例题拓展

例题拓展（通用8篇）

篇1：例题拓展

充分发挥教材例题的教育功能

——谈教材例题的挖掘与拓展

汤敬鹏（兰州市第五十七中学 730070）

笔者经常去本市的一些重点学校听示范课、观摩课，发现一些教师在教学中并不太在喜欢使用课本中的例题，而往往是从一些教辅材料中转引例题或者干脆使用高考题，与他们交流这是为什么，他们普遍认为教材中的例题过于简单，对训练学生（特别是好学生）的数学思维并没有多大帮助，对此，笔者并不能苟同，笔者通过多年的教学实践认识到，教材中的多数例题具有较强的基础性，入口浅，利于学生（特别是初学者）进入，有助于学生双基的夯实，同时，教材中的许多例题还能进行深入的挖掘与拓展，这对于深化学生的数学思维能力是非常有帮助的，因此，笔者认为教师必须对教材中例题的教育价值要有充分的认识，认真研究这些例题，从不同方面对这些例题进行挖掘与拓展，使教材的教育功能得到最大的发挥。现以人教版全日制普通高级中学教科书《数学》各册中的几道例题为例，说明如何对教材中的例题进行拓展。

一、方法拓展

数学问题的一题多解是常谈常新的话题，对学生进行一题多解的训练，可以培养学生思维的灵活性与广阔性，不同的方法对同一题来说也许难简各异，但它们却可应用于不同的背景之下，对某题来说较难的方法，在另一题的背景之下也许会成为通法甚至是唯一方法，而且多解常常沟通了数学中多方面的知识甚至其它学科的知识，这对夯实学生的基础也是非常有利的。例：求证7

2教材中的基本证法是分析法，利用分析法证明之后，可让学生再利用综合法及平方后作差比较的方法进行证明，完成后，教师继续提示学生，在有关二次根式的问题中，除了可通过平方进行转化，还可怎样转化，引导学生发现分子有理化的方法：

725

3222 由于7，所以2

成立，故原不等式成立

之后，教师引导学生观察根号下各数的关系，可发现它们成等差数列，于是原不等式可22变形成为：3737()(7)，由此学生又发现此题还可利用前一节课习题中222

22的均值不等式abab（当且仅当a=b时，取“=”）进行证明。

在课外兴趣小组活动中，教师承接以上方法，引导学生探究这种方法的数学本质，发现这种方法与函数yx的凹凸性有关（函数的凹凸性在前面已结合高一上册教材中第二章复习参考题B组第三题在课外兴趣小组向学生介绍过），因此只要证明了该函数的凹凸性，也就能够证明原不等式成立，这样学生又掌握了利用函数凹凸性证明不等式的方法。

二、联系拓展

辩证唯物主义认为事物是普遍联系的，在数学中，不同的数学分支间也都具有这种联系性，有的显而易见，有的则较为隐蔽，数学教学的一个功能就是要向学生揭示这种关系，这个揭示关系的过程，可以使学生的知识体系得到整合，并逐渐对数学中的各种思想方法如转

化、数形结合等思想产生较为清晰的认识。对数学解题方法的拓展其实也是一种联系性的拓展，但数学教学中的联系性拓展还不仅局限于此，它还包括对数学教学内容之间的前后串联、课本例题的深化引申、课后习题的整合统一等。例：如图，OA与OB不共线，APtAB（t∈R），用OA，OB表示

OP

这是平面向量的一个重要例题，例题的结论是平面向量基本定理的一种特殊形式，由例题可得：OP=xOA+yOB（其中x+y =1），解决例题后，教师要引导学生探究其逆命题：“如果OA与OB不共线，对于点P满足关系式OP=xOA+yOB（其中x+y =1），那么P、A、B三点共线。”是否成立。学生通过探究，发现此命题是成立的。但对例题的拓展并不仅限于此，在学习空间向量时，教师可以再一次向学生呈现这个例题，并通过类比的方法，将此例题的结论引向空间，得到一个新的问题：已知、、不共面，=m+n（m∈R，n∈R），试用，经思考，学生可以得到结论：，表示。=x+y+z（其中x+y+z=1），这是空间向量基本定理的一种特殊形式，由于学生经历了平面向量中的探究过程，他们必然会思考这个命题的逆命题是否成立，而其逆命题恰好是教材中有关空间向量内容的一道例题：“对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式=x+y+z（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C是否共面？”如果教师不如此引导，学生由于遗忘等原因，是不可能将两道例题联系起来的，而现在通过教师的拓展引导，两道不同章节的例题在学生的知识体系中建立了联系，这种联系并不是形式上的联系，而是在数学思想层面上产生的联系，因为后面的命题是前面命题在空间上的类比物，教师通过这种拓展，既对学生的知识体系进行了整合，又让学生经历了一次通过类比发现问题的过程，从而使他们的数学思维又一次向纵深发展。

三、背景拓展

一些例题本身具有丰富的生活背景或数学背景，如果教师能够对这样的例题进行深入的挖掘，必可以深化学生对数学本质的认识，从而提升其数学思维的深度。

例：已知a，b，m都是正数，并且a bmb

对于本例，我们可以利用它所具有的生活背景进行挖掘，教学中教师先提出问题：“糖水中加糖（在没有达到饱和度的前提下）味道会怎样？请你将这个生活现象提炼成一个不等式”。教师提示学生从浓度方面进行考虑，在学生提炼出上述不等式并利用比较法证明之后，教师接着提出问题：“在建筑中，把窗户面积与房间面积的比称为采光率，采光率越高，房间越明亮，如果把窗户面积与房间面积增加相同的面积，房间会变亮还是会变暗？为什么？”这个问题既是对前面不等式的应用，又使学生体会到不同的生活背景有时往往蕴涵了同样的数学模型这样一种数学模型化思想。之后，教师又借助不等式所具有的糖水浓度背景，继续进行深入挖掘，提出问题：“糖水加糖会变甜，那么加糖越多，就会越甜，这个现象又可抽象出什么不等式？”学生思考后又得到一个新的不等式：如果0m2>0，那么am1>am2，教师接着提问：“这个不等式还能加长吗？”在这个问题的引导下，学生bm1bm

