分式函数值域的求法

2024-04-19

分式函数值域的求法（精选14篇）

篇1：分式函数值域的求法

二次

甘肃王新宏

一定义域为R的二次分式函数用“判别式”法

解题步骤：1把函数转化为关于x的二次方程方程有实根，△≥0求的函数值域

2x2x21：求y =2的值域 xx2

解：∵x+x+2>0恒成立 2

2x2x2由y =2得，xx2

（y-2）x+(y+1)x+y-2=0

①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0R

②当y-2≠0时，即y≠2时,∵xR

∴方程（y-2）x+(y+1)x+y-2=0有实根

∴△=(y+1)-(y-2)×(y-2)≥0

∴3y-18y+15≤0

∴1≤y≤5

∴函数值域为1,5 2222

练习1：求y =3x的值域 x24334,4 

二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。先来学习“√”函数。

形如y =x+

图像

k(x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 x



值域：2k, 单调性：在x∈0,时，单调递减。在x∈k,时，单调递减。解题步骤：①令分母为t,求出t的范围

②把原函数化为关于t的函数

③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域

2x2x11例2求y =（x3）的值域 22x1

解令2x-1=t,得

t1 2

t111∴y=2 2t22

t1当且仅当时，即t=2时，取“=”。2t

1∴y2 20

∴值域为：2

1,2

71,3 (sinx)23cosx4练习2求y=的值域cosx2

三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=axb(ac0)cx2dxe

解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数

②分子分母同除以t，把分母化为关于t的“√”函数

③根据复和函数的单调性得出原函数值域

例3y =x1x1, 2x3x3

解令x+1=t,得

t0,且x=t-1

∴y=t=t2t1111tt

13(t=1时取“=”)t

1∴y且y>0 3∵1+t+

∴值域为0, 3

练习3:求y =1x的值域？x2110,2 

四分子分母均为二次的二次分式函数可化为“三“求之。

2x12x26x12(x22x2)2x1例如：y=2==2+ x22x2x2x2x22x2

注：实际上所有的二次分式函数的值域都可以用求导的方法解决，但有些题目用求导的方法求值域时比较繁琐，配和以上方法，会得到事半功倍的效果。

张掖实验中学734000（0936）3333296750207wxh@163.com

篇2：分式函数值域的求法

分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=

axb(ac0)函数值域的求法 2cxdxe解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数

②分子分母同除以t，把分母化为关于t形如y =t+k/t的函数(t>0,k>0)

③利用函数y=t+k/t的单调性或均值不等式来求值域

例1

y =x1

x1,

x23x3解令x+1=t,得 t0,且x=t-1 ∴y=t=t2t1111tt

13

篇3：一类函数值域的求法

函数的值域问题一直是高中数学中的难点, 因其方法灵活多变, 所以不易掌握.现在, 就一类函数值域的求法加以说明.

例1 求函数 $y = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ 的值域.

解法1:三角换元

由于函数的定义域为[-2, 2], 所以可令 $x = 2 \sin α, α \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] .$

则 $y = 2 (\sin α + \cos α) = 2 \sqrt{2} \sin (α + \frac{π}{4}) .$

因为 $α \in [- \frac{π}{2} \frac{π}{2}],$

所以 $α + \frac{π}{4} \in [- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}] .$

所以 $\sin (α + \frac{π}{4}) \in [- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1] .$

即函数的值域为 $[- 2 ‚ 2 \sqrt{2}] .$

解法2:数形结合

令 $z = x + \sqrt{4 - x^{2}}, y = \sqrt{4 - x^{2}},$

则问题转化为已知 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ , 求z=x+y的范围.

作出函数 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 的图像 (如图1) .

易知, 当直线z=x+y过点 (-2, 0) 时, z取最小值-2;当直线z=x+y与半圆相切时, z取最大值 $2 \sqrt{2} .$

例2 求函数 $y = \sqrt{2 - x} + 2 \sqrt{x - 1}$ 的值域.

解法1:三角换元

因为 $(\sqrt{2 - x})^{2} + (\sqrt{x - 1})^{2} = 1,$

所以可令 $\sqrt{2 - x} = \sin α, \sqrt{x - 1} = \cos α$ , 其中 $α \in [0, \frac{π}{2}] .$

则原问题转化为在 $α \in [0, \frac{π}{2}]$ 的条件下求函数y=sinα+2cosα的值域.

