高等数学感悟范文

第一篇：高等数学感悟范文

考研.数学 高等数学总结1

中值定理及应用

一、基本概念定理

1、极值点与极值—设连续yf(x)(xD)，其中x0D。若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极大点;若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极小点，极大点和极小点称为极值点。

2、极限的保号性定理

定理 设limf(x)A0(0)，则存在0，当0|xx0|时，xx0

f(x)0(0)，即函数极限大于零则邻域大于零;极限小于零则邻域小于零。

A0，因为limf(x)A，由极限的定义，xx0xx02

AA0。 存在0，当0|xx0|时，|f(x)A|，于是f(x)22【证明】设limf(x)A0，取0

3、极限保号性的应用

【例题1】设f(1)0,limf(x)2，讨论x1是否是极值点。 x1|x1|

【例题2】(1)设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点;

(2)设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点。

f(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，xaxa

f(x)f(a)0。 当0|xa|时，有xa【解答】(1)设f(a)0，即lim

当x(a,a)时，f(x)f(a);当x(a,a)时，f(x)f(a)。 显然xa不是f(x)的极值点。

(2)设f(a)0，即limf(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，当xaxa

f(x)f(a)0。 0|xa|时，有xa

当x(a,a)时，f(x)f(a);当x(a,a)时，f(x)f(a)。 显然xa不是f(x)的极值点。

【结论1】设连续函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0或f(a)不存在。

【结论2】设可导函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0。

二、一阶中值定理

定理1(罗尔中值定理)设函数f(x)满足：(1)f(x)C[a,b];(2)f(x)在(a,b)内可导;(3)f(a)f(b)，则存在(a,b)，使得f()0。

定理2(Lagrange中值定理)设f(x)满足：(1)f(x)C[a,b];(2)f(x)在(a,b)内可导，则存在(a,b)，使得f()

【注解】

(1)中值定理的等价形式为： f(b)f(a)。 ba

f(b)f(a)f()(ba)，其中(a,b);

f(b)f(a)f[a(ba)](ba)，其中01。

(2)对端点a,b有依赖性。

(3)端点a,b可以是变量，如f(x)f(a)f()(xa)，其中是介于a与x之间的x的函数。

定理3(Cauchy中值定理)设f(x),g(x)满足：(1)f(x),g(x)C[a,b];(2)f(x),g(x)在(a,b)内可导;(3)g(x)0,x(a,b)，则存在(a,b)，使得f(b)f(a)f()。 g(b)g(a)g()

题型一：证明f(n)()0

【例题1】设f(x)C[0,3]，f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明：存在(0,3)使得f()0。

【例题2】设曲线L:yf(x)(x[a,b])，f(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导，连接端点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线L交于内部一点C(c,f(c))(acb)，证明：存在(a,b)，使得f()0。

(a)f(b)0，证明：存在【例题3】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f

(a,b)，使得f()0。

题型二：结论中含一个中值，不含a,b，且导出之间差距为一阶

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()0。

【例题2】设f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()g()0。

【例题3】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内二阶可导，且f(0)f(1)，证明：存在(0,1)，使得f()2f()。 1

题型三：含中值,

情形一：含中值,的项复杂度不同

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)1，证明：存在,(a,b)，使得e[f()f()]1。

【例题2】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导(a0)，证明：存在,(a,b)，使得

f()(ab)f()。 2

情形二：含中值,的项复杂度相同

【例题1】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1。

(1)证明：存在c(0,1)，使得f(c)1c。

(2)证明：存在,(0,1)，使得f()f()1。

【例题2】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1，证明：存在,(0,1)，使得213。 f()f()

三、高阶中值定理—泰勒中值定理

背景：求极限limx0xsinx。 x3

定理4(泰勒中值定理)设函数f(x)在xx0的邻域内有直到n1阶导数，则有

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)， 2!n!

f(n1)()且Rn(x)(xx0)n，其中介于x0与x之间，称此种形式的余项为拉格(n1)!

郎日型余项，若Rn(x)o[(xx0)n]，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。 特别地，若x00，则称

f(0)f(n)(0)n2f(x)f(0)f(0)(xx0)xRn(x)， 2!n!

f(n1)(x)n1为马克劳林公式，其中Rn(x)x(01)。 (n1)!