2通过思考又得到以下不等式串：如果0m2>„>mn>0，那么am1>am2>„ bm1bm2>amn，教师继续引导：“这个不等式串中的各式具有相同的结构，这会让你联想到什么？”bmn

学生思考后发现这组不等式体现了函数y=ax在区间［0，＋∞）是增函数，教师接着引导bx

学生反过来思考：“如果知道这个函数的单调性，也就能够证明前面的一系列不等式”，这样师生共同挖掘出这道例题的函数背景，同时也通过对背景的思考，学生又获得了利用函数单调性证明不等式的方法。

四、思想拓展

数学教学不仅要让学生掌握一定的数学知识，更重要的是要让学生理解蕴涵在这些知识中的丰富的数学思想，数学思想方法对学生思考问题、解决问题更具有普遍性与指导性及一般性意义，因此对学生而言更为重要，例题的教育价值是否能够充分发挥出来，完全取决于例题中的数学思想是否被教师充分的挖掘与展现。

例：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除（对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除）

教师在证明完这道例题后，追问一句：“既然x2n-y2n能被x+y整除，那么x+y整除x2n-y2n后得到的又是一个什么样的式子呢？”学生会发现，刚使用的数学归纳法是不能解决这个问题的，怎么办，学生想到n分别取1、2、3、4等去进行归纳，寻找规律，以发现结论，学生通过归纳，猜想x2n-y2n=(x+y)[x2n-1-x2n-2y+x2n-3y2+„+x2n-r(-y)r+„-y2n-1]，(r=1,2,„,2n)，但这个结论又如何证明呢？由于这是与自然数有关的命题，学生很自然地想到了数学归纳法，在这个过程中，学生不仅进一步体验了由特殊到一般进行归纳的数学方法、先猜想后证明的数学研究过程，而且体会到在解决与自然数集有关的问题时，归纳法是发现问题的一种重要方法，而数学归纳法是不能用于发现问题的，它只能用于证明已发现的结论，从而他们可以理解到数学归纳法的本质不是归纳，而是一种特殊的演绎。

五、文化拓展

在数学教学中渗透数学文化可以对学生健全的人格形成产生良好影响，张奠宙先生说“数学文化必须走向课堂”，但如何让数学文化走向课堂，这是我们必须认真思考的，对一些例题进行深入挖掘，挖掘出其所蕴涵的数学文化内涵，是数学文化走向课堂的一种重要方式。

例：已知数列{an}的第一项是1，以后每一项的各项由公式an=1+1给出，写出这个an

1数列的前五项。

此例较易解答，但如不对其进行挖掘与拓展，例题的教育功能就不能达到最大，教学中教师可以这样进行拓展：学生解答之后，教师要求学生用计算器再计算后续几项，学生通过计算后发现，当n逐渐增大时，an的近似值为1.618，结合初中所学，学生知道这个近似值是黄金分割数，教师顺势引导学生进行探讨，教师提出下列问题引导学生思考：①当n足够大时，根据计算的结果，每一项和它的前一项的近似值应该有什么关系？②而根据递推公式，它们之间又有何关系？③综合利用这两个关系，我们可以形成什么样的关系式？学生思考讨论后得到以下解释：设当n逐渐增大时，an的近似值是x，则x=1+1，即x-x-1=0，2x

其解之一即为1≈1.618是黄金分割数。得到这个解释之后，教师又引导学生进行如下的操作：a2=1+1=1+1，a3=1+1=1+1，a4=1+1=1+1，„„，由于当n逐渐增

1a1a2a31111111

大时，an的近似值为15，于是学生得到了黄金分割数的无穷连分数表达式，即

151211

111...。由无穷个1居然能够表示一个无理数，这引起了学生极大的兴趣，一些学生积极思考后提出：黄金分割数的倒数是黄金分割比51≈0.618，它比黄金分割数2

小1，因此它也可写成无穷连分数：1

2

1

111

1...，它的近似分数应该是例题中各数的1235813„。在学生获得了这些在书本中没有的知识后，教师并没有倒数，即 1，123581321

停止引导，而是又提出新的问题：“上面分数的分子1，1，2，3，5，8，„组成一个新的数列，你能写出这个数列的递推公式吗？”学生得到递推公式：a1=a2=1，an=an-1+a=-2(n≥3)，之后教师又给出著名的斐波那契“兔子问题”让学生思考，学生在教师引导下，发现其结果正是上一个问题中数列的各项，教师向学生介绍，这就是数学史中著名的“斐波那契数列”，之后教师给出其通项公式：an1[(1)n(15)n]，学生惊喜地发现，这个通项公22式中正藏有黄金分割数与黄金分割比，学生不由惊叹道，这两个数列可真有“亲戚”关系啊！教师接着利用多媒体展示一些自然现象中所隐藏的“斐波那契数列”，看到在习以为常的自然现象中竟有如此精妙的数学原理，学生叹为观止。对例题文化性的拓展，极大的激发了学生的学习兴趣，也丰富了学生的视野，例题的教育功能得到了最大的发挥。

以上是笔者对于课本例题如何拓展结合自己多年的实践所进行的一些思考，虽然文中按照五个方面进行了阐述，但实际对例题进行拓展时，这五个方面往往是相互融合的，如对例题进行方法拓展时，其中必然蕴涵在数学思想方法上的拓展，而问题一旦深入到数学思想的层面，也就必然会融入数学文化的要素。教师要对课本例题进行恰如其分的拓展，就必须对课本例题的教育功能有充分的认识，对数学及数学文化有较为深刻的理解。这样，数学教师才能跳出题海，数学教学才能真正做到反璞归真。

作者简介：汤敬鹏，男，36岁，硕士，民进会员，甘肃省兰州市第57中学数学高级教师，数学教研组长，从事数学教学工作十余年，至今已发表数学教育教学论文二十余篇，其中有多篇获国家级、省级、市级优秀教育论文奖。联系电话：***，电子邮箱：litianfeng723@sina.com