而 $y = \sin α + 2 \cos α = \sqrt{5} \sin (α + φ)$ , 其中 $\cos φ = \frac{\sqrt{5}}{5}, \sin φ = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ , 不妨设角φ为锐角,

则 $α + φ \in [φ, \frac{π}{2} + φ],$

所以 $\sin (α + φ) \in [\frac{\sqrt{5}}{5}, 1] .$

所以函数的值域为 $[1 ‚ \sqrt{5}] .$

解法2:数形结合

因为 $(\sqrt{2 - x})^{2} + (\sqrt{x - 1})^{2} = 1$ , 所以问题可转化为已知x2+y2=1, 其中x≥0, y≥0, 求z=x+2y的范围.

作出方程x2+y2=1, (x≥0, y≥0) 所示的曲线如图2.

易知, 当直线z=x+2y过点 (1, 0) 时, z取最小值1;当直线z=x+2y与该四分之一圆相切时, z取最大值 $\sqrt{5}$ .从而求得原函数的值域为 $[1, \sqrt{5}] .$

评注:此类函数往往不能直接求解值域, 或者借助于三角换元, 或者借助于数形结合转化为直线与圆的位置关系问题.其中需要注意的是, 三角换元时要注意角的范围的限制, 数形结合时要注意圆是整体还是局部的问题.

篇4：浅谈高中函数值域的求法

一、相关概念

1、值域：函数y=f(x)(x∈I)，所有函数值的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域.

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已，求函数的值域常常化归为求函数的最值.

3、由于函数的值域受定义域的制约，因此不论用什么方法求函数的值域，均应先考虑定义域.

二、确定函数值域的原则

1.当函数用表格给出时，函数的值域指表格中y实数的集合；

则值域为{1，2，3，4}

2.当函数是图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数的集合；

3.当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

4.由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定.

三、基本函数的值域

1.一次函数y=ax+b(a≠0)的值域为R；

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域当a>0时，y∈[ ，+∞），当a<0时，y∈（-∞， ]；

3.反比例函数y= (a≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)；

4.指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的值域为(0,+∞)；

5.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域为R；

6.三角函数的有界性.

四、求函数值域的常用方法.

1.观察法：根据函数y=f(x)的解析式，直接观察出y的取值范围

例1 求函数y= +1的值域.

解：∵x≠0，∴ ≠0，∴ +1≠1，

∴函数y= +1的值域为(-∞,1)∪(1,+∞).

2.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域.

例2 求函数y= 的值域.

解：由y= 解得2x= ，

∵2x>0，∴ >0，∴-1

∴函数y= 的值域为y∈（-1，1）.

3.分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.

例3 求函数y= 的值域.

解：∵y= = =- + ，

∵ ≠0，∴y≠- ，

∴函数y= 的值域为{y|y≠- }.

4.配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法求解.

例4 求函数y=x2-4x+1的最大值、最小值与值域：

解：∵y=x2-4x+1=(x-2)2-3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3}.

例5 如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值.

解：设t=ax,则y=f(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2，当a>1时，t∈[a-1,a]，∴ymax=a2+2a-1=14，解得a=3，满足a>1；当0

注：对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

（1）若定义域为R时，

①当a>0时，则当x=- 时，其最小值ymin= ；

②当a<0时，则当x=- 时，其最大值ymax= .

（2）若定义域为x∈[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若x0∈[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较f(a)，f(b)的大小决定函数的最大（小）值.

②若x0 [a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a)，f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

5.换元法：利用代数或三角代换，将所给函数转化成易求值域的函数，形如y= 的函数，令f(x)=t，形如y=ax+b± （a,b,c,d为常数且a≠0）的函数，令 =t;形如含的结构的函数，可利用三角代换，令x=acosθ，θ∈[0,π]或令x=asinθ，θ∈[- , ].

例6 求函数y=2x+ 的值域.

解：令t= （t≥0），则x= ，

∴y=-t2+t+1=-(t- )2+

∵当t= ，即x= 时，ymax= ，无最小值.

∴函数y=2x+ 的值域为(-∞, ].

例7 函数y=x+ 的值域.

解：（三角代换法）∵-1≤x≤1，∴设x=cosθ，θ∈[0，π]

y=cosθ+|sinθ|=cosθ+sinθ= sin(θ+ )∈[-1, ]

∴原函数的值域为[-1, ].

6.判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y= .

例8 求函数y= 的值域.

