排水法不规则体积求法

第一篇：排水法不规则体积求法

排水法求体积

教学内容:第51页的例题6 教学目标：

知识与技能：使学生进一步熟练掌握求长方体和正方体积的方法。

过程与方法：能根据实际情况，应用排水法求不规则物体的体积。

情感态度价值观：培养学生在实践中的应变能力。

教学重点：

运用具体方法来求不规则物体的体积。

教具准备：

一个西红柿，一个量杯，一块橡皮泥。

教学过程:

一、创设情境，引入新课

师：同学们都知道曹冲称象的故事吧。这个故事对你有什么启发?(生答略)

你们的联想真丰富。我们已经会计算一些比较规则的物体(如长方体和正方体)的体积。而生活中经常见到一些不规划形状的物体(如西红柿、土豆、石块等)，它们的体积又该怎么计算呢?

生1：我由“乌鸦喝水”想到，可以把量杯里先放些水，然后把西红柿放进水里，根据两次水面的高度，就可以求出西红柿的体积。

生2：也可以先把西红柿放进量杯里，然后再添水至西红柿完全被埋住为止，再取出西红柿，根据两次水面的高度，就可以求出西红柿的体积。

生3：也可以把西红柿捣成泥后，把它榨成汁来求体积。

……

二、探求新知

1、出示教材第51页教学例题6。

(1)出示水果(老师课前准备好一般大小的桔子)

刚才大家说了这么多种方法，你认为哪种方法比较方便，也能准确地计算出结果。

(2)给每一个小组一个量杯，一个水果，一桶水，请大家动手实验，把实验的步骤记录下来，让学生分工合作。

(3)汇报试验过程：请一个组一边汇报过程，一边演示。先往量杯里倒入一定量的水，估计倒入的水要能浸没西红柿。看一下刻度，并记下。接着再把西红柿放入量杯里，要让完全浸没在水中，再看此时的刻度，也要记下刻度。最后把两次刻度相减西红柿的体积。

即350-200=150(ml)=150(cm3)

答：这个西红柿的体积是150cm3。

(4)提问：为什么上升那部分水的体积就是西红柿的体积?

2、完成课文第52页“做一做”的第2题。

(1)观察这两缸的水，什么发生了变化?为什么?

(2)你想怎样求珊瑚石的体积?为什么?

(3)解：8×8×(7-6) =64(cm3)

答：珊瑚石的体积是64cm3。

三、巩固练习

1、一个棱长是4分米的正方形水箱中装有半箱水，再把一块石头完全浸入水中，水面上升了6㎝，求石头的体积。

2、一个长方体玻璃缸长15分米，宽12分米，原有水的高度是35厘米，放进一个菠萝(完全浸入)后，水面上升了15厘米。求菠萝的体积。

3、完成教材第54页练习九的第7～15题。

四、全课总结：

谁能谈谈这节课的收获?(生回答略)

第二篇：法向量的求法及其空间几何题的解答

XX一对一个性化辅导教案

教师

科目

数

学

时间

2013

年

X

月

X日

学生

年级

高二

学校

XX校区

授课内容

空间法向量求法及其应用

立体几何知识点与例题讲解

难度星级

★★★★

教学内容

上堂课知识回顾(教师安排)：

1.

平面向量的基本性质及计算方法

2.

空间向量的基本性质及计算方法

本堂课教学重点：

1.

掌握空间法向量的求法及其应用

2.

掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距

3.

熟练灵活运用空间向量解决问题

得分：

平面法向量的求法及其应用

一、平面的法向量

1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类(从方向上分)，无数条。

2、平面法向量的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。

二、平面法向量的应用

1、求空间角

(1)、求线面角：如图2-1，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，，则AB与平面所成的角为：

图2-1-1:

图2-1-2:

图2-1-1

α

B

A

C

A

B

α

图2-1-2

C

α

图2-3

β

β

α

图2-2

(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：

(图2-2);

(图2-3)

两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内;在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”，满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。

2、求空间距离

图2-4

n

a

b

A

B

(1)、异面直线之间距离:

方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量、，

求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;

②在直线a、b上各取一点A、B，作向量;

图2-5

A

α

M

B

N

O

③求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为

,其中

A

a

B

α

图2-6

(2)、点到平面的距离:

方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A

为平面α内任一点，平面的法向量为，则点P到

平面α的距离公式为

图2-7

α

β

A

B

(3)、直线与平面间的距离:

