导数知识点总结

2024-04-23

导数知识点总结（精选8篇）

篇1：导数知识点总结

苏教版导数知识点总结

考试内容：

导数的背影.

导数的概念.

多项式函数的导数.

利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.

考试要求：

(1)了解导数概念的某些实际背景.

(2)理解导数的几何意义.

(3)掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的`导数公式，会求多项式函数的导数.

(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.

(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.

知识要点：

篇2：导数知识点总结

一、函数的单调性

在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

f(x)f(x)在(a，b)上为增函数.

f(x)f(x)在(a，b)上为减函数.

二、函数的极值

1、函数的极小值：

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

2、函数的极大值：

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

三、函数的最值

1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

2、若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法

1、确定函数f(x)的定义域;

2、求f(x)，令f(x)=0，求出它在定义域内的一切实数根;

3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;

4、确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

五、求函数极值的步骤

1、确定函数的定义域;

2、求方程f(x)=0的根;

3、用方程f(x)=0的`根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;

4、由f(x)=0根的两侧导数的符号来判断f(x)在这个根处取极值的情况.

六、求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

1、求函数在(a，b)内的极值;

2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b);

3、将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

特别提醒：

1、f(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-，+)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件.

2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.

篇3：导数知识点总结

对于导数公式表中的三角函数和指数函数的导数推导过程, 很多一线数学教师为了避免大学知识或是担心学生接受不了三角函数和指数函数的导数的推导过程, 就和书本上一样, 只要求学生记住公式、会计算就行.但是, 对于对数学感兴趣的、学有余力的和还要读大学继续深造的这三种学生来说, 他们需要知道公式的推导过程, 增加数学学习兴趣, 锻炼他们严密谨慎的逻辑推理能力, 为大学数学的学习奠定基础.《数学课程标准 (实验稿) 》修订的主要内容是“人人获得良好的数学教育, 不同的人在数学上得到不同的发展”.针对学生发展的差异性, 适当做到因材施教, 满足不同学生的发展需要是必要的.

一、新课程高中数学教材分析

随着新课改的进行, 高中数学教材编排发生了较大的变化, 对学生的要求也做了适当的调整.对于高中所学的基本初等函数的导函数, 新课程人教版高中数学选修1-1中3.2.2和选修2-2中1.2.2只给出了导数公式表, 教师对两个三角函数y=sinx和y=cosx, 指数函数y=ax和对数函数y=logax的导函数没有给出推导过程.对于以上三种函数的导数推导过程要用到大学数学分析上册中的极限

另外, 新课程改革中, 选修2-2中增加了定积分和微积分知识, 这些以前都是大学知识, 可见, 如今高中理科生的数学知识在与大学数学知识接轨.那么, 对于以上三种函数的导数公式的推导过程应该展示给需要知道推导过程的学生, 尽量做到因材施教, 让他们在老师的引导下体验推理过程, 有意义地建构公式的形成过程.由于对数函数的导数推导过程与指数函数的导数推导过程相似, 下面只从正弦函数和指数函数的导数推导过程入手进行推导, 从而让学生体会数学逻辑思维, 体验推理演绎能力.

二、正弦函数和指数函数导数公式推导过程

为了加强高中与大学数学知识的衔接, 可以将大学数学分析中的两个重要极限和极限作为高中阶段证明导函数的引理, 直接应用到推理过程中, 至于它们的证明过程待到大学进行深入探究与学习.

布鲁纳认为:“学习者在一定的问题情境中, 经历对学习材料的亲身体验和发展过程, 才是学习者最有价值的东西.”同样, 为了让不同的人在数学上得到不同的发展, 针对学生发展的差异性, 因材施教, 也应该让学生亲身体验导数公式的推导过程.下面通过导数的定义, 分别来推导三角函数中的正弦函数和指数函数的导数公式.

1. 正弦函数f (x) =sinx的导数公式推导过程

若f (x) =sinx, 则f' (x) =cosx推导过程如下:

2. 指数函数f (x) =ax (a>0, 且a≠1) 的导数公式的推导过程

若f (x) =ax (a>0, 且a≠1) , 则f' (x) =axlna.推导过程如下:

令t=aΔx-1, 则aΔx=t+1, 因为aΔx>0, 所以t+1>0.