方法一：去分母得(y-1)x2+(y+5)x-6y-6=0①

当y≠1时 ∵x∈R ∴Δ=(y+5)2+4(y-1)×6(y+1)≥0

由此得(5y+1)2≥0.

检验y=- 时，x=- =2代入①求根

∵函数定义域为{x|x≠2且x≠3} ∴y≠-

再检验y=1代入①求得x=2 ∴y≠1

综上所述，函数y= 的值域为{y|y≠1且y≠- }

方法二：把已知函数化为函数y= = =1- (x≠2)，由此可得y≠1.

∵x=2时y=- ,即y≠- .

∴函数y= 的值域为{y|y≠1且y≠- }.

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.

7.不等式法：利用基本不等式a+b≥2 ，用此法求函数值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”.如利用a+b≥2 求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件：①a>0,b>0；②a+b(或ab)为定值；③取等号条件a=b三个条件缺一不可.

例9 已知x< ，求函数y=4x-2+ 的最大值.

解：∵x< ，∴5-4x>0，∴y=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1当且仅当5-4x= ，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.

8.函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数y=ax+ (a>0,b>0).当利用不等式法等号不能成立时，可考虑函数的单调性.判断函数的单调性，常利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数等基本初等函数的单调性，或利用导数求函数的单调性.

例10 求函数y=x- 的值域.

解：因为当x增大时，1-2x随x的增大而减少，- 随x的增大而增大，所以函数y=x- 在定义域(-∞, ]上是增函数.

所以y≤ - = ，所以函数y=x- 的值域为(-∞, ].

9.函数的有界性法：形如y= ,可用y表示出sinx.再根据-1≤sinx≤1,解关于y的不等式，可求y的值的范围.

例11 求函数y= 的值域.

解：将原函数化为

sinx+ycosx=2y,即 (sinx• + cosx)=2y且cosφ= 且sinφ= ，

∴sin(x+φ)= ，| |≤1，

平方得3y2≤1,∴- ≤y≤ .

∴原函数的值域为[- , ].

10.数形结合法

例12 求函数y= + 的最小值.

改造为y= + ，并理解为点(x,0)至(-3,8)和(2,2)距离之和，易得最小值为5 .

例13 函数y= 的最大值为 ,最小值为

将解析式理解为定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)的连线斜率，且不难得出动点(-cosx,sinx)的轨迹为x2+y2=1,则只要求出过(2,3)且与单位圆相切的切线斜率即可，所求最大值与最小值.

例14 求函数y=|x+2- |的单调区间和值域.

改造为y= • ,将其中理解为动点(x， )至直线x-y+2=0的距离即可，不难得出动点(x， )的轨迹为单位圆的上半部分，从而易得函数y=f(x)在x∈[-1,- ]是减函数，在x∈[- ，1]是增函数，因此求得值域为y∈[2- ,3].

点拨：数形结合法求函数值域的关键在于对函数表达式的几何意义的主观感知，从几何意义上去求解，这需要全面综合多方位地掌握数学基本概念.

11.导数法：设y=f(x)的导数为f′(x)，由f′(x)=0可求得极值点坐标，若函数定义域为[a,b],必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.

例15 求函数y= - 的值域.

解：函数的定义域由2x+4≥0x+3≥0求得，即x≥-2.

y′= - =

当x>-2时，y′>0，即函数y= - ，在（-2，+∞）上是增函数，又f(-2)=-1，∴所求函数的值域为[-1，+∞）.

点评：（1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误.

（2）求值域时，当x=-2，函数不可导，但函数y= - 在[-2，+∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=-2时，取得最小值.

篇5：分式函数值域的求法

一类分式型三角函数值域的多角度求解作者：舒飞跃

来源：《数理化学习·高一二版》2012年第12期

篇6：求函数的值域常见类型

（1）观察法、直接法、配方法、换元法：

对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4(cosx1)22解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数ylog1(x22x3)就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y2x133的值域[,] x22x222

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y

（5）利用基本不等式求值域：如求函数y3x的值域 x242cosx3的值域，因为 cosx1

（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22(x[1,2])的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，x[3,3]的最小值。（－48）

m，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 x

4三种模型：（1）如yx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x  [-1,0)(0,4],求值x（9）对勾函数法像y=x+

域

（2）如 yx4求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）x4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间 x3（3）如y2x

例1．

1、已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

例2．设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为

x22xa例

篇7：求函数值域的方法总结

解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],

由对数函数的定义知x/(1-x)>0

1-x≠0

解得，0

∴函数的值域(0，1)。

篇8：浅谈函数值域的求法

一、观察法

函数的定义域和对应法则直接约束着函数的值域, 对于一些比较简单的函数可通过观察法求函数值域.