篇2：例题拓展

课题结题报告

摘要：初中数学 例题拓展 发散数学思维 课题教学反思 一.课题的现实背景及意义

2010年我县举行了说题比赛，并且在多次县市级的教研活动中，各教研员在指导工作中多次强调：教学要立足课本例题，习题，注重例题、习题的变式训练，例题的改造等。在深入推进“轻负高效”，全面实施素质教育的今天，课堂就是教师的阵地，提高课堂效率无疑是对减轻学生负担的重要一环。课堂上讲解例题是提高课堂效率不可缺少的，对例题进行精炼，延伸拓展，可丰富题目，对学生视野的拓宽，发散思维的培养很有好处，从而可让学生形成自己提出问题，解决问题的的习惯，进而培养学生自主学习能力、适度拓展的能力。

数学课程改革的基本思路是：以反映未来社会对公民所必须的数学思想方法为主线选择和安排教学内容；以与学生年龄特征相适应的大众化、生活化的方式呈现数学内容；使学生在活动中在现实生活中学习数学，发展数学，所以，数学课堂例题需要拓展生活化例题。教材中的多数例题具有较强的基础性，入口浅，利于学生进入，有助于学生双基的夯实。同时，对教材中的例题进行挖掘和拓展，这对于深化学生的数学思维能力是非常有帮助的。因此，教师必须对教材中例题的教育价值有充分的认识，认真研究这些例题，从不同方面对这些例题进行挖掘和拓展，使教材的教育功能得到最大的发挥。二．课题在国内外的研究现状及发展趋势的分析

1、新课标明确指出：要重视从学生的生活实践和已有的知识中学习数学和理解数学。人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

2、教科书不是唯一的课程资源，有效的数学学习需要丰富的数学课程资源；教师不是主导者，应是引导者，是学习活动的组织者，学生才是学习的发现者、研究者。

三、课题研究的目标与内容

（1）、研究的目标

1、通过课题的研究，找出拓展数学例题的基本途径与激活学生思维的情境教学策略；

2、通过“每课必拓，以拓激思”，良好培养学生创造性解决实际问题的能力，增强学生热爱数学的情感，推动学生综合素质的发展。

3、通过课题的研究，使我校数学教师转变教育观念、改进教学方式，优化教学策略，提高教学效率，打造一支研究业务、钻研课改的教师团队。

（2）、研究的内容

这次课题研究的对象之一是教材中的例题。课本例题有时不能兼顾全体，存在有的学生可能有“吃不了”、“吃不饱”的现象。所以在对例题的处理时，必须兼顾到学生的个别差异，特别是在完成一个例题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对例题进行一题多变拓展，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。而如何让学生举一反三，培养发散思维，增加思想深度是我们研究的另一个目标和内容。

1、钻研教材，分析例题，收集可供课题研究的材料。

2、合理安排教学环节，能在课堂教学中对例题进行拓展训练。

3、鼓励学生发现问题，培养学生一起寻找题目的拓展练习的思路、方法。

4、通过课堂实例、问卷、作业反馈等形式了解学生在问题解决的过程中遇到的问题，进行归纳和总结。

四．课题具体研究过程

1、转变教育理念

“数学素质教育”的提出，要求教师的教学要关注每一位学生的身心发展的需要。而“培养创新精神与实践能力”的提出，要求教师的教学要促进学生个性的发展。教师要真正理解：”人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。教师要认识到在未来社会中，获取知识的能力比获取知识本身更重要，获取信息的方法比获取信息本身更关键。因此，本课题自成立以来，各成员学习研究计划和相关材料，明确本课题研究的内容，确定各自的研究侧重点。教师注意在课堂教学的反思后，应该注重学生综合素质的提高。

2、改进教学方式

收集课前相关资料的，做好课后的反思。中学生有一定的生活经验和一定的数学抽象能力，在设计课堂教学过程中体现以学生的发展为主，借助于例题的拓展练习这一载体，达到知识的掌握和深化。

新课标指出：在全体学生获得必要发展的前提下，可以让不同的学生获得不同的发展。在教学中教师可以根据实际增加一些注重数学思想方法的、注重学生发展的内容，有助于学生认识数学的本质和作用，增强对数学学习的性趣，让例题教学与学生进一步发展有机结合起来，体现不同学生有不同发展的教育理念。通过实践、调查设计等方式来设计教学内容与过程，变被动为主动、变机械为灵活，课内、课外互相促进，达到提高课堂的效益的目的。

3、拓展数学例题

课题组成员探讨例题内容生活化、例题结构变式优化、例题一题多解和多提一解这些方面的内容。

进行课例展示，包括教学设计、课件修改和教学展示。其他成员听课、评课，再反思修正。

建立例题拓展课件集，便于大家在今后的教学中参考借鉴，取长补短，实现教学资源共享。

五、课题研究成果

1、课本中的例题具有一定的典型性和代表性，通过挖掘课本例题中蕴含的知识结构和教学理念，通过类比、联想和拓展，改变题目中的条件或结论，把原来题目进行变换形式，则可设计一些实际性、有效性的问题，让学生去探究，使学生对例题加深理解，潜移默化地影响学生的思维能力，使学生在解题时能做到举一反三，提高解题效率，培养发散思维。

2、开展课题需要一定的理论基础和研究水平，这就迫使我们大量阅读教育理论书籍，进行自我学习，加强理论知识的吸取，用理论来指导自己的教学同时提高自己的专业水平。在课题实施时需要我们不断地总结和反思自己的教学，不断从生活或教学实际提炼精髓，以便能形成完整的体系，进一步解决实际问题。总之，在课题的深入开展中，我们的自身素质水平也能得到相应的提升。

3、在问题研究中，提高教师自身专业素质，最终运用在课堂教学中，提高课堂教学的有效性，为教师提供教学参考。

4、在课题实施过程中，课题组成员积极撰写论文、教学设计及有关资料整理： 倪君霞：论文《一道课本例题衍生出的中考题赏析》，2013年1月发表在《中学数学》

拓展练习题：《折叠问题课后拓展题》、《旋转问题课后巩固题》、《等边三角形有关的全等练习题》

教学设计《课堂例题拓展设计稿》 李 倩：论文《巧妙建模 多题归一》

教学案例《相识源自相似》、《数线段》、《反比例面积问题》 马慧娟：典型习题集

六、几点体会

1、在课题实施过程，碰到的问题还是蛮多的。开始时偏重于课堂教学设计，而在作业设计环节上下的功夫不够，有点跟不趟。在实施一阶段后，各方面慢慢跟上来了，速度较大，过虑较多，怕教学质量跟不上来。在实施课题感觉有点感觉了，结题时间也到了。