即Δx=loga (t+1) , 且当Δx→0时, aΔx→1, aΔx-1→0, 即t→0.所以原极限可以表示为:

三、结语

篇4：导数知识的联系与贯通

1.导数是用相对简单的雨数研究复杂的雨数

我们看下面几个导数：

若f（x）=c（c是常数），则f'（x）=0；

若f（x）=ax+b，（a，b是常数且a≠O），则f'（x）=a；

若f（x）=ax?+bx+c，（a，b，c是常数且a≠0），则f'（x）=2ax+b；

若f（x）=ax?+bx?+cx+d，（a，b，c，d是常数且a≠0），则f'（x）=3ax?+2bx+c；

可见，导数可以将研究“常数”转化成研究“0”；研究“一次函数”转化成研究“常数”；研究“二次函数”转化成研究“一次函数”；研究“三次函数”转化成研究“二次函数”等等……也就是说通过研究低一次的函数来研究高一次的函数，这自然简单了.

我们再看下面几个导数：

若f（x）=1nx，则f'（x）=1/x；

若f（x）=x+1nx，则f'（x）=1+1/x；

若f（x）=logax，（a是常数且a>0，a≠1）则f'（x）=；

可见，导数可以将研究“对数”转化成研究“分式”，当然要简单些，我们还可以再列举一些，同学们可以自己试试.

2.导数是用相对简单的方法替代复杂的方法

我们看一个例子：求函数f（x）=（x-2）?（x-1）的单调增区间.

方法一：不用导数处理，从函数单调性的定义人手.

设xl

因此可以分别在区间（-∞，4/3），（4/3，2），（2，+∞）上研究函数的单调性.

不再做下去了，下面还有点复杂，同学们自己可以做一下.这里不是介绍方法而是想说明一下：用这一方法处理起来比较复杂.

方法二：用导数处理.

f'（x）=2（-2）（x-1）+（x-2）?=（x-2）（3x-4）.由f'（x）>O得函数f（x）一（x-2）?（x-1）单调增区间为（-∞，4/3），（2，+∞）.

比较一下，明显地看出：方法2简单.

事实上，对于方法1，要比较任意两个白变量对应的函数值的大小，而且白变量所在的区间还需要先确定，这本身也很难，对于方法2，只要先求出基本函数的导数，再解一个关于x的二次不等式就行了.

3.导数求得单调性进而解决一系列问题

运用导数的方法研究函数的性质，其核心是研究函数的单调性.这是因为如果知道函数的单调性，我们就可以画出它的草图，结合.可观察函数的“极值”，进而可求“最值”、“值域”，也可处理“函数的零点”、“不等式恒成立”等问题，判断函数的单调性是运用导数的方法研究函数性质的基石.问题是如何才能做到既直观、义准确呢？

首先“以数定形”，根据导数的定义，我们可以用“关于导函数的不等式”来刻画“函数的单调性”：若，则函数是增函数；则y=f（x），x∈A是减函数.所以，研究函数单调性的关键是判断导函数y=f'（x），x∈A的函数值的符号，即判断“f'（x）>o”或“、f'（x）<0”.对于这个问题，大多数同学会先求解方程f'（x）=0的根，然后再判断何时为“正”、何时为“负”，这样处理也未尝不可，但由于没有抓住问题的关键——解不等式，有时容易犯错，我们可以尝试“以形助数”.

以三次多项式函数为例，设y=f（x）的导函数f'（x） =ax?+bx+c（a≠0），试讨论其单调性.

分析：对其中的a和△进行讨论，共分四种情况，我们分别作出其导函数和函数的草图：见（图1～图4）.

结合这些.，所有三次多项式函数的单调性一目了然.这里强调的是：当△>o时，宜将f'（x）因式分解，写成两根式：f'（x）=a（x-x1）（x-x2），这样处理不仅可以快捷地作图，而且能直观地判断导函数的符号.

仍以上面的题目为例，可以列一个表，解决一系列问题.

求函数f（x）=（x-2）?（x-1）的单调增区间、单调减区间、极大值、极小值.

解 f'（x）=2（-2）（x-1）+（x-2）?= （x-2）（3x-4）.

列表：

故求函数f（x）=（x-2）?（x-1）的单调增区间为（-∞，4/3），（2，+∞），递减区间是（4/3，2），极大值是4/27，极小值是o.当然本题还可以在某个范围内求最值（如：x∈[0，2]时，求f（x）的值域）；或是在某种条件下不等式恒成立的问题（如：当x∈[0，2]时，不等式（-2）?（x-1）≤a恒成立，求a的范围）等等.

