点到直线距离公式教案

2024-04-11

点到直线距离公式教案（精选12篇）

篇1：点到直线距离公式教案

高中数学教案

【课题】点到直线的距离公式【课题类型】新知课【教学目的】

1.使学生了解点到直线的距离公式的推导过程 2.要求学生牢记并会灵活运用点到直线的距离公式【重点】掌握并会灵活运用点到直线的距离公式【难点】点到直线的距离公式的推导过程【教学过程】 1.引出新课 ⑴提出问题

让同学们思考，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（x0,y0），直线L的方程 Ax+By+C=0，那么怎样由点的坐标和直线的方程直接求出点P到直线L的距离呢？ ⑵提问问题

找同学回答点到直线的距离是如何定义的

（点P到直线L的距离d是点P到直线L的垂线段的长度 ⑶做出图形

让同学观察图形，则图中PQ即为所求点到直线的距离

引导学生思考，若求PQ，则要用到连点之间的距离公式，因此要求出点配合点Q的坐标，由于P点的坐标已知，因此之需求Q.若求Q,由于Q是直线L与直线PQ的交点，因此需要求出直线PQ的方程，又点P的坐标已知，PQ与直线L垂直，故PQ的斜率为B/A 通过以上分析，可计算出PQ的长度，即点P到直线L的距离

要求学生下去自己求解，但由于计算过程复杂，问是否有简单的方法呢？ 2.讲新课 I.分析过程

⑴在图上作出过P点与x轴,y轴垂直的直线PS,PR与直线分别交与S,R 让同学们观察是不是有什么新的思路。⑵两分钟后，和同学们一起分析，PQ相当于直角三角线PRS斜边上的高，即S=1/2|RS||PQ| 然而，直角三角形的面积S=1/2|PR||PS| 因此有

1/2|RS||PQ|=1/2|PR||PS| 即

|PQ|=|PR||PS|/PQ ⑶那么要求|PQ|，只需求解|PS|,|PR|,|PQ|，那么怎么求解这几个量呢？ II.推倒过程

此时，可设P(x0,y0),则R(x1,y0),S(x0,y2)由

Ax1+By0+C=0 Ax0+By2+C=0

得

x1=(-By0-C)/A

y2=(-Ax0-C)/B 所以，|PR|=|x0-x1|=|(Ax0+By0+C)/A| |PS|=|y0-y2|=|(Ax0+By0+C)/C| |RS|=√PR*PR+PS*PS=√A*A+B*B/AB*| Ax0+By0+C| 代入面积公式，得

|PQ|=| Ax0+By0+C|/√A*A+B*B 3.讲例题

求点P(X0.Y0)到直线2X+Y-10=0的距离【留作业】 85页2，3题

篇2：点到直线距离公式教案

通用格式，用数学符号表示，各个量之间的一定关系(如定律或定理)的式子，能普遍应用于同类事物的方式方法。

公式，在数学、物理学、化学、生物学等自然科学中用数学符号表示几个量之间关系的式子。具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。在数理逻辑中，公式是表达命题的.形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。公式精确定义依赖于涉及到的特定的形式逻辑，但有如下一个非常典型的定义(特定于一阶逻辑): 公式是相对于特定语言而定义的;就是说，一组常量符号、函数符号和关系符号，这里的每个函数和关系符号都带有一个元数(arity)来指示它所接受的参数的数目。

篇3：点到直线的距离公式证明方法再探

野外工作的目力鉴别是一种重要的工作方法, 也是野外勘探工作的组成部分。钻探法的钻进过程中, 必须随时做好钻孔记录, 这是一项极重要的工作。从钻机定位后由地表开钻到终孔为止, 记录每一钻的深度, 鉴别与描述每一钻取出的土样, 进行定名, 并立刻写在记录表中, 作为绘制地质剖面图的原始依据。目力鉴别是一种非常有效的手段, 这种第一性的资料具有重要的价值, 可供室内试验后土分类的查阅。

2 土的野外描述

《岩土工程勘察规范》 (GB50021-2001) 对于黏性土的描述, 规定应描述颜色、状态、包含物、光泽反应、摇振反应、干强度、韧性、土层结构等的物理性质。在实际的野外勘察工作中, 钻探法的钻孔记录表中, 除了记录钻孔的孔口高程、鉴定各土层的名称和埋藏深度以及初见水位和稳定水位以外, 还需要对每一土层进行详细描述, 作为评价各土层工程性质好坏的重要依据。

2.1 颜色

土的颜色取决于组成该土的矿物成分和含有的其他成分, 描述时从色在前, 主色在后。例如, 黄褐色, 以褐色为主色, 带黄色;若土中含氧化铁, 则土呈红色或棕色;土中含大量有机质, 则土呈黑色, 表明次土层不良;土中含较多的碳酸钙、高岭土, 则土呈白色。

2.2 密度

土层的松密是鉴定土质优劣的重要方面。在野外描述时可根据钻进的速度和难易来判别土的密实程度。同时可在钻头提起后, 在钻侧面窗口部位用刀切出一个新鲜面来观察, 并用大拇指加压的感觉来判定松密。

2.3 湿度

土的湿度分为干的、稍湿的、湿的和饱和的四种。通常如地下水位埋藏深, 在旱季地表土层往往是干的;接近地下水位的黏性土或粉土因毛细水上升, 往往是湿的;在地下水位以下, 一般是饱和的。具体的评价标准见表1。