例1求函数y=3+姨x2+1的值域.

解:∵∴该函数值域为[4, +∞) .

二、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时, 可以利用配方法求函数值域.

例2求函数的值域.

解:∵3+2x-x2≥0∴该函数的定义域为[-1, 3]

当x=1时, ymax=2, 当x=-1或则x=3时ymin=0

∴该函数的值域为[0, 2]

三、反解法

用y来表达x, 根据x取值范围, 通过解不等式求y取值范围.

例3求函数的值域.

解:由得, 则0

∴该函数值域为 (0, 1)

四、换元法

以新变量代替函数式中的某些量, 使函数转化为以新变量为自变量的函数形式, 进而求出值域.

例4求函数的值域.

解:定义域为令t= (t≥0) , 则

于是由t≥0, 故函数值域为

五、判别式法

分子、分母中含有二次项的有理函数, 其定义域为R, 可用判别式法求函数值域.

例5求函数的值域.

解:∵x2+3x+6>0恒成立, ∴y (x2+3x+6) =x+2,

整理得yx2+ (3y-1) x+6y-2=0

当y≠0时, △= (3y-1) 2=-4y (6y-2) ≥0

解得

当y=0时, x=-2有意义, 故y=0

∴该函数的值域为

六、利用函数的单调性

单调函数可利用函数的单调性求函数值域.

例6求函数的值域.

解:∵原函数可变形为

∴原函数的单调性与函数y=-x2+x (0≤x≤1) 一致

当时, 原函数单调递增;

当时, 原函数单调递减.

代入端点可得原函数的值域为

七、数形结合法

函数图象是掌握函数的重要手段, 运用数形结合的方法, 根据函数的图象求得函数的值域.

例7求函数的值域.

分析:可将函数化为分段函数, 逐段确定函数值的范围.

解:原函数可化为y=|x+1|+|x-2|, 利用零点分段的方法.

当x≤-1时, y=-x-1-x+2=-2x+1;

当-1

它的图象如图所示.显然该函数的值域为[3, +∞) .

八、不等式法

有的函数可拆配成重要的不等式的形状, 利用重要的不等式求函数值域.

例8求函数的值域.

解:函数的定义域为[0, 1], 两边平方得

∴函数值域为[1, 姨2]

九、导数法

例9求函数的值域.

解:函数的定义域为[0, 1], 函数在[0, 1]上连续, 由

得解得 (检验是方程根)

当x=0时, y=1;当x=1时, y=1;当时,

由函数的连续性知函数的值域为

十、分离常数法

例10求函数的值域.

解:原函数可变形为

∴该函数的值域为 (0, 1)

以上十种方法是我们求函数值域时常用的方法, 除此之外还有构造法、最值法等方法, 这里不再详细介绍.

摘要：函数的值域是数学学习中的难点, 因此在学习中必须引起我们重视, 同时要想学好该知识点, 必须掌握一定的方法.本文一共总结了十种求函数值域的方法.

篇9：函数的值域面面观

求函数值域的方法虽然多种多样，但是许多方法却相似，归纳起来，常用的方法有：①二次函数配方法；②判别式法；③换元法（含式代换、三角代换等）；④单调性法；⑤不等式法；⑥数形结合法等．下面就这些方法逐一说明它们的运用．

3. 换元法，适用类型：无理函数、三角函数（用三角代换）等．

4. 数形结合法，适用类型：函数本身可与其几何意义相联系的函数类型．

分析近年高考试题，值域问题的呈现方式一般有以下两种.

