数列有极限一定收敛吗

数列有极限一定收敛吗（精选3篇）

篇1：数列有极限一定收敛吗

第一讲 数列极限

一、数列极限的收敛准则

1.数列极限的夹逼准则

a)数列{xn}，{yn}，{zn}满足：

i.yn＃xnzn(n N0)

ii.nlimyn=nlimzn=a

则数列{xn}的极限存在，且nlimxn=a

b)例

1、求极限n!

nlimnn=0 注：n!=1鬃23Ln

1例

2、求极限lim1+2n+nnn

n(3)注：nlima=1(a>0)

骣1n

练习：

1、1n

nlimç? çç桫1+n+

1n÷÷

2÷÷ 注：运用重要极限nlim(1+n)=e2、求n?lim(其中 a1,a2,L,ak为正常数, kÎZ+.)

2.单调数列的收敛准则

a)单调增加有上界的数列必收敛；

b)单调递减有下界的数列必收敛；

通常说成：单调有界的数列必收敛。

例1． 证明lim(1

1n)n

n+=e 注：补充二项式定理

例2．

设x1=10，xn+1={xn}极限存在，并求其极限。例3．

设x1=xn+1={xn}极限存在，并求其极限。注：补充数学归纳法例

1、证明1+3+L+(2n-1)=n2 例

2、证明1+++L+<思考：

1、有界数列是否收敛？

2、数列{xn}收敛是否可推出数列xn}收敛？反之是否成立？

13、数列xn为有界数列，且limyn=0，数列数列xnyn是否收敛？ n{}{}

二、收敛数列的性质

1.极限的唯一性。

2.有界性。问题：有界数列是否收敛？

3.保号性。问题：若xn>0("n N)，且limxn=a，是否一定有a>0？ n

4.收敛数列的子数列必收敛。

思考：（1）数列xn与yn都发散，是否数列xnyn与xn+yn也都发散？

（2）若子列x2n-1与x2n均收敛，则数列xn是否收敛？

（3）设x1>0，xn+1{}{}{}{}{}{}{}1骣1÷÷=çx+，证明数列{xn}极限存在，并求其极限。ç÷nç÷2çxn桫

nn（4）求lim2+3+4n(nn

骣12n÷÷（5）求lim ++L+÷222n÷n+n+1n+n+2n+n+n桫

（6）设数列xn满足：0ìïn2+ïï当n为奇数ïn（7）数列xn=í，则当nï1ï当n为偶数ïïnïî时，xn是

A无穷小量B无穷大量C有界变量D无界变量2

篇2：热闹的教学就一定有生命力吗?

一、电教热

目前的公开课, 几乎每一堂都离不开多媒体。由此可见, 利用多媒体进行教学无疑是一个时代的趋势, 是目前方兴未艾而能各显神通的教学方法, 一本书一支粉笔的时代已经过去, 代替的是先进的硬件辅助。在课件中画面设计可谓精彩纷呈, 文字色彩各不相同, 整个上课过程就是课件不断转换的过程, 一幅接一幅, 图像显示有静态有动态, 文字出现或飞入或旋转, 让人眼花缭乱, 可以想象得出, 老师们为公开课狠下了工夫。一堂课45分钟, 容量大得惊人, 文字量、问题量、练习量等都是靠多媒体的支撑, 否则是绝对完不成的。但在整个过程中, 没有阅读, 没有思考, 没有反馈的时间, 没有做笔记的时间, 整堂课, 学生忙得不亦乐乎。

在这样的多媒体课上, 幻灯字幕代替了板书, 画面欣赏代替了阅读欣赏, 观看代替了思考, 学生脱离了文本, 没有了“读”“感”“悟”的过程 , 游离于课本之外看图画 , 一问一答节奏似乎很紧凑, 但是这样的语文课不由得引起人们的思考:学生究竟能够接受多少? 进入学生脑海究竟有多少?

