浅谈语义悖论

2022-09-11

1 悖论及语义悖论

1.1 什么是悖论

悖论是逻辑方面的一个分支, 是数学哲学中极难而又极重要的问题。悖论的意思是说如果一个命题是真的, 我们能根据命题中的条件推得这个命题的否命题也为真;反之, 如果以这个命题的否命题为前提, 我们也能推得这个命题为真。如果一切数学定理都符合逻辑, 这就需要数学具有可靠性。悖论的发现使得数学的可靠性得到质疑。一般情况下, 我们将悖论分为语形悖论 (即逻辑数学悖论) 和语义悖论, 本文将对语义悖论予以简要介绍。

1.2 语义悖论及谎言者悖论

语义悖论是指与语义概念相关的悖论。最早的语义悖论是在公元前六世纪, 由哲学家克利特人Epimenides提出的。他说:“所有克利特人都说谎。”我们把这句话叫做命题A, 若其为真, 那么从逻辑上可以推得命题A是假的, 否则起码有一个克利特人 (即说这句话的Epimenides) 说了真话。这说明了我们能由一个命题为真推出这个命题为假。此时A作为一个命题, 它是完整的判断句, 却由真推出假, 这就超乎了当时人们对事物理解, 产生了矛盾。

谎言者悖论可以说是最早的悖论, 是逻辑学史上悖论的起源。这一发现震动了当时的数学界, 产生了人类对逻辑的初步认识, 使得逻辑学呈现萌芽的态势。在语义悖论领域, 罗素的理发师悖论和格雷林的他谓悖论都是著名且有代表意义的。

2 理发师悖论

2.1 理发师悖论简介

罗素在1902年给出了著名的罗素悖论, 理发师悖论是罗素悖论的日常语言变形。在萨维尔村, 有一位理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。

这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发, 他就属于招牌上的那一类人, 他应该给自己理发。反之, 如果这个理发师给他自己理发, 根据招牌所言, 他只给村中不给自己理发的人理发, 他不能给自己理发。因此, 无论这个理发师怎么回答, 都不能排除内在的矛盾。

2.2 简要分析

显然, 理发师悖论里存在着一个不可排除的“自指”问题。首先可以规定当某物归属于以一个类为其外延的概念是, 我们说它属于这个类。那下面要考虑的就是“不属于自身的类”。假设一个类K不属于自身那么K里的东西属于K, 这样就有K属于自身。同理可知另一个方向也矛盾。面对这样一个悖论难题, 数学家们的第一感觉便是“惊骇”:数学素有最严格的科学之称, 然而这个数学大厦的基础居然是自相矛盾的。

罗素悖论引起了人们对数学大厦的构建的质疑, 使得人们收起过去对悖论认为是“文字游戏”的想法, 对悖论进行研究, 目的是消除悖论。罗素自己也没有放弃这方面的研究。他先是试图用“分层法”分析简化问题, 但是这一方法并没有取得成效, 所以他断言从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。悖论里总是会存在这样一种“反身的自指”, “它包含讲那个总体的某种东西, 而这种东西又是总体中的一份子。”在1905年, 理查德在发表他的悖论是提出“要限定一个总体之中不能含有那种只能借助于这一集合才能定义的元素”, 这一想法得到了庞加莱的高度评价而罗素在看到庞加莱文章后也迅速地接受了这一思想;1908年, 罗素在理查德思想基础上提出了著名的“恶性循环原则”, 后来哥德尔把这个原则简洁概括为:没有一个整体能含有一个只能借助与这个整体来定义的分子。这个原则充分地广泛到能阻止所有有关的悖论性论证, 但却过于宽泛使得一些必需保留的结论损伤。如“如果一个实数集合有上界, 那么它有最小上界”这样重要的定理便无法表达。迄今为止, 仍未有一个比较完备的定理能对悖论给予良好的解释。

3 他谓悖论

3.1 他谓悖论简介

他谓悖论是由德国人格雷林于1908年提出并发表的, 所以亦称格雷林悖论。他把所有形容词分为两类:一类是对于自身适用的, 如“中文的”, “短的”;一类是对于自身不适用的, 如“英文的”, “红色的”。前一类词称为“自谓的”, 后一类词称为“他谓的”。现在的问题是:“他谓的”这个词本身是自谓的还是他谓的?人们通常认为这个词不是自谓的就是他谓的。假如“他谓的”这个词是自谓的, 即适用于自身的, 则它是他谓的;假如它是他谓的, 则它也适用于自身, 即它是自谓的。结果是:他谓的是自谓的, 当且仅当, 他谓的是他谓的, 这是一个明显的悖论。

3.2 简要分析

他谓悖论是语义悖论, 它涉及语言表达式与其意义的关系, 其产生的根源在于把“自谓的”或“他谓的”概念应用于“他谓的”一词。我们问:“他谓的”一词是自谓的还是他谓的?现在考虑“他谓的”这个词是他谓的这个命题。有必要先指出:当把包含一自由变元的定义应用于处在该变元值域内的个别事物时, 用来替换定义中变元的是处于变元值域内的事物的名称, 而不是事物本身;同理, 如果定义所应用的事物是名称时, 用来替换定义中变元的就必须是名称的名称, 必须给它加引号。于是我们将命题改为:“‘他谓的’是他谓的, 当且仅当, 并非‘他谓的’具有某种性质并且是该种性质的名称。”这个命题的真实性取决于“他谓的”一词是否具有被认为命名了的性质。论题的成真条件因此变成:“他谓的”是他谓的, 当且仅当, 并非“他谓的”是他谓的。显然这仍是一个逻辑矛盾。

4 结语

悖论的研究仍在进行, 此刻, 我想借冯·赖特的一段话表明了我对悖论和悖论研究的看法:“逻辑悖论并不要求解决悖论的任何“一般理论”——无论它是逻辑类型区分的学说, 禁止恶性循环原则, 还是关于概念定义的某些另外的一般限制。悖论并不表明我们目前所知的‘思维规律’具有某种疾患或者不充分性。悖论并不是虚假推理的结果。它们是从虚假前提进行正确推理的结果, 并且它们的共同特征似乎是:正是这一结果即悖论, 才使我们意识到 (前提的) 假。倘若不发现悖论, 前提的假可能永远不会为我们所知——正像人们可能永远不会认识到分数不能被0除, 除非他们实际地尝试着去做并达到自相矛盾的结果。”

摘要：悖论是逻辑方面的分支, 可分为语形悖论和语义悖论。本文以科普目的出发, 通过对说谎者悖论、理发师悖论和格雷林悖论予以简要介绍分析, 说明语义悖论的趣味性和重要性。

关键词：语义悖论,说谎者悖论,理发师悖论,格雷林悖论