乘与除解决问题练习题（精选7篇）
篇1：乘与除解决问题练习题
自从2011年新课程改革以来, “应用题”的字眼在小学数学中已不再出现,换成了“解决实际问题”这样的字眼。在新《数学课程标准》中,特设了“解决问题”的目标,教材的编写也凸显了问题解决的理念。但实际练习中,往往都是“穿新鞋走老路”,考题中的题目还是以前的应用题,题目并不能触及解决问题的本质,学生的解题思维仍然是以前解决应用题的传统思维模式,并不能真正提高学生解决问题的能力。
这就促使我思考几个问题:解决问题是否等同于解答应用题?在平时的教学考查中,到底要考查学生怎样的解决问题的能力?怎样让学生解决问题的能力得到考查,得到真正的考验呢?
日常教学中,我试着从以下几个方面来考查学生解决问题的能力。
1. 注重考查学生发现问题和提出 问题的能力
有人说,发现问题和提出问题比解决问题更重要。发现和提出好的问题更有助于学生成为成功的问题解决者。一个好的问题的解决往往孕育着更好的问 题的产生。
例1:要解决“这堆稻谷大约重多少吨?”这个问题,我们要先解决哪些问题,才能完成呢?
本题中,要解决“这堆稻谷大约重多少吨?”这个总目标,较为复杂,不仅需要学生透彻地理解圆锥的体积计算方法,还需要捕捉到“每立方米稻谷重多少吨?”这一隐性问题。所以学生需要写出的问题主要有:①圆锥的底面积有多大?②圆锥的体积有多大?③每立方米稻谷重多少吨?当然学生还可以提出其他子问题,只要具备可行性,都是可以的。
2. 考查学生收集信息、整合信息 的能力
例2:一种压路机前轮直径0.8米,轮宽1.6米,左右两轮各是直径1米、轮宽0.5米。如果压路机每分钟向前滚动3米,1小时压路面积是多少米?
本题设计图文并茂,富有浓厚的生活气息,蕴涵着别出心裁的数学智慧。要考虑压路面积,一般只告诉学生前轮的大小。而本题中,还告诉了学生左右两轮的大小,其实题目中左右两轮,只是为了压路机的前进起到驱动作用。这样的多余条件,解决问题时势必给学生造成干扰。
例3:“低碳生活”从现在做起,从我做起。据测算,1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨。如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃,相应每年减排二氧化碳21千克。某市仅此项减排就大约相当于18000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳;若每个家庭按2台空调计,该市家庭约有多少万户?
本题蕴涵的信息很是丰富,但解题的关键就是学生读题后能从中分析出吸收二氧化碳量的倍比关系。
3. 考查学生对解决问题策略的应 用能力
一般解决问题需要经过一定的步骤,最著名的应该是波利亚的“解题四步说”:①理解题意;②拟订计划;③实现计划;④回顾和检验。小学阶段所学的解题策略有画图、一一列举、倒推、假设、替换等,可以通过纸笔来完成。对于解决问题策略的应用能力的考查,应该作为考查的重点。
例4:甲乙两车同时从A地开往B地,甲车到达B地后立即返回,在离B地45千米处与乙车相遇。甲乙两车的速度比是3︰2,求相遇时乙车行了多少千米?
本题主要考查学生运用画图策略的能力,题中只有一个具体的量45千米,必须通过画图分析出一分量为90千米,这样题目才能迎刃而解。
篇2：乘与除解决问题练习题
[关键词]解决问题 估算 练习设计
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）02-051
估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用，也就是说，估算要在具体的“解决问题”中才能体现真正的应用价值。可在实际教学中，虽能使学生对“解决问题”的估算学得有滋有味，却很难找到与之配套的练习设计。
一、雾里看花，调查现状
1.不知估算有何用——懒得估
如有这样一道题：“一个电影院里有18排座位，每排有32个座位，请你估算一下，520人能坐得下吗？”很多学生都是这样解答的：32×18=576（个），576>520，所以520人能坐得下。这种方法虽然可以解决问题，但是不符合题目的要求，且有学生甚至会疑惑“笔算能解决的问题为何一定要估算”。
2.不知何时要估算——胡乱估
部分学生虽有一定的估算意识，却片面地认为：“只要题目中出现‘大约’两字，就要估算。”如有这样一道题：“小明每分钟大约走65米，他从家到学校大约要走8分钟，他家到学校有多远？”学生列式为65×8≈520（米）。
3.不知估多少合适——算后估
有些学生能试着估算，但对于估算的结果却很纠结，最后为了解题正确，便出现先算后估的现象。如：“（1）有36人准备去划船，每条船可以坐5人，请问大约需要几条船？（2）李阿姨用50元钱去买9元一支的钢笔，大约可以买几支？”第（1）题正确列式为36÷5≈8（条），第（2）题正确列式为50÷9≈5（支）。
二、众里寻他，分析现状
1.学生的年龄特征
小学生以形象思维为主，生活经验和常识有限，而在解决问题中运用估算则需要学生有广博的知识和常识，不仅要对几个不同的估算结果能正确选择，还要有具体问题具体分析的能力。因此，估算对学生而言并不容易。
2.估算价值何在
在现有的练习题中，学生不仅没有体会到估算的必要性，而且没有感受到估算的好处。此外，有一些学生发现，一些问题的解决不用估算也可以，而且不容易出错。
