?N:l???

an?1

?l?? an

先假设l?0，适当选取?可保l???0，不等式取对数： ln(l??)?lnan?1?lnan?ln(l??) 再取和：

n?N?1

?ln(l??)??(lna

n?N?1

mm

n?1

?lnan)?

n?N?1

?ln(l??)

m

即 (m?n)ln(l??)?lnam?1?lnaN?1?(m?n)ln(l??) 故 (m?n)ln(l??)?lnaN?1?lnam?1?(m?n)ln(l??)?lnaN?1 取指数： aN?1(l??)(m?n)?am?1?aN?1(l??)(m?n)

当m变化时，上面不等式两端都是等比数列，其级数的收敛性完全由公比确定，am的收敛性完全由两端的等比级数确定。由?的任意性，若0?l?1，则可以确保0?l??,l???1。若l?1，则可以确保l??,l???1。故根据0?l?1和l?1，可分别得出散。当l?1时，这个方法失效，无从给出判定。当l?0时，不等式 aN?1(l??)(m?n)?am?1?aN?1(l??)(m?n) 右半部分还是可用的，而这足够了，选定l?????1，可以确定

?a

n?1

?

n

收敛和发

?a

n?1

?

n

收敛。

??

an?1

于是有 lim?l，若0?l?1，?an收敛，若l?1，?an发散。l?1，不确定。

n??an?1n?1n

在这里lim

an?1a

?l可以替换成n?1?l，结论一样。不过适用性更广。知道这个l的实

n??an??ann

质是等比数列的公比是有价值的。这个判别方法不过是用等比级数作标准判断级数的收敛

性，能判的范围很有局限性，比如l?1的时候，就不灵了。

根值法?l和比值法虽然计算上有点区别，但实质仍然是以等比级数作标准判断收

n敛性，因而结论完全一样，不过根据不同表达式采用不同判别法，在计算上会有各自的特点。 当lim

an?1a

?1时，咋办？一般说来，想比不如相减方便，故limn?1?1可等价写成

n??an??ann

an?1aa

?0，为了后面表述上的一致性，我们更主要用limlnn?0表示limn?1?1。

n??n??anan?1an

limln

n??

这样提问，也许能帮我们引向问题的解决：

我们需要什么样的一个函数?(x,n)，使得lim?(ln

n??

an

,n)?l，而根据l的范围，便可给an?1

出

?an的收敛性判定？还是从lim?(ln

n?1

n??

?

an

,n)?l本身寻找答案，其极限定义为 an?1

an

,n)?l|?? an?1

an

,n)?l?? an?1

???0,?N,?n?N:|?(ln

即 ???0,?N,?n?N:l????(ln

求解?(x,n)的反函数，我们假设它仍能维持不等式的两边夹，于是 ?(l??,n)?ln

an

??(l??,n) an?1

即 ?(l??,n)?lnan?lnan?1??(l??,n) 取和：

n?N?1m

?

m

?(l??,n)?

n?N?1

m

?

m

(lnan?lnan?1)?

n?N?1

?

m

?(l??,n)

即

n?N?1

m

?

?(l??,n)?lnaN?1?lnam?1?

n?N?1

m

?

?(l??,n)

lnaN?1?

m

n?N?1

m

?

?(l??,n)?lnam?1?lnaN?1?

lnaN?1?

n?N?1

?

?(l??,n)

e

?

lnaN?1?

n?N?1

?

m

?(l??,n)

?am?1?e

m

n?N?1

??(l??,n)

显然，

?a

n?1

n

的收敛性由e

lnaN?1?

n?N?1

?

?(l??,n)

,e

lnaN?1?

n?N?1

??(l??,n)

的级数收敛性确定。讨论收敛性，

m

?

常数lnaN?1可以不作考虑，于是，只要讨论e

n?N?1

?

m

?(l??,n)?

,e

n?N?1

级数收敛性 篇3

【关键词】函数项级数；；和函数；非一致收敛；判别

【中图分类号】O173

一，函数项级数的相关知识

函数项级数在收敛时是函数的一种表示方法，这种表示方法可以从更深刻的背景上描述一个函数的性态：连续性，可积性，可微性等。在有了函数项级数的知识后，就存在了讨论如何通过无穷多个函数的叠加来产生新函数以及研究这样产生的新函数的性质的可能性，而函数项级数的一致收敛性和非一致收敛性在其中起了关键作。

定义：设{ }是定义在数集D上的一个函数列，表达式 称为定义在D上的函数项级数，简记为 ， 称 为函数项级数 的部分和函数列。

若 ，数项级数 收敛，即部分和 ，

当 时极限存在，则称级 在点 收敛。若在 处， 均收敛，则称函数项级数 在D上收敛。

级数 在D上每一点 与其对应的数项级数 的和 构成一个定义在D上的函数，称 为级数 的和函数，即 = 。

二，非一致收敛的定义

若 ，则称函数项级数

在D上非一致收敛。

三，引进非一致收敛的意义

函数列理论中的重要问题是{ （x）}的相关性质（连续性，可积性，可微性等）在极限过程中是否依旧保持？而在函数项级数中，即 确定的和函数s（x）是否有有限和的相关性质，即：