【注解】常见函数的马克劳林公式

xn

o(xn)。

1、e1xn!x

x3(1)n

2n

12、sinxxxo(x2n1)。 3!(2n1)!

x2(1)n

2n

3、cosx1xo(x2n)。 2!(2n)!

11xxno(xn)。 1x

11x(1)nxno(xn)。

5、1x

4、

x2(1)n1

nxo(xn)。

6、ln(1x)x2n

专题一：泰勒公式在极限中的应用 【例题】求极限limx0xsinx。 x3

专题二：二阶保号性问题

设函数f(x)的二阶导数f(x)0(0)，这类问题主要有两个思路：

思路一：设f(x)0，则f(x)单调增加

【例题1】设f(x)在[0,)上满足f(x)0且f(0)0，证明：对任意的a0,b0有f(a)f(b)f(ab)。

【例题2】设f(x)在[a,)上满足f(x)0且f(a)2,f(a)1，证明：f(x)在(a,)内有且仅有一个零点。

思路二：重要不等式

设f(x)0，因为f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

所以有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，

其中等号成立当且仅当xx0。

【例题1】设f(x)C(,)，f(x)0，且limx0f()(xx0)2， 2!f(x)1，证明：f(x)x。 x

【例题2】设f(x)0(axb)，证明：对任意的xi[a,b](i1,2,,n)及ki0(i1,2,,n)且k1k2kn1，证明：

f(k1x1k2x2knxn)k1f(x1)k2f(x2)knf(xn)。

【例题3】设f(x)C[0,1]且f(x)0，证明：

101f(x2)dxf()。 3

第二篇：高等数学复习

高等数学2考试知识点

总题型：填空(10空)，选择题(5个)，计算题(A-9,B-8)，证明题(2个)

第8章：填空选择题型：向量的数量积和向量积的计算，运算性质，两向量平行与垂直的充分必要条件即向量积为零向量和数量积为零，两向量数量积的模表示以这两向量为邻边的平行四边形的面积，点到平面的距离公式，旋转曲面方程的特点即出现两个变量的平方和且其对应系数相等，球面的一般方程;

计算题型：根据直线和平面的关系求平面方程或直线方程;

第9章：填空选择题型：多元函数的定义域，简单函数的二重极限计算，多元函数的极限、连续和偏导数的关系，多元函数取极值的必要条件;

计算题型：偏导数的计算，空间曲线的切线法平面，空间曲面的切平面法线，函数在已知点沿已知向量方向的方向导数，多元函数的极值和条件极值;

证明题型：证明与偏导数有关的等式;

第10章：填空选择题型：重积分的性质，计算被积函数为常数且积分区域比较特殊的二重积分或三重积分，二次积分交换积分次序;

计算题型：二重积分计算，极坐标系下二重积分的计算，三重积分的计算(球面坐标结合高斯公式)，曲顶柱体的体积;

第11章：填空选择题型：第一第二类曲线曲面积分的性质，计算被积函数为常数且积分曲线或积分曲面比较特殊的第一类曲线积分或第一类曲面积分;

计算题型：曲线型构建的质量(已知线密度，且曲线为圆弧)，对坐标的曲线积分使用格林公式，高斯公式(积分区域为球的三重积分)，全微分求积(求原函数)

第11章：填空选择题型：级数收敛的定义，收敛级数的性质，简单级数的绝对收敛和条件收敛以及发散的判定，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数的间接展开(利用指数函数和三角函数)，傅里叶级数的收敛定理，记住奇偶函数在对称区间的傅里叶级数展开为正弦与余弦级数;

计算题型：正项级数的审敛法，一般的级数判定其绝对收敛还是条件收敛，幂级数求和函数，幂级数的展开(分式展开，主要利用1/(1-x)的展开式，要注意收敛的范围); 证明题型：利用296页的Weierstrass判别法证明函数项级数是一致收敛的;

第三篇：高等数学2

1.“对任意给定的(0,1)，总存在正数N,当nN时，恒有xna2”是数列xn收敛于a的()

A 充分条件; B 必要条件; C 充要条件;

