高等数学及其应用教案

2024-04-26

高等数学及其应用教案（精选6篇）

篇1：高等数学及其应用教案

高等数学教案：空间直角坐标系

了解空间直角坐标系，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：空间直角坐标系，利用坐标进行向量线性运算，向量模、方向角、投影与坐标关系

重点：空间直角坐标系，向量模、方向角、投影、线性运算与坐标之间的关系

难点：向量的模、方向角、投影与坐标之间的关系

对学生的引导及重点难点的解决方法：

以向量线性运算为基础建立空间直角坐标右手系；给出向量在空间直角坐标系中的坐标表示形式，进一步利用坐标进行向量的线性运算，通过实例进行说明；定义向量的模、方向角、方向余弦和投影并给出坐标表示形式下这些量的计算公式和基本性质。

本节难点为向量模、方向角、投影与坐标之间的关系，为解决这一难点，首先应该回顾向量平行的充分必要条件（确定点在轴上坐标的依据），给出向量坐标与图形的关系，进而得出向量坐标运算的基本性质；然后，从向量坐标与图形之间的关系中，分析得出向量模的计算公式（向量的大小问题）；接着，提出向量的方向表示问题，定义方向角并从图形中得出计算公式；最后，定义向量在轴上的投影，利用几何辅助证明向量投影的运算性质。

例题：课本例5-9其他例题参见PPT

本授课单元教学手段与方法：

讲授教学与多媒体教学相结合，结合几何辅助。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

高等数学（同济五版）P301

13.15.17.19.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

高等数学（同济五版）P294---P301

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

高等数学教案：空间曲线及其方程

介绍空间曲线的各种表示形式。第三、四节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：空间曲线的一般方程，参数方程及空间曲线在坐标面上的投影

重点：1.空间曲线的一般表示形式

2.空间曲线在坐标面上的投影

难点：空间曲线在坐标面上的投影

对学生的引导及重点难点的解决方法：

三元函数

在空间中表示一曲面，如果两个曲面能够相交，则可以利用面面相交的形式来表示空间曲线，由此引出空间曲线的一般式方程.二对于曲线的一般式方程，其中含有两个方程，三个未知数，如果把其中一个变量看作常数，则方程组转化为二元方程组，则可以用此变量把另外两个变量表示出来.从而引出空间曲线的参数式.空间曲线在坐标面上的投影是本节的难点.要求

在面上的投影，关键求出投影柱面

（即消去

变量），然后与方程

联立即可.例题：

例1：设一个立体由上半球面

和锥面所围成，见右图，求它在面上的投影。

其他例题参见PPT

本授课单元教学手段与方法：

本节讲授在老师的引导下，启发学生，运用合情推理的教学方法发现问题和解决问题.本授课单元思考题、讨论题、作业：

高等数学（同济五版）P324

3.4.6

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

高等数学（同济五版）P319---P325

篇2：高等数学及其应用教案

一、教学目标

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化.（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题.（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线.（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法.教学建议

教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题.②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用.教法建议

（1）圆是最简单的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备.同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法.（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结.（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识.（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题.二、教学设计示例

圆的一般方程

教学目标：

（1）掌握圆的一般方程及其特点.（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径.（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程.（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法.教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径.（2）用待定系数法求圆的方程.教学难点：圆的一般方程特点的研究.教学用具：计算机.教学方法：启发引导法，讨论法.教学过程：

【引入】

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何圆的方程都可以通过展开化成形如

①的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆?

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗?运用配方法，得

②

显然②是不是圆方程与

是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当

时，②表示以

为圆心、以

为半径的圆；

（2）当

时，②表示一个点；

（3）当

时，②不表示任何曲线.总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示.圆的一般方程的定义：

当

时，①表示以

为圆心、以

为半径的圆，此时①称作圆的一般方程.即称形如的方程为圆的一般方程.【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同.（1）

和的系数相同，都不为0.（2）没有形如的二次项.圆的一般方程与一般的二元二次方程

③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件.圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然.（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形.（1）；

（2）；

（3）

.学生演算并回答

（1）表示点（0，0）；

（2）配方得，表示以

为圆心，3为半径的圆；

（3）配方得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以

为圆心，为半径的圆.例2：求过三点，的圆的方程，并求出圆心坐标和半径.分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解.解：设圆的方程为

因为、、三点在圆上，则有

解得：，所求圆的方程为

可化为

圆心为，半径为5.请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别.【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求圆的方程多用待定系数法.其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程.（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程.下面再看一个问题：

例3：

经过点

作圆的割线，交圆

于、两点，求线段的中点的轨迹.解：圆的方程可化为，其圆心为，半径为2.设

是轨迹上任意一点.∵

∴

即

化简得

点

在曲线上，并且曲线为圆

内部的一段圆弧.【练习巩固】

（1）方程

表示的曲线是以

为圆心，4为半径的圆.求、、的值.（结果为4，-6，-3）

（2）求经过三点、、的圆的方程.分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为

.（3）课本第79页练习1，2.【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点.（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径.（3）用待定系数法求圆的方程.【作业】课本第82页5，6，7，8.高等数学教案：向量及其线性运算

一、向量概念

二、向量的线性运算

本授课单元教学目标或要求：

理解向量的概念及其表示，会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：向量的定义，向量的线性运算及其基本性质

重点：向量的定义，向量的线性运算及其基本性质

难点：向量线性运算基本性质的证明和理解

对学生的引导及重点难点的解决方法：

从中学平面解析几何中代数与几何的关系入手，指出可以用代数方法帮助研究几何问题，从而提出建立空间坐标系的重要性；引入向量的相关概念，定义向量的线性运算并给出其几何解释。本节的难点为向量运算基本性质的证明与理解问题，首先应该通过力学实例给出向量加法的物理学实例，从而引入向量加法的定义，完成从实例到抽象定义的转化；然后在几何上给出向量加法的平行四边形法则和三角形法则，说明其等价性，完成从抽象到具体几何解释的转化，为后续证明打好基础；接着定义向量与数的乘法，并给出几何解释；最后利用向量运算的几何解释证明向量线性运算的结合律与分配律。

例题：

例1

化简

例2

试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.其他例题见PPT

本授课单元教学手段与方法：

讲授教学与多媒体教学相结合本授课单元思考题、讨论题、作业：

高等数学（同济五版）P301

5.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

高等数学（同济五版）P289---P294

篇3：高等数学之极限存在准则及其应用

一、准备知识

(一) 数列极限的定义

定义:自变量取正整数的函数称为数列, 记作:

此时也称数列收敛, 否则称数列发散。

(二) 收敛数列的性质

1) 收敛数列的极限唯一;2) 收敛数列一定有界;3) 收敛数列的保号性, 若且a>0 (<0) , 则埚N∈N+, 当n>N时, 有xn>0 (<0) ;4) 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限。