3.习惯精算，不愿估算
长期以来，解决问题都是以精算的形式出现的，很少有练习是要求学生估算的，造成学生形成思维定式，不愿估算。
三、柳暗花明，策略研究
1.创设情境，感受估算价值
为了让学生切实感受到估算的应用价值，从而喜欢估算，教师可以在教学“100以内加、减法”单元后，设计以下练习。
第（1）题，设计同学过生日的情境，能激发学生的学习兴趣。由于题中上衣价格的个位数字没有直接告诉，学生不能进行精确计算，所以很自然地想到估算：上衣的价格是30多元，就是在30至40元之间，即估算为40元，这样买一套衣服也只需要98元，所以带100元够了。第（2）题，因为当时学生没有学过小数的加减法，便会试着用估算去解决。
2.对比训练，建构估算意识
很多学生都有这样一个误区，认为“大约”就是估算。其实，我们见到的“大约”有两层意思：一是为了严密地描述连续量，体现连续量的近似属性，这种情况不需要估算；二是在一定情境中需要找离散量的近似数，这种情况才需要估算。如：“一条蚕大约吐丝1500米，小红养了6条蚕，大约吐丝多少米？”这里的“大约吐丝1500米”是个连续量，不管“1500米”前面有没有“大约”这个词语，“1500米”都是一个近似数，因此这里不需要估算。
例如，学习“三位数乘两位数的估算”后，教师可以通过设计自我分析的对比练习来帮助学生理解“大约”的含义，引导他们建构“大约”的意义。
这样的练习，通过自我分析与讨论交流及教师的适时引导，学生头脑中便会渐渐形成选择的意识，从而真正理解“大约”的意义。
3.分析结果，掌握估算技巧
例如，教学“乘法估算”一课时，有这样一道例题：“每张门票49元，有104个同学参观。该准备多少钱？”学生第一反应是把104看成100、49看成50，很简单地运用“四舍五入”法得出该准备49×104≈50×100=5000（元）钱。教师通过引导，激活学生已有的生活经验，使学生很快明白要把票价和购票的张数适当估大些，最后认为49×104≈50×110=5500（元）比较好。同样，教师在练习中若能稍加点拨，学生是能根据生活经验去体会、辨析估算的结果的。那么，在设计练习时，教师不妨激发学生对问题产生质疑。如下：
（1）自我分析，学会数值的区间估计法。
例如，学习“除数是一位数的除法估算”后，教师可设计以下练习。
通过练习，学生不仅能理解何时需要把数值估大，能对估算的结果进行预测，而且会对自己的估算值进行适当的调整，从而提升了学生的思维能力。
（2）小组讨论，掌握省略尾数取近似值。
课后，教师在布置独立作业的同时，也可以布置小组作业，让学生在独立完成题目的基础上，在四人小组中交流答案。这样，既可以使学生在讨论中说出自己的估算方法和想法，又能让学生在与同伴讨论过程中学会辨析自己的结果是否正确，从而灵活运用方法解决问题，掌握估算的技巧。
4.运用生活，体验估算价值
“数学来源于生活，服务于生活”，这才是学习“解决问题”中估算的真正目的。因此，课堂教学中，教师可设计以下练习。
5.数学日记，提升估算能力
让学生写数学日记，既有利于培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，又有利于激发学生学习数学的兴趣，使他们享受到学习数学的快乐。因此，我提倡学生撰写数学日记。同时，我还开展“估算日记大比拼”“估算手抄报”等活动，引导学生学会用数学的眼光观察生活、观察社会，培养学生用数学知识解决实际生活问题的意识和能力。
学生估算意识和能力的形成，需要长期的渗透和教师坚持不懈、持之以恒的努力。教师可在习题练习中，让学生感受到估算的价值；在对比训练中，引导学生建构估算的意识；在结果分析中，使学生逐步掌握估算的技巧；在写数学日记中，提升学生的估算能力。因此，教师要做个有心人，充分挖掘教材、生活中估算的教学资源，使学生切身体验到估算的价值，从而积极主动地学习，真正爱上估算。
篇3：乘与除解决问题练习题
圆锥曲线的综合题既是解析几何教学的重点, 又是高考考查的热点.然而传统的“粉笔加黑板”在处理点在圆锥曲线上运动时, 由于难以进行“动态”处理, “动点”只能用黑板上的一个静态的“定点”来表示, 导致学生难以形成良好的运动观, 整个学习过程抽象乏味.数学软件《几何画板》中的动画、追踪、轨迹等功能恰好填补了传统教学的空白, 为圆锥曲线中的动点教学提供了广阔的前景.
二、过程
教师:求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题.今天与同学们一起探讨:怎样探求点的轨迹.
问题是数学的心脏, 思维从问题开始.我们先看一个具体的例子:
如图1, 过椭圆
通过学生思考与讨论, 5分钟后, 大部分都得出以下解法 (思路) :
假设弦AB所在直线的斜率为k, 则AB的垂线的斜率为
最后消去参数k就得到点M的轨迹方程:
教师用几何画板演示:拖动主动点A在椭圆上转动, 追踪点M, 得到点M的轨迹是一个小圆 (如图2) . (利用图形验证结论, 加深学生的印象)
忽然, 有一个学生站起来说:“这样的解题思路虽然容易想出来, 但运算非常复杂, 稍有不慎就会出错.而这个轨迹既然是一个圆, 而且是以OF1为直径的圆, 是不是有什么简单的方法?比如说利用圆的定义或性质.”
新课程的要求就是以学生为主体, 教师为主导, 引导学生提出问题, 解决问题.这正是一个很好的机会.于是笔者决定放弃自己既定的教学目标, 由其他学生帮忙解决这个问题.