D 非充分必要条件。

imxnyn0。则下列断言正确的是2. 设数列xn和yn满足ln

()。

xn不存在，则limyn也不存在。B 若xn无界，则yn必有界。A 若lim nn

yn0。D 若limC 若xn有界，则limnn10，则limyn0。 nxn

一、 填空题

xna，则limxn 1.若limnn

2.对于数列xn，若x2k1a(k),x2ka(k)，则xn

二、 计算与证明题

1. 设xn的一般项xncosn，imxn?求出N，问l使nN时，xnnn

与其极限之差的绝对值小于正数。 当0.001时，求出数N。

根据数列极限的定义证明： n2a22n121 (1)lim; (2) limnn3n1n3

第四篇：高等数学

《高等数学》是我校高职专业重要的基础课。经过我们高等数学教师的努力， 该课程在课程建设方面已走向成熟，教学质量逐步提高,在教学研究、教学管 理、教学改革方面，我们做了很多工作，也取得了可喜的成果。

《高等数学》是学习现代科学技术必不可少的基础知识。一方面它是学生后 继课程学习的铺垫，另一方面它对学生科学思维的培养和形成具有重要意义。 因此，它既是一门重要的公共必修课，又是一门重要的工具课。紧扣高职高 专的培养目标，我们的《高等数学》课的定位原则是“结合专业，应用为主， 够用为度，学有所用，用有所学”，宗旨是“拓宽基础、培养能力、重在应用”

根据高职高专的培养目标，高等数学这门课的教学任务是使学生在高中数学 的基础上，进一步学习和掌握本课程的基础知识、基本方法和基本技能，逐步 培养学生抽象概括问题的能力，一定的逻辑推理能力，空间想象能力，比 较熟练的运算能力和自学能力，提高学生在数学方面的素质和修养，培养 学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

高等数学这门课的教学设计思想是：根据专业设置相应的教学内容。我们将 《高等数学》分成四大类：轻化工程、电子、计算机和财经。四大类的公共教 学内容为：一元函数微积分,微分方程。三类工科数学增加：空间解析几何、多 元微积分学。计算机和电子再增加级数。电子类专业还专门开设拉普拉氏变换。 财经专业另开设线性代数初步。达到了专业课对基础课的要求。

同时，在教学内容的安排上，还注意了以下几点：

1、数学知识的覆盖面不宜太宽，应突出重点，不过分追求数学自身的系统 性，严密性和逻辑性。淡化数学证明和数学推导。

2、重视知识产生的历史背景知识介绍，激发学生的学习兴趣。每一个概念 的引入应遵循实例—抽象—概念的形成过程。

3、重视相关知识的整合。如在一元微积分部分，可将不定积分与定积分整 合，先从应用实例引入定积分的概念，再根据定积分计算的需要引入不定积分

4、强调重要数学思想方法的突出作用。强化与实际应用联系较多的基础知 识和基本方法。 加强基础知识的案例教学，力求突出在解决实际问题中有重要 应用的数学思想方法的作用，揭示重要的数学概念和方法的本质。例如，在导 数中强调导数的实质——变化率;在积分中强调定积分的实质—无限累加;在 微分中强调局部线性化思想;在极值问题中强调最优化思想;在级数中强调近 似计算思想。

5、注重培养学生用数学知识解决实际问题的意识与能力。

6、根据学生实际水平，有针对性地选择适当(特别是在例题、习题、应用 案例及实验题目等方面)的教学内容，应尽量淡化计算技巧(如求导和求积分 技巧等)。

知识模块顺序及对应的学时《高等数学》工科课程主要分为七部分的知识模 块，共需要用168个学时.

1、一元函数微分学部分(极限、导数及其应用)，需用60个学时;

2、一元函数积分学部分(不定积分、定积分及其应用)，需用30个学时;

3、微分方程部分，需用12个学时。

4、向量代数与空间解析几何部分，需用24个学时;

5、多元函数微分学部分(偏导数及其应用)，需用22个学时;

6、多元函数积分学部分(二重积分及其应用)，需用8个学时;

7、无穷级数部分，需用30个学时; 课程的重点、难点及解决办法 1 、课程的重点

本课程的研究对象是函数，而研究问题的根本方法是极限方法，极限方法贯 穿于整个课程。本课程的重点是教会学生在掌握必要的数学知识(如导数与 微分、定积分与重积分及级数理论等)的同时，培养学生应用数学的思想方 法解决实际问题的意识、兴趣和创新能力。

2、 课程的难点

本课程的教学难点在于由实际问题抽象出有关概念和其中所蕴涵的数学思想， 培养学生应用数学的思想方法解决实际问题的意识、兴趣和能力;一元函数 的极限定义并用定义证明极限、定积分的应用、多元复合抽象函数的求偏导， 根据实际问题建立微分方程等内容是高等数学学习过程中的难点。

