取值范围问题

取值范围问题（精选十篇）

取值范围问题 篇1

“最值法”、“分离参数法”真的能解决所有问题吗 ? 高考参考答案的解法真的如同文所说“非解答此类问题的通性方法”.恰恰相反,笔者认为解决此类问题,需要突出函数观点,通过构造函数,利用函数与方程的思想及分类讨论策略;利用导数的相关性质.与此同时,还着重介绍了如何更好地构造函数,解决含参数不等式恒成立问题.本文将主要介绍如何构造函数,如何分类讨论.为此,本文将以问题1(2014年理科数学山东卷第20题) 和问题2 (2014年理科数学四川卷第21题)为例, 研究函数思想在参数问题中的运用.“最值法”“分离参数法”显然不适用于这两道题,它们的参考答案就是设法通过分类讨论判断导函数的符号,然后运用函数单调性求解,为大家更好地掌握构造函数与分类讨论在参数问题中的运用. 本文希望能在这方面起抛砖引玉的作用.

问题1:设函数

(1)当k≤0时 ,求函数f(x)的单调区间.

(2)如函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.

分析:1.易知f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).

2.函数是中学阶段的教学重点 ,针对此题 ,我们要让学生知道,分类讨论及函数单调性是解决此类问题的根本方法.学生的解题思路不能被“最值法”“分离参数法”禁锢了.

由(1)易得, 且定义域为 (0,+∞). 本文要考虑函数f(x)在区间内的极值点问题,也即是导函数在区间内的零点问题.对于考虑函数的零点问题,首先,如果是二次函数,可以运用韦达定理和根的分布,进行分类讨论.其次,如果是一般函数,可以运用零点定理.

零点定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号 (即f(a)f(b)<0),那么在开区间 (a,b)内至少有一个点ξ(ξ∈(a,b)),使得f(ξ)=0.

观察本题,因为所给区间为(0,2),所以不可能为0.那么,我们构造一个新函数g(x)=ex-kx,只需要考虑g(x)在区间(0,2)内存在两个零点.如果知道g(x)在 (0,2)的单调性 ,再结合零点定理,问题就迎刃而解.由(1)知k≤0时,f(x)在区间(0,2)内单调递减,则f(x)在区间(0,2)内不可能有两个极值点.所以分类如下:第一种情况k≤0(不满足);第二种情况k>0.

当k>0时,g (x)=ex-kx,x∈(0,+∞),g′(x)=ex-k, 易知x∈(0,2),ex>1,则0<k≤1时 ,g′(x)>0,显然不满足.下一步 ,当k>1时,此时方程g′(x)=0有解,解得x=lnk,则g(x)在(0,lnk)单调递减,在(lnk,+∞)上单调递增.要使g(x)在(0,2)内有两个零点,则应满足:

本题的两个关键点:1. 怎么对k进行讨论, 实际上就是g′(x)=0有解和无解 , 其中在方程无解的时候又包含两种情况(一种g′(x)>0,x∈(0,2),另一种g′(x)<0,x∈(0,2)).2.怎么由单调性应用零点定理,这就要考虑根的分布思想.

问题2:设函数f(x)=ex-ax2-bx-1,(a,b∈R,e=2.71828… ).(1)设g(x)是函数f(x)的导函数 ,求函数g(x)在区间 [0,1]上的最小值;

(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间 (0,1)内有零点 ,求a的取值范围.

分析:1.易知g(x)=f′(x)=ex-2ax-b,g′(x)=ex-2a,x∈[0,1].

要讨论函数g(x)在区间上的最值,那就要讨论函数的单调性,进而就要对g′(x)的正负进行讨论.易知,1≤ex≤e,x∈[0,1].

(1)g′(x)≥0,即a≤1/2,此时g(x)在 [0,1]上单调递增 ,gmin(x)=g(0)=1-b;

(2)g′(x)≤0,即a≥e/2,此时g(x)在 [0,1]上单调递减 ,gmin(x)=g(1)=e-2a-b;

(3)1/2<a<e/2,当0<x<ln(2a)时 ,g′(x)<0;当ln(2a)<x<1时 ,g′(x)>0,gmin(x)=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.

2.由f(1)=0, 得b=e-a-1, 同时 ,f (0)=0. 而函数f (x) 在区间(0,1) 内有零点 , 则函数f (x) 在区间 (0,1) 内至少有两个极值点.由1知,a≤12和a≥e2时,g(x)在[0,1]上单调,不满足要求.则只考虑1/2<a<e/2,此时gmin(x)=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)e+1.

下面要考虑gmin(x)和0的关系 ,令h(x)=3x/2-xlnx-e+1(1<x<e),这一步要用到换元思想 ,并且要注意换元之后的范围.