用导数可以解决一系列有联系的问题，函数中的很多问题从而得到有效贯通，这为我们整体认识函数提供了一个很好的平台.随着学习的深入，我们会逐步感悟导数的功力，逐步感悟知识间的联系与贯通，逐步感悟数学的本质是求简.

篇5：导数知识点

2.求导法则：包括链式法则和乘法法则，其中乘法法则不仅适用于两个函数的求导，还可以用于分解式。

3.反函数求导法则：互为反函数的两个函数的导数之间的关系。

4.隐函数求导法则：如果函数F(x,y)的偏导存在，那么它的两个偏导数可以作为两个未知函数，解出另一个未知函数的偏导数。

5.函数的微分：函数改变量的极限，即函数在某一点处的一阶导数的近似值。

6.高阶导数：如果一个函数在某一点处的导数不为0，那么它至少有一阶导数。

7.微分中值定理：微分中值定理是利用函数差商和导数的关系，推出导数的近似值。

8.洛必达法则：分子和分母的导数都为0时，可以直接用洛必达法则求出极限。

9.函数的单调性：函数的导数大于0，函数单调递增;函数的导数小于0，函数单调递减。

10.函数的极值：函数在某一点附近，导数等于0，但并不意味着函数在该点没有导数，因此不能使用导数判断函数的极值。

篇6：高考导数题型总结

1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法

5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)

与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令得到两个根;

第二步：画两图或列表;

第三步：由图表可知;

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)

第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);

例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

(1)若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围;

(2)若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.

解:由函数得

(1)在区间上为“凸函数”，

则在区间[0,3]上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

解法二：分离变量法：

∵当时,恒成立,

当时,恒成立

等价于的最大值恒成立，

而()是增函数，则

(2)∵当时在区间上都为“凸函数”

则等价于当时恒成立

变更主元法

再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)

请同学们参看第三次周考：

例2：设函数

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

(二次函数区间最值的例子)

解：(Ⅰ)

令得的单调递增区间为(a,3a)

令得的单调递减区间为(-，a)和(3a，+)

∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.

(Ⅱ)由||≤a，得：对任意的恒成立①

则等价于这个二次函数的对称轴(放缩法)

即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

上是增函数.(9分)

∴

于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

又∴

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型

例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为，

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)当时，求的值域;

(Ⅲ)当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

解：(Ⅰ)∴，解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减

又

∴的值域是

(Ⅲ)令

思路1：要使恒成立，只需，即分离变量

思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型

解法2：利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集;

做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知，函数.

(Ⅰ)如果函数是偶函数，求的极大值和极小值;

(Ⅱ)如果函数是上的单调函数，求的取值范围.

解：.

(Ⅰ)∵是偶函数，∴.此时，，

令，解得：.

列表如下：

(-∞,-2)

-2

(-2,2)

(2,+∞)

递增

极大值

递减

极小值

递增

可知：的极大值为，的极小值为.

(Ⅱ)∵函数是上的单调函数，

∴，在给定区间R上恒成立判别式法

则解得：.

综上，的取值范围是.

例5、已知函数

(I)求的单调区间;

(II)若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

(I)

1、

当且仅当时取“=”号，单调递增。

2、

单调增区间：

(II)当则是上述增区间的子集：

1、时，单调递增符合题意

2、，

综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;

第三步：解不等式(组)即可;

例6、已知函数，，且在区间上为增函数.

求实数的取值范围;

若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.

解：(1)由题意∵在区间上为增函数，

∴在区间上恒成立(分离变量法)

即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为

(2)设，

令得或由(1)知，

①当时，，在R上递增，显然不合题意…

②当时，，随的变化情况如下表：

—

↗

极大值

↘

极小值

↗

由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得

综上，所求的取值范围为

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数

(1)若是的极值点且的图像过原点，求的极值;

(2)若，在(1)的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在，求出实数的取值范围;否则说明理由。高1考1资1源2网

解：(1)∵的图像过原点，则，

又∵是的极值点，则

(2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，

等价于有含的三个根，即：

整理得：

即：恒有含的三个不等实根

(计算难点来了：)有含的根，

则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，

十字相乘法分解：

恒有含的三个不等实根

等价于有两个不等于-1的不等实根。

题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数在点处取得极小值-4，使其导数的的取值范围为，求：(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

(1)由题意得：

∴在上;在上;在上

因此在处取得极小值

∴①，②，③

由①②③联立得：，∴

(2)设切点Q，

过

令，

求得：，方程有三个根。

需：

故：;因此所求实数的范围为：

题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法

例8、

解：函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时，f(x)=x3-x2+10x，

=x2-7x+10，令，解得或.