2、对于教师的教学反思书面材料没有完全成文，只不过在每节课后进行了局部反思，没有提高到理论水平上来。

篇3：例题拓展提升能力

例题三个小球分别标有-2,0,1三个数,这三个球除了标的数不同外,其余均相同,将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.(1)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后从袋中剩下的球中再任意摸出一个小球,记下小球上所标之数,求两次记下之数的和大于0的概率.(2)(变式)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后再任意摸出一个小球,再记下小球上所标之数,求两次记下之数的和大于0的概率.(3)(拓展)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后再任意摸出一个小球,将小球上所标之数再记下……这样一共摸了13次. 若记下的13个数之和等于-4,平方和等于14. 求:这13次摸球中,摸到球上所标之数是0的次数.

【分析】(1)(2)根据题意列出符合题意的所有情况,然后根据概率公式列式计算即可得解;(3)设摸出-2、0、1的次数分别为x、y、z,根据摸出的次数、13个数的和、平方和列出三元一次方程组,然后求解即可.

解:(1)列出符合题意(不放回)的所有情况:(-2,0),(-2,1),(0,-2),(0,1),(1,-2),(1,0).

所有等可能的情况数有6种,其中两次记下之数的和大于0的情况有2种,

(2)根据题意列出符合题意(放回)的所有情况:(-2,-2),(-2,0),(-2,1),(0,-2),(0,0),(0,1),(1,-2),(1,0),(1,1).

所有等可能的情况数有9种,其中两次记下之数的和大于0的情况有3种,

(3)设摸出-2、0、1的次数分别为x、y、z,

3-2得,6x=18,

解得x=3,

把x=3代入2得,-2×3+z=-4,

解得z=2,

把x=3,z=2代入1得,y=8.

篇4：拓展例题，举一反三

【例题】一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球.求两次都摸到红球的概率.

【解析】画树状图（如图1），由树状图可知共有9种等可能结果，两次都摸出红球的情况数有4种，故P（两次都摸到红球）= .

拓展一：说理判断

一只不透明的袋子中，装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同.

（1） 小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，摸出白球和红球是等可能的，你同意他的说法吗？为什么？

（2） 搅匀后从中一把摸出两个球，如果摸出两个红球，则小明得1分，否则小刚得1分，你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.

（3） 搅匀后从中任意摸出一个球，要使得摸出的白球概率为 ，应如何添加白球？

【分析】（1） 分别求出摸到白球与摸到红球的概率，比较这两个概率，即可知道哪一种情况的可能性大，概率大则可能性就大；（2） 考查了树状图法或者列表法求概率，解题时要注意此题为不放回实验；（3） 考查了借助方程思想求概率的问题，解题的关键是找到等量关系.

解：（1） 不同意小明的说法，因为摸出白球的概率是 ，摸出红球的概率是 ，因此摸出白球和摸出红球不是等可能的.

（2） 搅匀后从中一把摸出两个球，相当于摸一个球后不放回再摸第二个球，树状图如图2，P（两个球都是红球）= = < ，故这个游戏对双方不公平.

（3） 设应添加x个白球，由题意得 = ，解得x=3，经检验，x=3是原方程的解，所以应添加3个白球.

【点评】此题考查了对概率问题的理解，还考查了用列表法或树状图法求概率，同时涉及方程思想的应用.解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.

拓展二：修改规则

一只不透明的布袋里装有3个白球，这3个球分别标有数字1、2、3，这些球除数字以外其他都相同.小聪和小明玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小聪随机摸出一个球，记下球的数字后放回，搅匀后再由小明随机摸出一个球，记下球的数字.若数字之和为偶数，则小聪胜，否则小明胜.请你利用画树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平.若公平，请说明理由；若不公平，请你对本游戏设计一个对双方都公平的游戏规则.

【分析】依据题意画出树状图或列表，然后分别求出两种情况发生的概率，相等则公平，否则就不公平.修改游戏规则，关键要使游戏双方取胜的机会相等，即双方取胜的概率相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，此题答案不唯一.

解：这个游戏规则对双方不公平.

列表如下：

由表格可知，共有9种等可能的结果，其中和为偶数有5种，和为奇数有4种.则P（小聪胜）= ，P（小明胜）= ，所以这个游戏规则对双方不公平.

设计的游戏规则不唯一. 例如：增加一个标有数字5的球，两人同时摸出一个球，记下球的数字，若数字之和为偶数，则小聪胜，否则小明胜.

【点评】本题是一道策略开放题.试题一改传统的命题方式，注重将基础知识与应用相结合，加大了解决问题能力的考查力度，体现了“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆”.

拓展三：设计方案

一只不透明的袋子中，装有大小和外形都相同的6个小球，球上面依次标有数字1、2、3、4、5、6.

（1） 搅匀后从中任意摸出一个球，摸出球上数字为奇数的概率是多少？

（2） 请你用这个装有小球的袋子设计一个摸球游戏（各球上标有的数字不变），使搅匀后从中任意摸出一个球，摸出球的数字的概率为 ，并说明你的设计理由.

【分析】（1） 先求出奇数数字在整个袋中数字所占的份数，再根据概率的求法可知.

（2） 由摸出球的数字的概率为 ，可以自由设计，具有开放性.

解：（1） 搅匀后从中任意摸出一个球，摸出球的数字为1，2，3，4，5，6的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中球上数字为奇数1，3，5有3种结果，故P（摸出球上数字为奇数）= .

（2） 搅匀后从中任意摸出一个球，摸出球的数字不大于4的情况有4种，则P（摸出球的数字不大于4）= .（方案较多，不唯一）

【点评】本题考查概率的求法，也是一道开放性问题，又是数学知识应用的方案设计问题，有利于数学思维能力和思维品质的培养.