2.4 黏性土的绸度

黏性土的稠度是决定该土工程性质好坏的一个重要指标, 分为坚硬、硬塑、可塑、软塑、流塑5种。描述方法见表2。如有轻型圆锥动力触探数值, 可参用表3鉴定。

2.5 含有物

土中含有非本层土成分的其他物质称为含有物, 例如, 碎砖、炉碴、石灰碴、植物根、有机质、贝壳、氧化铁等。有些地区有粉质黏土或粉土中含有坚硬的姜石, 海滨或古池塘往往含贝壳。记录表中都应该注明含有物的大小和数量。

2.6 其他

碎石土与砂土应描述级配、砾石含量、最大粒径、主要矿物成分;黏性土应描述断面形态、孔隙大小、粗糙程度、是否有层理等;土中若有特殊气味, 如海滨有鱼腥味等, 亦应加以注明;邻近设施对土质的影响, 如管道漏水则使黏性土稠度变软、地下水位不的差异, 这些都需要在实践中发现问题, 进行讨抬高。

3 总结

由于岩土工程具有很强的地区性和经验性, 任何规范的规定都是建议性和指导性的, 不应当也不可能让千变万化的自然界来服从人类制订的技术标准, 任何规范的规定在执行过程中, 由于各地土的成分, 继配等都可能存在一定的差异, 这些都需要在实践中发现问题, 进行讨论和加以解决。

摘要：探析点到直线的距离公式证明方法。

篇4：点到直线距离公式教案

一、垂线、垂线段、点到直线的距离的定义

1. 垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线就互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

2. 垂线段的定义：垂线上一点到垂足之间的一条线段.

3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.

二、垂线、垂线段、点到直线的距离的区别

1. 垂线是一条直线，可以向两端无限延伸，没有长度，垂线表示的是一个图形.

2. 垂线段是垂线上的一条特殊的线段，是有限的一段，有长度，表示的是一个图形.

3. 点到直线的距离是垂线上一条特殊的线段的长度，表示的是一个数量，而不是图形.

下面我们通过图形来分析这三个概念，如图1所示：

直线b叫做直线a的垂线，也可以说直线a叫做直线b的垂线；线段CO叫做垂线段，同样，线段AO、BO、DO都叫做垂线段；线段CO的长度叫做点C到直线a的距离，同样线段AO的长度叫做点A到直线b的距离.

三、概念辨析

1. 下列判断错误的是（）.

A. 一条线段有无数条垂线

B. 过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直

C. 两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直

D. 若两条直线相交，则它们互相垂直

【解析】本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.

【正确解答】D.

2. 下列判断正确的是（）.

A. 从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离

B. 过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离

C. 画出已知直线外一点到已知直线的距离

D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短

【解析】本题错误原因是没有正确理解垂线段的概念及点到直线的距离的意义.

说法A是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.

说法B是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的.

说法C是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.

【正确解答】D.

四、生活中的应用

通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到直线的距离. 经过探究，我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 在日常生活中，解决一些实际问题时我们经常遇到它. 这样可使有些复杂问题变得比较简单，因此其应用较为广泛. 接下来我给同学们举几个例子：

1. 如图2，甲、乙两名同学在测量刘佳同学的一次跳远成绩时，分别测量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，则刘佳的跳远成绩应该为______米.

解：刘佳的跳远成绩应为4.15米.

因为实际生活中，测量跳远成绩都是量离踏板最近的落地点到踏板的距离，所以测量AC、DA都是错误的，线段DB的长度才是刘佳跳远的正确成绩. 跳远成绩的测量就是求点到直线的距离.

2. 如图3，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N分别是位于公路两侧的村庄.

①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q时，距离村庄N最近. 请在图中的公路AB 上分别画出点P和点Q的位置.

②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？

解：①过点M、N分别作直线AB的垂线，垂足分别为P、Q.

②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的AP段距离M、N两村庄都越来越近，在PQ段距离村庄N越来越近，而离M越来越远.

篇5：点到直线距离和圆的方程公式

(x0,y0)到AX+BY+C=0

d= |Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)

证明：

点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C=0的距离：

设PQ垂直直线L于Q，当B＝0时，直线L为：x=-c/a ,所以d＝|x0-(-c/a)|＝|ax0+c|/√a^2当a＝0时，直线L为：y=-c/b ,所以d＝|y0-(-c/b)|＝|by0+c|/√b^2当a≠0，b≠0时，直线L的斜率为：k=-a/b ,直线PQ的斜率为： k′=b/a所以以直线PQ为：y=(b/a)*(x-x0)+ y0

因为两直线的交点为：

Q((b^2*x0-aby0-ac)/√(a^2+b^2),(a^2*y0-abx0-bc)/√(a^2+b^2))所以d＝PQ＝|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)

篇6：点到直线的距离教案

教学目标

1、结合具体情境，理解“两点间所有连线中线段最短”，知道两点间距离和点到直线的距离。

2、在对两点间的距离和点到直线的距离知识的探究过程中，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。