二、极限存在准则

单调有界数列必有极限。

三、极限存在准则的应用

证明此数列极限存在。

证:xn姨姨显然单调递增, 且

(一) 斐波那契数列

斐波那契是意大利商人兼数学家。他在著作《算盘书》中, 首先引入阿拉伯数字, 将十进位值记数法介绍给欧洲人认识, 对欧洲的数学发展有深远的影响。在1202年, 斐波那契在他的著作中, 提出以下的一个问题:假设一对初生兔子要一个月才到成熟期, 而一对成熟兔子每月会生一对兔子, 那么, 由一对初生兔子开始, 12个月后会有多少对兔子呢?斐波那契数列, 令n=1, 2, 3…依次写出数列, 就是:

这就是斐波那契数列, 其中的任一个数, 都叫做斐波那契数。

用Fn表示第n个月的兔子的对数, 则有如下递推公式:

与斐波那契数列密切相关的一个重要极限是:

下面我们先来说明2) 式的含义并证明。

用数学归纳法容易证明:数列b姨2n-1姨是单调增加的;数列b2n姨姨是单调减少的。又对一切n, 1≤bn≤2成立, 即数列姨b2n-1姨b2n姨姨是有界的。根据“单调有界数列必有极限”的准则, 知数列b姨2n-1姨b2n姨姨的极限存在, 即。

(二) 黄金分割 (Golden Section)

点C把线段A B分成两条线段A C和B C, 如果 , 那么称线段A B被点C黄金分割, 点C叫做线段A B的黄金分割点, A C与A B的比叫做黄金比。

那么, 黄金分割与斐波那契数列有何关系呢?原来, 黄金分割点的位置恰好是数列的极限: 。

(三) 斐波那契数列的应用

1) 大自然中的斐波那契数列。花瓣的数目:

2) 音乐中的斐波那契数列。

(四) 黄金分割的应用

1. 叶子中的黄金分割

主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618。

2. 建筑中的黄金分割

这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。

黄金分割在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用。

参考文献

篇4：高等数学中导数的求法及其应用

【关键词】高等数学;导数;求法;应用

中图分类号: G633.66

高等数学是一门专业基础课, 也是一门方法学科,学好高等数学对其它科目的学习具有十分重要的意义。而导数在高等数学基本概念中占有重要位置,是高等数学的重要根基, 所以,导数学习的重要性是显而易见的。但很多同学对导数并不重视,也不懂得如何应用导数来解决相关的问题。现笔者通过自己的学习和理解,列举出了几种导数的求法及其它在解题和实际中的应用。

1 导数的求法

1.1 利用导数的定义

例1 设f(x)=|x-a|(x),其中(x)在x=a点连续,

试问在什么条件下,f(x)在x=a处可导。

[分析]:先去掉绝对值符号,

再利用f(x)在x=a处可导f'-(a)=f'+(a).

[求解]:f(x)=[JB({](x-a)(x),xa(x-a)(x),x>a[JB)]

f(a)=|a-a|(a)=0

f'-(a)[WB]=lim[DD(X]xa-[DD)][SX(]f(x)-f(a)[]x-a[SX)]

[DW]=lim[DD(X]xa-[DD)][SX(](a-x)(x)[]x-a[SX)]

[DW]=-(a)

f'+(a)[WB]=lim[DD(X]xa+[DD)][SX(]f(x)-f(a)[]x-a[SX)]

[DW]=lim[DD(X]xa+[DD)][SX(](a-x)(x)[]x-a[SX)]

[DW]=(a)

f'(a)存在的充要条件是:f'-(a)=f'+(a),若要f'(a)存在,必须-(a)=(a)即(a)=0,此时f'(a)=0。

1.2根据公式求导数

例2 设y=2[KF(]x[KF)]sin x+cos x•in x,求导数y?

[求解]:y=(2[KF(]x[KF)]sin x)+(cosx•1n x)

=(2[KF(]x[KF)])•sin x+2[KF(]x[KF)]•(sin x)+(cos x)•1n x+(cos x)•(1n x)

=[SX(]1[][KF(]x[KF)][SX)]•sin x+2[KF(]x[KF)]•cos x-sin x•1n x+(cos x)•[SX(]1[]x[SX)]

=[JB((][SX(]1[][KF(]x[KF)][SX)]-1n x[JB))]sin x+[JB((]2[KF(]x[KF)]+[SX(]1[]x[SX)][JB))]cos x

1.3 简化求导

在求形如[SX(]1[](x)[SX)]的函数导数时,用复合函数求导法则计算[SX(]1[](x)[SX)]更简便。 

例3 设y=[SX(]1[][KF(]3x+1[KF)][SX)],求y.

[解一]:直接求导y=(-1)×[SX(]1[]2[SX)](3x+1)-[SX(]1[]2[SX)]•3/3x+1=-[SX(]3[]2[SX)](3x+1)-[SX(]3[]2[SX)]

[解二]: y=(3x+1)-[SX(]1[]2[SX)]

则y=-[SX(]1[]3[SX)](3x+1)-[SX(]3[]2[SX)]•3=-[SX(]3[]2[SX)](3x+1)-[SX(]3[]2[SX)]

对比两个解法,不难看出对简化求导运算的作用。

1.4 利用隐函数求导数

例4 设xy2-exy+2=0,求由方程确定的隐函数的导数y。

[求解]:两端同时对x求导

y2+2xyyx-exy(y+xyx)=0

解出[SX(]dy[]dx[SX)]=[SX(]y(exy-y)[]x(2y-exy)[SX)]

2 導数的应用

2.1 最值点的判别

例5 求函数f(x)=[SX(]2[]3[SX)]x-(x-1)[SX(]2[]3[SX)]的极值。

解:定义域D=R,f(x)=[SX(]2[]3[SX)][SX(][KF(S]3[]x-1[KF)]-1[][KF(S]3[]x-1[KF)][SX)],

令f(x),得驻点x=2当时x=1,f(x)不存在。列表得:

[BG(!][BHDFG1*2,FK4,K4*1。5F]

x[](-∞,1)[]1[](1,2)[]2[](2,)∞

[BHDG2]f(x)[]+[]不存在[]-[]0[]+

[BH]f(x)[][]极大值[SX(]2[]3[SX)][][]极小值[SX(]1[]3[SX)][]

在例5中,虽然x=1时,f(x)不存在,但根据极值判别法Ⅰ, f(x)在x=1两侧的符号由“+”变为“-”,可知为极值点,且为极大值点。所以,连续不可导点可能是极值点。

2.2 实际应用

例6 设某厂每月生产的产品固定成本为1000元,生产x个单位产品的可变成本为0.01x2+10x元,如果每单位产品的销售为30元,试求:总成本函数,总收入函数,总利润函数,边际成本,边际收入及边际利润为零时的产量.

