分式的运算教学设计

分式的运算教学设计（精选8篇）

篇1：分式的运算教学设计

分式的运算教学设计

作为一名教学工作者，通常会被要求编写教学设计，教学设计把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。我们应该怎么写教学设计呢？下面是小编收集整理的分式的运算教学设计，希望对大家有所帮助。

分式的运算教学设计1

一、学生知识状况分析

知识技能基础：学生在小学已经学过分数的乘除法，掌握了分数的乘除法法则，在学习分式的乘除法法则时可通过与分数的乘除法法则进行类比学习。在前面学习了整式乘法和因式分解，为分式的运算和结果的化简奠定基础。

能力基础：

在过去的数学学习过程中，学生已初步具备观察、分析、归纳的能力和类比的学习方法。

二、教学任务分析

具体学习任务分析：本节课的重点是分式乘除法的法则及应用，难点是分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。分式的乘除法与分数的乘除法类似，所以可通过类比，探索分式的乘除运算法则的过程，会进行简单的分式的乘除法运算，分式运算的结果要化成最简分式和整式，也就是分式的约分，要求学生能解决一些与分式有关的简单的实际问题。因此，本课时的教学目标是：

1.类比分数的乘除运算法则，探索分式的乘除运算法则。

2.理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算

3.能解决一些与分式有关的简单的实际问题。

4.通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力。

三、教学过程分析

第一环节 复习旧知识

复习小学学过的分数的乘除法运算。

活动内容

1、计算，并说出分数的乘除法的法则：

分数乘以分数，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母;分数除以分数，把除数的分子分母颠倒位置，与被除数相乘.活动目的：

复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备。

教学效果：

学生能准确的说出分数的乘除法运算法则。

第二环节 引入新课

活动内容猜一猜：

你能总结分式乘除法的法则吗?与同伴交流。

分式的乘除法的法则:

两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;

两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.活动目的：

让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则。

教学效果：

通过类比分数的乘除法的法则，学生明白字母代表数，这样很顺利的得出分式的乘除法的法则。

第三环节 知识运用

活动目的：

通过例题讲解，使学生会根据法则，理解每一步的算理，从而进行简单的分式的乘除法运算，并能解决一些与分式有关的简单的实际问题，增强学生代数推理的能力与应用意识。需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简。

教学效果：

学生能将算式对照乘除法的法则进行运算，在运算结果中，如果不是最简分式往往忘记约分，因式分解在分式约分中起到重要作用，对于分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算时，一般先分解因式，并在运算过程中约分，可以是运算简化。

通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为(其中R为球的半径),那么，(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?

(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?

(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同?交流

活动目的：

能解决一些与分式有关的简单的实际问题。

(1)乘法运算步骤是，①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母;②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面;③约分

(2)除法的运算步骤是，把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式;②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面.最后的计算结果必须是最简分式.第四环节 课堂反馈

活动内容：

化简

对本节知识进行巩固练习

教学效果：

在总结出分式乘除法的运算步骤后，大部分学生能很好的掌握，但是还有些学生忘记运算结果要化成最简形式，老师要及时提醒学生。式的.知识没掌握好，将会影响到分式的运算，所以有的学生有必要复习和巩固一下分解因式的知识。

分式的运算教学设计2

教学目标

知识与技能：理解并掌握分式的乘除法法则，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。

过程与方法：经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程，培养学生类比的探究能力，加深对从特殊到一般数学的思想认识。

情感态度和价值观：

1.教学中让学生在主动探究，合作交流中渗透类比转化的思想，使学生在学知识的同时感受探索的乐趣和成功的体验，获得成就感.2.培养学生的创新意识和应用数学的意识.学情分析

从认知状况来说，学生在此之前对分数乘除法运算比较熟悉，加上对本章第一节分式及其性质学习，抓住初中生具有丰富的想象能力和活跃的思维能力，爱发表见解，希望得到老师的表扬这些心理特征，因此，我认为本节课适合采用学生自主探索、合作交流的数学学习方式。一方面运用实际生活中的问题引入，激发学生的兴趣，使他们在课堂上集中注意力；另一方面，由于分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似，以类比的方法得出分式的乘除法则，易于学生理解、接受，让学生在自主探索、合作交流中加深理解分式的乘除运算，充分发挥学生学习的主动性。不但让学生“学会”还要让学生“会学”

重点难点

重点：理解并掌握分式乘除法法则及应用。

难点：分子分母是多项式的分式的乘除法运算。

教学过程

第一学时

教学活动活动1

【导入】一、创设情境，导入新知

活动1：提出问题，引入课题

引入：一盒果汁有4/5升，每个杯子可以装3/10升，则1/3杯果汁有多少升？一盒果汁可以倒满几倍？

问题1：一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的时,水高为多少?