拓展四：迁移方法

在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

（1） 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________.

（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，摸到黑球的概率是________.

（3） 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只.

（4） 解决了上面的问题，小明同学猛然醒悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.

【分析】先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率，利用摸到白球的频率即可求出摸到白球的概率，即可求出口袋中白颜色的球有多少只.

解：（1） 频率具有稳定性. 观察表格得摸到白球的频率将会接近0.6.（2） 摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是1-0.6=0.4.（3） 20×0.6=12，20×0.4=8，故黑球8个，白球12个.（4） ①添加：向口袋中添加一定数目的黑球，并充分搅匀；②实验：进行大数次的摸球实验（有放回），记录摸到黑球和白球的次数，分别计算频率，由频率估计概率；③估算： =球的总个数，球的总个数×摸到白球的概率=白球的个数.

【点评】本题取材于摸球实验，蕴涵着研究性学习的思想方法.研究性学习是一种崭新的学习方式，在解题中需要关注遇到的相关信息，并做研究，是知识考查新趋势.

拓展五：交汇知识

在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P（x，y）落在直线y=-x+5上的概率是________.

【分析】考查列表法与树状图法.首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=-x+5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

解：列表得：

∵共有16种等可能结果，数字x、y满足y=-x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），

∴数字x、y满足y=-x+5的概率为： .

故答案为： .

【点评】试题形式新颖，富有个性，集点的坐标、一次函数与概率知识于一体，多方位、多角度地考查知识的掌握与理解，体现了数学知识点之间的紧密联系，有利于数学思维能力的培养.

篇5：例题拓展

提升环境数据监测质量

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环境监测数据是客观评价环境质量状况、反映污染治理成效、实施环境管理与决策的基本依据。西安市两家环境空气自动监测站的工作人员给空气采样器“戴口罩”的事情，是近年来环境监测数据造假的突出案例。今年6月，西安市中级人民法院对此案进行一审，7人被判处有期徒刑。

2017年9月21日，中共中央办公厅、国务院办公厅公布《关于深化环境监测改革提高环境监测数据质量的意见》，对加强环境监测数据质量管理作出了全面规划和部署。

中公分析

[取得的成就]

我国环境监测管理制度逐步健全、技术体系不断完善，从业人员素质稳步提高，监测数据质量总体可靠，基本满足当前环境管理需要。

随着我国环境监测服务市场逐步放开，社会环境监测机构蓬勃发展，成为我国环境监测事业的有益补充，但社会监测机构鱼龙混杂、良莠不齐。

[面临的问题]

但我国环境监测数据质量存在人为干预导致数据失真，包括：

一是地方不当干预环境监测行为时有发生。如依靠行政力量指使相关人员通过干扰采样设施等手段篡改、伪造监测数据等现象。

二是排污单位监测数据弄虚作假屡禁不止。有些企业为了逃避监管，蓄意干扰监测现场采样，篡改、伪造监测数据。

三是环境监测机构服务水平良莠不齐。一些社会环境监测机构、环境监测设备运营维护机构受利益驱动，编造数据、出假报告以赚取利润;或为抢占市场低价竞争，不按规范开展监测活动，监测质量堪忧。

四是客观局限导致数据不准。由于监测方法标准体系和监测质量管理体系不完善，或因人员、仪器、设备等能力不足造成监测数据不准确、不科学;相关部门方法标准不统一等导致不同部门同类环境监测数据不一致不可比，引发公众对环境监测数据的质疑。

[对策措施]

中公教育总结：构建责任体系。地方党委和政府对防范和惩治环境监测数据弄虚作假负领导责任，明确环保、质检以及各相关部门对相关环境监测机构负监管责任。

建立约谈机制。对弄虚作假问题突出的市(地、州、盟)，环保部和省级环保部门公开约谈其政府负责人，责成当地政府查处和整改。强化防范和惩治。研究制定防范和惩治领导干部干预环境监测活动的管理办法，明确情形认定，规范查处程序，细化处理规定。

来源：

篇6：典型例题十一

(ab)2ab(ab)2

ab例11 已知ab0，求证：． 8a28b

分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好．

(ab)2ab(ab)2

ab证明：欲证，8a28b

(ab)2(ab)2

ab2ab只须证． 4a4b

abab2即要证(a)，2a2b

即要证22ab

2aabab

2． 即要证a2a1ab

2，即要证ab

a

2abb． 即要证12a

b1，即b1aa． b

即要证ba1（*）ab

∵ab0，∴（*）显然成立，(ab)2ab(ab)2

ab故 8a28b

篇7：法律精典例题解析

A.占有、使用、收益、处分权

B.占有、利用、收益、处分权

C.占有、使用、收益、转让权

D.控制、使用、收益、处分权

2.下列事实中，哪一种事实能发生不当得利之债()。

A.债务人清偿未到期的债务

B.接受赠与的财产

C.养子女给其生父母的赡养费

D.顾客多付售货员货款

3.依据我国现行婚姻法的规定，下列属于可撤销的婚姻是()。

A.有禁止结婚的亲属关系的B.未到法定婚龄的C.一方或双方当事人患有医学上认为不应当结婚的疾病的D.因胁迫而结婚的4.丧偶儿媳对公婆、丧偶女婿对岳父母尽了主要赡养义务的()。

A.不能作为继承人，除非被继承人没有其他任何继承人

B.可以作为第一顺序继承人

C.可以作为第二顺序继承人

D.不能作为继承人，但可分得适量财产

5.在我国，10岁以上的未成年人属于()。

A.完全民事行为能力人

B.限制民事行为能力人

C.无民事行为能力人

D.民事代理人

6.继承法规定，继承自被继承人（）开始

A.出生时

B.死亡时

C.立遗嘱时

D.遗产分割时

7.甲乙两人分别出资4万元合伙经营一饭店，后因经营管理不善，用合伙财产清偿全部债务后，还欠丙4万元。现甲已经无力偿还该债务，丙对乙提出请求，乙只同意偿还2万元，为此引发纠纷。甲乙对所欠丙的债务负何种责任?