大概2分钟后有一个学生说:“我有一个很简单的方法:因为OM⊥AB , 所以|OM|2+|F1M|2=|OF1|2, 若设点M的坐标为 (x , y) , 点F1的坐标为 (c, 0) , 则x2+y2+ (x-c) 2+y2=c2, 即
“啊!这么简单!”同学们都惊讶起来. (教师鼓掌表示祝贺)
马上又有一个学生说:“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了.其实这个问题只与原点和点F1的坐标有关, 而与椭圆的弦无任何联系.就是‘给定两点O与F1, 过这两点作两条互相垂直的直线, 求交点的轨迹方程.’这当然很容易解得.”
教师:“很好.刚才同学们讨论得很不错.在探求点的轨迹时, 一定要注意设法找出动点所满足的几何条件, 寻找动点与不动点之间的几何关系.平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处.”
至此学生提出的问题也已解决, 但是笔者认为利用定义或性质解决轨迹问题是高考的一个重点和难点, 有必要继续研究下去, 于是就提出以下问题和学生继续探讨.
三、问题的再探究
问题1:F为抛物线y2=2px (p>0) 的焦点, P为抛物线上的任一点, 请判断以线段PF为直径的圆与y轴的位置关系.
【教师活动】
1.在《几何画板》平台作出本题的图象 (如图3) , 拖动主动点P, 让学生观察圆A的变化情况.让学生从直观上感觉圆与y轴是相切的 (图4) , 启发学生利用圆与直线相切的条件|d|=r, 进而解决本题.
2.板演解题步骤 (规范书写, 给学生示范)
解:作PP1⊥准线l, AA1⊥准线l, 垂足分别为P1, A1, 准线l与x轴交于F1 (如图4) ,
则
∴|d|=r, 即线段PF为直径的圆与y轴相切.
3.教师小结:解题时要充分利用直线与圆位置关系的判断条件, 以及抛物线的几何性质.
变题1:F为抛物线y2=2px (p>0) 的焦点, A、B为抛物线上的点, 且A 、B 、F 在同一直线上, 则以线段AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系为______.
【教师活动】
1.在《几何画板》平台作出本题的图象 (如图5) , 拖动AB, 让学生观察圆P的变化情况.让学生从直观上感觉圆与准线是相切的 (图6) , 通过和第一题的类比, 进而解决本题.
2.教师小结解题思路并要求学生完成本小题解答. (由于有了第一小题的方法以及几何画板的直观作图, 学生不难解决此题)
3.解决了抛物线中的有关问题, 能否在其他圆锥曲线上解决类似问题呢? (设疑)
变题2:F为椭圆
【教师活动】
1.通过几何画板分别作出图形 (图7) , 由学生自己分析并解决问题.
2.解决了椭圆的问题, 大家不挑战一下双曲线吗? (继续设疑提高学生的兴趣)
变题3:F为双曲线
【设计意图】
在前面已经讨论了以椭圆, 抛物线焦直径为直径的圆与此曲线相应准线的位置关系, 学生一定会想知同样作为圆锥曲线的双曲线是什么情况.教师通过让学生猜测结论, 然后利用几何画板作出图, 要求一名学生口答求证的思路.
变题4:F为双曲线
【设计意图】
本题随着点P在双曲线的不同支上时, 结论不一样.如果采用传统的教学方法就达不到效果, 因此利用几何画板动态演示, 引导学生运用分类讨论思想
【教师活动】
1.通过电脑演示作图过程, 得图8, 学生猜测两圆是外切关系.此时教师要求学生证明自己的猜测.
2.学生一般能得出以下证明方法:设F1为双曲线的左焦点, M为线段PF的中点;连结PF1、OM, 圆心距
教师继续提问学生这个性质跟点P的位置是否有关系 (一般来说学生会认为没有关系) .
3.教师继续演示几何画板让P点在双曲线上运动, 发现当P点运动到双曲线的左支时, 两圆不再外切了, 看上去更像内切 (如图9) .
学生此时会恍然大悟, 得出结论:圆心距
4.教师总结:看问题要全面, 做到“去伪存真”.
四、思考
虽然, 本堂课没有完成既定的目标, 但是借助几何画板的演示功能, 引导学生在实验中不断发现问题、提出问题、解决问题, 既培养了学生的能力, 也培养了他们学习数学的兴趣.