方法指导：如图2-6,直线与平面之间的距离：

，其中。是平面的法向量

(4)、平面与平面间的距离:

方法指导：如图2-7,两平行平面之间的距离：

图2-8

α

a

，其中。是平面、的法向量。

3、证明

图2-9

α

a

(1)、证明线面垂直：在图2-8中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线()。

(2)、证明线面平行：在图2-9中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直()。

图2-10

β

α

(3)、证明面面垂直：在图2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直()

图2-11

α

β

(4)、证明面面平行：在图2-11中,

向是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线()。

图3-1

C

D

M

A

P

B

三、高考真题新解

1、(2005全国I，18)(本大题满分12分)

已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，

底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点

(Ⅰ)证明：面PAD⊥面PCD;

(Ⅱ)求AC与PB所成的角;

(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小

解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.

，，设平面PAD的法向量为

，，设平面PCD的法向量为

，，即平面PAD平面PCD。

，，

，，设平在AMC的法向量为.

又,设平面PCD的法向量为.

.

面AMC与面BMC所成二面角的大小为.

2、(2006年云南省第一次统测19题)

(本题满分12分)

图3-2

如图3-2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，

已知AB=AA1=a，BC=a，M是AD的中点。

(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC;

(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1;

(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。

解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.

,,设平面A1BC的法向量为

又,,,即AD//平面A1BC.

,,设平面A1MC的法向量为:

,

又,,设平面A1BD1的法向量为:

,

,,即平面A1MC平面A1BD1.

设点A到平面A1MC的距离为d,

是平面A1MC的法向量,

又,A点到平面A1MC的距离为:.

四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”

(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)

(2)、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)

(3)、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形问题)

立体几何知识点和例题讲解

一、知识点

<一>常用结论

1.证明直线与直线的平行的思考途径：(1)转化为判定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行.

2.证明直线与平面的平行的思考途径：(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行.

3.证明平面与平面平行的思考途径：(1)转化为判定二平面无公共点;(2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直.

4.证明直线与直线的垂直的思考途径：(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)转化为线与另一线的射影垂直;(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.

5.证明直线与平面垂直的思考途径：(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

6.证明平面与平面的垂直的思考途径：(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直.

7.夹角公式

：设a=，b=，则cos〈a，b〉=.

8.异面直线所成角：=

(其中()为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量)

9.直线与平面所成角：(为平面的法向量).

10、空间四点A、B、C、P共面，且

x

+

y

+

z

=

1

11.二面角的平面角

或(，为平面，的法向量).

12.三余弦定理：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为.则.

13.空间两点间的距离公式

若A，B，则=.

14.异面直线间的距离：

(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).

15.点到平面的距离：(为平面的法向量，是经过面的一条斜线，).

16.三个向量和的平方公式：

17.

长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

18.

面积射影定理

.(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的).

19.

球的组合体(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,

正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,

正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)

球与正四面体的组合体:

棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.

20.求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、体积法)

21.求多面体体积的常规方法是什么?(割补法、等积变换法)

〈二〉温馨提示：

1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义?

①

异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.

②

直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是.

③

反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是.

二、题型与方法

【例题解析】

考点1

点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.

例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点.

A

B

C

D

(Ⅰ)求证：平面;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)求点到平面的距离.

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的

大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维

能力和运算能力.

解答过程：解法二：(Ⅰ)取中点，连结.

为正三角形，.

在正三棱柱中，平面平面，

平面.

x

z

A

B

C

D

O

F

y

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，.

，，

，.

平面.

(Ⅱ)设平面的法向量为.

，.

，，

令得为平面的一个法向量.

由(Ⅰ)知平面，

为平面的法向量.

，.

二面角的大小为.

(Ⅲ)由(Ⅱ)，为平面法向量，

.

点到平面的距离.

小结：本例中(Ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.

考点2

异面直线的距离

此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.

例2已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.

思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.

解答过程：

如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，

为的中位线，∥∥面,

到平面的距离即为两异面直线间的距离.

又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面

的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是

AB、BC、BD的中点，

在Rt中，

在Rt中，

又

由于，即，解得

故CD与SE间的距离为.

小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.

考点3

直线到平面的距离

此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.

例3.

如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.

B

A

C

D

O

G

H

思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.

解答过程：

解析一

∥平面，

上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求

点O平面的距离,

，，平面,

又平面

平面，两个平面的交线是,

作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.