[求解]:总成本为可变成本与固定成本之和,依题意:

总成本函数C(x)=0.01x2+10x+1000

总收入函数R(x)=px=30x

总利润函数I(x)[WB]=R(x)-C(x)

[DW]=30x-0.01x2-10x-1000

[DW]=-0.01x2+20x-1000

边际成本C(x)=0.02x+10

边际收入R(x)=30

边际利润I(x)=-0.02x+20

令I(x)=0得-0.02x+20=0,x=1000。即每月产量为1000个单位时,边际利润为零。这说明,当月产量为1000个单位时,再多生产一个单位产品不会增加利润。

导数对今后高等数学其他章节的学习非常重要,我们不仅要对导数的定义有很深的了解,还要善于运用,掌握好各种求法,并应用到各种类型的问题和实际中去。本文从实践知识认识为前提,提出了对高等数学导数的各种求法及其应用,希望对大家有所帮助。

 参考文献:

王海舟, 一阶导数在函数中的应用——单调区间、极值点与最值点的判别王海舟.[J] 科技资讯 2009.06.

耿立华, 浅谈高等数学中导数概念的教学.[J] 中国校外教育下旬刊 2008.04.

李建考, 从导数的应用谈高等数学中的数学建模问题.[J] 职教与成教 2008.06.

篇5：高等数学及其应用教案

§8

多元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用

教学目的：

1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5、掌握多元复合函数偏导数的求法。

6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：

1、二元函数的极限与连续性；

2、函数的偏导数和全微分；

3、方向导数与梯度的概念及其计算；

4、多元复合函数偏导数；

5、隐函数的偏导数

6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；

7、多元函数极值和条件极值的求法。教学难点：

1、二元函数的极限与连续性的概念；

2、全微分形式的不变性；

3、复合函数偏导数的求法；

4、二元函数的二阶泰勒公式；

5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；

6、拉格郎日乘数法；

7、多元函数的最大值和最小值。

高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

§8 1 多元函数的基本概念

一、平面点集n维空间

1．平面点集

由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y)与平面上的点P视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面

二元的序实数组(x y)的全体 即R2RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面

坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作

E{(x y)|(x y)具有性质P}

例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是

C{(x y)| x2y2r2}

如果我们以点P表示(x y) 以|OP|表示点P到原点O的距离 那么集合C可表成 C{P| |OP|r}

邻域

设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 与点P0(x0 y0)距离小于的点P(x y)的全体 称为点P0的邻域 记为U(P0  即

U(P0,){P| |PP0|}或U(P0,){(x, y)|(xx0)2(yy0)2 }

邻域的几何意义 U(P0 )表示xOy平面上以点P0(x0 y0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点P(x y)的全体 

点P0的去心邻域 记作U(P0, ) 即



U(P0, ){P| 0|P0P|}

注 如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个邻域 点P0的去心邻域记作U(P0)

点与点集之间的关系

任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种

(1)内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点

(2)外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点

(3)边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点

E的边界点的全体 称为E的边界 记作E

E的内点必属于E E的外点必定不属于E 而E的边界点可能属于E 也可能不属于E 

聚点

高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

如果对于任意给定的0 点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点 则称P是E的聚点

由聚点的定义可知 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E 

例如 设平面点集

E{(x y)|1x2y22}

2222满足1xy2的一切点(x y)都是E的内点 满足xy1的一切点(x y)都是E的边界点 它们22都不属于E 满足xy2的一切点(x y)也是E的边界点 它们都属于E 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点

开集 如果点集E 的点都是内点 则称E为开集

闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E为闭集

开集的例子 E{(x y)|1

闭集的例子 E{(x y)|1x2y22}

集合{(x y)|1x2y22}既非开集 也非闭集

连通性 如果点集E内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E为连通集

区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如E{(x y)|1x2y22}

闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E  {(x y)|1x2y22}

有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得

EU(O r)

其中O是坐标原点 则称E为有界点集

无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集

例如 集合{(x y)|1x2y22}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域

集合{(x y)| xy1}是无界闭区域

2 n维空间

设n为取定的一个自然数 我们用Rn表示n元有序数组(x1 x2     xn)的全体所构成的集合 即

RnRRR{(x1 x2     xn)| xiR i1 2  n}

Rn中的元素(x1 x2     xn)有时也用单个字母x来表示 即x(x1 x2     xn) 当所有的xi(i1 2  n)都为零时 称这样的元素为R中的零元 记为0或O  在解析几何中 通过直角坐标 R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而Rn中的元素x(x1 x2     xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量 xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量 特别地 Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量

为了在集合Rn中的元素之间建立联系 在Rn中定义线性运算如下

设x(x1 x2     xn) y(y1 y2     yn)为Rn中任意两个元素 R 规定

xy(x1 y1 x2 y2     xn yn) x(x1 x2     xn)

这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间

R中点x(x1 x2     xn)和点 y(y1 y2     yn)间的距离 记作(x y) 规定

(x,y)(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2

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§8

多元函数微分法及其应用

显然 n1 2 3时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至

Rn中元素x(x1 x2     xn)与零元0之间的距离(x 0)记作||x||(在R1、R2、R3中 通常将||x||记作|x|) 即

||x||22

x12x2    xn采用这一记号 结合向量的线性运算 便得

||xy||(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2(x,y)

在n维空间Rn中定义了距离以后 就可以定义Rn中变元的极限

设x(x1 x2     xn) a(a1 a2     an)R

如果

||xa||0

则称变元x在Rn中趋于固定元a 记作xa 

显然

xa  x1a1 x2a2     xnan 

在Rn中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到n(n3)维空间中来 例如

设a(a1 a2     an)R 是某一正数 则n维空间内的点集

U(a ){x| x R (x a)} 就定义为Rn中点a的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念

二 多元函数概念

例１圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系

V r2h这里 当r、h在集合{(r  h)| r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V对应的值就随之确定

例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系

pRTVnn

n其中R为常数 这里 当V、T在集合{(V T)| V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p的对应值就随之确定

例3 设R 是电阻R1、R2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系

RR1R2R1R2

这里 当R1、R2在集合{(R1 R2)| R1>0 R2>0}内取定一对值(R1  R2)时 R的对应值就随之确定 

定义1 设D是R2的一个非空子集 称映射f  DR为定义在D上的二元函数 通常记为

zf(x y)(x y)D(或zf(P) PD)