3、在解决实际的问题过程中，体验数学与日常生活的密切联系，提高学习兴趣，学会与他人合作共同解决问题。

4、激发学生探究学习的积极性和主动性。

教学重点与难点

理解“两点间所有连线中线段最短”，知道两点间距离和点到直线的距离。

教具

三角尺、直尺

教学过程

一、专项训练

1、画一条长3cm的线段。

2、过A点画已知直线的平行线和垂线。

二、交流展示

同学们，修路时遇河要怎样？架桥时如果遇到大山怎么办？（出示课件）学生观察情境图，说一说自己的意见。

得出结论，可以修隧道。

1、画一画：

教师出示课件

师：我们先确定两个点代表大山两侧的甲乙两地，怎样从甲地到达乙地？有没有更近的路线？自己动手画一画，看能发现什么？（组织学生进行小组讨论，给学生充足的要论的时间）

2、让学生展开交流，使他们各抒己见，充分发表自己的意见和见解。

师：通过观察思考，你能得出什么结论？

学生独立思考后画出几条不同的线，通过观察、测量得出结论。

教师出示课件，让学生检验自己的结论是否正确。

3、学生通过操作感知：两点之间线段最短。（板书）

4、小游戏：（投影出示课件）

教师让四个同学站在同一水平线上(两个同学之间要间隔一段距离)，抢板凳，板凳与其中的一个同学正对着，根据他们站的位置，谁最有可能抢到板凳？（先让学生们猜一猜，教师统计一下结果，然后让四个学生去做，其它同学认真观察，看结果究竟如何）

师：这样公平吗？为什么？（教师请同学们说明原因）

再让四个同学按照开始时的情形站好，让两个同学分别测量四个同学所站的位置到板凳的长度，教师把学生测量的数据记在黑板上。

让学生观察数据，分析游戏的结果，得出结论。

师：请同学们把刚才游戏的模拟图画出来，并测量每个同学到板凳的距离，分别记下来。小组内讨论交流。

师生总结：垂直的那条线段最短（板书）。它的长度就是点到这条直线的距离。（投影出示课件）你能自己画一下点到直线的垂直线段吗？（注意要标上垂足）

先让学生自己在练习本上画，教师巡视指导。让三名学生到黑板前画，发现错误，及时纠正。

教师在黑板上示范“点到直线的距离”画法，然后让学生再自己练习，掌握画法。

三、自主总结

通过今天的学习，你有什么收获？

四、自主练习

1、自主练习第一题。独立解答。

2、如果要把塔河水引到卧铺村，可以开凿一条水道。怎样开凿能使水道最短？把你的想法在下图中画出来。

让学生自主探究，小组合作探究。

课后反思

篇7：攀枝花黄意南点到直线的距离教案

攀枝花市三中

黄意南

一、教学目标：⑴知识目标：让学生掌握点线距离公式的推导方法并能利用公式求点线距离。

⑵能力目标：培养学生从特殊到一般的分析解决问题能力。提高学生使用现代化工具的动手能力。

⑶情感目标：让学生充分感受数学的美；增加对解几的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲，培养学生发散思维、积极探索的精神.二、教学重点：公式的推导与应用。

三、教学难点：知识教学方面：如何启发学生自己构思出点到直线距离公式的推导方案。

情感教育方面：如何营造课堂积极求解的氛围。以激发学生的创造力。增强学生知难而进的决心。难点突破方法：采用“从特殊到一般”的方法，通过学生的积极思考和参与，从特殊情况的求解探寻出一般情况的求解方法。

四、教学用具：PowerPoint课件

五、教学方法：启发式，提问式

六、教学过程：

一、新课引入：

前面几节课我们已经研究了两直线的平行、垂直和相交的问题，请同学们回忆一下：如何判断两条直线的位置关系？如果两直线相交，又如何求出交点的坐标呢？（请同学回答）

大家已逐步熟悉了用代数方法研究几何问题的思想方法，本章节重点研究的是点线、线线的位置关系和度量关系。那么，我们又已经学过什么样的度量关系呢？（两点间的距离公式：点Px1,y1,Qx2,y2,则PQdx1x22）。y1y2，来源于“勾股定理”

2自然会问到：两条（平行）直线间的距离又如何求解呢？（转化为点到直线的距离）这一节课我们就来研究怎样用点的坐标Px0,y0和直线的方程l:AxByC0来求解点P到直线l的距离d。

二、新课：

1、点到直线的距离定义：点p到直线l的垂线段的长，记为d，即：过p作l的垂线，垂足为Q，则PQd。显然，它是点p到直线l上任意点的距离中最小的。

2、【问题1】已知点P1,2和直线l:2xy100，求

（由学生分析、解答）分析：先求出过

∴ 点和垂直的直线PQ:x2y50，再求出l和PQ的交点Q3,4

点到直线l的距离．

如果把【问题1】一般化就有如下问题：

【问题2】已知：Px0,y0和直线l:AxByC0（不在直线上，且A,B不同时为零），试求点到直线的距离．

（分情况引导学生分析推导）（1）若A0，则l:yCBCA，则dy0By0CC BBAx0CC AA（2）若B0，则l:x，则dx0（3）若A0且B0（如图）

ylRQOSBAPdx

常规思路：作PQl，垂足为Q，则KPQ，由点斜式写出直线PQ的方程，由PQ和l的方程联立解得Q的坐标，利用两点间距离公式求出d，即：|PQ|  Q点坐标直线PQ与直线L的交点直线PQ的方程直线PQ的斜率直线l的斜率，采用了化归的思想，解答过程比较繁杂，不提倡采用。

刚才求解时，我们看到对于特殊的直线来说距离好求。现在是一般的直线，能不能够先选择一个特殊的点来求解呢？选择哪一个特殊点好？（原点）

【问题3】求原点O到直线l:AxByC0的距离OQ？（如图）

方法一：在RT⊿OMN中，很容易求出OM,ON，则可以求出MNOM2ylO(P)NxON2，而OQ是其斜边上的高，利用“等面积法”