在中，.

又.

即BD到平面的距离等于.

解析二

∥平面，

上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.

设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则

,

即BD到平面的距离等于.

小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离.

考点4

异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.

例

4、如图，在中，，斜边.可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角.是的中点.

(I)求证：平面平面;

(II)求异面直线与所成角的大小.

思路启迪：(II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.

解答过程：解法1：(I)由题意，，，

是二面角是直二面角，

，又，

平面，

又平面.

平面平面.

(II)作，垂足为，连结(如图)，则，

是异面直线与所成的角.

在中，，，

.

又.

在中，.

异面直线与所成角的大小为.

解法2：(I)同解法1.

(II)建立空间直角坐标系，如图，则，，，，

，，

.

异面直线与所成角的大小为.

小结：

求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二;②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：.

考点5

直线和平面所成的角

此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.

例5.

四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面.已知，，，.

(Ⅰ)证明;

(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.

考查目的：本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，

二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

解答过程：

D

B

C

A

S

解法二：

(Ⅰ)作，垂足为，连结，

由侧面底面，得平面.

因为，所以.

又，为等腰直角三角形，.

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，

，，，，，

D

B

C

A

S

，，所以.

(Ⅱ)取中点，，

连结，取中点，连结，.

，，.

，，与平面内两条相交直线，垂直.

所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余.

，.

，，

所以，直线与平面所成的角为.

小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.

考点6

二面角

此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.

例6.如图，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为.

(I)证明;

A

B

C

Q

P

(II)求二面角的大小.

命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

A

B

C

Q

P

O

H

过程指引：(I)在平面内过点作于点，连结.

因为，，所以，

又因为，所以.

而，所以，，

从而，又，

所以平面.因为平面，故.

(II)解法一：由(I)知，，又，，

，所以.

过点作于点，连结，由三垂线定理知，.

故是二面角的平面角.

由(I)知，，所以是和平面所成的角，则，

不妨设，则，.

在中，，所以，

于是在中，.

故二面角的大小为.

A

B

C

Q

P

O

x

y

z

解法二：由(I)知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系(如图).

因为，所以是和平面所成的角，则.

不妨设，则，.

在中，，

所以.

则相关各点的坐标分别是

，，，.

所以，.

设是平面的一个法向量，由得

取，得.

易知是平面的一个法向量.

设二面角的平面角为，由图可知，.

所以.

故二面角的大小为.

小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.

考点7

利用空间向量求空间距离和角

众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.

例7.如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且.

(1)求证：四点共面;

(2)若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面;

(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求.

命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.

过程指引：

解法二：

(1)

建立如图所示的坐标系，则，，

，所以，故，，共面.

又它们有公共点，所以四点共面.

(2)如图，设，则，

而，由题设得，

得.

因为，，有，

又，，所以，，从而，.

故平面.

(3)设向量截面，于是，.

而，，得，，解得，，所以.

又平面，所以和的夹角等于或(为锐角).

于是.

故.

小结：向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标，再用公式求夹角;点面距离一般转化为在面BDF的法向量上的投影的绝对值.

考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算

棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积.

直棱柱体积V等于底面积与高的乘积.

棱锥体积V等于Sh其中S是底面积，h是棱锥的高.

课后练习题

15.【2012高考四川文14】如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。

28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)

如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。

(Ⅰ)求直线与平面所成的角的大小;

(Ⅱ)求二面角的大小。

29.

【2012高考重庆文20】(本小题满分12分，(Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问8分)

已知直三棱柱中，，，为的中点。

(Ⅰ)求异面直线和的距离;

(Ⅱ)若，求二面角的平面角的余弦值。

43.【2012高考上海文19】本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分

如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠=，，，，求：(1)三棱锥的体积

(2)异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)

第三篇：不规则物体体积教后记

人教版小学数学五年级下册

《不规则物体体积》教学反思

巴南区木洞镇中心小学校 杨波

2016年4月7日，我代表学校参加了在大江小学举办的巴南区“扬帆起航”共同体学校数学“解决问题”的赛课。赛课效果很好，个人觉得在以下方面做的不错。

一、充分发挥了小组合作探讨学习的作用。

在本课中，我让学生小组内完成了最重要的两个操作：一是将不规则的橡皮泥捏成比较规则的形状，然后测量出橡皮泥的的数据进而计算出橡皮泥的体积;二是利用量杯、水等，采用上升、下降、溢出等排水法测量出不规则物体的体积。另外我还安排了在小组内交流：用排水法测量物体体积该怎么操作?可以说，本节课最重要的学习过程都是在小组探究中完成的。