3、解决办法

对于工科类高等数学，讲授时一般以物理、力学和工程中的数学模型为背景 引出问题，采取启发式教学以及现代化教学手段，讲清思想，加强基础;注 意连续和离散的关系，加强函数的离散化处理，注意培养学生研究问题和解 决实际问题的能力;注意教学内容与建立数学模型之间的联系。在微积分学 的应用中，更是关注物理模型的建立和研究思想。另外，重点、难点内容多 配备题目，课堂讲解通过典型例题的分析过程和解决过程掌握重点、突破难 点;课外还布置一定量的练习题;最近几年以来，基础部学科建设发展迅速， 研究成果和学术论文突飞猛进，学术环境和氛围极大改善。基础部科研和教 学活动的新的水平层次，为《高等数学》精品课程的建设和发展，提供了优 秀的学术环境和平台。

教 学 大 纲

一、内容简介

本课程的内容包括函数的极限与连续，微分及其应用，积分及其应用，常微分方程，空间解析几何与向量代数、多元函数微积分及其应用，无穷级数，线性代数初步，数学实验等。其中函数的极限与连续，微分及其应用，积分及其应用为各专业的基础部分。空间解析几何与向量代数、多元函数微积分及其应用，无穷级数，线性代数初步，数学实验为选学模块，各专业可根据专业培养目标的要求，选学相应的教学内容。

二、课程的目的和任务

为培养能适应二十一世纪产业技术不断提升和社会经济迅速发展的高等技术应用型人才，教学中本着重能力、重应用、求创新的思路，切实贯彻“以应用为目的、理论知识以必需、够用为度”的原则，落实高职高专教育“基础知识适度，技术应用能力强，知识面较宽，素质高”的培养目标，从根本上反映出高职高专数学教学的基本特征，反映出目前国内外知识更新和科技发展的最近动态，将工程技术领域的新知识、新技术、新内容、新工艺、新案例及时反映到教学中来，充分体现高职教育专业设置紧密联系生产、建设、服务、管理一线的实际要求。在教学内容的组织上，注意以下几点：

1.注意数学知识的深、广度。基础知识和基本理论以“必需、够用”为度.把重点放在概念、方法和结论的实际应用上。多用图形、图表表达信息，多用有实际应用价值的案例、示例促进对概念、方法的理解。对基础理论不做论证，必要时只作简单的几何解释。

2.必须贯彻“理解概念、强化应用”的教学原则。理解概念要落实到用数学思想及数学概念消化、吸纳工程技术原理上;强化应用要落实到使学生能方便地用所学数学方法求解数学模型上。

3.采用“案例驱动”的教学模式。由实际问题引出数学知识，再将数学知识应用于处理各种生活和工程实际问题。重视数学知识的引入，激发学生的学习兴趣。每一个概念的引入应遵循实例—抽象—概念的形成过程。

4.重视相关知识的整合。如在一元微积分部分，可将不定积分与定积分整合，先从应用实例引入定积分的概念，再根据定积分计算的需要引入不定积分。

5.要特别注意与实际应用联系较多的基础知识、基本方法和基本技能的训练，但不追求过分复杂的计算和变换。可通过数学实验教学，提升学生对的数学问题的求解能力。加强基础知识的案例教学，力求突出在解决实际问题中有重要应用的数学思想和方法的作用，揭示重要的数学概念和方法的本质。例如，在导数中强调导数的实质——变化率;在积分中强调定积分的实质—无限累加;在微分中强调局部线性化思想;在极值问题中强调最优化思想;在级数中强调近似计算思想。

6.在内容处理上要兼顾对学生抽象概括能力、自学能力、以及较熟练的综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及创新能力的培养.真正体现以学生为主体，以教师为主导的辨证统一。

三、课程内容

第一章 函数的极限与连续

理解一元函数的概念及其表示;了解分段函数;了解复合函数的概念，会分析复合函数的复合过程。熟悉基本初等函数及其图形;能熟练列出简单问题中的函数关系;理解数列极限与函数极限的概念;会用极限思想方法分析简单问题;了解函数左、右极限的概念，以及函数左、右极限与函数极限的关系;掌握极限四则运算法则;理解函数连续、间断的概念;知道初等函数的连续性;会讨论分段函数的连续性。 第二章 一元函数微分学及其应用