MQ就可以求出OQOMONMN。

方法二：在RT⊿OMN中，很容易求出OM,ON，则可以求出MN发现RT⊿OMN∽RT⊿QON，利用三角形相似也可以求解OQOMONMNOM2ON2。

方法三：求解线段长度可以放在直角三角形里进行，利用解三角形的相关知识求解。可以放在RT⊿OQM中进行，因为OM易求，而MOQ(或)，再利用三角函数的 2 同角公式cosMOQcos1sec11tan21A1B2BAB22，又

因为OMCB，所以OQOMcosMOQCAB22。

从这个问题的求解过程中，我们发现：不管使用什么方法，最关键的是要构造一个直角三角形出来，然后问题就可以迎刃而解了。

现在回到一般情况：点是任意的，如何选取第三点M,以构成一个直角三角形？（仿照问题3的解决办法，过P点作与y轴平行的直线，交直线l于点M，因为PM易求，只需求出直角三角形的一个角即可）

具体分析如下：

⑴ 当直线的倾斜角为锐角时： ⑵当直线的倾斜角为钝角时：

yPlQMOQMOlyPxx

综上所述：MPQ或MPQ1801sec11tan20，从而cosMPQ＝cos＝11AB22BAB22，又设Mx1,y1，∵PM//y轴，∴x1x0，而M点在直线l（Ax+By+C=0）上，把M点y1坐标代入得：Ax0BCB，因此PMy0y1y0Ax0ByBCBAB22Ax0BCBAx0ByB00C，∴ PQPMcosMPQ

0Ax0By2C2

AB 3

3、公式dAx0By20C2的完善：容易验证（由学生完成）：

AB

当

当，即，即

点在

轴时，公式成立；轴时，公式成立；

上时，公式成立．

04、公式dAx0By2C2的结构特点：

AB（1）分子是点坐标代入直线方程；

（2）分母是直线未知数x,y系数平方和的算术根，类似于勾股定理求斜边的长

课堂练习：

1、求解：

（1）P（-2，3）到直线y=-2的距离是________（2）P（-1，1）到直线3x= 2的距离是_________（3）P（2，-3）到直线x+2y+4= 0的距离是_______（4）P（-1，1）到直线2x+y-10= 0的距离是______（5）P（2，0）到直线y= 2x的距离是______

答案：（1）、5（2）、12（3）、0

（4）、1155（5）、455

2、（P53例11）求平行线2x7y80和2x7y60的距离。

分析：“两平行线间距离处处相等”，故可以在其中一条直线上任取一点P，则P到另一条直线的距离即为所求。为了计算方便，P常取为直线和坐标轴的交点，如（-4，0）

【问题4】两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线与

解：在直线上

到直线的距离．

任取一点，如的距离，（如图2）．

则两平行线的距离就是点

因此，系数相同。

＝＝

注意：用公式时，注意一次项系数是否一致，必须保证x,y的

三、小结：

1、点到直线的距离公式及其推导；

师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：dAx0By20C2

AB2、利用公式求点到直线的距离；

3、两平行直线的距离公式；

4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离．

四、作业：P54 ：13、14、16

教学设计以及教法说明

解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。

本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上．本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．另外还要加强根据已知条件求直线方程的教学。在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力．

篇8：点到直线距离公式的几种证明方法

关键词：距离公式,证明方法,学习兴趣

提起点到直线的距离公式, 这是大家都非常熟悉的一个公式, 然而要给出一个较好的证明方法, 则未必是大家都熟悉的问题.在教材的变化与改革过程中不同时期各个版本的教材都给出了不同的证明方法, 那是因为教材知识序列的先后顺序不同, 编者就选择了不同的证明方法.笔者在多年来的教学实践中根据需要选择相应的方法, 对于学生的思维能力、探究能力、计算能力、推理能力、叙述表达能力、创新能力等都起到了很好的训练作用, 同时对于培养学生的学习兴趣起到了良好的作用, 学生感受到不同方法的特点, 唤起了进一步探究问题的好奇心和强烈的求知欲望.就下列几种常用方法加以整理, 愿给学生一点小小的启发与帮助.

在平面直角坐标系下, 已知点P (x0, y0) , 直线l:Ax+By+C=0, 求证:P点到直线l的距离 $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

证明1 (解析法) 令经过P (x0, y0) 且垂直于l:Ax+By+C=0的直线为l′:B (x-x0) -A (y-y0) =0, 垂足为H (x, y) ,

由

${\begin{cases} A x + B y + C = 0, \\ B (x - x_{0}) - A (y - y_{0}) = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} A x + B y + C = 0, \\ B x - A y - B x_{0} + A y_{0} = 0 . \end{cases}$

$\begin{array}{l} 由 {\begin{cases} A^{2} x + A B y + A C = 0, \\ B^{2} x - A B y - B^{2} x_{0} + A B y_{0} = 0 \end{cases} \Rightarrow \\ (A^{2} + B^{2}) x = B^{2} x_{0} - A B y_{0} - A C . \end{array}$

$\begin{array}{l} 又由 {\begin{cases} A B x + B^{2} y + B C = 0, \\ A B x - A^{2} y - A B x_{0} + A^{2} y_{0} = 0 \end{cases} \Rightarrow \\ (A^{2} + B^{2}) y = A^{2} y_{0} - A B x_{0} - B C . \end{array}$

所以 $Η (\frac{B^{2} x_{0} - A B y_{0} - A C}{A^{2} + B^{2}} ‚ \frac{A^{2} y_{0} - A B x_{0} - B C}{A^{2} + B^{2}})$ , 求得

得到点P到直线l的距离 $d = | Ρ Η | = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

评述解析法的优点是证明思路简单, 想法学生容易理解和接受, 但是对学生的计算能力要求较高 (普通高中课程标准实验教科书《数学》 (必修2) 北京师范大学出版社教材中只给出了计算程序……) , 特别是字母运算的能力.正是利用这一点可以加强对学生运算能力的锻炼, 是一个极好的机会, 使学生感受到计算能力的重要性, 对现行初中阶段由于大量使用计算器削弱了学生这方面能力是个很好的补充练习.