1. 求函数的值域

此类问题主要考查求函数值域的常用方法：配方法、单调性法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．

2. 函数的综合性题目

篇10：求函数的值域的常见方法

王远征

深圳市蛇口学校

求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。

一、直接法

函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。

例1．已知函数yx11，x1,0,1,2，求函数的值域。

2解：因为x1,0,1,2，而f1f33，f0f20，f11 所以：y1,0,3，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为xR，则函数的值域为y|y1。请体会两者的区别。

二、反函数法

反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。例2．求函数y1

x5的值域。2x1x分析与解：注意到20，由原函数求出用y表示2的关系式，进而求出值域。由y1

x5x2，得：x21因为20，所以y404y1，1y

值域为：y|4y1

三、函数的单调性

例3．求函数yx1在区间x0,上的值域。x

分析与解答：任取x1,x20,，且x1x2，则

fx1fx2

x1x2x1x21，因为0x

x1x

2x2，所以：x1x20,x1x20，当1x1x2时，x1x210，则fx1fx2；

当0x1x21时，x1x210，则fx1fx2；而当x1时，ymin2 于是：函数yx

在区间x0,上的值域为[2,)。x

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例4：求函数fxxx的值域。

1x0

分析与解答：因为1x1，而x与x在定义域内的单调性

1x0

不一致。现构造相关函数gxxx，易知g(x)在定义域内单调增。

gmaxg12，gming12，gx2，0g2x2，又f

xg2x4，所以：2f2x4，2fx2。

四、换元法

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将

原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例5．求函数y(x5x12)(x5x4)21的值域。

959

分析与解答：令tx25x4x，则t。

424

ytt821t28t21t45，9119

当t时，ymin458，值域为y|y8

416164

例6．求函数yx2x的值域。

分析与解答：令tx，则x1t，t0，y1t22tt1

2当t0时，tmax102201 所以值域为(,1]。

例7．求函数yxxx223的值域。分析与解答：由yxxx223=x令x5

2x5，2cos，因为2x5022cos201cos1，[0,]，则2x5=2sin，于是：y

5

2sin2cos52sin5，[,]，4444



2

sin1，所以：52y7。24

五、配方法

对解析式配方，然后求函数的值域。此法适用于形如Fxaf当要注意fx的值域。

例8．求函数y

xbfxc，2xx23的值域。

(x1)24，于是：

分析与解答：因为2xx30，即3x1，y

0(x1)244，0y2。

1x22x

4例9．求函数y在区间x[,4]的值域。

42x22x4

x6，分析与解答：由y配方得：yx2xxx14

1x2时，函数yx2是单调减函数，所以6y18； 4x4

当2x4时，函数yx2是单调增函数，所以6y7。

所以函数在区间x[,4]的值域是6y18。

当

六、判别式法

把函数yfx同解变形为关于的一元二次方程，利用0，求原函数的值域，此方法适用与解析式中含有分式和根式。

2x22x

3例10．求函数y的值域。

2xx

113

分析与解答：因为xx1x0，原函数变形为：

24

y2x2y2xy30（1）

当y2时，求得y3，所以y2。

当y2时，因为xR，所以一元二次方程（1）有实数根。则：

0，即：y24y2y302y

所以2y

10，3

七、基本不等式法

利用重要不等式ab2ab，a,bR求出函数的最值而得出值域的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。



x230x

例11．求函数y的值域。

x

2x230x646

4x3234[x2] 分析与解答：y

x2x2x2

因为分母不为0，即x2，所以：当x2时，x2取等号，ymax18；当x2时，x2(当且仅当(x2)

2x2

x2

6464,x6时，16，当且仅当x2

x2x2

6464)2x2()16，x2x2

64,x6时，取等号，ymin50； x2

值域y(,18][50,)

注意：利用重要不等式时，要求fx0,且等号要成立。

八、数形结合法

当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例12．如例4求函数yxx的值域。

分析与解答：令ux，vx，则u0,v0，uv2，uvy，22

原问题转化为：当直线uvy与圆uv2在直角坐标系uov的第一象限有公

共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当uvy经过点(0,2)时，ymin当直线与圆相切时，ymaxOD所以：值域为2y2

2；

2OC

2

2。

九．利用函数的有界性：形如sinf(y),x2g(y),sin1,x20可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。

2x1

例．求函数yx的值域

21

[解析]：函数的有界性

2x1y1由yx得2x

y121

220,

y1

篇11：高一数学函数值域解题技巧

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。五．最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2)，∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六．图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为－2x+1(x≤1)y= 3(-12)它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七．单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1（t≥0）,则 x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝九．构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为

4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多项式的除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函数的值域（0，1）。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

篇12：用反函数法求值域

一、反函数法

分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

二、例题讲解

1、求函数y2x的值域。x1

由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。yy2xx反解得x即y x12x2y

故函数的值域为：y(,2)(2,)。（反函数的定义域即是原函数的值域）

ex

12、求函数yx的值域。e1

解答：先证明yex1有反函数，为此，设ex1x1x2且x1,x2R，ex11ex21ex1ex2y1y2x12x10。e1ex21(e1)(ex21)

所以y为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：y1ln。此函数的定义域为1x

篇13：函数值域求法探讨

函数的值域取决于定义域, 因此无论采取何种方法求解值域, 都需考虑定义域, 以求和读者共同探讨.