问题2：大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?

问题1：求得水的高：

问题2：大拖拉机的工作效率是小拖拉机的倍

教师活动：教师引导学生观察分析以上两式的特点得出它们分别是分式的乘法和除法。

从上面的问题可知，解决生活中的问题有时需要进行分式的乘除运算，那么分式的乘除是怎样运算的呢？这是我们本节课要学习的内容。

学生活动（解决问题）：学生动手操作，探究规律，激发学生学习兴趣。

【设计意图：从生活中的问题引入，让学生感受到学习分式乘除运算是生产和生活的实际需要，从而激发学生的兴趣。】

活动2【活动】二、合作交流，探索新知

问题2：以学生为主体，鼓励学生进行类比探究，让学生根据分数的乘除法法则类比探究得出分式的乘除法法则。教师巡视，观察学生探究的情况，对学习有困难的学生给以指导。

1.学生独立完成问题1和问题2的结果。

2.学生通过类比分数的乘除法则，探究分式的乘除法则。

3.小组之间交流结果，并总结规律性的结论。

乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式,把除式的分子，分母颠倒位置后,与被除式相乘。

用式子表示为：

【设计意图：把自主权交给学生，体现了自主探索，合作学习的新理念，遵循“教师主导，学生为主体”原则。】

活动3【练习】学以致用巩固新知

（1）运算结果应约分到最简。

（2）分式除法应：“颠倒相乘”。

（3）运算中，先判断运算符号，再计算结果。

【设计意图：例题采取学生自主运用新知识代替单纯的教师讲授，这是对教学方法的一大胆尝试。在活动中，使到能正确解题的学生获得成就感，同时也使还不能完全正确解题的学生发现自己存在的问题，通过学生小组合作，熟练掌握法则，为运用法则行正确计算奠定基础。】

师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，训练发展学生与他人交流、合作的意识。在证明过程中体会所运用的归纳、类比数学思想方法；

例2计算：

例2是例1的拓展，也是本节课的难点，学生在独立完成时，应提醒学生先分解因式后再运用法则进行运算。解题时应注意：

分子、分母为多项式时，先将多项式分解因式，再约分。

【设计意图：这道例题都主要是为了检测学生的举一反三的能力，达到巩固提高的目的，进一步熟练解题的思路，遵循了巩固与发展相结合的原则。一是为了训练法则掌握情况，二是熟练掌握和应用新旧知识的联系。】

活动4【练习】学以致用，运用新知

1.练一练

2.试一试3.闯一闯

活动5【讲授】归纳与总结

（1）熟练掌握并应用分式的乘除法法则进行运算；

（2）因式分解在分式乘除法中的灵活应用；

（3）运算结果要最简；

（4）乘除混合运算统一为乘法运算；

活动6【练习】实际应用

应用练习：一艘船顺流航行n公里用了m小时，如果逆流航速是顺流航速的p/q，那么这艘船逆流航行t小时走了多少路程？

【设计意图：强化学生分式乘除法法则的掌握和应用，强化学生对新知的领悟，激发学生学习兴趣。】

活动7【讲授】教学反思

1、选取学生熟悉的分数的乘除运算问题，用类比的思想方法学习归纳出分式乘除法的运算法则，学生感到轻松容易的掌握了分式乘除法的运算，激发了学生的学习兴趣。

2、针对本节课内容我设计一系列有梯度的问题，并采取小组合作形式。课堂气氛活跃，生学习热情比较高。课堂学习效果较好。

3、学生能力的培养，创设良好的问题情境，强化问题意识，激发学生的求知欲；培养学生敢于独立思考，敢于探索、敢于质疑的习惯；培养学生善于观察的习惯和心里品质；培养学生良好的思维习惯，教会学生在多方面思考问题，多角度解决问题的能力。

存在的问题：

（1）由于部分学生计算能力欠缺，算上还出现问题。在以后的教学中还应加强计算能力的培养。

（2）教学效果还有些欠缺，争取以后在课堂上让学生思维活跃，气氛热烈，学生受益面大，不同程度学生在原有的基础上都有进步。知识、能力、情感目标都能达到，让学生学的轻松，积极性高，当堂问题当堂解决。