证明2 (几何法) 过P (x0, y0) 作x轴的平行线, 交直线l于点R (x1, y0) , 作y轴的平行线, 交直线l于点S (x0, y2) ,

由

${\begin{cases} A x_{1} + B y_{0} + C = 0, \\ A x_{0} + B y_{2} + C = 0 \end{cases} \Rightarrow x_{1} = \frac{- B y_{0} - C}{A}, y_{2} = \frac{- A x_{0} - C}{B} .$

$\begin{array}{l} 所以 | Ρ R | = | x_{0} - x_{1} | = | \frac{A x_{0} + B y_{0} + C}{A} | ‚ \\ | Ρ S | = | y_{0} - y_{2} | = | \frac{A x_{0} + B y_{0} + C}{B} | . \\ | R S | = \sqrt{Ρ R^{2} + Ρ S^{2}} = \frac{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}{| A B |} | A x_{0} + B y_{0} + C | ‚ \end{array}$

由三角形面积关系可得

$d \cdot | R S | = | Ρ R | \cdot | Ρ S | \Rightarrow d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

评述几何法的优点是借助几何直观, 较大地减少了计算量.通过直角三角形的面积关系建立点到直线距离和三边的关系, 尤其是直角三角形的直角边和坐标轴平行或重合, 使得计算容易, 作为学生阅读是个好方法, 也能使得学生体会到数和形的结合对化解数学问题能起到良好的作用.假如让学生自己去想未必能发现这样一个方法.

证明3 (配凑法) 令经过P (x0, y0) 且垂直于l:Ax+By+C=0的直线为l′:B (x-x0) -A (y-y0) =0, 垂足为H (x, y) .

评述证法3实际上是一种代数方法, 本人简单地称之为配凑法.这是一个奇妙的证明方法, 一般教材都没有这种方法, 这是笔者在优化解析法 (证法1) 的时候发现并加以整理出来的, 就是改进了证法1中求垂足的坐标, 只是设垂足但是并不需要求出来, 即设而不求的思路, 然后通过整体解出, 达到了证明的目的, 学生感觉有一种非常奇妙的体会.

证明4 (向量法) 可以取直线l:Ax+By+C=0的方向向量为v= (B, -A) , 即其法向量是n= (A, B) , 设M (x, y) 是直线l上的任意一点,

评述用向量的工具解决一些疑难问题往往是事半功倍, 对于点到直线的距离公式的证明自然也不例外, 显然是这几种方法里面比较理想的一种, 思路简洁, 计算量小.但是由于教材知识序列的问题, 有时候往往把它作为向量的应用列举, 假如把向量的学习放到解析几何前面, 就为证明铺好了路子, 当然还需要学生熟练地掌握有关向量的知识和方法.

总之, 对于点到直线的距离公式的证明, 本人把常用的方法加以小结, 根据我们的教学实际可以合理选择应用, 不妥之处敬请指教.

参考文献

[1]全日制普通高级中学教科书.《数学》第二册 (上) .北京:人民教育出版社.

篇9：椭圆上的点到直线距离最值问题

数形结合判别式法

例1 求椭圆[x24+y212=1]上一点到直线l∶y=x-5的距离的最小值.

分析作出直线[l]及椭圆（如图），观察图形，可以发现，利用平行直线与椭圆只有一个交点，可以求得相应的最小距离.

[F1][F][O][x][y][y=x-5]解如图，虚线为与椭圆相切且与直线[y=x-5]平行的直线，而此直线与[y=x-5]之距即为所求.

设虚线的直线方程为y=x+b，

[∴x24+y212=1，y=x+b.]

化简得[4x2+2bx+b2-12=0].

∵相切，

∴Δ=0.

∴b=±4，由图可知b=-4，

[∴]图中两直线之距为[d=-4+52=22].

[∴dmin=22.]

点拨数形结合判别式法用到了直线与椭圆位置关系的相关知识，即：联立椭圆方程与直线方程得到的一元二次方程判别式等于0时，直线与椭圆相切，然后两平行直线间的距离即为椭圆上的点到直线的最短（长）距离. 此方法的优点是用图形的直观化难为易，化抽象为具体，从而达到简洁明了的解题效果. 能提高数形结合的灵活性，有助于思维能力的培养，有利于解题能力的提高.

[参数方程法]

例2 已知定点Q（0，-4），P（6，0），动点C在椭圆[x29+y24=1]上运动，求[△QPC]面积的最大值和最小值.

分析椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的参数方程是[x=acosθ，y=bsinθ]（θ为参数，且0≤θ<2π），利用椭圆参数方程研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作[（acosθ，bsinθ）].

解依题设易求得PQ的方程为

2x-3y-12=0，|PQ|=[213]，

已知椭圆的参数方程为[x=acosθ，y=bsinθ]（θ为参数，且0≤θ<2π），

则椭圆上点[C（3cosθ，2sinθ）]到直线PQ的距离

[d=6cosθ-6sinθ-1213=62sin（π4-θ）-1213].