理解导数和微分的概念;能用导数描述一些经济、工程或物理量;熟悉导数和微分的运算法则和导数的基本公式;了解高阶导数的概念;能熟练地求初等函数的导数，会求一些简单函数的高阶导数，会用微分做近似计算;会建立简单的微分模型。 第三章

导数的应用

会用罗必达解决未定型极限;理解函数的极值概念;会求函数的极值，会判断函数的单调性和函数图形的凹、凸性等;熟练掌握最大、最小值的应用题的求解方法。 第四章

一元函数积分学及其应用

理解不定积分和定积分的概念;了解不定积分和定积分的性质;理解定积分的几何意义;熟悉不定积分的基本公式;掌握不定积分的直接积分法、第一类换元法和常见类型的分部积分法;熟练掌握牛(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式;熟练掌握定积分的微元法，能建立一些实际问题的积分模型;会用微元分析法建立简单的积分模型;了解广义积分的概念.了解微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解等概念;掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法;掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法;会建立简单的微分方程模型。 第五章

空间解析几何与向量代数

理解向量的概念，掌握向量的线性运算、点乘、叉乘，两个向量垂直、平行的条件;熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式;掌握用坐标表达式进行向量运算;理解曲面方程的概念，熟悉平面方程和直线方程及其求法;了解常用的二次曲面的方程，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程;了解曲线在坐标平面上的投影。 第六章

多元函数微分法及其应用 理解多元函数的概念;了解二元函数的极限与连续性概念及有界闭域上连续函数的性质;了解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件;掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数;会求隐函数的偏导数;理解多元函数极值和条件极值的概念，会求一些极值。 第七章

二重积分

理解二重积分的概念，了解重积分的性质和几何意义;掌握二重积分的计算方法。 第八章

无穷级数

了解无穷级数收敛、发散及和的概念，基本性质及收敛的必要条件;掌握几何级数和P-级数的收敛性;掌握正项级数的比较审敛法，比值审敛法;了解交错级数的莱布尼兹定理;了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系;了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法;了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质;了解函数展开为泰勒级数的充要条件;会将一些简单的函数间接展开成幂级数。了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件，会将定义在(-π,π)上的函数展开为傅里叶级数，并会将在(0，π)上的函数展开为正弦或余弦级数。知道傅里叶级数在工程技术中的应用。了解拉普拉斯变换和逆变换的概念，会求解简单信号函数的拉普拉斯变换和逆变换。 第九章 线性代数初步

理解矩阵的概念;掌握用矩阵表示实际量的方法;熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律;熟练掌握矩阵的初等变换;理解逆矩阵的概念，会用矩阵的初等变换求方阵的逆矩阵。会建立简单的线性模型;熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。 第十章 数学实验

数学实验是以实际问题为实验对象的操作实验，其教学不仅让学生了解和掌握一种数学实验软件，而更重要的是培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力。

四、课程的教学方式

本课程的特点是思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重由案例启发进入相关知识，并突出帮助学生理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到数学学习的必要性。同时，注重各教学环节(理论教学、习题课、作业、辅导参考)的有机联系, 特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。教学中有计划有目的地向学生介绍学习数学与学习专业课之间的关系，学习数学是获取进一步学习机会的关键学科。

五、各教学环节学时分配

序号教学模块理论课时习题课时实 验共计备注

1函数的极限与连续166 22各专业的公共基础 2 导数与微分204 24 3导数的应用104 14 4一元函数积分及其应用228 30

常微分方程102 12轻化、电子、计算机、经济类学生选

5空间解析几何与向量代数186 24轻化、电子、计算机类学生选 6多元函数微积分及其应用166 22轻化、电子、计算机类学生选

7二重积分62 8 8无穷级数246 30电子、计算机类学生选

9线性代数初步144 18电子、计算机、经济类学生选 10 实验

六、执行大纲时应注意的问题

1.大纲以高职高专各专业为实施对象。

2.模具和高分子专业增加极坐标和曲率;电子专业增加拉普拉斯变换。 3.数学实验课程视情况开设。

教学效果

高等数学课程是一门十分繁重的教学任务，不仅学时多、面对学生人数多，而且责任大。学校、系、学生都十分关注这门课程的教学质量，它涉及到后续课程的教学，特别是它影响培养人才的质量和水平。基础部历来非常重视高等数学的教学质量，积极组织教师开展教学研究，要求任课教师认真负责地对待教学工作，备好、讲好每一节课。多年来高等数学的教学质量和教学水平一直受到学校和学生的好评。