解析几何中求参数取值范围的方法 篇2

曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)

求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.

解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1

又∵线段AB的垂直平分线方程为

y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2

又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点

∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.

分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.

解: 依题意有

∴tanθ=2S

∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

又∵0≤θ≤π

∴π4 <θ< p>

例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )

A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>

分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.

解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a

得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0

∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立

又∵ y02≥0

而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )

二、利用判别式构造不等式

在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.

例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )

A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]

分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0

解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)

由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0

∵直线L与抛物线有公共点

∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)

例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.

分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.

解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0

∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则

解得 -2<-2< p>

三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.

例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点，求实数a的取值范围.

分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.

解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。

当A、B同时在椭圆内，则

解得a >17

当A、B同时在椭圆外，则

解得0<6< p>

综上所述，解得0<6 或a>17

例7若抛物线y2=4mx (m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部，求实数m的取值范围.

分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.

解：∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部，

∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3

又∵m≠0

∴-3 <0或0<3< p>

四、利用三角函数的有界性构造不等式

曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,

求实数a的取值范围.

分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.

解：设椭圆的参数方程为 (θ为参数)

代入x2=2y 得

4cos2θ= 2(a+sinθ)

∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178

又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

例9 已知圆C：x2 +(y-1)2= 1上的点P(m,n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c的取值范围

分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.

解：∵点P在圆上，∴m = cosβ,n = 1+sinβ(β为参数)

∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin(β+ π4 )+1

∴m+n最小值为1-2 ，

∴-(m+n)最大值为2 -1

又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立

∴c≥2 -1

五、利用离心率构造不等式

我们知道，椭圆离心率e∈(0,1)，抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.

例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.

分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.< p>

解：依题意得F的坐标为(2,0)，L:x = 32

设椭圆中心为(m,0)，则 m-2 =c和 m-32 = a2c

两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2

∵0<1，∴0<1,解得m>2，

又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上，

∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,

∴- 3k >2，解得-32 <0< p>

上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。

★ 《离子》教学反思

★ 平衡车范文

★ 范围近义词

★ 范围近义词

★ 求职信范围

★ 落花生读后感范围

★ 党费怎么计算

★ 离子色谱分析中的几个问题探讨

★ 《郁离子》节选阅读附答案

双曲线条件的取值范围问题 篇3

例1 如图，A、B是双曲线y=的一个分支上的两点，且点B（a，b）在点A的左侧，则b的取值范围是 .

分析：由点B（a，b）在双曲线y=上，那么b=. 要确定b的取值范围，应先求k的值和确定a的取值范围.

解：显见，点A的坐标为（1，2）.

因为点A、点B都在双曲线y=上，

所以2=，b=.

所以k=-2，b=.

因为点B（a，b）在点A的左侧，

所以a<-1.

所以-1<<0，-2<<0.

所以b的取值范围是-2

例2 如图，已知M（2，1）、N（2，6）两点，反比例函数y=与线段MN相交于点Q（2，m），则k的取值范围是（ ）.

A. 1≤k≤6B. 2≤k≤12C. 4≤k≤24D. k≤4或k≥24

分析：注意到点Q（2，m）在反比例函数y=的图象上，那么k=2m. 要确定k的取值范围，应先确定m的取值范围.

解：由M（2，1）、N（2，6）两点的横坐标相同，得MN⊥x轴.

因为点Q（2，m）在线段MN上，

所以1≤m≤6.

因为点Q（2，m）在反比例函数y=的图象上，

所以m=，k=2m.

所以2≤k≤12，应选B.

例3 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E. 已知C点的坐标是（6，-1），DE=3.

（1）求反比例函数与一次函数的解析式.

（2）若一次函数的值大于反比例函数的值， 请确定x的取值范围.

分析：（1）根据点C的坐标，可求出反比例函数的解析式；注意到点C、点D都在一次函数y=kx+b的图象上，要求一次函数的解析式，应先确定点D的坐标.（2）要确定使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围，只需看看x取什么值时，一次函数y=kx+b对应的图象高于反比例函数y=对应的图象.

解：（1）依题意，在y=中，x=6时，y=-1.

所以m=-6.

所以反比例函数的解析式为y=-.

因为DE⊥x轴于点E，DE=3，

所以点D的纵坐标为3.

因为点D在反比例函数y=-的图象上，

所以点D的横坐标为-2，点D的坐标为（-2，3）.

因为点C（6，-1）、点D（-2，3）都在一次函数y=kx+b的图象上，

所以6k+b=-1，-2k+b=3.