显然，当[θ=34π]时，

d最大，且[d最大值=62+1213]，

此时[SΔPQC]的最大值是

[12×d最大值×|PQ|][=12×62+1213×213][=12+62]，

当[θ=74π]时，d最短，[d最小值=12-6213]，

此时[SΔPQC]的最小值为[12-62].

点拨参数方程法将点到直线的距离转化为求三角函数问题，通过辅助角公式求三角函数的最值. 方法的优点是把椭圆问题划归为我们所熟知的三角函数问题，进而避免了复杂的运算，并使解题过程得到优化.

[柯西不等式法]

例3 在已知椭圆[x24+y29=1]上求一点P，使得P到直线[3x+4y+20=0]的距离[d]取最大值.

[x][P][D][y][O]分析像这种类型的题目用常规方法来解较为繁琐，假如巧用柯西不等式，问题会变得比较简单.二维柯西不等式：若[a，b，c，d]都是实数，则[（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2]，当且仅当[ad=bc]时，等号成立.

解设[P（x0，y0），则d=3x0+4y0+205]，

由柯西不等式得：

[∴（3x0+4y0）2=（6?x02+12?y03）2≤（62+122）（x204+y209）=180.]

[∴-65≤3x0+4y0≤65，]

[∴20-65≤3x0+4y0+20≤20+65.]

[∴20-655≤3x0+4y0+205≤20+655.]

[即20-655≤d≤20+655.]

等号成立[?y0=3x0].

联立[x204++y209=1，y0=3x0，]

[解得x0=255，y0=655或x0=-255，y0=-655.]

验证可知，点[（255，655）]到直线的距离达到最大，

[dmax=20+655].

点拨柯西不等式法，另辟蹊径用不等式的方法解决函数的最值问题，此方法的不足是柯西不等式属于选修内容，同学们掌握起来有一点的难度.

总之，椭圆上的点到直线的最值问题，既可以用代数方法，也可以用几何方法，当然也可以用到数形结合方法和不等式方法. 而要掌握这些方法，就需要我们在平时学习中不断积累学习经验.

篇10：点到直线距离公式教案

[教学内容]《义务教育教科书·数学（四年级上册）》55～56 页。[教学目标]

1.通过“猜一猜，画一画，量一量”活动，理解体会“两点之间线段最短”、“点到直线所画的垂线段最短”，知道两点间的距离和点到直线的距离的含义。

2.在探究知识的过程中经历“猜想—验证”的探究过程，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。

3.在解决实际问题的过程中，体验数学与日常生活的密切联系，提高学习兴趣，培养学生的应用意识。

[教学重点]结合具体情境理解体会“两点之间线段最短”、“点到直线的垂直线段最短”。[教学难点] 理解“点到直线的距离”及其画法。

[教学准备] 教师准备：多媒体课件、作业纸；学生准备：直尺、三角板、毛线。[教学过程]

一、创设情景，提出问题

师：同学们，为了交通方便，在修路时遇到河要架桥，如果遇到了大山，应该怎么办呢？

组织学生发表自己的意见。预设1：绕过山。预设2：火车爬山。预设3：修建隧道。„„

引导学生讨论总结：绕路需要多费时间、费能源。火车爬山也不太安全，直接通过隧道方法好像更好一些。

（课件出示，见图1）看图，教师向学生讲解什么是隧道：隧道是埋置于底层内的一种地下建筑物。隧道可分为山岭隧道、水底隧道和地下隧道等。

师：为什么要修隧道呢？今天这节课就一起研究这其中的秘密。

二、合作探索，解决问题

图1

（一）认识两点间的距离 1.提出猜想。

师：刚才同学们都认为修隧道的路程最近，其他的方法路程会远一些，这是生活经验告诉我们的，其实在数学上它还只是一个猜想。

板书：猜想。2.操作验证。（1）讨论研究方案。

师：这种观点究竟对不对呢？在我们还需要验证一下。给学生一个简易的大山图，在山的两侧分别标出两个点A和 B。师：小组内讨论一下，我们应该怎样做才能证明我们的观点是否正确？小组内讨论制定研究计划。全班交流研究计划。课件出示探究方案：

①从A 地到 B地，你能把修隧道的方法在图上表示出来吗？动手画一画。你还能想到哪些不同的路线？试着画几条，看看能发现什么？

②利用学具动手摆一摆、比一比、量一量，验证你的发现是否正确。③从中你能得出什么结论？并与小组同学交流。

【设计意图】学生是学习的主人，要带着思考进行操作。因此，本环节设计师生共同研究制定计划，给学生研究指明方向，培养学生良好的思考习惯，学会研究问题。

（2）学生分小组操作验证。（3）全班交流汇报。

预设：学生用测量的方法证明直接把A和B连起来的那条最短。师：线段可以测量，其他线路如何验证呢？

预设:可以用线绕曲线，然后拉直„„对于学生的各种验证方法师要给予鼓励肯定。师出示课件动态演示三条线路比较长度。（见图2）

图2

小结：通过观察、测量、比较我们验证得出了结论：两点之间线段最短。（板书：两点之间线段最短）

揭示：两点之间线段的长度就是这两点之间的距离。

【设计意图】引导学生经历了在探究“两点之间线段最短”知识的全过程，学生不仅获得了知识，更学习了研究问题的基本方法“猜想—验证—得出结论”。在学习过程中，也培养了观察、想象、动手操作的能力，发展了初步的空间观念。

（二）学习点到直线的距离 1.创设情境，引出问题。

师：同学们在刚才连接两点中，发现了两点之间的线段是最短的，从而明白了在修路时“遇河架桥，遇山开道”的道理。笑笑同学家也打算从家到公路修一条水泥路，该怎样修呢？（见图3）