一、利用导数作单调性判断, 进而结合定义域求值域

这类题型很重要, 对于一般的可导函数f (x) , 若f' (x) >0, 则f (x) 递增;若f' (x) <0, 则f (x) 递减.由此作出函数值的增减趋势, 进而作出值域的判断.

例1求函数上的值域.

此题给出的函数显然是比较复杂的, 由若干初等函数组合而成, 若从不等式和图像角度则无从下手, 因为不等式的运用需满足一些基本特征, 而上述函数图像也无法作出, 因此可以考虑一般形式的单调性, 进而给出值域.不妨分三步:

(2) 由于x2>0成立, 只需考虑x2-ax+2的正负, 此时参考g (x) =x2-ax+2的判别式Δ=a2-8.

(3) 列表分析f (x) 的增减性.

以上根据上述函数的导数进行探究单调性进而对给定区间的值域进行判断是一种常有的方法, 应予以重视!

二、利用函数图像求给定区间函数值域

在函数中, 其图像占据着重要的地位, 数形结合的思想是数学解题中最重要的方法之一, 通过图形能清晰地看到函数的大致趋势, 从而对值域作出判断.

例2求f (x) =|x2-4|x|+3|在[-2, 1]中的值域.

所给的函数是由二次函数f (x) =x2-4x+3通过翻折和对称变化而得到.因此可以通过作f (x) =|x2-4|x|+3|的图像来对给定区间的值域进行判断, 这是一种常用的方法.

∴f2 (x) 为偶函数, 当x≥0时, f2 (x) =f1 (x) ,

∴f2 (x) 是由f1 (x) 图像去除y轴左半部分而将右半部分作关于y轴对称的图形而得到.

∴f3 (x) 为f2 (x) 去除y轴下半部分作关于x轴对称, 保留y轴上半部分而得到.如图所示.

由图可知f3 (x) 在[-2, 1]的值域为[0, 3].上述过程反映函数图像在解题过程中所起的巨大作用, 图像的加入使解题过程直观, 一目了然.

三、利用换元法对函数形式转化进而求值域

换元法求值域是最常见的一种题型, 通过一系列的换元使得问题变成熟悉的函数形式, 进而求得值域.

这时通过观察表达式易知通过换元:log3x=t, 则转化为二次函数类型f (t) =t2+6t+6, t∈[0, 1], 求值域.

篇14：诌议函数的值域与最值

【关键词】函数值域最值

函数的值域与最值是函数中的重要内容，也是高考的热点，它以函数为依托，综合方程、不等式等知识点，题型较新颖，变化多端，反映知识间的内在联系，注重对解题方法和解决问题的能力的考察。求函数值域方法主要包括换元法、图像法、判别式法、不等式、导数法，求函数最值的常用方法和求函数值域的常用方法是相同的。事实上，如果在函数值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小值（大）值，因此求函数的最值与值域，其本质是相同的，方法也完全一样，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所差异。下面略举几例介绍函数值域和最值的求法。

一、图像法

图像能非常直观反映函数值的变化规律，能直观的看出函数取最值的地方，进而得出函数的值域。

二、换元法

换元法就是将复杂的解析式经过代换以后化成比较简单的解析式，换元法主要有两种，即三角换元法和普通换元。

点评：用换元法求值域实际上就是将复杂函数变形为简单函数，注意在解题过程中新变量的范围发生了变化。

三、判别式法

判别式法就是将函数解析式变为一元二次方程，利用判别式大于或等于0求出函数值域。

点评：在用判别式法求函数值域时，定义域一定要为自然定义域，即不要人为受到限制（解析式本身有限制的除外），例5的定义域没有受到人为限制，而变式题中的定义域受到人为限制，故答案出错。

四、导数法

导数法就是利用求导数后分析函数的单调性和极值，从而大致画出函数的图像，进而求出函数的值域。

点评：当一个函数的图像用直接法无法作出来时，可借助导数的办法分析得出函数图像，再借助图像得出函数的值域。

五、不等式法