所以k=-，b=2.

所以一次函数的解析式为y=-x+2.

（2）注意到点D的横坐标为-2，点C的横坐标为6，

所以x的取值范围为x<-2，或0

例4 如图，已知点A（2，6）、B（3，4）在双曲线y=上.

（1）求此双曲线对应的函数解析式；

（2）若直线y=mx与线段AB相交，求m的取值范围.

分析：（1）确定反比例函数的解析式，只需确定反比例函数上一个点的坐标即可.（2）设直线y=mx与线段AB的交点为P（x，y），

则m=. 为此，只需确定的取值范围.

解：（1）由点A（2，6）是反比例函数y=图象上的一点，得6=.

所以k=12.

所以此双曲线对应的函数解析式为y=.

（2）设直线y=mx与线段AB的交点为P（x，y），则m=.

因为点P（x，y）在线段AB上，

所以2≤x≤3，4≤y≤6.

所以≤≤.

所以m的取值范围为≤m≤3.

有关字母取值范围问题归类解析 篇4

(一) 代数式中含字母的取值范围问题

故a的取值范围是1≤a≤3.

小结数学公式的应用条件或性质是打开代数式中含字母的取值范围问题大门的重要钥匙.像例1就是利用数学公式“”的应用条件, 从而建立关于所求字母的不等式组进行求解.

(二) 方程 (组) 中含字母的取值范围问题

例2已知关于x的方程4x2+4 (m-1) x+m2=0有两个非零实数根x1和x2, 若x1与x2同号, 则m的取值范围是__.

解∵方程有两个非零实数根,

∴Δ=[4 (m-1) ]2-4×4×m2=-32m+16≥0,

∴此种情况不符合要求,

故m的取值范围是.

小结求解方程 (组) 中含字母的取值范围问题的步骤是先把该字母看作已知量, 并用该字母的代数式表示出原方程 (组) 的根, 然后再结合题设有关条件进行求解.像例2则先用判别式确定所要求解字母的取值情况, 再由根与系数的关系式确定两根同号时所要求解字母的取值范围.

(三) 不等式 (组) 中含字母的取值范围问题

例3如果不等式3x-m<0的正整数解是1, 2, 3, 则m的取值范围是__.

解得9

故m的取值范围是9

小结求解不等式 (组) 中含字母的取值范围问题的步骤是先把该字母看作已知数, 并用含该字母的代数式表示出不等式组的解集, 然后再结合题意建立新的不等式 (组) 进行求解.

(四) 函数关系式中含字母的取值范围问题

例4若直线y=3x-1与y=x-k的交点P在第四象限, 则k的取值范围是__.

(五) 几何图形中含 (动点) 字母的取值范围问题

例5已知两圆相交, 其圆心距为6, 大圆半径为8, 则小圆半径r的取值范围是__.

解∵两圆相交, ∴0<8-r<6, 解得2

故小圆半径r的取值范围是2

例6如图1所示, 已知∠BAC=45°, 一动点O在射线AB上运动 (点O与点A不重合) , 设OA=x, 如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点, 则x的取值范围是 () .

解过点O作AC的垂线, 垂足为F.若F在⊙O上, 即OF=1时, OA最大, 由∠OAF=∠BAC=45°, ∠OFA=90°, 得, 又∵点O与点A不重合, ∴x>0.故x的取值范围是, 即选A.

小结求解几何图形中含 (动点) 字母的取值范围问题的数学思想是极限思想, 其求解关键在“以静观动”, 即把动点放到极端位置上去考虑字母的取值范围.像例6把动点置于两个极端位置去寻找字母的最大值和最小值, 从而有效地求解 (动点) 字母的取值范围问题.

利用导数求参数的取值范围 篇5

【例1】 已知函数f（x）=x3-ax2+bx+5（a，b∈R）.若g（x）=f（x）-（b-1）x-5，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围.

方法一：构造函数法

综上所述，a的取值范围为a≤2.

小结：法二首先判断函数的单调性，再确保问题中的区间是函数的单调递增（递减）区间的一个子区间，则可解决问题.

方法三：利用方程根的分布

小结：法三求出g′（x）后，若能因式分解，则讨论g′（x）两根的大小，判断g（x）的单调性，若不能因式分解，则利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题来解决问题.

一般来说，数学中高次函数的题目都可以利用导数来解题.学会利用导数的几何意义、单调性、极值及最值等，加上数形结合的思想，并恰当地选择计算量比较少，又形象直观的方法，那么求参数的取值范围的问题就会迎刃而解了.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

导数是高等数学的基础部分，因而近几年来，导数是高考的必考题目.导数具有运算量大、思维灵活多变、解题方法多种多样等特点.如何利用导数求参数的取值范围既是考试的重点又是难点.利用导数求参数的取值范围的题型亦复杂多变，本文主要浅析已知函数在给定区间上的单调性，求参数的取值范围，常见方法如下.