令，解得

可知函数f(x)的单调递增区间为和(5，+∞)，单调递减区间为.

(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,

要使函数y=f(x)在(1，+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1，+∞)

根分布问题：

则，解得m>3

例9、已知函数，(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.

解：(1)

当时，令解得，令解得，

所以的递增区间为，递减区间为.

当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.

(2)有且仅有3个极值点

=0有3个根，则或，

方程有两个非零实根，所以

或

而当或时可证函数有且仅有3个极值点

其它例题：

1、(最值问题与主元变更法的.例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是-11.

(Ⅰ)求函数的解析式;

(Ⅱ)若时，恒成立，求实数的取值范围.

解：(Ⅰ)

令=0,得

因为，所以可得下表：

↗

极大

↘

因此必为最大值,∴因此，，

即，∴，∴

(Ⅱ)∵，∴等价于，

令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，

为此只需，即，

解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].

2、(根分布与线性规划例子)

(1)已知函数

(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;

(Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.

解：(Ⅰ).由,函数在时有极值,

∴

∵∴

又∵在处的切线与直线平行,

∴故

∴…………………….7分

(Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值,

∴即令,则

∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

易得,,,,,

同时DE为△ABC的中位线,

∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,

由得点F的横坐标为:

由得点G的横坐标为:

∴即

解得:或(舍去)故这时直线方程为:

综上,所求直线方程为:或.…………….………….12分

(Ⅱ)解法二:由及在取得极大值且在取得极小值,

∴即令,则

∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

易得,,,,,

同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,

由得直线L与AC交点为:

∵,,

∴所求直线方程为:或

3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的解析式;

(Ⅲ)若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。

解：由题知：

(Ⅰ)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且=0

得

(Ⅱ)依题意=–3且f(2)=5

解得a=1,b=–6

所以f(x)=x3–6x2+9x+3

(Ⅲ)依题意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a>0)

=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①

若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)<8a

由①②得–25a+3<8a<7a+3

所以当

4、(根的个数问题)已知函数

(1)若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间;

(2)若，讨论曲线与的交点个数.

解：(1)

………………………………………………………………………2分

令得

∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分

(2)由题得

即

令……………………6分

令得或……………………………………………7分

当即时

此时，，，有一个交点;…………………………9分

当即时，

—

∴当即时,有一个交点;

当即时，有两个交点;

当时，，有一个交点.………………………13分

综上可知，当或时，有一个交点;

当时，有两个交点.…………………………………14分

5、(简单切线问题)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数.

(Ⅰ)若函数在处有极值，求的解析式;

篇7：导数压轴题7大题型归类总结

一、导数单调性、极值、最值的直接应用设a＞0，函数g(x)＝(a^2＋14)e^x＋4.ξ

1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a的取值范围．

二、交点与根的分布

三、不等式证明

（一）做差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式

四、不等式恒成立求字母范围

（一）恒成立之最值的直接应用

（二）恒成立之分离参数

（三）恒成立之讨论字母范围

五、函数与导数性质的综合运用

六、导数应用题

篇8：导数知识点总结

低渗透油藏由于启动压力梯度的影响, 压力导数曲线具有典型的特征, 即出现“上翘”[1,2]。但是, 由于断层的影响, 压力导数曲线也会出现“上翘”[3,4]。因此, 仅仅从压力及压力导数曲线的“上翘”很难辨别出启动压力梯度和断层的影响。如果对该“上翘”识别错误, 相应的试井解释模型选择就会错误, 解释结果就大相径庭了, 所以如何对该“上翘”的类型进行识别, 在试井解释过程中是十分重要和迫切的。为此, 本文利用二阶导数法研究了启动压力梯度和断层引起的压力导数曲线“上翘”的识别问题, 这对正确地进行试井解释和减少试井解释的多解性具有重要意义。

1 考虑启动压力梯度影响的二阶导数计算理论基础

考虑无限大地层中心一口井, 假设井以定产量

式 (3) 中,

2 考虑断层影响的二阶导数计算理论基础

考虑直线断层附近有一口井, 假设井以定产量生产, 同时考虑井筒储集效应和表皮效应的影响。当井底压力未受断层影响时, 有[6]

利用镜像反映原理, 当井底压力受断层的影响之后, 有

式 (5) 中, d为井到断层的距离, m。

当井底压力未受断层影响时, 对式 (4) 变形并对tD/CD求导得:

对式 (6) 两边取对数, 然后对lg (tD/CD) 求导得:

当井底压力受断层影响之后, 对式 (5) 变形并对tD/CD求导得:

对式 (8) 两边取对数, 然后对lg (tD/CD) 求导得:

3 压力导数曲线“上翘”类型的识别

建立考虑启动压力梯度影响的渗流模型进行模拟计算, 选取参数为:渗透率为3.0mD, 井筒储集系数为0.02m 3/MPa, 表皮系数为-2.5, 启动压力梯度为0.02MPa。图1为模拟计算的曲线示意图。

从图1中可以看出, 启动压力梯度的存在增大了流体的渗流阻力, 井底的压力变化速度加快, 随着时间的增加, 压力和压力导数曲线的数值逐渐增大, 且压力导数曲线数值高于0.5, 压力和压力导数曲线发生“上翘”, 表现出类似于达西渗流存在不渗透边界的情形, 同时二阶导数曲线的数值也逐渐增大, 但介于0和0.5之间, 二阶导数曲线也发生“上翘”, 这一特点也可以从式 (1) 、式 (2) 和式 (3) 中看出来。

为了分析启动压力梯度大小对压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线的影响, 取不同的启动压力梯度进行模拟计算。图2为模拟计算的压力及其导数曲线, 图3为模拟计算的二阶导数曲线。从图2和图3中可以看出, 启动压力梯度越大, 压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线的数值越大, 其偏离达西渗流曲线的幅度也越大, 这一特点也可以从式 (1) 、式 (2) 和式 (3) 中看出来。

建立考虑断层影响的渗流模型进行模拟计算, 选取参数为:渗透率为3.0mD, 井筒储集系数为0.005m 3/MPa, 表皮系数为-2.0, 井到断层的距离为10.0m。图4为模拟计算的曲线示意图, 从图4中可以看出, 当井距断层的距离比较远时, 在压力传播到断层之前, 若地层内流体流动达到径向流, 在压力导数曲线上表现为一水平直线段;当压力传播到断层后, 受断层的影响, 井底压力变化速度加快, 表现为压力和压力导数曲线发生“上翘”;当系统达到总的径向流动以后, 压力导数曲线表现出另一水平直线段, 这一点可以从式 (6) 和式 (8) 中看出来。与启动压力梯度影响的二阶导数曲线不同, 断层影响前后, 二阶导数曲线的数值为0, 受断层的影响, 在二阶导数曲线上出现“凸起”, 这一点可以从式 (7) 和式 (9) 中看出来。

为了分析断层距离对压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线的影响, 取不同的断层距离进行模拟计算。图5为模拟计算的压力及其导数曲线, 图6为模拟计算的二阶导数曲线。从图5中可以看出, 井到断层的距离越近, 压力导数曲线发生“上翘”的时间越早;从图6中可以看出, 井到断层的距离越近, “凸起”出现的时间也越早。

通过二者影响在二阶导数曲线上的明显差别, 可以对实际测试中遇到的类似情况进行正确的识别。

4 结论

(1) 启动压力梯度在压力导数曲线上引起的“上翘”与断层在压力导数曲线上引起的“上翘”十分相似, 仅从压力及压力导数曲线上很难对其进行有效的识别。

(2) 受启动压力梯度的影响, 随着时间的增加, 压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线发生“上翘”, 启动压力梯度越大, “上翘”的幅度越大。

(3) 受断层的影响, 压力导数曲线发生“上翘”, 二阶导数曲线上出现“凸起”, 井到断层的距离越近, “上翘”和“凸起”出现的时间越早。

(4) 二阶导数法可以对上述两种不同类型的“上翘”进行有效的识别, 同时该方法特征明显, 简单易用。

参考文献

[1]李凡华, 刘慈群.含启动压力梯度的不定常渗流的压力动态分析.油气井测试, 1997;6 (1) :1—4

[2]郭永存, 卢德唐, 曾清红, 等.有启动压力梯度渗流的数学模型.中国科学技术大学学报, 2005;35 (4) :492—498

[3]赵秀才, 衣艳静, 姚军.两夹角不渗透断层对油井压力及压力导数的影响研究.断块油气田, 2005;12 (6) :41—43

[4]张公社.试井解释中识别直线断层的新方法.江汉石油学院学报, 1994;16 (4) :58—63

[5]程时清, 徐论勋, 张德超.低速非达西渗流试井典型曲线拟合法.石油勘探与开发, 1996;23 (4) :50—54