⒈若

则

即 函数项级数的求和符号与极限符号能否交换？

⒉若对任何正整数n， 在 上均黎曼可积，则和函数s（x）是否在 上也黎曼可积？若此时可积，

即 函数项级数的求和符号和积分符号能否交换？

⒊若对任何正整数n， 在 上可导，则s（x）在 是否可导？

即 函数项级数的求和符号与导数运算能否交换（逐项可导）？

上述三种情形在 收敛的情况下并不一定成立，进而猜测，在附加一定的充分条件下使上述结论成立，因此引进了收敛性较强的一致收敛，从而深入研究和函数的相关性质。综上，如何判别函数项级数的非一致收敛就变成一个重要且亟待解决的问题。

四， 非一致收敛的判别方法

1.函数项级数非一致收敛的 定义

，则函数项级数在区间D上非一致收

敛。

例1.试讨论函数项级数 的敛散性。

解： 当 时，有

S（x）= ， 取 ，无论n取多大，只要取 ，就有 =

，综上，由非一致收敛的定义知

非一致收敛。

2.确界法

若函数项级数 的余项为 ，且 =

，则函数项级数在D上非一致收敛。

例2.求证函数项级数 在 上非一致收敛。

证明：因为 ，则有s（x）= ，又因为

，即 在 上非一致收敛。

3.利用柯西收敛准则

（1）柯西收敛准则否定形式： 在D上非一致收敛

，使 。

（2）柯西收敛准则推论1的逆否命题：若函数列 非一致收敛于0，则函数项级数

非一致收敛。

（3）柯西收敛准则推论2：若函数项级数 在区间D上点点收敛，且在区间D上 存在一点列 ，使 ，则函数项级数 在区间D上非一致收敛。

例3.讨论函数项级数 在 上的一致收敛性。

解：取 ，从而使得

。综上，由柯西收敛准则知函数项级数 在 上一致收敛。

例4.讨论 在 上的一致收敛性。

解：显然函数项级数 在 上点点收敛，又知， ，有 ，则由柯西收敛准则的推论2知 在 上非一致收敛。

例5. 证明：函数项级数 在区间 上非一致收敛。

证明：函数项级数 在 上点点收敛，取 ，此时有

，所以， 不趋于0，则由柯西收敛准则的推论2知 在区间 上非一致收敛。

4.利用和函数的不连续性

若连续函数项级数 在区间D上点点收敛于和函数s（x），且存在 ，使s（x）在

处不连续，则函数项级数 在区间D上非一致收敛于s（x）。

（1）此方法在和函数比较容易求得的情况下应用简便。

例6. 证明：函数项级数 上非一致收敛。

证明：由题知 ，且 ，当x=1时， ，

，而 ， 在

x=1处不连续，而 在区间上连续，综上，函数项级数 上非一致收敛。

5.利用端点发散性判别

若函数项级数 在区间 上点点收敛，但在左端点 处发散，

且 在左端点 处右连续，则函数项级数 在 上非一致收敛。

证明：假设 在 上一致收敛，则

，则在上式中，令 ，得 ，再由柯西收敛准则知 收敛，这与已知矛盾。即得函数项级数 在 上非一致收敛。（定义域为 的情况，同理可证）

例7.讨论函数项级数 在区间 上的一致收敛性。

解：显然函数项级数 在区间 上点点收敛，且每一项均在x=1处连续，而函数项级数 在x=1处，即数项级数 发散，故该函数项级数在区间 上非一致收敛。

例8.讨论函数项级数 在区间 上的一致收敛性。

解： 显然函数项级数 在区间 上点点收敛，且每一项均在x=0处连续，而函数项级数 在x=0处发散， 故该函数项级数在区间 上非一致收敛。

例9.证明：函数项级数 在区间 上非一致收敛。

证明：假设 在区间 上一致收敛，则将区间 看成 ，则由

，知数项级数 收敛，显然矛盾。综上，函数项级数 在区间 上非一致收敛。

五，小结

在判别非一致收敛的过程中，某一种方法对某一类函數项级数较为简便，非一致收敛的判别往往与函数项级数的某种特殊性相关，以某端点的性质最为常见。实际上，对函数项级数的非一致收敛性的证明除了以上较常用的详细介绍的五种方法外还有多种方法，如：①若连续函数项级数 在区间D上点点收敛于s（x），且 ， ，有 ，则函数项级数 非一致收敛于s（x）。 ②设对任意的自然数n，函数 在区间D上都是单调增加（或单调减小）的，如果存在数列 ，使级数 发散，则函数项级数 在区间D上

非一致收敛。 ③设对任意的 ， 为单调数列，如果存在数列 使 不存在，或者 存在但不为0，则函数项级数 在区间D上非一致收敛。

【参考文献】

[1] 同济大学大学数学系.高等数学（下册）第7版.[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 薛志纯.高等数学.[M].背景：清华大学出版社，2008.