2.小组合作探究。

师：拿出课前发的作业纸，我们可以把笑笑家看做一个点，把公路看成一条直线，请你用手中的工具，用不同的方法找出最近的那条路，并加以说明。（课件出示，见图4）

师巡视指导，参与到小组活动中，对于活动有困难的小组，教师要给予帮助。3.汇报交流，评价质疑。

选几个有代表的组表到讲台前用实物投影展示：

预设1：先画出几条不同的线段，再分别量一量，发现垂直的线段最短。（见图4）预设2：用毛线比一比，毛线的一端固定在笑笑家那一点，另一端固定在公路上，逐步移动毛线，毛线越来越短，短到一定程度，毛线越来越长（如图5）。

预设3：用直尺量，如图。（见图6）

师：刚才这几个组的同学用不同的方法找到了从笑笑家到公路的最近的那条路，虽然大家的方法不同，但最短的这几条路都有什么共同点？

预设：它们都是从直线外一点到这条直线所画的垂直线段。

揭示：直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫点到直线的距离。【设计意图】实践出真知。本环节通过让学生用直尺量、用线量和转动直尺等方法，探究出从直线外一点到这条直线的所有线段中垂直线段最短。这样既培养了学生的动手操作能力，同时也能加深学生对这一知识点的理解，从而将这一结论应用于数学学习和生活实践中去。

三、巩固应用，拓展提高

1.体会“两点间的距离在生活中的应用”。（见图8）

图8（1）先让学生说一说每幅图的内容，并思考这样测量或设计线路合适吗？有什么好处？

（2）交流时让学生结合这节课学习的内容，真正地体会这样测量更准确，这样设计路线可以让它们之间的距离更近，更节省材料，让游客少跑路。

2.体会“点到直线的距离”在生活中的应用。（见图

9、图10）（1）4个同学做抢板凳游戏，谁最有可能抢到？这样公平吗？（2）从数学的角度谈谈为什么总是有人去践踏草坪？

第一个图片先让学生表演游戏，在体验中了解游戏的不公平。再引导学生用数学眼光去分析此题，加深认识“点到直线的垂直线段最短。”

第二个图片引导学生看懂情境图，先独立思考：“草坪里竖着‘请爱护小草’的警示牌，为什么总有人去践踏草坪？”再引导学生用数学眼光去分析此题，加深认识“点到直线的垂直线段最短”。最后结合本题及时进行思想教育。

3.实际应用。（见图11）

（1）先让学生在小组内交流，然后再动手画一画，教师巡视指导。

（2）交流时重点强调：画从蘑菇房到小木屋的路是根据“两点之间线段最短”这一知识点画的，画从蘑菇房到小河最近的路是根据“点到直线的垂直线段最短”这一知识点画的。

【设计意图】为了更好地体现数学源于生活，服务于生活这一理念，本环节设计通过量掷铅球的距离、抢板凳游戏、分析为什么总是有人去践踏草坪、管道和路线的设计等生活实际问题，让学生真正感受到本节课所学知识在生活中的广泛应用。

四、全课回顾，总结提升。

师：同学们，通过这节课的学习你有什么收获？学生自由畅谈后教师总结：

知识提升：我们今天学习了点与点，点与直线的距离，那么用连接两点的线段来表示两点之间的距离，用垂线段的长度表示点到直线的距离。

学法提升：我们把生活中的问题抽象成了数学问题来解决，从而给我们的生活带来了很大的帮助。在上述探究学习中我们还经历了猜测—验证（指板书）的过程，猜想验证是科学研究的常用方法。

两点之间的距离和点到直线的距离在我们的日常生活中应用非常广泛，希望同学们把更多的数学知识应用于生活中，让数学更好地服务于我们的生活。

【设计意图】引导学生进行全课回顾反思，不仅在知识上也在学法上得以提升。[板书设计]

篇11：《点到直线的距离》说课稿

1、教材的地位和作用

点是几何中最简单的元素，直线是几何中最简单的曲线，点到直线的距离公式从距离的角度定量来刻画点和直线的位置关系，为研究两直线的位置关系及曲线和曲线之间的关系等整个解析几何奠定基础。学生对这节课的理解和掌握，直接关系到对以后解析几何的学习，并且该公式在以后的解析几何学习和研究中有着非常广泛的应用。所以，这节教材对学生学习解析几何具有重要意义。

2、教学对象

这节课的教学对象是高中二年级的学生，他们已经基本掌握直线的方程和两直线的位置关系-------平行、垂直和相交，对三角形的面积公式及算法、两点间的距离公式等都已相当的熟悉。从学生的生理和心理特征以及他们的认识水平来讲，他们对点到直线的距离和两平行线间的距离的空间概念较容易理解，所以这节课的概念的理解不是难点，但是公式的推导是个难点。

3、教学目标

(1)知识目标掌握点到直线的距离的概念、公式及其推导过程，两平行线间的距离的求法及它们的应用。

(2)能力目标通过创设情境，从实际问题引入，培养学生的数学化能力;从简单的例子出发，让学生了解到认识事物的一般规律――从特殊到一般、从实际到抽象的认识规律;由点和直线的关系入手，从公式的推导过程中培养学生的归纳、类比能力，缜密的数学推理能力和重要的数学思想――分类讨论思想和数形结合思想，并培养学生的辨证唯物观点――联系的观点、辨证的观点、统一的观点看问题和综合应用数学知识的能力。

