复变函数论与数学分析中一些问题的比较

2022-12-13

1 在应用范围方面的比较

复变函数以及数学分析研究的是定义在数域上的函数, 其中复变函数主要研究的是复数领域的函数, 而数学分析则研究的是实数上的函数, 这种定义域方面的不同直接造成了复变函数和数学分析在应用方面存在差异性。

不管是复变函数还是数学分析都可以按照函数对应的规律进行数学问题的分析、讨论和解决。不过对于复变函数而言, 复变函数讨论的是处于两个不同平面的问题, 在复数范围内不存在数值边界或者是数值大小问题。实函数中的自变量为实数, 实函数反映出的是同一个平面上X轴和Y轴实数对之间的对应关系, 通过平面上的曲线能够直观的表示出实函数。在探讨复变函数以及数学分析过程中, 需要对复数的实质、函数的本质以及实数概念等有清醒的认识。

在明确复变函数以及数学分析实质的基础上, 能够在分析和解决具体问题中灵活的应用复变函数, 并从讨论中明确函数的规律性。比如洛必达法则属于计算极限时常用的重要方法, 也是高数中使用率较高的一个方法, 具体内容如下: (1) 当x→a时, 函数f (x) 以及F (x) 都趋于零; (2) 在点a的某去心邻域内, 函数f (x) 以及F (x) 的倒数都存在且不等于零; (3) 函数求导后导数存在或者无穷大, 也就是说当函数导数之商的极限存在时, 函数本身商的极限也是存在的, 通过分子分母分别求导再求极限然后确定未定式值的方法称之为洛必达法则。在洛必达法则中, 设定了相关的限制条件, 并对函数变化问题进行讨论, 对于复变函数满足上述变化条件的, 则复变函数也可以使用洛必达法则进行数学问题的讨论和分析。

2 在极限可导可微方面的比较

复变函数主要研究的是定义域上当自变量趋近于某一个聚点时对应的极限, 具体讨论的是某一个平面领域内映射的函数变化;在数学分析中则研究的是自变量在趋近于某一个点的极限值, 在研究过程中, 可以是趋近于无穷大的极限, 也可以是对单侧极限问题进行研究, 数学分析的实质是讨论一个函数变化唯一不变的数学问题极限。在研究范围方面, 数学分析相对于复变函数更加广泛。在复变函数研究中, 对于映射存在函数变化的, 此时可将对应的复变函数在一定条件下转化为实变函数, 通过对极限的规律可为数学分析中的极限问题或者是复变函数中的极限问题提供依据。

需要注意的是, 数学分析中涉及的极限问题实质是函数极限问题, 在实际生活中具有重要的应用价值, 在极限讨论方面相对简单, 比如函数的升降、微分中值定理、极值理论、待定型求极限方法等。复变函数在讨论过程中涉及的是多个函数的变换问题, 在极限求解、可导可微方面有着较多的变化, 也就是说数学分析中实变函数中有关极限。可导可微方面的定理不一定适用于复变函数。在复变函数分析中需要中结合实际情况针对性的分析极限、可微、可导问题。与数学分析中的极限、可微可导相比较, 复变函数中的极限、可微、可导问题讨论过程更加复杂。

比如在罗尔中值定理中, 如果R上的函数f (x) 满足以下条件: (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间 (a, b) 内可导; (3) f (a) =f (b) , 则至少存在一个ξ∈ (a, b) , 使得f' (ξ) =0。该定律在数学分析中有重要的应用价值, 但是在复变函数中则无法使用, 根据有关学者的证明和分析显示, 罗尔中值定理的结论不能直接推广到复变函数中, 因而复变函数中的相关问题无法使用罗尔中值进行分析。

在讨论cos Z复平面边界问题过程中, 在复变函数领域内, |cos z|≤1并不一定成立, 在复变函数讨论过程中设z=iy, 只有y足够大, 那么cosiy就会大于事先给定的正数, 这一问题能够在复变函数范围内进行讨论, 但是采用数学分析知识却不能解决。

在复变函数以及数学分析中都需要以函数为前提, 明确函数在同一平面讨论以及在复数平面范围内讨论的不同点, 明确这种不同点有助于更好的理解数学分析以及复变函数中的极限可导可微等知识。

3 在敛散判别技巧方面的变化

数学分析在讨论数学问题时, 注重于解决复平面中函数变化问题, 函数属于同一平面, 对应的函数变化也是唯一的;复变函数则讨论的是某一个函数映射到另一个区域内并在某一范围内的函数变化问题, 这种变化不具有确定性, 对应的变化并不是唯一的。在复变函数讨论过程中, 需要以数学分析为基础, 对实数列存在的敛散性进行讨论, 在讨论期间无形扩大了函数的讨论领域, 在数学问题分析过程中, 巧妙地利用复变函数能够对函数问题进行简化, 从而将复杂问题转化为简单问题, 减少了在讨论中较多的烦琐程序。

比如在复函数拓展达到Laurent级数的条件相对于Taylor较弱, 从复变函数角度讨论中能够有效地解决实际问题。此时只需要复变函数f (z) 在x0位置满足解析就可符合要求。数学分析也能够讨论Taylor级数问题, 但是数学分析在讨论中, 需要满足的条件较多, 一定程度上而言, 采用复变函数实现了对敛散性判别的便捷性。将函数问题解决过程进行简化, 延伸了对函数的讨论范围。

如在周期问题分析中, 从复变函数角度分析中, 其中的ex可以看作是周期函数, 其中对应的周期为2πi, 进而对各阶可导问题进行分析, 如果函数f (z) 在某一平面区域内可微, 也就是说f (z) 在该区域内存在各阶导数, 满足可微要求。通过复变函数将上述问题简化, 简化了操作过程。