[3] 同济大学大学数学系.高等数学习题全解指南.[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4] 张选群.医用高等数学.[M].北京：人民卫生出版社，2013.

[5] 李忠.高等数学.[M].北京：北京大学出版社，2009.

级数收敛性 篇4

阿贝尔方法是从一个十分浅显的恒等式开始, 这个恒等式可以叫做和差变换公式, 又可以叫做分部求和公式, 它相当于积分学中的分部积分法。从这个恒等式可以直接导出阿贝尔引理, 从而又可以导出一系列很有价值的命题。我们把分部求和公式及阿贝尔引理一并称之为阿贝尔方法。

一、关于阿贝尔方法

1、 (和差变换公式) 设nm<,

证:将等式左端的和拆开, 然后对Ak进行同类项合并即得.

二、阿贝尔方法应用于级数收敛性问题

由阿贝尔引理可以得出关于级数收敛的几个判别法及定理:

摘要：本文把和差变换公式、分部求和公式以及两个阿贝尔引理一并称之为阿贝尔方法。并把关于级数收敛性问题的几个定理和判定定理的证明统一在阿贝尔方法之下, 拓宽了它们的适用范围。

关键词：阿贝尔方法,阿贝尔定理,级数乘法定理,阿贝尔判别法,狄利克雷判别法

参考文献

[1]数学分析 (下册) .复旦大学出版社.2003。

[2]数学分析的方法及例题选讲.高等教育出版社.1982。

级数收敛性 篇5

级数是牛顿和莱布尼兹微积分工作的一个重要部分.在18 世纪, 甚至今天, 无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的组成部分. 它们是研究和计算复杂的代数函数和超越函数的最富有成效的工具[1]. 很多超越函数, 只有把它们表示成级数并进行微分和积分, 人们才能处理它们. 除了用于微积分之外, 级数的主要应用在于数值计算, 如计算 π, e等特殊的量以及对数函数和三角函数等. 但是有些级数收敛得太慢太慢, 对于计算来说几乎不能使用. 例如莱布尼兹在1674 年得到了有名的结论:

但是要利用该级数计算π, 即使要达到阿基米德已经取得的小数点后3位的精度, 也得算到100000项.这样的收敛速度对于计算来说作用不大.因此, 研究如何把收敛较慢的级数变成另一个收敛较快的级数在近似计算中具有非常重要的实际意义.本文将分别介绍加速级数收敛三种变换方法, 并结合案例说明这些方法在提高慢级数收敛速度的作用.

1.Kummer变换

定理1 ([4]) 已知级数收敛, 且, 若, 则可对作如下线性变换:

Kummer变换通过一个和已知的级数求其他级数的和这种变换具有加快级数收敛的作用.

例1利用对进行kummer变换

计算的前100项的和为1.2020, 其精度为10-4.而变换后的级数要达到同等的精度, 只需计算到前50项.

kummer变换提高收敛速度的效果比较有限, 在很多近似计算中往往无法满足实际的要求.

2.Euler变换

18世纪, 欧拉提出了欧拉变换[3], 变换方法如下定理.

定理2设交错级数 (an≥0) 收敛, 则可对其作如下的变换:

其中, 且和不变.

Euler变换在计算交错时具有明显加快交错级数收敛的作用.

例2利用莱布尼兹定理, 如果取交错级数前n项的和作为级数和的近似值, 余项的绝对值, 如果要使得计算精度达到10-4, 必须取该级数前108项进行计算.如果对级数进行Euler变换变换后的级数要达到同等的精度, 只需计算到Δ7.

对于一般的收敛级数, 我们可以通过加括号的方法将其转化成交错级数, 再进行欧拉变换.

其中ak与ak+1 (k=1, 2, 3, …) 异号.即有这时候就可以用欧拉变换进行计算, 直到前n项的和满足我们所需的相对精度ε, 即计算到为止.

3.利用函数的幂级数展开式进行变换

情形1套用函数的幂级数展开式, 将数项级数的一般项表示成级数的形式, 从而把该数项级数表示累级数, 再通过交换求和符号的顺序加速级数收敛.

例3对于级数, 利用ln (1+x) 的幂级数展开公式, -1<x<1.

由收敛, 知收敛, 从而, 因此, 其中为黎曼zeta函数.变换后的级数比原级数的收敛速度具有明显的提高.经数值计算显示:前10项的和为0.7885, 精度为10-4.而原级数要达到同等的精度, 必须计算到2×104项.

情形2利用函数的幂级数展开式, 将收敛速度慢的级数转化为收敛速度快的级数.

从而-1<x≤1.由此

显然转换后的级数的收敛速度要快得多.如果取转换后的级数的前n项作为的近似值, 要使得误差

只需n≥5.但是如果直接计算的和, 要达到10-4的精度, 则必须计算到10000项.

参考文献

[1]莫里斯克莱因著.朱学贤, 申又枨, 叶其孝等译.《古今数学思想》第二册.2002, p161.