【例1】 已知函数f（x）=x3-ax2+bx+5（a，b∈R）.若g（x）=f（x）-（b-1）x-5，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围.

方法一：构造函数法

综上所述，a的取值范围为a≤2.

小结：法二首先判断函数的单调性，再确保问题中的区间是函数的单调递增（递减）区间的一个子区间，则可解决问题.

方法三：利用方程根的分布

小结：法三求出g′（x）后，若能因式分解，则讨论g′（x）两根的大小，判断g（x）的单调性，若不能因式分解，则利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题来解决问题.

一般来说，数学中高次函数的题目都可以利用导数来解题.学会利用导数的几何意义、单调性、极值及最值等，加上数形结合的思想，并恰当地选择计算量比较少，又形象直观的方法，那么求参数的取值范围的问题就会迎刃而解了.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

导数是高等数学的基础部分，因而近几年来，导数是高考的必考题目.导数具有运算量大、思维灵活多变、解题方法多种多样等特点.如何利用导数求参数的取值范围既是考试的重点又是难点.利用导数求参数的取值范围的题型亦复杂多变，本文主要浅析已知函数在给定区间上的单调性，求参数的取值范围，常见方法如下.

【例1】 已知函数f（x）=x3-ax2+bx+5（a，b∈R）.若g（x）=f（x）-（b-1）x-5，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围.

方法一：构造函数法

综上所述，a的取值范围为a≤2.

小结：法二首先判断函数的单调性，再确保问题中的区间是函数的单调递增（递减）区间的一个子区间，则可解决问题.

方法三：利用方程根的分布

小结：法三求出g′（x）后，若能因式分解，则讨论g′（x）两根的大小，判断g（x）的单调性，若不能因式分解，则利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题来解决问题.

一般来说，数学中高次函数的题目都可以利用导数来解题.学会利用导数的几何意义、单调性、极值及最值等，加上数形结合的思想，并恰当地选择计算量比较少，又形象直观的方法，那么求参数的取值范围的问题就会迎刃而解了.

取值范围问题 篇6

关于自变量的取值范围讨论, 主要包含两个方面, 一是:自变量取值使函数解析式有意义;二是:自变量取值使实际问题有意义.

一、当函数关系不具有实际意义或几何意义, 而且函数关系可以用解析式表示时, 其自变量的取值范围的确定要保证使这个解析式有意义.

如:分式的分母不能等于零;负数不能开偶次方;在a0=1中, a≠0等等, 确定函数的自变量的取值范围的常见方法归纳如下:

1.函数的解析式是一个整式时, 自变量的取值范围是全体实数.

【例1】求函数的自变量x的取值范围.

解:∵是一个整式, ∴使有意义的自变量x的取值范围是全体实数.

2.函数解析式是一个分式时, 自变量的取值不能使分母等于零.

【例2】求函数中自变量x的取值范围.

解:∵是一个分式, ∴分母2x+1≠0, 即.因此x的取值范是的任何实数.

3.函数的解析式是一个根式时, 有两种情形: (1) 偶次根号下的自变量不能取使被开方数为负数的值; (2) 奇次根号下的自变量的取值范围是全体实数.

【例3】 (1) 求函数的自变量x的取值范围.

解:使有意义, 即x-5≥0, 即x≥5.

因此x的取值范围是x≥5.

(2) 求函数的自变量x的取值范围.

解:使有意义, 自变量x可以取全体实数.

4.函数解析式中出现零指数和负指数时, 根据零指数和负指数的意义, 幂的底数不等于零.

【例4】求函数y= (x+1) 0的自变量x取值范围.

解:要使 (x+1) 0有意义必须x+1≠0, 即x≠-1因此x的取值范围是x≠-1.

5.函数的解析式以复合形式出现时, 自变量的取值范围必须保证解析式的每一部分都有意义, 一般要通过解不等式组, 并结合数轴来确定.

【例5】求函数中自变量x的取值范围.

解:要使同时有意义, 必须

∴x的取值范围是-1≤x≤2.

二、当函数关系具有实际意义或几何意义时, 其自变量取值范围的确定, 除了使函数解析式有意义外, 还要注意问题的具体条件, 保证使自变量和函数都具有实际意义或几何意义.

【例6】某种铅笔每枝3角, 写出总钱数y与售出的铅笔数x之间的关系式, 并求出x的取值范围.