从课堂表现可以看出教师备课是充分的。讲授熟练，概念清楚，重点突出。特别是贯彻启发式教学，教与学互动，课堂提问讨论，学生课堂解题等，师生配合较好，课堂气氛活跃，调动了学生的学习积极性。教师们经常讨论各章节的重点难点应如何处理，如何分析引出概念，如何贯彻启发式教学，哪些问题要留给学生自己解决。这种教学研讨一学期要有十多次，有时几乎每周都有安排。严谨治学、严格要求、教书育人、为人师表是基础部的优良传统，可以说高等数学教研室在师资队伍建设上成绩是突出的。 高等数学在教学改革上，准备将数学建模和数学实验引入高等数学教学中，从而来提高学生学习兴趣，尝到数学应用的益处，提高学数学的积极性

课程的方法和手段

本课程运用现代教育技术、采用多种教学手段相结合的方式。大多数教师在教学中使用powerpoint课件、电子教案、模型教具等辅助手段，使教学内容的表达更生动、直观，有效提高了教学效果。采用多媒体辅助教学的教师比例达到100%。具体情况如下：

1.坚持“少讲、留疑、迫思、细答、深析”的教学原则，试点“讨论式”、“联想式”、“逆反式”等教学方法。

高等数学是学生进入大学后首先学习的课程之一，内容难以理解，课堂教学容量大。如何培养学生独立学习的能力，也是教师义不容辞的责任。为转变学生中学养成的依赖教师的学习习惯，尽快适应大学学习生活，我们在教学中提出“少讲、留疑、迫思、细答，深析”的教学 原则，开展了“讨论式”、“联想式”、“逆反式”等教学方法，收到了较好的效果。

2.提倡研究式学习方法，培养学生初步进行科学研究的能力和创新精神

工科学生学习数学的主要目的，是能将所学数学知识用于专业研究中。为激发学生的求知欲、锻炼学生的初步研究能力、培养学生的综合素质与创新精神，我们尝试在部分班级开展研究式的学习方法。具体方法是：将部分教学内容改造成研究问题，让学生通过课程学习、查阅资料、相互讨论等形式思考研究问题。例如针对微分方程的应用、各种定积分的比较研究等问题开展这项活动，学生反映很好。

3.传统教学手段与现代教学手段结合，提高教学效果

在部分内容保留传统教学方式的基础上，积极运用现代教育技术，探索计算机辅助教学的模式，研制电子教案，并在部分班级进行试点。例如：我们利用电子教案讲授空间解析几何、重积分等内容，使一些空间图形的演示更直观、更清楚，便于学生理解和掌握。

4.加强课下辅导，及时为学生排疑解难

课下的辅导答疑是高等数学教学的重要环节，为加强这个环节，我们安排了正常的辅导答疑。

5.积极开展课外科技活动

为配合高等数学的教学工作，我们准备开设《Mathematica》和《数学建模》两门院级选修课，为基础较好的学生提供进一步提高的机会。同时，积极组织学生参加数学建模竞赛。

第五篇：高等数学-极限

《高等数学》极限运算技巧

(2009-06-02 22:29:52) 转载▼ 标签： 分类： 数学问题解答

杂谈 知识/探索

【摘 要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。 【关键词】高等数学 极限 技巧

《高等数学》极限运算技巧

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念

从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势(这种变化趋势是具有唯一性)，那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限!

从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧

我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了!其实不是讨巧，是有规律可循的!今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助! 我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。 1，连续函数的极限

这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。 2，不定型

我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：

需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。 此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：

等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行)。 第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况： (1)，“∞/∞ ”形式

如果是幂函数形式的(包含幂函数四则运算形式)，可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：

，这道题中，可以看到提出最高次x(注意不是)其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在(是无穷大)，如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。

如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法(提高次项是优先使用的方法)，使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。 (2)，“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。 (3)“ ”形式

这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。 第三，“ ”

这种形式的解决思路主要有两种。

第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如： 这道题的基本接替思路是，检验形式是“式，最后直接套用公式。

第二种是取对数消指数。简单来说，“

”，然后选用公式，再凑出公式的形

”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：

可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。 三，极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

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