A.无限按份责任

B.有限按份责任

C.无限连带责任

D.有限连带责任

8.债权人向债务人表示同意延期履行拖欠的债务，这将在法律上引起()。

A.诉讼时效的中止

B.诉讼时效的中断

C.诉讼时效的延长

D.诉讼时效的开始

9.张某因下落不明被宣告死亡，其一间私房被其配偶李某继承。李某与王某再婚，并将该房出租。后张某回来，要求李某返还房屋，引发纠纷。经查，李某共收租金2万元。下列表述正确的是()。

A.张某与李某的婚姻关系继续有效

B.李某应返还房屋，但无需返还租金

C.李某和王某离婚后，与张某的婚姻关系继续有效

D.李某应返还房屋和租金给张某

10.王某生前有多份遗嘱，按时间先后顺序为自书、公证、代书、录音遗嘱，则王某死后，应按何种遗嘱执行?

A.自书遗嘱

B.代书遗嘱

C.公证遗嘱

D.录音遗嘱

11.甲公司离职业务员乙在离职后，又持盖有甲公司公章的合同书与其经常联系的不知情的客户丙公司订立一份合同，并按照通常做法提走了货款。丙公司要求甲公司履行合同引发争议。乙所签订合同效力如何?

A.效力未定

B.有效

C.无效

D.可撤销

12.甲的儿子乙先于甲死亡，下列人中，对甲的遗产享有代位继承权的是()。

A.乙的儿子

B.乙的配偶

C.乙的兄弟

D.乙的外甥女

13.某有限责任公司总部在广州，在北京、上海、南京设有三个办事处，则此公司的住所为()。

A.北京

B.广州

D.南京

14.小学生王某，8岁，代表学校参与中外少儿书画大赛获一等奖，奖金5000元，对此下列说法正确的是()。

A.王某无权获得奖金

B.学校获得全部奖金

C.王某须经其监护人同意才可获得此奖金

D.王某无须经其监护人同意即可获得此奖金

15.甲企业向乙企业订货500吨，并向乙企业预付定金20万元，后因乙企业只向甲企业履行了300吨货的交付义务，双方就定金返还发生纠纷。对此，下列表述正确的是()。

A.不适用定金罚则，甲企业预付的定金按预付款处理，冲抵货款

B.适用定金罚则，甲企业预付的定金20万元冲抵40万元的货款

C.部分适用定金罚则，甲企业预付的定金20万元冲抵30万元的货款

D.部分适用定金罚则，甲企业预付的定金20万元冲抵28万元的货款

16.某年夏天天气炎热，张某与王某约同宿舍的李某一起理光头，李某不愿去。晚上，张某与王某乘李某熟睡之际，将李某的头发理光。此案中，张某与王某侵犯李某何种权利？

A.健康权

B.名誉权

C.身体权

D.肖像权

17.某甲因患精神病，其妻起诉离婚，人民法院应指定()为甲的代理人

A.甲的母亲，80岁

B.甲的妻子，50岁

C.甲的妹妹，45岁

D.甲的叔叔，60岁

18.李某拾得邻居张某遗失在门口的钱包一个，张某请求归还，李某予以拒绝，李某的行为构成()。

A.不当得利

B.无因管理

C.自助行为

D.侵权行为

19.下列单位中，具有企业法人资格的是()。

A.某大学研究生院

B.某县财政局

D.某合伙企业

20.精神病患者甲在其妻陪伴下外出散步，顽童乙上前挑逗，甲受刺激追赶，甲妻见状，全力阻拦无效。甲将乙头打破，乙为此花去医药费2000元，该医药费应如何负担?

A.由甲负担

B.由甲妻负担

C.由乙的父母负担

D.由甲妻与乙的父母共同负担

参考答案:

国家公务员考试网提醒您，先做试题后参考答案。

1.【答案】A。解析：所有权的权能包括占有、使用、收益、处分四项。B、C、D选项都不完全。

2.【答案】D。解析：不当得利是指没有合法根据而获得利益而使他人利益受到损害的事实。法律规定，取得不当得利的一方当事人应将其所取得的利益返还受损失一方，受损失一方要求返还不当得利的权利称为不当得利返还请求权。选项A债务人的债务使得债权人产生要求履行债务的债权。双方的债权债务关系基于合同产生，是合同之债。排除选项A。接受遗赠行为是有合法根据而表示接受利益的行为，并不因获得利益而使他人利益受到损害。选项B不符合不当得利之债的构成要件。根据《婚姻法》规定，养子女虽然自收养关系确立即对生父母不再有赡养义务，但其出于道义而给其生父母赡养费的行为可理解为赠与，而不能确定为不当得利，故排除C项。选项D符合不当得利之债的构成要件，是正确的。

3.【答案】D。解析：选项A、B、C是无效婚姻的三种情形。无效婚姻至始无效。选项D是可撤销的婚姻，自结婚登记之日起一年内，受胁迫一方可向人民法院或婚姻登记机关提出撤销婚姻的请求。

4.【答案】B。解析：《继承法》第12条规定，丧偶儿媳对公、婆，丧偶女婿对岳父、岳母，尽了主要赡养义务的，作为第一顺序继承人。选项B正确。

5.【答案】B。解析：《民法通则》第12条规定，十周岁以上的未成年人是限制行为能力人，可以进行与他年龄、智力相适应的民事活动，其他民事活动由他的法定代理人代理，或者征得他的法定代理人的同意。B选项正确。

6.【答案】B。解析：《继承法》第2条规定，继承从被继承人死亡时开始。选项B正确。

7.【答案】C。解析：《民法通则》第35条规定：“合伙的债务，由合伙人按照出资比例或者协议的约定，以各自的财产承担清偿责任。合伙人对合伙的债务承担连带责任，法律另有规定的除外。偿还合伙债务超过自己应当承担数额的合伙人，有权向其他合伙人追偿。”个人合伙的合伙人对合伙的债务承担无限连带责任，对内则按照合伙人的出资比例或事先约定分担债务。可知，甲乙对合伙债务应承担无限连带责任。丙可以要求甲、乙中任何一人承担全部合伙债务。