解:总钱数y与售出的铅笔数x之间的关系式是:y=3x,

x的取值范围是:x为大于或等于零的整数.

分析:如果x取负数或分数, 那就失去了铅笔枝数的意义.

【例7】拖拉机开始工作时, 油箱中有油40升, 如果每小时耗油6升, (1) 求油箱中的余油量Q (升) 与工作时间t (时) 之间的函数关系式; (2) 写出自变量t的取值范围.

(2) ∵余油量Q与工作时间t都不能为负数.

∴t的取值范围是:0≤t≤.

【例8】已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE (如图) , 其中, AF=2, BF=1, 点P是AB上的一个动点, 过点P作CF的平行线交EF于点Q, 交CD于点N, 过点P作CD的平行线交DE于点M.设PQ=x, 问当x为何值时, 矩形PNDM的面积最大?

解:由PQ∥CF知△APQ∽△ABF,

∴矩形PNDM的面积.

∵二次项系数为-2, ∴当时, 有最大值, 最大值为.

分析:这是一个错误的答案, 二次函数的最大值并不是实际问题的最大值, 学生在解这类题型时, 出现这样的错误, 是因为没有考虑x的实际意义.x表示线段PQ的长, 它的取值范围是:0≤x≤1, 在函数中, 当0≤x≤1时, y随着x的增大而增大, 所以当x=1时, y有最大值, 这时最大值y=-2×12+6×1+8=12.

取值范围问题 篇7

关键词：最值,取值范围,函数,不等式,构造法

一、函数 ( 一元二次方程) 视角

求解最值 (取值范围) 问题, 有时可先把所求解的问题转化为一元函数问题, 再求这个一元函数的最值 (值域) :对于高次的情形, 也可用导数来解决;有时也用一元二次方程由实数解的充要条件是其判别式 Δ ≥0 来求解.

例1 ( 2010 年全国高中数学联赛河北赛区预赛第11 题) 已知二次函数y = ax2+ bx + c ≥ 0 ( a < b) 对任意的x ∈ R恒成立, 则的最小值为______.

解:可得0<a<b, b2-4ac≤0.

设b/a=t (t>1) , 得

当且仅当a∶b∶c=4∶12∶9时, Mmin=8.

下面的题2与题1完全类似.

例2若, 二次函数f ( x) = ax2+ bx +c ( a < b) 的函数值为非负数, 求的最小值.

所以所求最小值为3.

可得当且仅当b=c=4a时所以的最小值是3.

解法3:得f (-2) =4a-2b+c≥0, a+b+c≥3 (b-a) , 又b>a, 所以

例3若x, y∈R+, 且, 则xy的取值范围为_____.

解:[1, 8/3].设xy=t (t>0) , 可得题设即关于x的一元二次方程

(t+4) x2-10tx+3t2+2t=0.

有正数解.

由韦达定理可知, 该一元二次方程若有解, 则这两个解均是正数, 所以题设即以上方程有实数解, 也即判别式Δ≥0, 进而可得答案.

例4已知x, y, z∈[0, +∞) , x+y+z=1求w=4x3+3y2+3z的取值范围.

解:一方面, 有

进而可得, 当且仅当x =1/2时, f (x) min=5/4.

所以当且仅当 (x, y, z) == (1/2, 1/2, 0) 时, wmin=5/4.

另一方面, 有

设g (x) = 4x3- 3x + 3 (0 ≤ x ≤ 1) , 得

进而可得, 当且仅当x = 1 时, g (x) max= 4.

所以当且仅当 (x, y, z) = (1, 0, 0) 时, wmax=4.

所以w的取值范围是[5/4, 4].

例5若实数a, b, c满足求a的最小值.

解:可得, 所以b, c是关于x的一元二次方程x2-2ax+a2-a+1=0的两个实数根, 所以

进而可得:当且仅当b = c = 1 时, amin= 1.

二、换元视角

有时用换元法 (包括三角换元、构造对偶式等等) 也可简洁求解某些最值 (取值范围) 问题.

例6 已知x, y ∈ R, 且x2+ y2≤ 1, 则x + y- xy的最大值为_____.

解法1可设x = rcosθ, y = rsinθ (0 ≤ r ≤1, 0 ≤θ ≤ 2π) .

当r = 0 时, x = y = 0, 所以x + y - xy = 0.

当0 < r ≤ 1 时, 得x + y - xy = r (sinθ + cosθ) -r2sinθcosθ.

当且仅当即 (x, y) = (1, 0) 或 (0, 1) 时 (x + y - xy) max= 1.

所以所求最大值为1.

解法2设x + y = t, 得

所以

当且仅当 (x, y) = (1, 0) 或 (0, 1) 时 (x+yxy) max=1.