多媒体越来越多地进入课堂, 电化手段应用于教学, 无疑是高科技带给传统教学手段的福音, 动静皆宜, 图文并茂, 给语文课锦上添花, 但是不能喧宾夺主, 片面追求形式上的“轰轰烈烈”, 这种多“电化”少“人化”的电教热应适可而止。教学手段的现代化取代了丰富复杂的教学过程, 动不动就是画面或结论的所谓时时呈现, 这是时髦的“乌云”, 遮蔽了语文本性的“阳光”。电教不能代表先进的教学理念, 电教课并不一定是好课, 电化教学只能是一种辅助手段, 为教学服务。

二、探究热

自主学习也罢, 探究性学习也罢, 都是新课改下出现的新名词。有些教师一味地追求形式, 把探究性学习当做是一种时尚, 动不动就让学生在课堂上进行分组讨论, 也不充分地把握教材, 把握文本, 思考所学材料知识是否适合这样的学习方式, 有些材料主旨集中单一, 信息明确, 一目了然, 靠听讲、阅读、理解等常规的方式就能掌握。无需探究的地方都要组织学生探究, 导致探究的浅层化和庸俗化。教师要理解探究的主旨, 探就要探在重点、探在难点、探在疑点上。在探究性学习中, 问题是这种学习方式的核心, 能否提出对学生具有挑战性和吸引力的问题, 并使学生树立问题意识, 是探究性学习的关键。没有问题意识就不可能激发学生的求异思维和创新思维从而无从发现和无从探究。语文教师要站在智慧的高地上, 培养学生的问题意识, 激发学生的求异思维和创造性思维, 提出具有挑战性和探究性价值的问题。

三、对话热

“对话”这个词越来越多地出现在理论文本和人们的口头语中, 对话教学理念也进入教师们的头脑中, 但有些教师却忽略其真实内涵, 认为对话就是问答, 一问一答贯穿着整堂课有些问题通俗易懂, 一目了然, 答案唾手可得, 老师也要提问让学生回答。岂不知, 这样毫无意义的提问, 既浪费了时间, 又流于形式, 还不利于启发学生的思维。真正的对话需要深层次的交流碰撞, 是两个相互独立的个体用自己的智慧相互碰撞否则只能是浮在表面, 蜻蜓点水, 徒有虚名, 是两个个性生命形式上的简单位移。

反观语文教育现状, 不难发现:所谓的对话其实只是启发式甚至是满堂灌的一种新包装, 换汤不换药;很多学生的时间浪费在少部分甚至是个别学的话语霸权上, 看上去似是一呼百应, 其实是众口一词;所谓的“对话”丧失在无原则的迁就上, 对学生的回答无论正确与否, 都进行所谓的正面积极评价, 如“对对对”、“是是是”, 从来没有真正意义上的争论辩论。

四、互动热

师生互动合作、平等对话沟通使学生的智慧产生的基质性也是原初性的要素。互动的理念用于课堂, 冲击传统的教师满堂灌、学生被动听的教学方式, 有人就认为, “师生互动, 生生互动”, “动”就好, 动就不会冷场, 动就不会没戏。只要动, 就认定学生已被调动, 积极性就会高。公开课上动不动就是掌声雷动, 笑声阵阵, 表面上学生虽然参与了, 师生互动了, 但没有了思考的时间, 学生的思维并没有真正活跃起来。“沉思”是沉浸于思考, 是一种凝神苦思, 在这样热闹的氛围下学生怎能“沉”得下去 , “思”得起来呢 ?

五、活动热

我们观摩公开课的时候, 常会看到一些老师花大量的精力设计活动, 课堂上师生之间热热闹闹, 演讲、课本剧、辩论等, 花样繁多, 层出不穷, 学生一会儿忙这, 一会儿忙那, 课堂似乎充满盎然生机, 课文也置于一边, 一堂课下来, 只见活动的热闹, 不见文本的有效阐发、挖掘和共鸣, 活动的目的性很差, 没有体会和反思, 事实上这是一种无效劳动。如果课堂上时时只是专注于活动, 一味花力气在活动中创造花样, 脱离偏离、忽略文本, 无异于本末倒置。

纵观目前语文课堂上的新花样, 可谓层出不穷, 凡所应有无所不有。老师注重语文课程改革, 用新的教学理念充实头脑, 并用于教学, 固然是好的, 但是应正确理解其实质内涵, 把握其本质, 灵活运用。在常规教学中, 要全面准确地理解课程课改新理念, 把握学科特点, 达成共识:语文就是语文, 语文姓“语”, 语文课必须上成语文课。把握教材 , 把握文本 , 了解学生 , 精心设计 每一堂课 , 胸有成竹 地走进课 堂 , 丰厚自己 的文化底蕴, 用自己的激情激发学生的学习情趣, “登山则情满于山, 观海则意溢于海”, 这样的常规教学, 定会充满生机和活力。

摘要：本文深入探究了当前中小学语文教学中的热闹现象, 揭示了在热闹的表象下存在的华而不实的东西, 对电教、探究、对话、互动、活动等目前倡导的教学形式进行了剖析, 指出了热闹的教学并不一定充满生机和活力。

篇3：数列有扩充 极限难度低

浙江省数学特级教师，嘉兴市数学会副会长.