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§8

多元函数微分法及其应用

其中点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量

上述定义中 与自变量x、y的一对值(x y)相对应的因变量z的值 也称为f在点(x y)处的函数值 记作f(x y) 即zf(x y)

值域 f(D){z| zf(x y)(x y)D}

函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等

类似地可定义三元函数uf(x y z)(x y z)D以及三元以上的函数

一般地 把定义1中的平面点集D换成n维空间R内的点集D 映射f  DR就称为定义在D上的n元函数 通常记为

uf(x1 x2     xn)(x1 x2     xn)D

或简记为

uf(x) x(x1 x2     xn)D

也可记为

uf(P) P(x1 x2     xn)D 

关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如

函数zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域)

函数zarcsin(xy)的定义域为{(x y)|xy1}(有界闭区域)

二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y)(x y)D}称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面

例如 zaxbyc是一张平面 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面

三 多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似 如果在P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值f(x y)无限接近于一个确定的常数A 则称A是函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限

定义2

设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定

n2222的正数总存在正数 使得当P(x,y)DU(P0,)时 都有

|f(P)A||f(x y)A|

成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为

也记作

limf(P)A或f(P)A(PP0)

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A 或f(x y)A((x y)(x0 y0))

上述定义的极限也称为二重极限

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§8

多元函数微分法及其应用

例4.设f(x,y)(x2y2)sin

证

因为

1 求证limf(x,y)0

(x,y)(0,0)x2y211220| |xy||sin| x2y2

2222xyxy

|f(x,y)0||(x2y2)sin可见 >0 取 则当

0(x0)2(y0)2

即P(x,y)DU(O,)时 总有

|f(x y)0|

因此lim(x,y)(0,0)f(x,y)0

必须注意 

(1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A

(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在

讨论

xy22 xy02 函数f(x,y)xy2在点(0 0)有无极限？ 220 xy0

提示 当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0当点P(x y)沿y轴趋于点(0 0)时

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(0, y)lim00

y0y0当点P(x y)沿直线ykx有

lim(x,y)(0,0)y  kxkx2klim x2y2x0x2k2x21k2xy因此 函数f(x y)在(0 0)处无极限

极限概念的推广 多元函数的极限

多元函数的极限运算法则

与一元函数的情况类似

例5 求 lim(x,y)(0,2)sin(xy)x

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§8

多元函数微分法及其应用

解

sin(xy)sin(xy)sin(xy)limylimlimy122

xxy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)lim

四 多元函数的连续性

定义3 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)为D的聚点 且P0D  如果

lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)

则称函数f(x y)在点P0(x0 y0)连续

如果函数f(x y)在D的每一点都连续 那么就称函数f(x y)在D上连续 或者称f(x y)是D上的连续函数

二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去

例6设f(x,y)sin x 证明f(x y)是R2上的连续函数

证设P0(x0 y0) R2 0 由于sin x在x0处连续 故0 当|xx0|时 有

|sin xsin x0|

以上述作P0的邻域U(P0 ) 则当P(x y)U(P0 )时 显然

|f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0|

2即f(x y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R上连续

证对于任意的P0(x0 y0)R2 因为

lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)lim(x,y)(x0,y0)sinxsinx0f(x0,y0)

所以函数f(x,y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续

类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的

定义4设函数f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)不连续 则称P0(x0 y0)为函数f(x y)的间断点

例如

xy22 xy02 函数f(x,y)xy2

220 xy0其定义域DR2 O(0 0)是D的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以点O(0 0)是该函数的一个间断点

又如 函数zsin1 其定义域为D{(x y)|x2y21} 圆周C{(x y)|x2y21}上的点2xy12都是D的聚点 而f(x y)在C上没有定义 当然f(x y)在C上各点都不连续 所以圆周C上各点都是该函数的间断点

注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点

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§8

多元函数微分法及其应用

可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数

多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的

例如xx2y21y2 sin(xy) ex2y2z2都是多元初等函数

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域

由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则

lim 例7 求pp0f(P)f(P0)

lim(x,y)(1,2)xy xy 解

函数f(x,y)xyxy是初等函数 它的定义域为

D{(x y)|x0 y0}

P0(1 2)为D的内点 故存在P0的某一邻域U(P0)D 而任何邻域都是区域 所以U(P0)是f(x y)的一个定义区域 因此

lim(x,y)(1,2)f(x,y)f(1,2)3

2一般地 求limf(P)时 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则f(P)在点P0PP0处连续 于是

limf(P)f(P0)

PP0 例8 求lim(x,y)(0, 0)xy11xy

(xy11)(xy11)xy(xy11)解 lim(x,y)(0, 0)xy11xylim(x,y)(0, 0)lim(x,y)(0, 0)1xy111

多元连续函数的性质

性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值

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§8

多元函数微分法及其应用

性质1就是说 若f(P)在有界闭区域D上连续 则必定存在常数M0 使得对一切PD 有|f(P)|M 且存在P1、P 2D 使得

f(P1)max{f(P)|PD}

f(P2)min{f(P)|PD}

性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

§8 2

偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数zf(x y) 如果只有自变量x 变化 而自变量y固定 这时它就是x的一元函数 这函数对x的导数 就称为二元函数zf(x y)对于x的偏导数

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当y固定在y0而x在x0处有增量x时 相应地函数有增量

f(x0x y0)f(x0 y0)

如果极限

limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)x

存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作

zxxx0yy0

fxxx0yy0 zxxx0yy0 或fx(x0,y0)

例如

fx(x0,y0)limf(x0x,y0)f(x0,y0)x

x0类似地 函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y 的偏导数定义为

limy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

记作 zyxx0yy0 fyxx0yy0 zyxx0yy0 或fy(x0 y0)

偏导函数

如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x、y的函数 它就称为函数zf(x y)对自变量x的偏导函数 记作

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§8

多元函数微分法及其应用

偏导函数的定义式 fx(x,y)limfz  zx 或fx(x,y) xxf(xx,y)f(x,y)x0x

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

fz  zy  或fy(x,y)

yyf(x,yy)f(x,y)

y偏导函数的定义式 fy(x,y)lim

求导数 fxy0时 只要把y暂时看作常量而对x求导数 求

fy时 只要把x暂时看作常量而对y求

讨论 下列求偏导数的方法是否正确？

fx(x0,y0)fx(x,y)xx0 fy(x0,y0)fy(x,y)xx0 yy0yy0

fx(x0,y0)[ddf(x0,y)]yy

 fy(x0,y0)[f(x,y0)]0xx0dydx

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为

fx(x,y,z)limx0f(xx,y,z)f(x,y,z)

x其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题

例1 求zx3xyy在点(1 2)处的偏导数

解 zzz3x2y 2x3y yxxx121328 y22

2zyx1y231227

例2 求zx2sin 2y的偏导数

解 zz2x2cos2y

2xsin2y yxxz1z2z

yxlnxy 例3 设zxy(x0,x1) 求证

证 zyxxy1 zxylnxy 高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

xz1zxyxyxlnxyyy11xylnxxyxy2z

lnx 例4 求rx2y2z2的偏导数

解 rxxxyz222xr yryxyz222yr

例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数) 求证 pVT1

VTppRTRT 2 VVVRTVR

V

pTp 证因为p

TpVTV



pRR所以pVTRTRVRT21

VTppRpVV

例5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商

二元函数zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 

fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线zf(x y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率

fy(x0 y0)[f(x0 y)]y是截线zf(x0 y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率

偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如

xy x 2 y2022

f(x,y)xy

 2  y200 x在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续

提示

f(x, 0)0 f(0, y)0

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§8

多元函数微分法及其应用

d[f(0, y)]0

fx(0, 0)d[f(x, 0)]0 fy(0, 0)dxdy

当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0

当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)ykxxyx2y2limx0kx2k 2222xkx1k因此 lim(x,y)(0,0)f(x,y)不存在 故函数f(x y)在(0 0)处不连续

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

fz  zy  或fy(x,y)

yyf(x,yy)f(x,y)

y偏导函数的定义式 fy(x,y)lim

二

高阶偏导数 y0

设函数zf(x y)在区域D内具有偏导数

zzfy(x,y)

fx(x,y) yx那么在D内fx(x y)、fy(x y)都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数

如果函数zf(x y)在区域D内的偏导数fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数

则它们的偏导数称为函数zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数

z2zz2z()fxy(x,y)

()2fxx(x,y)

yxxyxxxz2zz2z()fyx(x,y)

()2fyy(x,y)

xyyxyyy

z2zz2z()fxy(x,y)()fyx(x,y)称为混合偏导数 其中yxxyxyyx

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§8

多元函数微分法及其应用

z2zz2zz2zz2z ()()()2()2

yxxyxyyxyyxxxy 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数  二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

2z2z2z3z

例6 设zxy3xyxy1 求2、3、和

yxxyxx323z2x3y9xy2x

解 z3x2y23y3y

xy2z3z 6xy 6y2

32xx2z2z226xy9y1 6x2y9y21 

xyyx

2z2z由例6观察到的问题

yxxy2z2z

定理如果函数zf(x y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续 那么在该区

yxxy域内这两个二阶混合偏导数必相等

类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数

例7 验证函数zln2z2zxy满足方程220

xy22 证因为zlnx2y21ln(x2y2) 所以 2

yzzx2 

xxy2yx2y222y2x22z(xy)x2x



2x2(x2y2)2(xy2)2 高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

22x2y22z(xy)y2y



2y2(x2y2)2(xy2)2x2y2y2x22z2z因此 22220

2222xy(xy)(xy)2u2u2u 例8．证明函数u1满足方程2220

rxyz其中rx2y2z2

证 u12r12xx3

xrxrrr

2u13xr13x25

2343xxrrrr22u13z22u13y同理

35

35

z2rry2rr22u2u2u13x213y13z2因此222(35)(35)(35)

xyzrrrrrr22233(xyz)33r2

3350

rr5rr提示

ux()x2xr32r3x3r(r)r3x3r2xx

r6r6 §8 3全微分及其应用

一、全微分的定义

根据一元函数微分学中增量与微分的关系有

偏增量与偏微分

f(xx y)f(x y)fx(x y)x

f(xx y)f(x y)为函数对x的偏增量 f x(x y)x为函数对x的偏微分

f(x yy)f(x y)fy(x y)y

高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

f(x yy)f(x y)为函数)对y的偏增量 f y(x y)y为函数对y的偏微分

全增量

z f(xx yy)f(x y)

计算全增量比较复杂

我们希望用x、y的线性函数来近似代替之

定义

如果函数zf(x y)在点(x y)的全增量

z f(xx yy)f(x y)可表示为

zAxByo()((x)2(y)2)

其中A、B不依赖于x、y 而仅与x、y 有关 则称函数zf(x y)在点(x y)可微分 而称AxBy为函数zf(x y)在点(x y)的全微分 记作dz 即

dzAxBy

如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分

可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续

这是因为 如果zf(x y)在点(x y)可微则

z f(xx yy)f(x y)AxByo()于是 limz0

0从而 lim(x,y)(0,0)f(xx,yy)lim[f(x,y)z]f(x,y)

0因此函数zf(x y)在点(x y)处连续

可微条件

定理1(必要条件)

如果函数zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导数y)在点(x y)的全微分为

dzzzxy

xyzz、必定存在 且函数zf(x yx

证设函数zf(x y)在点P(x y)可微分 于是 对于点P的某个邻域内的任意一点P (xx yy) 有zAxByo() 特别当y0时有

f(xx y)f(x y)Axo(|x|)

上式两边各除以x 再令x0而取极限 就得

lim从而偏导数 x0f(xx,y)f(x,y)A

xzzzzB 所以 A同理可证偏导数存在 且存在 且

yyxx高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

dzzzxy

xy

简要证明设函数zf(x y)在点(x y)可微分 于是有zAxByo() 特别当y0时有

f(xx y)f(x y)Axo(|x|)

上式两边各除以x 再令x0而取极限 就得

limx0f(xx,y)f(x,y)o(|x|)lim[A]A

xxx0从而zzzzzzB 所以dzxy

存在 且存在 且A同理yyxyxxzz、存在是可微分的必要条件 但不是充分条件yx 偏导数

例如xy x2y20 函数f(x,y)x2y2在点(00)处虽然有f x(0 0)0及f y(0 0)0但函数在0 x2y20(00)不可微分即z[fx(0 0)xfy(0 0)y]不是较高阶的无穷小 这是因为当(x y)沿直线yx趋于(0 0)时

定理2(充分条件)

如果函数zf(x y)的偏导数

zz、在点(x y)连续 则函数在该点可微分

yxz[fx(0, 0)xfy(0, 0)y]xy(x)2(y)2xx10 222(x)(x)