例7求函数的最大值.

解法1:设, 得, 所以

因为y是u的减函数, 所以可得当且仅当u = 2 即x = 1 时,

两次使用均值不等式, 可得 ( 当且仅当x = 1 时取等号) .

又yz = 1, 得, 所以当且仅当x = 1 时,

例8已知a, b, c∈R+, abc=1, 求的最小值.

由柯西不等式, 可得

(当且仅当x=y=z时取等号)

即当且仅当a=b=c=1时, Smin=1.

解:可设

由三元均值不等式, 可得

(当且仅当a=b=c=d即x1=x2=x3=x4=3时以上等号同时取到)

所以当且仅当x1=x2=x3=x4=3时, (x1x2x3x4) min=34=81.

三、配方视角

例10 求x2+ y2+ xy - 3 ( x + y - 1) ( x, y ∈ R) 的最小值.

进而可得所求最小值是0 (当且仅当x = y = 1 时取到最小值) .

进而可得所求最小值是0 (当且仅当x = y = 1 时取到最小值) .

进而可得所求最小值是0 (当且仅当x = y = 1 时取到最小值) .

进而可得所求最小值是0 (当且仅当x = y = 1 时取到最小值) .

四、几何视角

有时用平面几何中关于最值的结论“两点之间, 线段最短” (包括“三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”) 、“垂线段最短”也可简洁求解某些最值 (取值范围) 问题, 有时还须用到平面解析几何知识作图.

例11 设xk、yk ( k = 1, 2, 3) 均为非负实数, 则

解:2007.在平面直角坐标系x Oy中, 设A (0, 2007) , P1 (x1+x2+x3, y1) , P2 (x2+x3, y1+y2) , P3 (x3, y1+y2+y3) , 得

当且仅当点O, P1, P2, P3, A依次是y轴非负半轴上的五点即x1= x2= x3= 0 ≤ y1≤ y1+ y2≤ y1+ y2+ y3≤ 2007 时, 所求最小值为2007.

例12 已知二次函数f ( x) = ax2+ ( 2b + 1) x - a - 2 ( a、b ∈ R, a ≠ 0) 在区间[3, 4]上至少有一个零点, 求a2+ b2的最小值.

解:设x0 (3 ≤ x0≤ 4) 是函数y = f (x) 的一个零点, 得

所以点P (a, b) 为直线l: (x02- 1) a + 2x0b + x0- 2 =0 上的动点.

设O (0, 0) , 由点到直线的距离公式及垂线段最短, 可得

设x0-2=t (1≤t≤2) , 可得

进而可得当且仅当t = 1 即x0= 3 也即时, (a2+ b2) min=1/100.

例13 (2011年全国高中数学联赛福建赛区预赛第6题) 设实数x, y满足3x2+4y2=48, 则的最大值为______.

解:在平面直角坐标系x Oy中, 点P (x, y) 在椭圆Γ:上.

椭圆 Γ 的左、右焦点分别是F1 ( - 2, 0) , F2 (2, 0) , 长轴长是8.

设点A (1, - 2) , 射线AF1与椭圆 Γ 的焦点是P', 得

点A是圆x2+ y2= 2 上的动点, 点B是双曲线xy= 9 上的动点 ( 可证圆与双曲线无公共点, 两者均关于直线y = x对称) .

设圆、双曲线与直线y=x在第一象限的交点分别是C (1, 1) , D (3, 3) , 再由圆与双曲线的凹凸性可得, zmin=|CD|2=8.

五、均值不等式视角

很多最值 (取值范围) 问题, 可用均值不等式来求解, 要注意其中的凑配技巧是待定系数法.

例15若m, n∈ (0, 1) , 则的最大值为______.

解:1/8. 设1 - m - n = p (0 < p < 1) , 由均值不等式, 可得

进而可得, 当且仅当m = n =1/3时,

例16若x, y ∈ R+, 且x + y + z = 6, 则的最大值为.

解:8. 由均值不等式, 可得

把它们相加后, 可得

例17 若a, b, c ∈ R+, 且a + 3b + c = 9, 则a + b2+ c3的最小值为______.

解:.由均值不等式, 可得

注:本题是借助均值不等式将a+b2+c3缩小成定值k (a+3b+c) (k是正常数) .可考虑

令2β = 3, 3γ2= 1, 从而可得上述证法.

例18 若x, y, z ∈ R+, 且x2+ y2+ z2= 1, 则的最小值为_______.

例19 设x∈ (0, π/2) , 则函数的最小值为_______.