(3)情感目标培养学生对新知识的探索精神，坚韧的意志力和个性品质。通过对证明思路的讨论培养学生的发散性思维和独立思考的创新意识。

4、教学内容及教材处理

本节课的主要内容是点到直线的距离的概念的理解、公式的推导及其应用，通过创设情景，让学生直观上理解点到直线的距离的实际应用性及研究的必要性，激发学生的求知欲望。然后将实际问题归结为数学问题，从简单的特殊例子入手归纳类比出一般问题的解决方法。这样，既符合学生的心理特点、认知特征和思维规律，也突破了这节课的难点，充分体现了教学和社会生活及生产的联系，也可以在探索发现过程中使学生感到成功的喜悦，培养学生的自信心。

这节课的教学重点、难点和关键如下：

重点点到直线的距离的公式的推导及应用

难点点到直线的距离的推导

突破难点的关键从实际问题出发，以简单的特殊例子入手，从特殊到一般，突破难点

(二)教法分析

教学策略是“创设情景，启发引导，论证推理，发展能力”，具体地说，首先从实际问题引入，创设情景，从简单的特殊例子入手，启发引导、推理，以例题和练习的形式巩固知识，发展能力。

教学思想

篇12：《点到直线的距离》优秀说课稿

解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想，其主要内容是计算和证明，而计算问题则主要是距离和角的计算。其中距离的计算主要包括点、线、面之间距离的计算，而点到直线的距离处在关键的位置上。

《点到直线的距离》这一节是研究平面元素的位置关系，由定性研究到定量研究的第二节课。它是解决点线、线线距离的基础，也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线作准备。教材试图让学生经历探索点到直线距离公式并论证这个公式的过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法，如数形结合、算法、函数等;并让学生享受作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。

教材中以算法语言的形式给出了两种推导点到直线的距离公式的方法，尤其是第二种方法是通过构造形解决数的问题，然后再把形代数化，这一正一逆，使数与形达到了完美的结合，其蕴含的重要思想，需要学生细细体会。

针对咱们师范学校学生的特点，结合本教材，本着低起点、高要求、循序渐进，充分调动学生学习积极性的原则，我制定了以下教学目标：

首先是掌握点到直线的距离公式，并能运用它解决一些简单问题;其次通过运用面积法推导点到直线的距离公式的推导过程，使学生进一步了解数学结合思想在解决具体问题中的重要作用;第三让学生经历自主探究，合作交流的过程，充分感受点到直线的距离公式的推导过程;同时通过此过程，渗透算法、化归等思想，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

我把点到直线的距离公式的推导思路以及其简单的应用作为本节课的教学重点，而点到直线的距离公式的推导思路我认为同时也是本节课的教学难点。

根据教学内容和学生的学习状况及其认知特点，本节课我准备采用类比探究式教学模式。即：从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法。让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的数学思维能力。

下面我想说一说我的教学过程设计。本节课我准备通过以下四个环节进行。分别是问题情境——合作探究——应用举例——归纳总结。

也就是首先从一个具体的实际问题入手，引导学生将其转化为解析几何问题，建立坐标系，由此引出本节课题，同时激发学生学习兴趣，培养学生简单的数学建模能力。

接下来进入到第二个环节，即点到直线的距离公式的推导过程。这个环节我主要是通过三个具体的问题实现的。而这三个问题是由特殊到一般、从具体到抽象的过程，符合学生的认知规律。

第一个问题虽然简单，但是是后面两个问题的基础，因此我准备平均3到4位同学一组放手让学生讨论解决这个问题的方法，在学生讨论的过程中，适时的引导学生从不同的角度分析问题，进而寻求到不同的方法。那么结合学生现有的知识水平，我认为学生可能会想到的方法不外乎会有以下几种：(1)两点间的距离公式;(2)面积法;(3)向量法。

也可能会有同学采用以下这两种方法。由于这个问题比较简单，因此我准备让学生结合找到的方法解决这个问题并相互验证方法的正确性，体验成功的喜悦。

在问题一的基础上，引导学生寻找问题二的解决办法，这一过程，最重要的是将其化归为第一个问题的解决办法。即过点P向X轴和Y轴作垂线构造直角三角形，进而引导学生发现第一个问题的解决方法依然适用于问题二。

这样有了以上两个问题的解决作为铺垫，第三个问题的解决就是顺理成章的了。虽然在前面两个问题的解决中并没有要求学生说出详细的思路，但是经过两次针对性的训练，学生心里应该有一个大概的思路，因此我准备分成以下三个层次进行：

第一个层次是让学生说一说面积法推导点到直线的距离公式的思路;第二个层次则是师生共同用算法框图的形式把思路写出来;第三个层次则是在以上两个层次的基础上，师生合作推导点到直线的距离公式的详细过程。

最终推导得出点到直线的距离公式。

为了能够让学生迅速的掌握点到直线的距离公式，我准备通过以下三个具体的例子及相关练习进行针对性的训练。

第一个例子是公式的简单应用问题，学生应该能够很轻松的解决，同时在学生完成第一个例子的基础上给出一个思考题，学生通过画图也应该能够解决。

而第二个例子则是公式的逆向运用问题，需要提醒学生注意多解的情况。那么第三个例子有以下几个目的：第一个目的是公式的简单应用，第二个目的则是让学生发现选择不同的点平行四边形的高不变，第三个目的则是为平行直线间的距离作铺垫。

接下来是进行归纳小结，此时应该重点强调数形结合思想在本节课的充分体现。

最后是布置作业。

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