篇4：乘与除解决问题练习题
关键词：教学策略；数量关系；数学方法；应用意识
长期的教学实践中我们发现，数学应用意识的失落是教学中普遍存在的现象。不少学生进入中段后，对学习数学知识就有了畏惧感，特别遇到“解决问题”练习时，从此便有了“数学焦虑”。
如何帮助孩子打败“数学焦虑”，发展思维，提高小学生用数学知识解决实际问题的能力？
一、“应用问题”的教学策略
1.读说训练，寻找解题的有效信息。在审题过程中要培养学生透过现象看本质，读题，完整叙述题意，分析问题，培养学生筛选信息的能力，找到解题的有效信息，为正确解题打下基础。
例如，二年级学生排方队做操，每行每列的人数相等。小明站在第5列，从前往后数，他排第10个，从后往前数，他排第7个。问：二年级有多少同学在做操？
首先阅读与理解，圈出题中的关键词句；其次，引导学生说题意。“知道什么信息？要求什么问题？”“要解决这个问题，你是怎么想的？”“题中条件中的所有数据都用上吗？为什么？”“说说你能用什么方法求出每列人数？”第三，引导学生解题。学生可能通过画示意图等方法求出每列人数，列出算式解答。最后让学生结合题意说算式中每个数的含义，边叙述，边回顾整道题的思考过程。
2.理清数量关系。数量关系是解决问题的切口，教学中要突出数量关系的渗透，借助数量关系能让许多疑难问题对应的量与量之间的关系更加清楚。
例如，学校舞蹈兴趣小组共有48人，女生人数是男生的2倍。男、女生各有多少人？
多数学生可能会列式为48÷2=24（人），究其原因，三年级学生已经掌握了几类简单求倍的问题，但“和倍问题”平常接触少，这样就成了学生一时难以解决的疑难问题。
首先引导学生阅读并勾出重点词句，着重理解“女生人数是男生的2倍”。有的学生用一根铅笔表示男生人数，将其看做一份，用同样长的2根铅笔表示女生人数；有的用条形图表示，还有的画出了线段图。通过数形结合，学生明白了如果将男生人数看做一份，女生人数就相当于男生人数的2份，男女生的总人数就相当于男生人数的3份。根据“总数÷份数和=一份数”这个数量关系求出男生人数，用48÷（2+1）=16（人），这16人就是男生人数。
二、掌握解决问题的方法
1.综合法。综合法，“从条件想起”，先思考哪两个条件有关系，有什么样的关系？可以求出什么问题？再找出与之有关系的其他条件，层层剥笋，直到求出最后的问题。
例如，“六一儿童节，老师买了12个绿气球，黄气球是绿气球的2倍，红气球比黄气球多10个，红气球有多少个？”
首先读题，梳理条件，找到有关联的两个条件，可以求出什么问题，并尝试画图，借助直观图理解题意，建立条件之间的联系。根据“12个绿气球，黄气球是绿气球的2倍”这两个信息可以先求出黄气球的个数，再根据“黄气球个数和红气球比黄气球多10个”这两个条件，求出红气球的个数。
最后引导学生回顾反思解决问题的过程，比较、归纳，感悟蕴涵在解决问题过程中的重要思想方法，逐步明晰“从条件想起”的策略在解决问题过程中的意义和价值。
2.分析法。分析法就是“从问题想起”，思考要求的问题必须知道哪些条件，列出相应的数量关系，然后对照条件确认什么已经知道，什么还不知道，从而确定需要先算什么。
例如，一根绳子长1000米。第一次剪了200米，第二次剪的比第一次剪的多50米，第三次剪的是前两次的和。这根绳子比原来短了多少米？
首先理解“这根绳子比原来短了多少米？”的含义。借助情境演示，用一根绳子演示每次剪绳的过程，将问题进行转化，即剪了3次后，这根绳子比原来短了多少米，就是求3次剪去的总长度。数量关系是：第一次剪去的米数+第二次剪去的米数+第三次剪去的米数=3次剪去的总长度。对照条件，第一次剪的长度是已知的，找相关联的两个条件求出第二次剪的长度，再求第三次剪的长度。
学生列出算式后，通过追问，突出“根据问题想条件”，简要回顾思考过程，抓住问题想，根据数量关系式确定先算什么，进而思考“中间问题”还缺什么条件。
分析法和综合法是解决问题的两大基本策略。其中，“从条件想起”是顺向思维，“从问题想起”属于逆向推理，思维难度较大。教学中，重视引导学生体会“从问题想起”的好处，使学生感受策略的价值，增强学策略、用策略的主动性，培养学生的思维能力。在解决问题的过程中，还要根据实际灵活运用画图法、标注法、列表法等辅助方法。
三、学生应用意识的培养
在培养学生“解决问题”能力方面，注意知识与生活之间的联系，努力引导学生学以致用，培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力。
1.自主发展，拓展学习数学的空间。学习书本知识的同时，会用“数学”的眼光去观察、发现，把数学与生活紧密联系在一起。
在平时的学习过程中，可以组织学生写数学日记，编数学小报；组织学生实地测量操场的长、宽，计算周长和面积；统计学校某年级各班的男女生人数，制成复式统计表和统计图，再提出相关的数学問题；调查商场或超市一些商品价格；以及“菜场上的实际问题”，“旅游中的数学问题”，报刊中的数学问题等。使学生从课堂走向课外，充分挖掘学生学习数学的资源，让他们在实际运用过程中感悟数学知识与生活问题的密切联系，激发学习数学知识的兴趣，提高学生的数学思维能力。
2.合理安排练习题，拓展延伸教材习题的策略。（1）易混淆知识，对比练习。教师设计练习时要有针对性，引导学生对易混淆的内容加以辨析，沟通知识之间的联系，正确把握知识点，提高解题能力。