解:68. 由均值不等式, 可得

取值范围问题 篇8

转化策略一：构造关于目标参数的不等式。

建立关于目标参数的不等式，然后解出不等式，即可得到所求参数的取值范围。建立目标参数的不等式有多种途径，常见的有：圆锥曲线的x、y取值范围，函数的有界性、判别式、基本不等式及位置关系(点与曲线、曲线与曲线)等。通过解不等式求参数的取值范围特别要注意必须进行等价变换，否则会扩大或缩小参数的取值范围。

例1 (2004重庆卷10题)：已知双曲线， (a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()。

分析：因题意涉及双曲线的焦半径，故可考虑利用双曲线的两种定义。若用第一定义根据焦半径存在一个取值范围，能列出关于离心率的不等式;若用第二定义(焦半径公式)根据双曲线上的点的坐标存在的取值范围，也能列出关于离心率的不等式。

略解1：由双曲线的定义可得：

略解2：∵点P (x, y)在双曲线的右支上，由焦半径公式可得：

说明：通过构造关于目标参数的不等式来确定参数的取值范围，其关键在于利用何种途径来建立目标参数的不等式，选择方案往往灵活多变。学生这需要积累解题经验，反复地推敲。另外，严格地说，这样求出的取值范围还需检验，因为求参数的取值范围是寻找适合题意的充要条件。

转化策略二：构造关于目标参数的函数式。

建立关于目标参数的函数，然后求出函数的值域，则得到所求参数的取值范围。通过求函数的值域来确定参数的取值范围特别要注意函数的定义域对其值域的影响。

例2 (2004全国理科第21题)：给定抛物线C:y2=4x, F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。

(Ⅰ)设l的斜率为1，求的夹角的大小;

(Ⅱ)设，求l在y轴上截距的变化范围。分析：(Ⅰ)设向量的夹角为α，直线与抛物线C的交点的坐标设为A (x1, y1), B (x2, y2)，则有：形式(因为分子中纵坐标为一次式，分母中纵坐标为二次式，故分子用直线方程转化为横坐标，而分母则恰好可以用抛物线方程转化为横坐标)。

(Ⅱ)由，注意到点A (x1, y1), B (x2, y2)满足y12=4x1, y22=4x2，则四个未知数x1, y1, x2, y2都可以用λ表示，所以直线在y轴上的截距可以表示成λ以为自变量的函数。

略解：(Ⅰ)焦点为F (1, 0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1。联立方程组并整理得：x2-6x+1=0。则有x1+x2=6, x1x2

大小为

由上是递减的，直线l在y轴上截距的变化范围为。

说明：这种策略的关键在于选择合适的自变量来建立函数关系，自变量的选择往往决定着这种策略是否成功及其难易的程度，还要特别注意函数的定义域对值域的影响。自变量的选择标准是： (1) 与目标参数的依存关系很明显; (2) 构造出的函数关系式简洁而较容易求出值域; (3) 容易找出自变量的取值范围。

取值范围问题 篇9

一、直接求出 a、c,求解离心率 e

已知圆锥曲线的标准方程或a,c易求时,可利用率心率公式e =c/a来解决.

例1( 2013·浙江) 如图,F1,F2是椭圆C1:与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是() .

解析如右图由直线方程为y =槡3( x + c) ,知∠MF1F2= 60°,又∠MF1F2= 2∠MF2F1.

二、构造 a、c 的齐次式,求解离心率 e

根据题设条件,借助a,b,c之间的关系,构造a,c的关系( 特别是齐二次式) ,进而得到关于e的一元方程,从而解得离心率e.

例2 ( 2014·重庆高考理第8题) 设F1,F2分别为双曲线) 的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得b,则该双曲线的离心率为( ) .

解析不妨设P为双曲线右支上一点,根据双曲线的定义有PF1- PF2= 2a,联立PF1+ PF2= 3b,平方相减得,则由题设 条件得,

故选B.

三、采用离心率的定义以及椭圆双曲线的定义求解离心率 e

例3设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是() .

故选B.

四、建立等量关系求解离心率 e

例4 ( 2009·全国卷Ⅰ) 设双曲线的渐近线与抛物线y = x2+ 1相切则该双曲线的离心率等于( ) .

∵渐近线与抛物线相切,Δ = b2- 4a2= 0,

变式练习: ( 2013·四川) 从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP( O是坐标原点) ,则该椭圆的离心率是() .

解析由题意可设P( - c,y0) ,( c为半焦距) ,

五、运用函数思想求解离心率的范围

例5 ( 2008·全国卷 Ⅱ) 设a > 1,则双曲线的离心率e的取值范围是( ) .