推荐名言

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切．

——菲利克斯·克莱因 (德国数学家，发现了“克莱因四元群”和“克莱因瓶”)

数列问题是历年自主招生考试重点考查的内容.它包含着丰富的数学思想和数学方法，形式多变，有一定的难度.在考查数列内容时，一方面会以等差、等比数列为载体考查基础知识，另一方面会以递推数列、数列极限的形式，结合函数、方程、不等式、三角函数、解析几何、立体几何等知识考查同学们的归纳猜想能力、论证能力以及综合分析能力.在解决数列问题时，除了要熟练掌握相关的概念公式，还要善于观察题设特征，联想有关的数学知识和方法，迅速确定解题方向.在论证问题时，还有可能用到数学归纳法.

一、等差数列与等比数列问题

例1 （2009年北京大学自主招生考试第2题） 已知由整数组成的无穷等差数列中依次有三项：13，25，41．求证：2009为其中一项．

解析： 设等差数列｛an｝中依次有三项am=13，an=25，ak=41，公差为d（d≠0）. 要证明2009是｛an｝中的一项，就要证明存在正整数p使ap=2009．由等差数列的通项公式可得25-13=12=（n-m）d，41-25=16=（k-n）d. 若ap＝2009，则ap＝2009=13+（p-m）d，即1996=（p-m）d． 又1996=16+12×165，将（p-m）d＝1996，（n-m）d=12，（k-n）d=16代入，可得（p-m）d＝（k-n）d+165（n-m）d，整理得p=k+164n-164m． ∵ n>m，由m，n，k都是正整数可知p也是正整数，∴ 2009为｛an｝中的一项．

例2 （2011年复旦大学自主招生考试试题） 设含有4个数的数列各项为a1，a2，a3，a4.前3个数构成一个等比数列，其和为k；后3个数构成一个等差数列，其和为9，且公差不为0．对于任意固定的k，若满足条件的数列的个数大于1，则k应满足

A． 12k>27B． 12k<27C． 12k=27D． 其他条件

解析： 我们可以先根据“后3个数构成一个等差数列，其和为9”设出后3个数，再由“前3个数构成一个等比数列”推出第1个数，最后根据“前3个数之和为k”建立等量关系．

设后3个数为a2=3-d，a3=3,a4=3+d. 由前3个数构成一个等比数列可得a1=. 由题意可得+3-d+3=k，整理得d2-9d+27-3k=0． ∵ 满足条件的数列的个数大于1， ∴ Δ＞0，解得12k>27． 选A．

点评： 例2的突破口在于如何设这4个数，难点在于如何将这4个数转化为关于d的二次方程，从而由 Δ＞0求出k的取值范围．

例3 （2009年中国科技大学自主招生考试第14题） 已知A=｛xx=n！+n，n∈N*｝，B是A在N*上的补集． （1） 求证：无法从B中取出无限个数组成等差数列；（2） 能否从B中取出无限个数组成等比数列？试说明理由．

解析： （1） 用反证法证明．设能够从B中取出无限个数组成公差为d的等差数列｛am｝，则am=a1+（m-1）d．当n>d时， ∵ n!+n=n•［（n-1）！+1］， ∴ ［n！+n］，［（n+1）！+（n+1）］，［（n+2）!+（n+2）］，…除以d所得的余数分别与n，n+1，n+2，…除以d所得的余数相同，且这些余数是逐一递增的，当余数取到d-1后，又周期性重复出现． ∴ 存在n0，使得n0！+n0被d除与am被d除的余数相同，这就说明n0！+n0是等差数列｛am｝中的项. 而n0！+n0∈A说明n0！+n0?埸B，∴ 假设不成立，即无法从B中取出无限个数组成等差数列．

（2） 能从B中取出无限个数组成等比数列．例如取bm=5m （m∈N*），∵ n!+n=n［（n-1）！+1］，当n>5时［（n-1）！+1］不能被5整除，∴ 5m?埸A，∴ 5m∈B，数列｛bm｝是B中取出无限个数组成的等比数列．

点评： 解决问题（1）的关键，是理解如果某个数是等差数列｛am｝中的一项，那么这个数被d除所得的余数与数列中任意一项am被d除所得的余数相同. 解决问题（2）则要靠构造法找出不属于集合A但属于集合B的等比数列．