二、高度重视了学生动手操作能力的培养。

学生动手操作能力的培养也是本课的一个重要目标。本课中，测量橡皮泥和土豆的体积都是学生通过自己操作求出来的，在操作过程中，橡皮泥需要捏变形然后测量、土豆体积需要几种方法测量出来，都是十分锻炼学生动手能力的。

三、积极启发了学生创新解决问题的思维。

以往教学中，往往是按照某种程序机械的解答出来，这种模式禁锢了学生的思维。本课中，我就注重了启发学生用不同的方法解决问题。例如用排水法测量土豆体积，我就先让学生说说怎样用排水法测量，我本以为学生只能想出上升法(先加水，然后放入土豆，水面上升，上升部分就是土豆体积)、下降法(先把土豆和水都放入量杯中，然后取出土豆，水面下降，下降部分的水的体积就是土豆的体积)。但没想到学生居然想出了溢出法(先将量杯加满水，然后放入土豆，水就溢出，溢出部分的水就是土豆的体积)，看来学生的指挥是无穷无尽的呀!

四、有效揭示了转化思想具体应用的规律。

本课内容包含了一个重要的数学思想，那就是转化。简单地说，转化就是把数学学习中遇到的陌生的、困难的内容，通过一些手段使其变成熟悉的、简单的内容，这样难题就迎刃而解了。本课中，将不规则的橡皮泥捏成规则的橡皮泥，是把陌生的转化成熟悉的;将土豆体积用排水法测量出，是将求土豆的体积转化成求水的体积。通过操作，学生了解了这种思想，更是实践了这种思想。我还点播学生，在学习平行四边形、三角形面积公式时，也是这两种图形转化成长方形来推导的，加深了学生印象，将这一思想把不同内容都串联起来。

第四篇：不规则物体的体积教学设计

不规则物体的体积安阳市建安小学? 李晓彤

教学目的??

1、使学生进一步熟练掌握求长方体和正方体容积的计算方法。

2、能根据实际情况，应用排水法求不规则物体的体积。

3、通过学习，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生在实践中的应变能力。

教学重点：应用排水法求不规则物体的体积。

教学难点：灵活运用所学知识分析解决实际问题。

教法：利用已有的经验，通过观察、操作等活动经历探索知识的过程，加强学生对所学知识的理解。

学法：通过观察、操作等活动，尝试用不同方法解决实际问题，体验“转化”的数学思想，探究求不规则物体的体积。

教学准备：橡皮泥、梨、量杯、多媒体课件

教学过程

一、复习旧知

某邮政运货车，车厢是长方体。从里面量长3米，宽2米，高2米，它的容积是多少?立方米?

学生读题独立完成，指名板演，集体订正。

二、谈话导入

1、师：我们已经学会了长方体、正方体的体积，可现实生活中还有许多像橡皮泥、梨、石头等形状不规则的物体。怎样求得它们的体积呢?今天，我们就一起来研究如何求不规则物体的体积。(板书课题)

2、出示大屏幕

设法求出下面两种物体的体积

橡皮泥?? 梨

师：我们一起来看题目：要解决什么问题?这些物体有什么特点?

师：大家想怎么解决呢?同桌两人讨论一下，一会儿我找人说。

生：可以把橡皮泥捏成规则的长方体或正方体，量出它的长、宽、高求出体积。

师：把不规则的、可以变形的物品捏成规则的我们学过的立体图形，求出体积。很好，思路很清晰。

那梨呢，把梨也能削成长方体或正方体吗?显然不可能，那怎么办呢?

生：可以用排水法。

师：说一说你的思路。

生：先在杯子里放一些水，记住它的刻度，再把梨放入杯子里，也记下刻度，两次刻度的就是梨的体积。

师：他说的大家听明白了吗?

师：用排水法求不规则物体的体积需要记录哪些数据?

师：可以利用上面的方法测量乒乓球、冰块的体积吗?为什么?

师：所以我们一定要注意用排水法只能求出沉入水中的物体。

三、巩固练习

1、出示大屏幕

珊瑚石的体积是多少?没有量杯，只有长方体容器，能求出珊瑚石的体积吗?