分式的运算教学设计3

学习目标：

(一)知识与技能目标

使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．

（二）过程与方法目标

经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性

（三）情感与价值目标

渗透类比转化的思想，让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练．

学习重点：掌握分式的乘除运算。

学习难点：分子、分母为多项式的分式乘除法运算。

教学过程

一、情境引入：

你还记得分数的乘除法法则吗？你能用类似于分数的乘除法法则计算下面两题吗？

（1）=（2）=

二、探究学习：

（1）你能说出前面两道题的计算结果吗？

（2）你能验证分式乘.除运算法则是合理的.正确的吗？

（3）类比分数的乘除法则，你能从计算中总结出怎样进行分式的乘除法运算吗？

归纳小结：

（1）分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。即： ab ×cd =acbd。

（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即：ab ÷cd =ab ×dc ＝adbc。

（3）分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方。即：(ab)n＝anbn

三、典型例题：

例1、计算：1..2。（）

例2、计算、1.2.归纳小结：分式的乘法运算，先把分子、分母分别相乘，然后再进行约分；进行分式除法运算，需转化为乘法运算；根据乘法法则，应先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再进行约分，但在实际演算时，这样做显得较繁琐，因此，可根据情况先约分，再相乘，这样做有时简单易行，又不易出错.四、反馈练习：

（1）(2).(3)（a-4）.(4)

五、探究交流：（1）在夏季你是怎么挑选西瓜的呢?

（2）你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？

七、课堂小结：

1、分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。

2、当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分。

【课后作业】

班级 姓名 学号

1、填空

（1）（2）

（3）（4）

（5）=（6）

（7）若代数式 有意义,则x的取值范围是__________.2、选择

(1)下列各式计算正确的是()

A.;B.C.;D.(2)下列各式的计算过程及结果都正确的是（）

A．

B．

C．

D．

（3）当，时，代数式 的值为（）

A.49 B.-49 C.3954 D.-3954

（4）计算 与 的结果（）

A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.以上都不对

（5）若x等于它的倒数，则 的值是（）

A.-3 B.-2 C.-1 D.03、计算

（1）（2）

4、中考链接（选作题）

已知aba＋b ＝13，bcb＋c ＝14，aca＋c ＝15，求代数式abcab＋bc＋ac 的值。

篇2：分式的运算教学设计

香庙中学

王小龙

一.教材分析

（1）本节内容在教材中的地位和作用

$

它是在分式的概念、分式的基本性质以及约分、通分的基础上学习了分式的混合运算，同时结合分式的运算，研究了整数指数幂的问题，将正整数指数幂的运算性质推广到整数范围，完善了科学记数法。

$

他是前面所学知识的巩固、延伸与拓展，又是后续学习分式方程的基础，是中考的一个重要考点，是式运算的综合。$ 全章的重点也是本章难点。

$ 巩固代数知识的常用方法，提高代数恒等变形能力，感受代数学习的价值。（2）教学目标 通过复习让学生进一步理解分式的乘除、乘方、加减法则； 熟练的运用各运算法则进行分式的混合运算，提高学生代数式变形能力； 3 在竞赛中培养学生无私合作交流的情感，亲密无间的团队精神，强烈的上进心和竞争意识； 4 关注学生的学习个性，提高学生的学习积极性和主动性；（3）教学重难点

 1.重点:熟练的运用各运算法则进行分式的混合运算。 2.难点:异分母分式的加减运算、分式混合运算。

二

教学方法与学法分析

 采用“必答――抢答――小组接力――小组合作赛”的教学模式. 运用多媒体等多种教学手段来扩大教学容量和空间，充分刺激学生的感官，引起学生的无意注意，激发学生的潜在兴趣. 采用讲练结合、层层深入、归纳总结的教学方法。

三、教学程序设计

1、必答题

1、忆一忆

（1）分式运算已学过哪些？

（2）分式乘除法则是什么？用式子如何表示？（3）分式乘除法关键是什么？

（4）分式乘方法则是什么？用式子如何表示？（5）同分母分式相加减呢？

（6）异分母分式相加减呢？（7）分式加减运算关键是什么？（8）分式的混合运算顺序是什么？

设计意图：让学生学生自己整理本章知识结构，形成系统化。

2、抢答题：(1) xx

2x24x(3)2 a2a

2b23(2)aa21a(4)2a1aba2b2(6)1(5)aabba设计意图：通过课堂小测验对本课基本知识进行检测。

3、小组接力赛

化简或化简求值： 2x63xx22(1)2x4x4x4xx26y22y2(2) x2yx2y2yx 162(3)m3m9

9a3(4)a其中a1aa

aba2b2(5)12其中a1,b22 a2ba4ab4b设计意图：通过题组一的解答，复习分式的定义、分是有意义的条件、分式值为零的条件等基本知识，通过题目变式提升学生解决问题的方法。