二、递推数列问题

递推数列问题主要考查三种递推数列：线性递推数列、分式型递推数列、混合型递推数列．解决递推数列问题时，如果能求出通项，一般要先求出通项；如果无法求出通项，则要研究递推数列所满足的性质．

例4（2010年“华约”自主招生考试第15题） 函数f（x）=，设x1=3，xn+1=f（xn），ｎ∈N*. 证明： xn-2≤．

补充知识：方程f（x）=x的根叫做函数f（x）的不动点，利用不动点可求出数列的通项公式. 对于an+1=形式的递推数列｛an｝，不动点为方程=x的解. 当方程=x有两个不同的解α，β时，将α，β分别代入an+1=，由＝整理可得＝k•的形式，令bn=，原问题就转化为等比数列问题. 当方程=x只有一个不动点α时，对an+1=两边同时减去α再取倒数，得=，该式可转化为=k+的形式，令bn=，原问题就转化为等差数列问题．

解析： 由题意得xn+1=，设不动点为λ，则λ＝，解得λ＝±2． 由xn+1-λ=-λ可得 xn+1+2=（①），xn+1-2=（②），①式除以②式可得＝-3•. ∵ x1=3， ∴ 数列是首项为5、公比为-3的等比数列， ∴ =5×（-3）n-1，整理可得xn-2=．

要证xn-2≤，只需证明4×3n-1≤5×（-3）n-1-1． 至此，需讨论n的奇偶性．若n=2k（k∈N*），则5×（-3）n-1-1=5×32k-1+1≥4×32k-1；若n=2k-1（k∈N*），则只需证明4×32k-2≤5×32k-2-1，即32k-2≥1，该式显然成立． xn-2≤得证．

例5 （2009年中国科技大学自主招生考试第11题） 正数数列｛xn｝，｛yn｝满足：xn+2=2xn+1+xn，yn+2=yn+1+2yn （ｎ∈N*）． 证明：存在正整数n0，对任意n>n0，xn>yn恒成立．

补充知识：我们把二次方程x2=c1x+c2称为数列递推式an=c1an-1+c2an-2 （n≥3，ｎ∈N*）的特征方程． 设x1，x2是此特征方程的两根（即特征根），则当x1≠x2时，an=α1+α2；当x1=x2时，an=（β1+β2n）． 其中待定常数α1，α2，β1，β2均由初始值a1，a2确定．

解析：例5中的两个递推数列都是线性递推数列，可以用特征根法求出通项公式，再根据数列的特点比较xn和yn的大小．

xn+2=2xn+1+xn对应的特征方程为x2-2x-1=0，其特征根为1-，1+. yn+2=yn+1+2yn对应的特征方程为y2-y-2=0，其特征根为-1，2． 设xn=λ1（1-）n+λ2（1+）n，yn=u1•（-1）n+u2•2n，则有xn-yn=［λ1（1-）n-u1（-1）n］+［λ2（1+）n-u2•2n］． ∵x1=λ1（1-）+λ2（1+），x2=λ1（3-2）+λ2（3+2），｛xn｝，为正数数列，可得λ2＝•x1+x2＞0.同理，u2=（y1+y2）>0． ∵ 1+＞2＞1，λ2＞0，u2>0， ∴ 当n充分大时，λ2（1+）n-u2•2n也充分大.又 λ1（1-）n-u1（-1）n∈（-λ1-u1，λ1+u1），∴存在正整数n0满足xn-yn＝［λ1（1-）n-u1（-1）n］+［λ2（1+）n-u2•2n］＞0，对任意n>n0，xn>yn恒成立．

三、数列极限问题

作为高等数学的基础，数列极限问题在自主招生考试中出现的频率比较高，但难度一般都不大． 求解数列极限问题一般需掌握三个最基本的极限：（1） C=C（即常数列的极限是其本身）；（2） ＝0 （k为常数）；（3） 当q＜1时，qn=0．

例６ （2005年复旦大学自主招生考试第5题） （-）= ．

解析：-）＝==1．

点评：求数列极限的基本思路是“先变形，再根据极限的运算法则求解”． 先把问题转化成为“”或者“”的类型，再借助三个基本的极限求出极限．例6通过分子有理化，把“∞-∞”类型的极限题转化成了“”的类型．

例７ （2007年清华大学自主招生考试第2题） 设正三角形的边长为a，Tn+1 是Tn的中点三角形，An为Tn减去Tn+1后剩下的三个三角形的内切圆的面积之和，求Ak．