8.【答案】B。解析：《民法通则》第140条规定：“诉讼时效因提起诉讼、当事人一方提出要求

或者同意履行义务而中断。从中断时起，诉讼时效期间重新计算。”可见债权人向债务人表示同意延期履行债务将导致诉讼时效的中断，从中断时起，诉讼时效重新计算。

9.【答案】B。解析：《民法通则解释》第37条规定：“被宣告死亡的人与配偶的婚姻关系，自死亡宣告之日起消灭。死亡宣告被人民法院撤销，如果其配偶尚未再婚的，夫妻关系从撤销死亡宣告之日起自行恢复；如果其配偶再婚后又离婚或者再婚后配偶又死亡的，则不得认定夫妻关系自行恢复。”本题中张某已经被宣告死亡，其与李某的婚姻关系自宣告之日起消灭，排除A、C项；《民法通则解释》第40条规定：“被撤销死亡宣告的人请求返还财产，其原物已被第三人合法取得的，第三人可不予返还。但依继承法取得原物的公民或者组织，应当返还原物或者给予适当补偿。”可知李某作为张某的法定继承人，在张某要求返还财产时应返还原物或给予适当补偿，法律并未规定对财产产生的孳息如何分配，故李某仅需返还房屋。故B项为正确答案。

10.【答案】C。解析：《继承法》第20条规定：“遗嘱人可以撤销、变更自己所立的遗嘱。立有数份遗嘱，内容相抵触的，以最后的遗嘱为准。自书、代书、录音、口头遗嘱，不得撤销、变更公证遗嘱。”可见公证遗嘱效力最高，效力依次为录音遗嘱、代书、自书。王某死后，应按公证遗嘱执行。

11.【答案】B。解析：《合同法》第49条规定：“行为人没有代理权、超越代理权或者代理权终止后以被代理人名义订立合同，相对人有理由相信行为人有代理权的，该代理行为有效。”题中丙公司与甲公司经常联系且并不知道乙离职的事实，符合“相对人有理由相信行为人有代理权”的情况。故选项B为正确答案。

12.【答案】A。解析：代位继承是继承人先于被继承人死亡，其应继承的份额由其直系血亲继承的制度。选项A为正确答案。

13.【答案】B。解析：最高人民法院关于适用《中华人民共和国民事诉讼法》若干问题的意见(简称“意见”)第4条规定：“公民的住所地是指公民的户籍所在地，法人的住所地是指法人的主要营业地或者主要办事机构所在地。”题中公司的总部在广州，是主要办事机构所在地；北京、上海、南京设立的办事处不具有法人资格，可知B项为正确答案。

14.【答案】D。解析：《民法通则司法解释》第6条规定：“无民事行为能力人、限制民事行为能力人接受奖励、赠与、报酬，他人不得以行为人无民事行为能力、限制民事行为能力为由，主张以上行为无效。”可见D项为正确答案。

15.【答案】B。解析：《合同法》第115条规定：“当事人可以依照《中华人民共和国担保法》约定一方向对方给付定金作为债权的担保。债务人履行债务后，定金应当抵作价款或者收回。给付定金的一方不履行约定的债务的，无权要求返还定金；收受定金的一方不履行约定的债务的，应当双倍返还定金。”本题中甲向乙预付20万元定金，而乙未能履行合同，则乙应向甲返还双倍定金40万元。甲企业可以乙交付的40万元折抵货款，故B项为正确答案。

16.【答案】C。解析：头发是自然人身体的组成部分，本题中，张某、王某侵犯的正是李某民法意义上的身体权，C为正确答案。

17.【答案】C。解析：《民事诉讼法》第57条规定：“无诉讼行为能力人由他的监护人作为法定

理人代为诉讼。法定代理人之间互相推诿代理责任的，由人民法院指定其中一人代为诉讼。”据此题中甲某的监护人应为其法定代理人，《民法通则》第17条规定：“无民事行为能力或者限制民事行为能力的精神病人，由下列人员担任监护人：(一)配偶；(二)父母；(三)成年子女；(四)其他近亲属；(五)关系密切的其他亲属、朋友愿意承担监护责任，经精神病人的所在单位或者住所地的居民委员会、村民委员会同意的。”B项中甲的妻子身为原告，不能作为甲的代理人，应由第二顺序监护人即甲的父母担任代理人，但甲的母亲年事已高，恐不能胜任代理人职责，则可以其其他近亲属为代理人，选项C为正确答案。

18.【答案】D。解析：不当得利是指没有合法根据而获利益而使他人利益受到损害的事实。不当得利在性质上来看是事实而不是行为。题中李某在张某门口拣到钱包，可推断出钱包为张某所有而不是无主物，而李某经张某请求后仍拒绝归还，其行为侵害了张某的财产所有权，是李某以自己的行为对张某财产的非法占有，故排除A项。李某的行为也不属于为他人利益而进行管理的无因管理行为，因其主观上没有为他人谋利的目的，排除B项；自助行为是在自身受到不法侵害后向国家请求救助的行为，明显不符合题意。《民法通则司法解释》

第96条规定：“拾得物灭失、毁损，拾得人没有故意的，不承担民事责任。拾得人将拾得物据为己有，拒不返还而引起诉讼的，按照侵权之诉处理。”因此本题正确答案为D项。

19.【答案】C。解析：《民法通则》第36条规定：“法人是具有民事权利能力和民事行为能力，依法独立享有民事权利和承担民事义务的组织。”《民法通则》第37条规定：“法人应当具备下列条件：(一)依法成立；(二)有必要的财产或者经费；(三)有自己的名称、组织机构和场所；(四)能够独立承担民事责任。”A选项属于事业单位的内设机构，可予以排除；选项B是政府机关，亦不符合题意；合伙企业不具有法人资格，排除D项；公司当然具有法人资格，C项为正确答案。

篇8：拓展例题,举一反三

【例题】一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,记录颜色后放回、 搅匀,再从中任意摸出一个球.求两次都摸到红球的概率.

【解析】画树状图(如图1),由树状图可知共有9种等可能结果,两次都摸出红球的情况数有4种,故P(两次都摸到红球)=4/9.