例如，（1）果园里有120棵苹果树，梨树是苹果树的2倍，两种树一共有多少棵？（2）果园里有120棵苹果树，苹果树是梨树的2倍，两种树一共有多少棵？
（2）综合练习，融合贯通，培养学习兴趣。综合练习可以将学生学过的的知识加以综合应用，采用多种方法解决问题，从而提高综合运用知识和灵活解题能力。
例如，有两筐苹果，甲筐苹果重78千克，乙筐重60千克，从甲筐放进乙筐多少千克苹果后，两筐苹果同样重？
这种类型的题目，可以适时拓展延伸，达到举一反三之效。
例如：（1）有甲、乙两筐梨，如果从甲筐取出10千克给乙筐，则两筐同样重。甲筐原来比乙筐多多少千克？（2）甲、乙两筐鸡蛋，从甲筐拿出15个鸡蛋给乙筐后两筐同样多。现在乙筐有60个鸡蛋，甲筐原来有多少个鸡蛋？
篇5：乘与除解决问题练习题
关键词：总体最小二乘法,最小二乘法,直线拟合,几何解释
0 引言
总体最小二乘问题不是近期才提出, 其起源可以追溯到19世纪下半叶, 此时只考虑单变量问题。总体最小二乘 (Total Least Squares, TLS) 这一术语直到上世纪末在中由G.Golub and C.Van Loan提出。总体最小二乘问题在起步阶段主要限制在统计学研究领域且只研究单变量问题, 在此领域有称其为“正交回归 (orthogonal regression) ”或者“误差变量回归 (errors in variables (EIV) regression) ”问题。Adcock、Pearson、Koopmans、Madansky、York等等, 对单变量总体最小二乘问题在统计学领域的发展做出了巨大的贡献。在20世纪七八十年代左右, Sprent和Gleser将单变量问题发展为多变量和多维度问题。
G.Golub首次将其引入到数字分析 (numerical analysis) 领域, 利用奇异值分解 (singular value decomposition, SVD) 方法对其本身及算法进行分析。Staar从几何角度对SVD方法的属性进行了分析得到相同的观点。由于Golub的算法只能解决常规总体最小二乘问题 (下文将对其进行分析) , 很多情况下不能得到唯一解甚至无解。为能适应更加广义的总体最小二乘问题, Van Huffel and Vandewalle提出广义SVD算法来解决广义总体最小二乘问题, 并就广义 (非常规总体最小二乘) 问题进行属性分析。
本文分析了总体最小二乘和经典最小二乘法的基本理论, 并对两种方法进行了几何解释, 从而来比较他们之间的特点。
1 原理推导
1.1 经典最小二乘法
在测绘中经典最小二乘就是利用m个观测值在误差平方和最小原则下求取n个参数和m观测值本身的最可靠值。如下:
A是m×n维不受误差影响的系数矩阵, b是m×1维受到误差影响的观测矢量, 根据如下准则来求取x的最可靠值,
‖•‖2指的是欧式空间距离, b’是b的最佳估计值。通常将方程 (2) 转换成其相容方程 (3) :
此时如果A为满秩矩阵 (R (A) =n) 便可解得x的唯一最佳可靠值, 即:。这便是最经典的最小二乘理论。要获得解唯一解, 经典LS作了如下的假设:方程 (1) 是线性方程;仅观测量b含有误差;观测量之间相互独立并且是等精度观测;误差服从标准正态分布以及前面提及A必须是满秩矩阵。如果观测量之间不是等精度观测, 则必须在方程 (2) 中加入观测权, 则变为:‖P (b-b') ‖2=min, 此时P=diag (p1, …, pm) 的对角矩阵。同时如果A不是满秩矩阵, 则方程 (3) 就不能直接求逆, 必须用矩阵的广义逆求解, 得:
为带权最小二乘最小范数逆。
1.2 经典总体最小二乘法
系数矩阵和观测量b都含有误差的数学表达为:
其中 (b+r) ∈R (A+E) , 最小准则为:
根据准则 (6) 求得, 则任何x都满足Ax=b, 这便是方程的TLS解, 用xTLS表示。E和r分别代表矩阵A和观测量b的误差, ‖•‖F表示Frobenius范数准则。
则公式 (5) 可改写为:
x’表示最佳估计值。
对C做奇异值分解:
, U和V分别是m和n+1列的正交矩阵, ui∈Rm和vi∈Rn+1, σ1≥σ2≥…≥σn≥σn+1≥0是C的奇异值。
如果σn>σn+1并且vn+1, n+1≠0则有:
最后得到x的最小二乘唯一解, 。
2 最小二乘与总体最小二乘的几何解释
为方便对TLS和LS问题进行比较, 将模型简化到最简单的单变量情况下, 即n=1。此时只有一个参数需要估计, A (m×1) 和b (m×1) 分别对应x和y的m个观测量, k为待估参数。即是方程 (11) :
yi=yi0+Δyi;xi=xi0+Δxi (i=1, 2, ……, m) 。yi0, xi0表示观测量的“真实值” (通常是最佳估计值) , 等号左边的是对应的观测值, Δ表达对应的误差。现用观测值来估计参数k, 从而实现直线的拟合。
首先假设Δxi=0, 矩阵A不含有误差, 误差只对b有影响, 此时可以用LS方法来进行拟合即可得到准则 (12) :
对公式 (12) 求关于k的一阶导数并令其等于零, 得:
解得k的最佳估计值:
现在假设Δyi=0, 而Δxi≠0, 也即是矩阵A含有误差而b不含有任何误差, 此时同样适用LS方法进行解算。在公式 (11) 两边同时除k, 则得:
同样求导后解得k的最佳估计值:
如果假设Δyi≠0且Δxi≠0, 此时所有观测量都含有误差, 适合适用TLS方法进行解算, 使x和y的误差的平方和同时达到最小, 即:
因为E和r分别表示点在x和y轴上的误差, E和r分别平行于x轴和y轴。由公式 (18) 可以看出TLS误差的总和最小即是点到直线的距离平方总和最小, 。令m=15, 在平面上取15对相应的 (x, y) 坐标, 利用方程 (14) 和 (17) 可以得到图1和图2的结果。图3即表达了公式 (18) 的几何含义。
3 结论
篇6：乘与除解决问题练习题
苏教版小学数学六年级上册第93页练习十七第2、3、4题
教材及学情分析
替换和假设策略是小学阶段最后一次策略教学，以前学习的画图和列表等策略为本单元的学习提供了方法上的支撑。其他策略单元只教学一种策略，而本单元安排了替换和假设两种策略，其共同点是通过等量替换或假设把两种量转变成一种量，从而使问题的解决简单化。通过前面例1、例2的学习，学生已经初步学习了用替换和假设的策略解决一些实际问题，但由于解决这些问题的思维过程复杂、解题步骤较多，实际教学效果并不理想，学生套题型、死记步骤的现象较多。本课是针对性的练习课，但教材仅安排了三道练习题，其意图并不在于要让学生掌握多少实际问题的解决方法，而是侧重于让学生感受解决问题过程中策略的应用，提升学生解决问题的策略意识。
教学目标
1.通过练习，学生进一步积累运用替换、假设策略解决问题的经验，初步体验替换和假设两种策略的内在联系，增强解决问题的策略意识。主动克服在解决问题中遇到的困难，获得成功的体验。
2.通过练习，能针对不同的情境，在运用策略时选用合适的方法，感悟策略运用的灵活性。
3.通过数学名题的介绍，引领学生感悟数学的神奇美妙，感悟我国古代人民的聪明智慧。
教学过程
一、 辨一辨
1.师：前面两节课，我们学习了替换和假设的策略，都会用了吗？不要列式计算，以下这些题需要用到“替换、假设”的策略吗？
（1）多媒体出示题组：
①梨花庄小学有3块面积相等的花圃和3块面积相等的苗圃，一共是480平方米。每块花圃比每块苗圃大10平方米，每块花圃和每块苗圃的面积各是多少平方米？
②梨花庄小学有3块面积相等的花圃和3块面积相等的苗圃，一共是480平方米。每块花圃的面积是苗圃的4倍，每块花圃和每块苗圃的面积各是多少平方米？
③1元和5角的硬币一共40枚，计有33元。你知道1元和5角的硬币各有多少枚吗？
④有两堆5角的硬币。第一堆共13元，第二堆共18元。你知道，这些5角硬币共多少枚吗？
（2）学生口答，逐题判断。
2.师：仔细观察这四道题，有的需要用替换策略解决，有的需要用假设策略，还有的既不能用替换，也不能用假设。
（1）为什么第④题既不需要用替换策略，也不需要用假设策略？
（2）比较前3道题，它们需要用替换或假设策略解决，有什么共同点呢？
（3）根据学生的回答，整理归纳。课件标出每一题中的“两种量”、“一种量”，引导明确：①只有一种同样的量，既不需要替换，也不需要假设。②用替换和假设策略最终是把两种不同的量转变成同一种量。
设计意图：本环节的练习设计，通过三道需要“替换、假设”的题与一道不需要“替换、假设”的题的对比，异中求同，引导学生在比较中整体感悟替换、假设策略的应用情境，在反思中进一步把握替换和假设策略的应用模型。这样设计一方面是为了避免部分学生不管遇到什么题都不加思考地替换、假设，更重要的是通过题组比较，厘清替换、假设的本质特点：把两种不同的量变成同一种量。
二、 比一比
1.师：我们把上面几道题中用到替换和假设策略的挑出来，大家会做吗？
学生独立解答，指名板演。
2.汇报交流：
第①题，学生汇报时，教师注意引导：把什么替换成什么？替换之后有什么好处？替换之后什么变了，什么没变？怎样才能证明你一定做对了？还有别的替换方法吗？（同桌互相说说另一种替换方法。）
师：这两种方法都是替换，有什么不同呢？
根据学生的回答，整理并板书：相差关系→总和不变；倍数关系→总和变化
第②题，让板演的学生自己讲怎么想的，怎么做的，如果觉得说不清楚，也可以邀请好朋友帮着讲。
第③题，请你做回小老师，到黑板前来讲。
3.回顾我们刚才解决这3道题的过程，它们有什么共同的地方？（都有两种不同的量，都需要通过替换或假设变成同一种量。）
4.昨天老师在其他班上课时，有同学对我说：“老师，替换其实也是一种假设”，“假设时也用到了替换的策略”。你觉得这两句话有道理么？同桌互相说说自己的理解。
汇报交流，允许学生举例说明，教师适时引导点拨，师生共同整理。
设计意图：学生策略意识的形成不可能通过教师讲解、传授而获得，只能在解决具体问题的过程中，通过大量经验的积累，逐渐从内部萌生。本环节的三道练习题，是由教材既有的练习题改编重组而来的，以题组的形式呈现，方便学生在解决问题的过程中对比分析。表面看来这些练习是对前两节课的巩固与提高，但教师在教学处理时，弱化了具体解题方法的讲解指导，而更看重引导学生对解决问题过程的“回顾与再认”，强化学生对策略的体验与感悟。力图让学生在三道题的解决过程中，进一步积累用“替换和假设”解决问题的经验，促进对“替换、假设”本质的理解。在此基础上，适时地抛出“替换其实也是一种假设”，“假设时也用到了替换的策略”让学生讨论交流，促使学生主动沟通这两种策略的内在联系。
