具有连续时滞分布的细胞神经网络的收敛性

1引言

众所周知, 具有连续时滞分布的细胞神经网络可以用如下微分方程来描述:

其中方程中的n表示一个细胞神经网络的神经元数目, 表示第i个神经元在时刻t的状态变值, 表示t时刻神经网络在不连通并且无外部附加电压的情况下第i个脱离神经网络的神经元重新恢复静止状态的速率, 表示在时刻t第j个神经元和第i个的关联程度, 表示t时刻第个单元的外部输入, 和表示信号传输的活跃函数。

自从1990年Chua和Yang[1]提出细胞神经网络 (CNNs) 以来, 他们已经成功地运用于信号与图像传输过程, 模型识别和优化中。因此, 近年来CNNs已经成为大多数研究人员集中分析的热点。尤其是 (1) 式中的关于周期解的存在与稳定性问题, 在相关的文献中, 有很多结论, 读者可以在参考文献[2-8]中找到。假设满足以下条件:

这些参考文献的作者大多数人都得出这样一个结论:方程 (1) 的所有解都可以收敛为一个周期函数。但是, 据我们所知, 很少有人在 (H0) 不成立的前提下提出方程 (1) 的所有解具有收敛性。这样, 就值得我们进一步考查这些解的收敛性。本文的主要目的是在 (H0) 不成立的前提下, 给方程 (1) 的所有解的收敛性定义一些新的充分条件。

我们观察下面的时滞细胞神经网络

其中在这个式子中, 因为, 我们可以假定是周期函数。我们也可假定条件 (H1) , (H2) 和 (H3) 成立:

(H1) 对于每个, 存在非负常数和满足不等式

(H2) 存在常数和使得

(H3) 当时,

以下引理将会对2部分中的主要结论产生重要影响。

引理 (1) [7]假设 (H1) 和 (H2) 成立, 那么方程 (2) 就有一个准确的周期解。

方程 (1) 的主要条件可以表示为如下形式:

当在实数集内是连续函数, 由, 我们定义如下公式:

2主要结论

定理 (5) 设 (H1) , (H2) 和 (H3) .假设是式 (2) 的周期解, 那么对于方程 (1) 的每一个解都有任意初值, 使成立。

其中因为是周期函数, 且 (H2) 和 (H3) 成立, 那么, 我们可以选取足够大的常数T>0, 使

设是方程 (1) 的一个解, 有任意初值, 且定义

那么

设是这样一个指数 (8)

利用 (7) 式计算导出中的值, 因为 (5) 和 (H1) 成立, 所以

显然, 且M (t) 是单调递减的。下面, 让我们来看两个例子

例 (Ⅰ) 假设 (11)

那么, 我们可以得出:M (t) ≡M (T) .是一个常数 (12)

如果这一条件不满足, 则 (12) 式不成立。那么就存在有t1>T, 使得M (t1) >M (T) 。因为

必定存在使得,

而这与 (11) 相矛盾, 这恰好表明 (12) 成立, 也可以表示如下:

例 (Ⅱ) 假如有这样一点t0≥T, 使得。那么, 由 (6) 和 (9) 式, 我们可以得出:

另外, 如果, 那么M (t) 在区间上严格单调递减。

这与M (t) 不是单调递减相矛盾。所以, (15

因为, 由 (15) 可得: (16)

另一方面, 如果我们可以选定使得并且。

用与例 (Ⅰ) 类似的方法, 我们可以看出:M (s) ≡M (t3) 是一个常数 (17)

这就表明。总之, 必定存在N>0对于所有的t

3一个实例

在这个部分, 我们举一个例子来论证前面的部分所得到的主要结论。

例 (18) 我们看下面这个连续分布细胞神经网络:

其中,

再看下面这个CNNs

因为式子 (18) 和 (19) 满足 (H1) 、 (H2) 和 (H3) , 所以, 由引理 (1) 和定理 (5) , (19) 式有一个准确的周期解, 并且 (18) 式的所有解收敛于 (19) 式的周期解。

注释 (18) 因为CNNs (18) 是一个没有周期系数的关于时滞神经网络的一种简单形式, 所以, 参考文献

[2—8]的所有结论都不适用于证明 (18) 式的所有解的收敛是一个周期函数, 这就表明, 本文的主要结论基本上是最新的。

摘要：本文主要研究没有周期系数的连续时滞分布的细胞神经网络的收敛性, 给出了解决该网络问题的一些新的充分条件, 并补充说明了前人研究所得出的结论。

关键词：细胞神经网络,收敛指数,连续时滞分布

参考文献

[1] L.O.Chua, T. Roska, Cellular neural networks with nonlinear and delay-type template elements, in:Proc.1990 IEEE Int. Workshop on Cellular Neural Networks and Their Applications, 1990, pp.12-25.

[2] J.Cao, New results concerning exponential stability and periodic solutions of delayed cellular neural networks with delays, Physics Letters A 307 (2003) 136-147.

[3] H. Huang, J. Cao and J. Wang, Global exponential stability and periodic solutions of recurrent cellular neural Networks with delays, Physics Letters A 298 (5-6) (2002) 393-404.

[4] Q. Dong, K. Matsui and X. Huang, Existence and stability of periodic solutions for Hopfield neural network Equations with periodic input, Nonlinear Analysis 49 (2002) 471-479.

[5] Z. Liu and L.Liao, Existence and global exponential stability of periodic solutions for cellular neural networks with timevary delays, Journal of Mathematical Analysis And Applications, 290 (2) (2004) 247-262.

[6] B. Liu and L. Huang, Existence and Existence and exponential stability of periodic solutions for cellular neural networks with time-varying delays, Physics Letters A, 349 (2006) 474-483.

[7] L. Lu and T. Chen, On periodic Dynamical systems, Chinese Annals of Mathematics, B (25) (2004) 455-462.

[8] K. Yuan, J. Cao and J. Deng, Exponential stability and periodic solutions of fuzzy cellular neural networks With time varying delays, Neurocomputing, 69 (2006) :1619-1627.

[9] A. Berman and R. J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Science, Academic Press, New York, 1979.