定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数

按着习惯x、y分别记作dx、dy 并分别称为自变量的微分则函数zf(x y)的全微分可写作

dzzzdxdy

xy

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理

叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数uf(x y z)的全微分为

duuuudxdydz

xyz

例1 计算函数zx2y y2的全微分

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§8

多元函数微分法及其应用

解因为zzx22y

2xy yx所以dz2xydx(x22y)dy 

例2 计算函数zexy在点(2 1)处的全微分

解因为zzxexy

yexy yx

zxx2y12e2

2zyx2y12e2

所以

dzedx2edy 

例3 计算函数uxsinyeyz的全微分解因为yu1uucoszeyz yeyz

1

y22zxy1所以

dudx(coszeyz)dyyeyzdz

二、全微分在近似计算中的应用

当二元函数zf(x y)在点P(x y)的两个偏导数f x(x y) f y(x y)连续 并且|x| |y|都较小时 有近似等式

z dz f x(x y)xf y(x y)y 

即

f(xx yy) f(x y)f x(x y)xf y(x y)y 

我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算

例4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由20cm增大到20 05cm 高度由100cu减少到99cm 求此圆柱体体积变化的近似值

解

设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V 则有

V r 2h 

已知r20 h100 r0 05 h1 根据近似公式 有

VdVVrrVhh2rhrr2h

2201000 0520(1)200(cm)

即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3

例5 计算(1 04)202的近似值

解

设函数f(x y)x y  显然 要计算的值就是函数在x104 y202时的函数值f(104 202)

取x1 y2 x004 y002 由于

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23高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

f(xx yy) f(x y)f x(x y)xf y(x y)y

xyxxxln x y 

所以

(104)20212212100412ln1002108

例6 利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是

g42l 2T y

yy现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=100±0.1cm、T=2±0.004s.问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少？

解如果把测量l与T所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|, 则利用上述计算公式所产生的误差就是42l二元函数g2的全增量的绝对值|Δg|.由于|Δl||ΔT|都很小因此我们可以用dg来近似地代替TΔg这样就得到g的误差为

|g||dg||

|glgllgTgTT|

|l||T

42(12lT) lT2T3其中l与T为l与T的绝对误差 把l=100 T=2, l=0.1, δT=0.004代入上式 得g的绝对误差约为

g42(0.121000.004)2320.524.93(cm/s2).0.520.500

2g410022g从上面的例子可以看到对于一般的二元函数z=f(x, y), 如果自变量x、y 的绝对误差分别为x、y, 即

|Δx |x，|Δy |y，则z的误差

|z||dz||

| zzxy|

xyzz||x||||y| xy高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

|从而得到z的绝对误差约为 zz|x||y xy

z|z的相对误差约为 zz|x||y xyzzyy

zxx|z|zz

§8 4 多元复合函数的求导法则

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz？

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求

zz和？ yx

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dzzzdudv uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

du代入上式得

dz从而

zduzdvzduzdvdtdt()dt

udtvdtudtvdtdudvdt dvdt

dtdtdzzduzdv

dtudtvdt

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

z zzzduzdvuvo()[to(t)][to(t)]o()uvudtvdt高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

（zduzdvzz)t()o(t)o()

udtvdtuvzzduzdvzzo(t)o()

()tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得

dzzduzdv

dtudtvdtlimt0注limt0o()to()(u)2(v)2t0(du2dv)()20

dtdt推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为

dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdt上述dz称为全导数

2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzvzzuzv  xuxvxyuyvyzzuzvzwzzuzvzw 

yuyvywyxuxvxwx

推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则

讨论

(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则

提示

zz？ ？

yxzzuzdvzzu 

yuyvdyxux

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则

zz？

？

yx

提示 zfufzfuf 

yuyyxuxx这里ffzz与是不同的 是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的偏导数 xxxx 高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

是把f(u x y)中的u及y看作不变而对x的偏导数

fz与也朋类似的区别

yy

3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzdv

zzu 

xuxyuyvdy

例1 设zeusin v uxy vxy 求z和

xz

y

解 zzuzv

xuxx yvx

eusin vyeucos v1

e[y sin(xy)cos(xy)]

zzuzv yuyvyuu

esin vxecos v1

exy[x sin(xy)cos(xy)]

例2 设uf(x,y,z)ex

解 uffz xxzx22y2z2 而zx2siny 求

uu和

yx

2xexy2z22zex2y2z22xsiny

2x(12x2sin2y)exuffz yyzy222y2x4siny

2yexy2z22zex2y2z2x2cosy

2(yx4sinycosy)ex22y2x4siny

dz

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

解 dzzduzdvz

dtudtvdtt

vetu(sin t)cos t

etcos te tsin tcos t

e(cos tsin t)cos t 

2ww

例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数 求及

xzxt

解令uxyz vxyz  则wf(u v)

引入记号 f1

f(u,v)u f12f(u,v)uvf22等

 同理有f2f11wfufvf1yzf2

xuxvxff2w

(f1yzf2)1yf2yz2

xzzzzxyf12yf2yzf21xy2zf22

f11y(xz)f12yf2xy2zf22

f1

1注 f1f1uf1vffuf2vxyf12 22xyf22 f11f21zuzvzzuzvz

例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式

u2u22u2u(1)()()

(2)22

xyxy解由直角坐标与极坐标间的关系式得

uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)

其中xcosθ ysinθ 应用复合函数求导法则 得

uuuuuysinuxuycos

xxx2uucosuuuuyuxsin yyy2x2y2 arctanyx

两式平方后相加 得

高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

(u)2(u)2(u)212(u)2

xy再求二阶偏导数 得

2uuu

()()x2xxxx

uusin(cos)cos uusinsin(cos) 



2u2usincos2usin2 2cos2222u2sincosusin2

 2同理可得

2u2u2usincos2ucos22 sin22222y2u2sincosucos

 2两式相加 得

2u2u2u112u 22222xy1u2u

2[()]

2

全微分形式不变性

设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分

dzzzdudv

uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

dz zzdxdy

xy高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

（zuzvzuzv)dx()dy

uxvxuyvyzuuzvv(dxdy)(dxdy)

uxyvxy

zduzdv

uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分

解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv

 e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)

(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

§8隐函数的求导法则一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

dydxFxFy



求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式

F(x f(x))0

等式两边对x求导得

FFdy0

xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得

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§8

多元函数微分法及其应用

dydxFxFy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解设F(x y)xy1 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

dydxFxFy22dyx ydx0

x0

d2ydx2d2ydx2yxyy2yx(y2x)yy2x2y31

1

x0

隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0  则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有

FyFxzz 

yFzxFz

公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0

将上式两端分别对x和y求导 得

FxFzzz0 0 FyFzyx因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得 FyFxzz

 

yFzxFz

例2.设x2y2z24z0 求 2z

2x高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

解

设F(x y z) xyz4z 则Fx2x Fy2z4

Fz2xx

xxFz2z42z22 2z2x(2x)xzx(2x)x()22x2z(2x)x

(2z)2(2z)2(2z)