分析：题中告诉我们水的体积了吗?能求出来吗?

知道总体积吗?怎样求?你会解答吗?

2、 练习九第8题

读题，分析：这道题怎么做?

3、 把一个苹果浸没在一个枝头为1.2分米的正方体水箱中，此时水箱刚好满了，拿出苹果，水面高度为0.9分米，这个苹果的体积是多少立方分米?

四、小结

这节课我们学习了求不规则物体的体积，不管是用排水法还是捏成规则立体图形，本质上都是将不规则的转化成规则的，都是通过等积变形进行转化，转化的前提是体积不变

第五篇：求不规则物体的体积教学设计

学习内容

求不规则物体的体积(课本第39页的例6及第41页练习九的第7~13题)。

第 11 课时

课型

新授

学习目标

1.使学生进一步熟练掌握求长方体和正方体容积的计算方法。

2.能根据实际情况，应用排水法求不规则物体的体积。

3.通过学习，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生在实践中的应变能力。

教学重点

运用具体方法求不规则物体的体积。

教学难点

运用具体方法求不规则物体的体积

教具运用

一个雪花梨，一个量杯，一块橡皮泥

教学过程

二次备课

【复习导入】

1.填空

6.7m3=()dm3=()cm3

2L=()mL3450mL=()L

0.82L=()mL=()dm3

提问：单位换算你是怎样想的?

2.判断

(1)容积的计算方法与体积的计算方法是完全相同的。

(2)容积的计算方法与体积的计算方法是完全相同的，但要从里面量出长、宽、高。

(3)一个量杯能装水10mL，我们就说量杯的容积是10mL。

(4)一个量杯最多能装水100mL，我们就说量杯的容积是100mL。

(5)一个纸盒体积是60cm3,它的容积也是60cm3。

通过判断的练习，要让学生理解容积与体积的区别与联系。

【新课讲授】

出示课本第39页教学例题6。

(1)出示一块橡皮泥。

提问：你能求出它的体积吗?(把它捏成一个长方体或正方体,用尺子量出它的长、宽、高，就可以算出它的体积)

?(2)出示一个雪花梨。

提问：你能求出这个雪花梨的体积吗?

学生展开讨论交流并汇报。

最优方法：把它扔到水里求体积。

?(3)给每个小组一个量杯，一个雪花梨，一桶水，请大家动手实验，把实验的步骤记录下来，让学生分工合作。

?(4)汇报试验过程，请一个组一边汇报过程，一边演示，先往量杯里倒入一定量的水，估计倒入的水要能浸没雪花梨，看一下刻度，并记下。接着把雪花梨放入量杯，要让其完全浸没再看一下刻度，并记下。最后把两次刻度相减就是雪花梨的体积。

即：450-200=250(mL)=250(cm3)

(5)提问：为什么上升那部分水的体积就是雪花梨的体积?学生展开讨论后并回答。

(6)用排水法求不规则物体的体积要注意什么?要记录哪些数据?(要注意把物体完全浸入到水中，要记录没有浸入之前的刻度和完全浸入之后的刻度)

(7)想一想，可以利用上面的方法测量乒乓球、冰块的体积吗?为什么?也是可以的，但必须把它们完全浸入水中。

【课堂作业】

完成课本第41页练习九第7~13题。

第7题：教师引导学生理解题意，要根据已知条件算出水深是13cm时水和土豆合在一起形成的长方体的体积，放入土豆后高是13cm，根据“底面积×高”的公式，可以求出放入土豆后的体积，再从中减去5L水，就得出土豆的体积。

第13题：一个大圆球加一个小圆球排出的水是12mL，一个大圆球加四个小圆球排出的水是24mL，这样可知3个小圆球共排出的水是24-12=12(mL)，由此可得出3个小圆球的体积是12cm3，则1个小圆球的体积为4cm3，所以大圆球的体积为12-4=8(cm3)

第16题：这是个思考题，教师引导学生弄清图意，让学生在四人小组内进行交流、讨论，全班反馈时，可让学生说说思维过程。

【课堂小结】

今天这节课，同学们都能用学到的知识解决生活中常见的问题，希望大家在今后的计算中要多加小心。

【课后作业】

完成练习册中本课时练习。

板书设计

容积和容积单位(2)

不规则物体的体积

↓排水法

把物体扔到水里，两次的体积差则是不规则物体的体积。

教学反思