三、 选一选
出示：（根据教材93页第4题改编。）
①在学校活动室，4张乒乓球桌上有10名同学在比赛。你知道正在单打和双打的乒乓球桌各有几张吗？
②在学校操场，12张乒乓球桌上有34名同学在比赛。你知道正在单打和双打的乒乓球桌各有几张吗？
③在体育场，60张乒乓球桌上有142名同学在比赛。你知道正在单打和双打的乒乓球桌各有多少张吗？
师：这三题哪儿相同，哪儿不同？
师：先想一想解决这些题用什么策略？再选用合适的方法解决。
学生独立解决，汇报交流。
指名学生逐题说说各题分别用了什么策略、什么方法、为什么。
用实物投影并列展示不同的方法（如第①题，有的用画图，有的用列表，还有的列式计算），引导学生观察比较，通过自主交流讨论明确各方法的优劣：第①题，画示意图就能很快看出答案；第②题，用列表比较合适；第3题，数据较大，画图和列表解决都很困难，列算式解决较好。
师：刚才我们做的三道题，都运用了假设的策略，为什么要选用不同的方法呢？这对我们以后解决问题有什么启示吗？
设计意图：本环节设计的三道练习题，仅仅是数据上有差别，“难道差不多的三道题都用同一种方法解决吗？”这是大多数同学拿到题目的第一反应，此时以前学过的画图、列表等策略被主动激活，在解决问题的过程中比较、取舍，并结合具体的数据特点做出选择，实现了解决问题方法的优化。紧跟其后的“为什么要选用不同的方法呢？”追问，又引领学生重新回顾刚才解决问题和选用方法的过程，进一步体验策略运用时方法选择的灵活性。这样的反思对学生策略意识的生长是有益的。
四、 读一读
1.师：“假设”这种策略，聪明的古代人很早就会运用了。想知道吗？（多媒体出示：93页“你知道吗？”）
2.学生独立阅读。
3.师：这是一道中国古代名题，你能理解它的意思吗？谁能说一说？
4.师介绍《孙子算经》中的解法：所有的兔子都抬起两只前脚眺望月亮，这时头有几个，脚有几只？少了的24只脚上哪去了？说明有多少只兔？
5.师：这种解法本质上也是一种假设，是把什么假设成什么的？《孙子算经》上把这种解法叫做“玉兔望月”。
设计意图：作为本课的最后一个环节，在经历了大量的练习、大量的思考之后，学生积极性有所降低，如何继续维持学生的学习兴趣、使学生有更多的收获，是教师在备课时值得思考的一个问题。上述设计，以教材提供的自主阅读材料“你知道吗？”入手，让学生了解我国古代灿烂的数学文化，激起学生继续探究的欲望。在此基础上，进行了适度开掘，介绍了“玉兔望月”的解法，有效地引发学生的学习兴趣，同时进一步体验数学的有趣、丰富和神奇。
篇7：乘与除解决问题练习题
首先, 风箱不规律进出的处理及适应。《德国土风舞》中风箱进出的安排同之前练习的部分有所不同。它不再是练习曲中风箱有规律 (保持或两小节或四小节) 的出进, 而是根据音乐的需要来决定风箱的使用。乐曲的第一小节风箱是“出”, 第二、三小节为“进”, 第四小节“出”, 第五小节“进”。从第六小节至第十七小节为规律的两小节“出”, 两小节“进”。接下来的第十八、十九小节又变成了一小节“出”, 一小节“进”的方式, 之后又返回到规律性的风箱进行。看似简单的推拉动作, 到了初学者那里总会有一些问题产生。第一小节三拍“出”去后风箱量怎么可以满足之后推回去的两个小节六拍的风箱量?参考乐谱下方的提示“第一小节是一个预备小节, 类似《蓝色多瑙河圆舞曲》的第一个小节”。为了达到风箱气量的“收支平衡”, 可根据提示将第一小节中的三拍扩展到六拍, 即每个四分音符演奏成为二分音符的效果, 这样就可以解决开始部分的问题了。而乐曲中其它两处风箱运动不规律的地方, 可以通过跟着唱的方法来习惯这种风箱运行。因为这里风箱的安排是根据乐句决定的, 乐句的起承又类似于我们唱歌时的气口, 所以一边练琴一边跟着唱是可以起到相辅相成作用的。
另外, 教师在给学生指导过程中一定要解释清楚本乐曲风箱不规则运用的原因, 以免初学的学生错误地认为只要是演奏乐曲时, 风箱就可以没有规矩的推进拉出, 给以后的学习带入不正确的概念。
第二, 依据要求正确运用指法的问题。在柯·米列克的《手风琴教学法提示中》指出:必须认真遵守定出的指法, 这是为了使手和手臂在右手、左手键盘上有一个正确、合适的位置, 避免出现生硬, 不灵活的动作。练好各种各样的触键法以便更快地提高手风琴的演奏技巧*。作为初级难度的乐曲, 《德国土风舞》中没有复杂的指法安排, 基本上以五指原位为主。所以在谱面上我们只看到了第一个小节, 第十九小节到二十五小节和第三十二小节共十一小节给出了指法安排, 其它的部分并没有标出指法。原因是在这些小节中没有出现使用穿、跨动作的要求, 而只需遵循五指原位的运用原则即可。例如乐曲开始部分:第一小节的f a、l a、d o, 分别标出使用1、3、5指, 接下来的第节因为五指原位的原则都必须使用的这个指法。但是有