拓展一:说理判断

一只不透明的袋子中,装有1个白球和2个红球,这些球除颜色外都相同.

(1)小明认为,搅匀后从中任意摸出一个球,不是白球就是红球,摸出白球和红球是等可能的,你同意他的说法吗?为什么?

(2)搅匀后从中一把摸出两个球,如果摸出两个红球,则小明得1分,否则小刚得1分,你认为这个游戏对双方公平吗?请说明理由.

(3)搅匀后从中任意摸出一个球,要使得摸出的白球概率为2/3,应如何添加白球?

【分析】(1)分别求出摸到白球与摸到红球的概率,比较这两个概率,即可知道哪一种情况的可能性大,概率大则可能性就大;(2)考查了树状图法或者列表法求概率, 解题时要注意此题为不放回实验;(3)考查了借助方程思想求概率的问题,解题的关键是找到等量关系.

解:(1)不同意小明的说法,因为摸出白球的概率是1/3,摸出红球的概率是2/3,因此摸出白球和摸出红球不是等可能的.

(2)搅匀后从中一把摸出两个球,相当于摸一个球后不放回再摸第二个球,树状图如图2,P(两个球都是红球)=2/6=1/3<1/2,故这个游戏对双方不公平.

(3)设应添加x个白球,由题意得(1+x)/(3+x)=2/3,解得x=3,经检验,x=3是原方程的解,所以应添加3个白球.

【点评】此题考查了对概率问题的理解,还考查了用列表法或树状图法求概率, 同时涉及方程思想的应用. 解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.

拓展二:修改规则

一只不透明的布袋里装有3个白球,这3个球分别标有数字1、2、3,这些球除数字以外其他都相同.小聪和小明玩摸球游戏, 游戏规则如下:先由小聪随机摸出一个球, 记下球的数字后放回,搅匀后再由小明随机摸出一个球,记下球的数字.若数字之和为偶数,则小聪胜,否则小明胜.请你利用画树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平.若公平,请说明理由;若不公平, 请你对本游戏设计一个对双方都公平的游戏规则.

【分析】依据题意画出树状图或列表, 然后分别求出两种情况发生的概率,相等则公平,否则就不公平.修改游戏规则,关键要使游戏双方取胜的机会相等,即双方取胜的概率相等,或转化为在总情况明确的情况下,判断双方取胜所包含的情况数目是否相等,此题答案不唯一.

解:这个游戏规则对双方不公平.

列表如下:

由表格可知,共有9种等可能的结果, 其中和为偶数有5种,和为奇数有4种.则P(小聪胜)=5/9,P(小明胜)=4/9,所以这个游戏规则对双方不公平.

设计的游戏规则不唯一. 例如:增加一个标有数字5的球,两人同时摸出一个球, 记下球的数字,若数字之和为偶数,则小聪胜,否则小明胜.

【点评】本题是一道策略开放题.试题一改传统的命题方式,注重将基础知识与应用相结合,加大了解决问题能力的考查力度,体现了“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆”.

拓展三:设计方案

一只不透明的袋子中,装有大小和外形都相同的6个小球,球上面依次标有数字1、2、3、4、5、6.

(1)搅匀后从中任意摸出一个球,摸出球上数字为奇数的概率是多少?

(2)请你用这个装有小球的袋子设计一个摸球游戏(各球上标有的数字不变),使搅匀后从中任意摸出一个球,摸出球的数字的概率为2/3,并说明你的设计理由.

【分析】(1)先求出奇数数字在整个袋中数字所占的份数,再根据概率的求法可知.

(2)由摸出球的数字的概率为2/3,可以自由设计,具有开放性.

解:(1)搅匀后从中任意摸出一个球, 摸出球的数字为1,2,3,4,5,6的机会是均等的,故共有6种均等的结果,其中球上数字为奇数1,3,5有3种结果,故P(摸出球上数字为奇数)=1/2.

(2)搅匀后从中任意摸出一个球,摸出球的数字不大于4的情况有4种,则P(摸出球的数字不大于4)=2/3.(方案较多,不唯一)

【点评】本题考查概率的求法,也是一道开放性问题,又是数学知识应用的方案设计问题,有利于数学思维能力和思维品质的培养.

拓展四:迁移方法

在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只,某学习小组做摸球实验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复,下表是活动进行中的一组统计数据:

(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近________.

(2)假如你去摸一次,你摸到白球的概率是________,摸到黑球的概率是________.

(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只.

(4)解决了上面的问题,小明同学猛然醒悟,过去一个悬而未决的问题有办法了. 这个问题是:在一个不透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)?请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题,写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.

【分析】先根据表中的数据,估计出摸到白球的频率,利用摸到白球的频率即可求出摸到白球的概率,即可求出口袋中白颜色的球有多少只.

解:(1)频率具有稳定性. 观察表格得摸到白球的频率将会接近0.6.(2)摸到白球的概率是0.6,摸到黑球的概率是1-0.6= 0.4.(3)20×0.6=12,20×0.4=8,故黑球8个, 白球12个.(4)1添加:向口袋中添加一定数目的黑球,并充分搅匀;2实验:进行大数次的摸球实验(有放回),记录摸到黑球和白球的次数,分别计算频率,由频率估计概率;3估算:黑球个数/摸到黑球的概率=球的总个数,球的总个数×摸到白球的概率=白球的个数.

【点评】本题取材于摸球实验,蕴涵着研究性学习的思想方法. 研究性学习是一种崭新的学习方式,在解题中需要关注遇到的相关信息,并做研究,是知识考查新趋势.

拓展五:交汇知识

在四个完全相同的小球上分别写上1,2,3,4四个数字,然后装入一个不透明的口袋内搅匀,从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x,放回袋中搅匀,然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y,则点P(x,y)落在直线y=-x+ 5上的概率是________.

【分析】考查列表法与树状图法.首先根据题意画出表格,然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=-x+5的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.

解:列表得:

∵共有16种等可能结果,数字x、y满足y=-x+5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),

∴数字x、y满足y=-x+5的概率为:1/4.

故答案为:1/4.