3二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx2y2 vx

x2y2 事实上

xuyv0 vyxxuyuxu1u 

yyx2y2vyxx

2yxy2x2y

2如何根据原方程组求u v的偏导数？

隐函数存在定理隐函数存在定理3

设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列式

F(F,G)u

JG(u,v)uFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

u1(F,G)

xJ(x,v)FuFvGuGvFxFvGxGv

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§8

多元函数微分法及其应用

v1(F,G)

xJ(u,x)FuFvGuGvFyFvGyGvFuFxGuGx

u1(F,G)

yJ(y,v)FuFvGuGvFuFyGuGy

v1(F,G)

yJ(u,y)FuFvGuGv

隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,uvxuvxx 偏导数 由方程组确定 uvxxGv0.GxGuxxFFuFv0,uvyyyuv 偏导数 由方程组确定

uvyyGv0.GyGuyy 例3 设xuyv0 yuxv1 求

vuuv  和

yyxx 解两个方程两边分别对x 求偏导 得关于

uv和的方程组 xxuxuyv0xx uvvx0yxx当x2y2 0时 解之得xuyvvyuxvu 

2xx2y2xxy2 高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于

uv和的方程组 yyxuvyv0yy uvx0uyyy当x2y2 0时 解之得uyxvyux2y2xuyv v

22yxy

另解将两个方程的两边微分得

udxxduvdyydv0xduydvvdyudx 即

udyyduvdxxdv0yduxdvudyvdx解之得 duxuyvx2y2dxxvyux2y2dy

dvyuxvxy22dxxuyvxy22dy

xuyvuxvyu于是

u2 

222xxyyxy

xuyvvyuxvv  222xxy2yxy

例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数 又

(1)证明方程组

xx(u,v)

yy(u,v)(x,y)(u,v)0

在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)

(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数

解(1)将方程组改写成下面的形式

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§8

多元函数微分法及其应用

F(x,y,u,v)xx(u,v)0

G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设

J(F,G)(u,v)(x,y)(u,v)0.由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得

xx[u(x,y),v(x,y)]

yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

1xuxv

uxvx

yuyv0uxvx由于J0 故可解得

同理 可得

§8 6多元函数微分学的几何应用

一

空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为

x(t) y(t) z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为

xx0xyy0yzz0zu1xv1x 

yJvyJuu1yv1y 

xJuxJv 当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑

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§8

多元函数微分法及其应用

xx0yy0zz0 xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)

曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量

T((t0) (t0) (t0))就是曲线在点M0处的一个切向量

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程

解

因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以

T (1 2 3)

于是 切线方程为

法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为

y(x) z(x)

问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))

2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0

问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数

y(x) z(x) 曲线的参数方程为

xx y(x) z(x) x1y1z1

123 高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

dydzFxFyFz0dydxdx由方程组可解得和dz

dydxdxdzGxGyGz0dxdx切向量为T(1, dydz,) dxdx22

2例2 求曲线xyz6 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 

解为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得

dydz2x2y2z0dxdx

dydz10dxdx解方程组得dydxzxdzxy  yzdxyzdydx0 dz1 dx在点(1 2 1)处

从而T (1 0 1)

所求切线方程为

法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

解为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得

dydz2x2y2z0dxdx

dydz10dxdxx1y2z1

101方程组在点(1 2 1)处化为

dydz21dxdx



dydz1dxdx解方程组得dydx0 dz1 dx从而T (1 0 1)

所求切线方程为

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§8

多元函数微分法及其应用

法平面方程为 x1y2z1

10(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

二 曲面的切平面与法线

设曲面的方程为

F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点

并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为

x(t) y(t) z(t)

tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为

T ((t0) (t0) (t0))

考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0

引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0Fx(x0, y0, z0)yy0Fy(x0, y0, z0)zz0Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量

例3 求球面xyz14在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式

解

F(x y z) xyz14

Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

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§8

多元函数微分法及其应用

法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)

所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140

法线方程为x1y2z3

12

3讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式

提示

此时F(x y z)f(x y)z 

n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)

例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程

解

f(x y)xy1

n(fx fy 1)(2x 2y 1)

n|(2 1 4)(4 2 1)

所以在点(2 1 4)处的切平面方程为

4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60

法线方程为

§8 7 方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

xx0t cos  yy0t cos (t0)

设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos  y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos  y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)tx2y1z4

4212

2当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在

则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作fl(x0,y0) 即

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§8

多元函数微分法及其应用

fllim(x0,y0)t0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t

从方向导数的定义可知 方向导数率

方向导数的计算

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化

定理

如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

flfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

(x0,y0)其中cos  cos 是方向l 的方向余弦

简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)

所以

limf(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)tt0fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

这就证明了方向导数的存在 且其值为

flfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos(x0,y0)提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)

xt cos  yt cos (x)2(y)2t

讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向

沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示

沿x轴正向时 cos cos0

沿x轴负向时 cos1 cos0

flfx

ff lx

例1 求函数zxe2y在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数



解这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为

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§8

多元函数微分法及其应用

el(12, 12)

因为函数可微分 且所以所求方向导数为

zl112zx(1,0)e2y(1,0)1

zy(1,0)2xe2y(1,0)2(1,0)2(12)2 2

对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fllim(x0,y0,z0)f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)tt0

如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60

解与l同向的单位向量为

el(cos60 cos 45 cos60(, 因为函数可微分且

fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3

fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3

fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

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1221,)22fl1211332(532)

2222(1,1,2)高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即

grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

梯度与方向导数 

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

flfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

(x0,y0)

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl^

取得最大值 这个最大值就是梯度

(x0,y0)的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值

讨论 fl的最大值



结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为

zf(x,y)

zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为

f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为

n1fx2(x0,y0)fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数

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§8

多元函数微分法及其应用

f就等于|grad f(x0 y0)| 于是 n

gradf(x0,y0)fn

n

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量

fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即

grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

如果引进曲面

f(x y z)c

为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数

例3 求grad 1

xy22 解这里f(x,y)1

xy2

2因为 ff2y2x 

2xy(xy2)2(x2y2)22y2x1ij

222222x2y2(xy)(xy)所以

grad

例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)

解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)

于是

grad f(1 1 2)(2 2 4)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来

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§8

多元函数微分法及其应用

确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而

F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k

其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场

例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0

rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离

rmx 解 (m)m 23xrrxrmymmmz()3 同理

()3 yrrzrrymmxz从而

grad2(ijk)

rrrrryxz记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则rrr

gradmrmer r

2上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场

§8 多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

高等数学课程建设组 mmm的势场即梯度场grad称为引力场 而函数称为引力势 rrr高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值

例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值



因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数

设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)

特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式

f(x y0)

这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有

fx(x0 y0)0

类似地可证

fy(x0 y0)0

从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面

zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0

类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为

fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0

仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点

从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点



高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值



定理2(充分条件)