些初学者为了逃避用四指演奏黑键, 第二小节后演奏所有的b s i时都换成了三指。这样的做法, 除了违背了乐曲本身要加强对四指的练习目的, 还容易养成错误的指法使用习惯, 不利于今后进一步的学习。所以教师应该立刻纠正, 并予以说明。而分析初学者之所以会改变指法, 是因为四指能力较弱, 初期使用时总不能得心应手, 甚至有些初学者有“我不能控制这个手指的”的感觉。事实上, 我认为这个问题并不难解决。要想能自如的使用这个手指, 只需要让初学者找到四指运动时的感觉。教师用两只手拿住学生右手三指, 四指或四指, 五指的指根部, 使用适中的力量稍慢的帮助学生上下活动指根部分。在这个过程中, 引导学生去感受四指脱离了三指, 五指干扰而进行的独立运动。之后立刻要求学生在键盘上用四指进行实践。通常经过这种帮助, 四指的灵活度都会有所改善。为了加强这个手指的活动能力, 教师可以将帮助学生手指活动的速度加快, 但是力度还是保持适中。在我的教学中, 这个方法一直能得取得不错的效果。
除此之外, 还应该要求学生多加练习《马格南特手风琴演奏法<一>》第十一课中的双手练习。如果学生能够认真对待此练习, 并能做到流畅演奏的程度, 变更指法的问题在《德国土风舞》中就不会出现了。
第三, 关于b B的演奏。黑键的演奏常让初学的学生感到紧张。可能是看到那细窄的触键面积而有些担心吧。在演奏《德国土风舞》中的b B时, 常会出现的问题是节拍的前冲, 即练习者害怕按不准而总会提前去按响这个键。仔细阅读乐谱就可以发现, 《德国土风舞》中出现b B的地方, 指法都是五指原位, 所以可以通过调整手型在键盘上放的位置来克服这个问题。一般演奏时, 要求五指放置在白键中心位置稍微偏外一些, 练习这首乐曲时, 可以要求学生将手向黑键靠近, 学生先练习弹奏F大调中的s o l下行到d o。因为这几个音正是学生的手指现在所处位置下可控制音域范围。这个简单的练习, 可使学生轻松掌握有黑键在内的各音之间的间距, 同时感受到四指弹奏b B时所用的力度。通过以上这两个方法, 初学者弹奏黑键前冲的问题会得到很好的改善。
另外, 需要指出的是:四指在弹奏黑键时, 易出现折指的毛病。有些初学者在之前的练习中从来没有过折指的问题, 但在这里却会发生。及时的发现, 并予以纠正, 避免学生将其养成习惯, 带入以后的黑键练习中。因此在学生练习弹奏黑键时, 教师可以反复强调‘指尖’触键, 发力点是指根的原理, 以防止错误动作的发生机率。
其实《德国土风舞》是一首很好的练习弹奏黑键的乐曲。初学的学生因为练习曲的枯燥而开始有点失去的热情会因为它的旋律优美而被重新唤起, 即使是需要演奏黑键;而且正如之前所述, 这个乐曲中的弹奏黑键部分保持着五指原位, 学生在演奏它的过程中没有什么‘冒险’动作;最重要的一点事, 这个黑键是通过四指来演奏。如果能让四指, 这个并不太容易控制的手指, 正确的遵守初学者发出的每一个运动指令, 对于他们心理上是一个很大的鼓励, 而对以后能正视演奏黑键, 也是一个保障。
最后, 乐句的衔接。初学者在练习《德国土风舞》时, 两个地方常会出现连接不畅的问题。第一处是1 7、1 8小节。四排长度的f a后, 一个包括四个八分音符的经过句。在这里大指的正确移动会决定乐句是否能够完整的连接。移动就是手腕放松、轻抬, 略向键盘的高音处下运动的几个动作的连贯。但是不少初学的学生却把它演绎成了“滑”、“跳”甚至“扭”的动作。错误的方法会导致手腕僵硬, 手指运动迟缓, 进而影响到乐句的衔接。因此, 在这里教师需要明确指出“移”是“平移”, 手腕处要保持放松并轻抬。这个动作类似我们的一个呼吸。手及手腕部分不会, 也不应该因为此动作翘。如果能掌握这两个移动时需注意的问题, 那么乐曲中衔接的问题便会迎刃而解。另外, 还需要指出, 四个八分音符的节拍在同长音f a连接时, 要保持一致。常有练习者将这四个音演奏的似乎忘了有节拍存在而匆匆带过, 暴露了他们节拍不稳定缺点, 需要在今后的练习中加以重视。
第二处则是在1 8小节的左手进入1 9小节处。在1 8小节中, 左手休止两拍后, 需要弹响第1 9小节的b B。初学者常见的问题就是左手不能及时的弹响这个音, 而造成连接的耽搁。分析原因发现是休止符让练习者的左手产生了惰性, 令弹响b B这个动作变的措手不及。休止符对于音乐的进行而言, 是一种无声的延续不是停顿, 初学者不能把休止符看做是让手指进行片刻休息的符号。练习者的手指在休止符的地方应该积极的为下一个音符做准备而不是出于静止不动。因此在练习这首小乐曲时, 需要培养学生正确的读谱及练习方式。只要乐曲没有结束, 手指就不能出现怠懈的状态。
以上《德国土风舞》中常见的问题, 初学者在其他练习中也可能会出现。重视每一条练习曲, 认真对待每一个细节, 只有这样才能具备扎实的基本功, 才能更完美的演绎每一首乐曲, 为今后更高水平的学习打下坚实的基础。
摘要：手风琴作为最为广泛普及的乐器之一, 无论在专业领域还是在大众音乐文化中都占据着极为重要的作用。我国在手风琴基础理论研究方面与世界先进水平还有一定差距, 手风琴教材还不系统、教学方法还不完善, 初学者在练习时容易出现偏差和错误。作者根据其多年的手风琴教学经验, 以《德国土风舞》为例, 深入浅出的分析了手风琴初学者在练习中常遇到的问题, 并给出了正确的解决方法, 对手风琴初学者在练习时具有一定得指导意义。
关键词：手风琴,初学者,风箱,黑键,乐句,德国土风舞,解决方法
参考文献
[1].《马格南特手风琴演奏法》 (美) 查尔斯·马格南特编颜丽莉译人民音域出版社出版1992年3月。
[2].《手风琴手册》陈一鸣上海音乐出版社2005年3月。
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