解析由题意及正弦定理,

六、构建关于 e 的不等式,求离心率 e 的取值范围

例6( 2013·重庆) 设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2使︱A1B1︱= ︱A2B2︱,其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) .

解析由双曲线的对称性知,满足题意的这一对直线也关于x轴( 或y轴) 对称. 由题意知有且只有一对这样的直线,故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于或等于60°,

变式练习: 已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是() .

A. [1,2]B. ( 1,2)

C. [2,+ ∞ )D. ( 2,+ ∞ )

解析双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

∴e≥2,故选C.

结束语

圆锥曲线离心率的取值范围求解方法 篇10

一、利用定义

例1：已知双曲线■-■=1，（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点Ｐ在双曲线的右支上，且ＰＦ■＝４ＰＦ■，则此双曲线离心率е的取值范围。

解：由题意联想到双曲线定义ＰＦ■＝ＰＦ■=2a， ＰＦ■＝４ＰＦ■∴ＰＦ■＝■a

∴PF■≥c-a得■a≥c-a即е=■≤■∴е?缀１，■。

二、利用方程求解

例2：设Q是椭圆■-■=1，（a>0，b>0）的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上存在点P，使得∠OPQ=90°知，求椭圆的离心率的取值范围。

解：设p（x，y），则由∠OPQ=90°知，■-■=-1 ，即x（x-a）+y2=0又■+■=1两式联立消去y得，（a2-b2）x2-a3x+a2b2=0。显然，0＜x＜a，∴x1x2＜a2。x1·x2=■＜a■得e2＞■，∴■＜e＜1。

三、利用点的坐标范围

例3：在椭圆■＋■=1，（a>b>0）上存在点Ｐ，使∠ＡＰＢ=１２0°，其中Ａ，Ｂ为长轴的左右两个端点，求椭圆离心率e的取值范围。

解：设Ｐ（x0,y0)，（0＜y0≤b），Ａ（－a，0）,B(a,0)则kAP=■,kBP=■。

那么tan１２0°=■=■=■①

又■+■=1。

∴x■■＝a2-■y■■

将它代入①得■（b2-a2）y■■+2ab2y0=0

∴y■=■又y■≤b得4a■(a■-c■）≤3c■即3e■+4e■-4≥０所以■≤e＜1。

四、利用重要不等式

例4：设F1，Ｆ2分别为椭圆■+■＝１，（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点Ｐ，使得∠Ｆ１ＰＦ２=６0°，求椭圆离心率e的取值范围。

解：在△Ｆ１ＰＦ２中， 由余弦定理可得Ｆ■Ｆ２２＝ＰＦ１２＋ＰＦ２２－２ＰＦ１ＰＦ２cos60°

＝（ＰＦ１＋ＰＦ２２－３ＰＦ１ＰＦ２，又∵F1Ｆ２＝２c，ＰＦ１＋ＰＦ２＝２a

∴4c2=4a2-3ＰＦ1ＰＦ２，即∴ＰＦ１ＰＦ２＝■（4a■-4c■）≤■■＝a■即■（4a■-4c■）≤a■解得e≥■又e＜１，所以椭圆离心率的取值范围为■，１。

五、利用函数关系

例5：已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝２ＣＤ。点Ｅ分■所成的比为?姿，双曲线过Ｃ，Ｄ，Ｅ三点，且以Ａ，Ｂ为焦点，当■≤?姿≤■时，求双曲线离心率的取值范围。

解：以ＡＢ为x轴，ＡＢ的中垂线为y轴，建立直角坐标系。

设Ａ（－c,0），Ｃ（■h），Ｅ(x0,y0)，由定比分点有x0＝■=■，y0=■。

设双曲线方程■-■＝１，（a＞０，b＞0），把点Ｃ，Ｅ坐标代入上式得■-■=1，■-■■=1

解得■（４－４?姿）＝１＋２?姿。即e２＝■＝２－■，（■≤?姿≤■）。

e2是?姿的函数，且为增函数。解得7≤e2≤10，即双曲线离心率e的取值范围为■，■。

六、利用数形结合

例6：双曲线方程■-■＝１，（a＞０，b＞０）的右焦点为Ｆ，过Ｆ作一，三象限渐近线的垂线l，与双曲线的两支各有一个交点，求双曲线离心率e的取值范围。

解：设渐近线分别为l1和l2，其斜率分别为k1，k2，则k1=■，k2=-■，l的斜率为k=-■，要使与双曲线的两支各有一个交点，只需k＞k2。即-■＞■，所以a2＜c2-a2，即e＞■。

以上介绍了确定圆锥曲线离心率的取值范围的几种思路和方法，希望能给读者一些帮助。