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令

fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C

则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下

(1)ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值

(2)ACB2<0时没有极值

(3)ACB0时可能有极值 也可能没有极值



在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx<0时有极大值 当fxx>0时有极小值

极值的求法

第一步解方程组

fx(x y)0 fy(x y)0

求得一切实数解 即可得一切驻点

第二步对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B和C

第三步定出ACB的符号 按定理2的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值还是极小值

例4 求函数f(x y)x3y33x23y29x 的极值

fx(x,y)3x26x90 解解方程组

2f(x,y)3y6y0y22求得x1 3 y0 2 于是得驻点为(1 0)、(1 2)、(3 0)、(3 2)

再求出二阶偏导数

fxx(x y)6x6 fxy(x y)0 fyy(x y)6y6

在点(1 0)处 ACB2126>0 又A>0 所以函数在(1 0)处有极小值f(1 0)5

在点(1 2)处 ACB212(6)<0 所以f(1 2)不是极值

在点(3 0)处 ACB126<0 所以f(3 0)不是极值

在点(3 2)处 ACB212(6)>0 又A<0 所以函数的(3 2)处有极大值f(3 2)31

应注意的问题

不是驻点也可能是极值点

高等数学课程建设组 2高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

例如  函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 但(0 0)不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑

最大值和最小值问题 如果f(x y)在有界闭区域D上连续 则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能在D的边界上 我们假定 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数f(x y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值)

例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省

解设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为A2(xyy8m 此水箱所用材料的面积为 xy8888x)2(xy)(x0, y0)

xyxyxy令Ax2(y88 A2(x)0 得x2 y2)0y22yx

根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为

从这个例子还可看出

在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小

例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？

解设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积

高等数学课程建设组 82m时 水箱所用的材料最省

2282m时 所用材料最省 22高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

A1(242x2xcos242x)xsin

2即A24xsin2x2sinx2sin cos(0

可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )

令Ax24sin4xsin2xsin cos0

A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0

由于sin 0 x0 上述方程组可化为

122xxcos0

222xcosx(cossin)024cos解这方程组 得60 x8cm

根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0

二、条件极值

拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值

例如 求表面积为a而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a



这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题

对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题



例如上述问题  由条件2(xyyz

Vxz)a22

2 解得za22xy2(xy) 于是得

xya22xy()

2(xy)只需求V的无条件极值问题

在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法

现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件

如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有

(x0 y0)0

假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0

由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y)

高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

得一元函数

zf [x (x)]

于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有

dzdxxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydxxx00

即

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0

y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立

y(x0,y0)

设fy(x0,y0)y(x0,y0) 上述必要条件变为

fx(x0,y0)x(x0,y0)0

fy(x0,y0)y(x0,y0)0

(x,y)000

拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数

F(x y)f(x y)(x y)

其中为某一常数

然后解方程组

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0

Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0

(x,y)0由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定

例7 求表面积为a而体积为最大的长方体的体积

解设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件

2(xyyzxz)a2

下求函数Vxyz的最大值

构成辅助函数

F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)

解方程组

高等数学课程建设组 2高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0

Fz(x,y,z)xy2(yx)022xy2yz2xza得xyz6a

6这是唯一可能的极值点

因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V

高等数学课程建设组

63a

36高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

高等数学课程建设组高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

篇6：高等数学及其应用教案

云南省曲靖市第一中学李德安

一、数学归纳法的地位与作用

1．数学归纳法在教材中的地位与作用

数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。《数学归纳法及其应用举例》是人教版高中数学新教材第三册第二章“极限”中第一部分的知识。通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。

2．数学归纳法对思维发展的地位与作用

人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。对数学归纳法原理的理解，蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。

二、数学归纳法的本质与教学目标定位

数学归纳法体现了递推的思想，数学归纳法的本质就是利用递推思想去证题的一种方法。一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识，更重要的是对学生能力的培养和情感的熏陶。根据本节课的特点及布鲁纳的教学目标，特设置一条明线：如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假。将本节课的教学目标定为三重目标：①认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法与技巧；②能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力；③情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。

三、学法、教法特点及预期效果

1．学法指导

高中学生具有一定的逻辑思维和推理演算能力，并且对事物的认识逐步的由感性上升到理性，个体的发展由外显转化为内隐，这些都是我们学好本节的有利因素。但不足的是，学生考虑问题的全面性及课堂气氛的活跃性还不够好。为此，根据教育学家奥苏伯尔关于学科和认知结构组织的假设及其“先行组织者”技术与美国心理学家布鲁纳倡导的发现法教育理论，在学法方面我采用“导—思—点拨—练”的学习过程，让学生自主参与知识的发生、发展、形成过程。在这个过程中对学生进行以下学法指导。

（1）温故知新法

引导学生回顾等差数列通项公式的推导过程，从而引出归纳法的概念，其又分为完全归纳法和不完全归纳法，如何验证等差数列通项公式的正确性呢？进而引出数学归纳法。

（2）体验感悟法

让学生认真观看多米诺骨牌实验，从而感悟数学归纳法原理。（3）质疑法

引导学生主动质疑，解决问题，得到方法。（4）练习法

通过类比，练习用数学归纳法证题，进一步体会数学归纳法原理。2．教学特点本节课在教法上贯彻如下两个原则：

一是建构主义原则。学生是教学的主体，学生学习数学是一种再创造过程，他们通过吸收与融合原知识的过程来建立理解的层次结构。皮亚杰的认知结构学说：“所有的认知结构，结构再构建，构成复杂的结构，不断发展。”数学知识不能从一个人迁移到另一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的归纳、交流，通过反思来主动建构，这就是建构主义的数学学习观。为此教学设计是通过等差数列通项公式的证明及多米诺骨牌实验引导学生积极主动的进行建构。

二是寓教于乐原则。实践证明，学生在积极愉快的情形下，学习效率会大幅提高；在宽松的情形下，能够最大限度地激发其聪明才智和创造性。结合本节课特点，将知识性与趣味性相结合，以吸引学生喜欢数学，自觉地学习数学，以调动学生的“心理场”。比如，通过讲员外儿子学写数字，引进了归纳法的概念，同时学生也体会到通过观察、归纳、猜想一些结论，是很好的一个思维流程，但其结果不可靠。通过多米诺骨牌玩法的演示，诠释了递推思想。

3．预期效果

通过学法指导，教法特点实现三重目标。

四、教学诊断与评价

1．教学诊断

证明数学归纳法的第一步是容易实现的，第二步是重点也是难点，在验证nk1命题的正确性时，极易脱离归纳假设，为此应重申递推思想，总结出证题技巧“一凑假设，二凑结论”。

2．教学评价

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