4、小组合作、交流

,B2已知：两个分式，Ax1x1x1

其中，x 

，下面有三个结论：①A=B； ②A、B互为相反数；③A、B互为倒数。请问这三个结论中哪个结论正确？为什么？

112设计意图：通过小组交流，发现不同学生在学案中出现的错误，生生交流，用学生的语言讲解清楚知识点。为小组展示做好准备。

5、课堂小结

谈一谈

通过本节课《分式的运算》复习后，你有何收获？

设计意图：通过课堂小结再次强调本节课的重点问题。

补充：

1、计算 111111(1)(2)

122334xx1x2x1x2x3

112x2yxy

2、已知：3，求的值。yxx2xyy

6、设计作业

练习册3-4页

[板书设计]

分式复习课

一、分式的基本知识网络

篇3：分数运算到分式运算的类比迁移

类比迁移是问题解决的常用的策略之一, 是迁移研究较常用的范式。类比迁移 (analogical%%transfer) 是一个结构映射过程, 源问题各因素之间的关系 (结构) 被提取并被用于解决靶问题, 源情景事物之间存在的关系系统也存在于目标情景的事物之间时, 类比便可以发生[1]。结构映射是类比迁移的前提, 因此类比方法也称为类比推理, 它是一种由特殊到特殊的推理, 是事物共有关系的迁移, 而不是迁移其中的物体或物体属性。许多教育心理学家对迁移的本质、发生过程、产生条件及其运用进行了大量研究, 都非常重视学习迁移的问题, 提出了各自的观点.对于为什么能够类比推理, 周学海论述道:“这是因为对象之间存在着同一性、相似性, 对象属性之间的相关性, 提供了从对象的某些属性类推到另一些属性的可能性。两类对象及其属性和相关性结合起来就表现出这两类对象之间的类比性。”[2]任樟辉指出, 类比思维的依据是客观事物或对象之间的普遍联系———相似性。傅夕联、张召生和张永凤认为数学中的类比就是从一个特殊的系统过渡到另一个特殊系统的思维方式。类比迁移是学习新知识、进行科学发现和探索、培养创造性的一个重要途径。成功的学习经常依靠我们从记忆中提取相关的知识和技能, 并以此为出发点学习新的知识和技能, 即类比迁移。因此, 类比迁移的研究对我们学习新知识和技能, 教育的改革和发展具有重要的实践意义和指导意义。本研究就分数到分式迁移的特殊性———分数分母的数字变为更具有代表性的字母, 就成了分式 (分母不等于零) , 分数的有关性质和运算法则可以迁移到分式具体问题的解决中, 根据测试的结果, 分析了学生做题中存在的一些问题, 给出一些教学建议, 希望能对分式的教学有所启示和帮助。

二、研究方法

1. 测试方法。

采用问卷测试的方法, 对南宁市某中学八年级 (5) 班的48名学生进行施测。根据现行初中教材自编的分数试题、分式试题各一份, 经过多次修改, 试卷的可靠性程度较好。

2. 被试选择。

研究的被试是来自广西壮族自治区南宁市某中学八年级 (5) 班的学生, 该班为普通班级。

3. 测试过程。

本测试分两次完成, 第一次施测:分数试卷是在分式学习之前测试的, 发放试卷48份, 有效试卷45份;第二次施测:分式试卷是在学完分式内容之后测试的, 发放试卷48份, 有效试卷44份;两次施测的时间都为45分钟, 学生统一匿名答卷, 在施测的过程当中任课老师积极配合, 并由研究人员主持测试。

三、结果分析

题1.写出下列等式中未知的分母:

错解:2b%%%%出错率:15.9%

剖析:分数的基本性质是分数的分子与分母同乘以 (或除以) 一个不为零的数, 分数的值不变;类似的, 分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以 (或除以) 同一个不等于零的整式, 分式的值不变。而学生错误的类比等式的基本性质进行求解, 导致出错。

题2.化简:

出错率:6.8%

剖析:分数的加减运算法则是分母相同时, 分母不变, 分子相加减;分母不同时, 先通分, 分母相同时, 分子相加减。类似的, 分式的加减运算法则是分母相同时, 分母不变, 分子相加减;分母不同时, 先通分, 变为同分母的分式, 分子相加减。分数通分, 关键找分母的最小公倍数;分式通分, 关键找分母的最简公分母。对于 (1) 的错误, 学生把通分与解分式方程混淆了, 通分是等式代换, 不能去分母。对于 (2) 的错误, 学生能够找出分式的最简公分母, 但没有理解分数线的含义:既代表除号, 又代表括号。

出错率:13.6%

剖析:分数的四则运算法则是先算乘除后算加减, 有括号的先算括号内的, 乘除混算, 由左到右算;类似的, 分式的四则运算法则是先算乘方, 再算乘除, 后算加减, 有括号的先算括号内的, 同级运算按从左到右的顺序计算。对于 (1) , 学生先算乘后算除, 导致解题错误。对于 (2) , 学生在乘除运算中, 错误地套用了加法交换律, 导致解题错误。

剖析:在分数运算中, 乘法对加法分配律是可用的, 除法对加法的分配律是不可用的;类似的, 在分式运算中, 乘法对加法分配律是可用的, 除法对加法的分配律是不可用的。对于上述结果, 学生错误地套用了乘法分配律, 导致计算错误。

错解:%1+x≠0∴x≠-1∵当x≠-1, 分式有意义%%%%%%%%出错率:65.9%

剖析:分数有意义的条件是分母不等于零;类似的, 分式有意义的条件也是分母不等于零。对于上述错误, 学生没有理解分式的实质, 只考虑了的分母, 没有注意到整个分式的分母, 以偏概全, 导致计算错误。

四、教学建议

1.关于分式概念的教学。

分式的实质是两个整式相除所得的商, 在教学中, 应从区分整式与分式以及分式有意义的条件两个方面理解分式的概念。 (1) 式子是否为分式, 只与B中是否含有字母有关系。对概念中的重点、关键字词进行强调, 给出练习让学生区分哪些是整式, 哪些是分式。并举出反例, 防止学生简单地认为“分母中含有字母的式子就是分式”这种误解, 加深学生对概念的理解。 (2) 分式是否有意义跟分母的值是否等于零有关, 而与分子的值是否等于零无关。类比分数分母不等于零, 分母不等于零是分式概念的重要组成部分。 (3) 进行变式练习, 比如上述第5题, 求分式有意义的条件。学生刚刚接触分式, 对分式的概念理解不够透彻, 补充变式练习有利于学生对概念的理解和掌握。 (4) 结合学生的练习和作业, 收集常见的病例, 捕捉共性差错, 重点纠误, 以错纠错。

2. 关于分式的基本性质的教学。

(1) 通过复习、回忆分数的基本性质, 类比给出分式的基本性质, 对其进行关键、重点字词强调。 (2) 课本上用这两个式子表示分式的基本性质, 便于学生理解性质的内容。重点强调C不能等于零, 举出例子 (包括反例) 加深学生的印象。引导学生注意分数线不仅代表除号的意思, 而且还代表括号的作用, 计算过程中要注意符号的变化, 例如上述第2题学生出现的第 (2) 类错误。 (3) 利用分式的基本性质进行恒等变形时, 分母中字母的取值范围发生了变化, 要加上一定的限制条件, 有利于学生学习分式方程时对“验根”的理解。

3. 关于分式的四则运算的教学。

(1) 分式的四则运算与分数的四则运算十分相似。在分式四则运算的教学时, 要时刻通过类比分数的四则运算进行教学。 (2) 在初学阶段, 按部就班的解题步骤是有必要的。例如, 学习分式的除法运算时, 强调先化除法为乘法的形式, 再进行分式的乘法运算;在学习异分母分式相加减时, 强调“找最简公分母—通分—同分母的分式相加减”的解题步骤。 (3) 学生对整式的运算、正整数指数幂的运算性质、因式分解等相关内容的掌握程度, 直接影响着分式的学习。因此, 在教学中, 对这些内容进行复习, 有利于教学的顺利进行, 提高教学效率。 (4) 本章的核心是运算, 培养学生的运算能力是本章的一个教学目标。运算能力依赖于对运算法则、性质的理解和运算技能的熟练掌握程度, 因此, 保证一定的练习量很有必要。教学之初的练习、测验, 采用计算、化简等有解题步骤的题型训练, 能及时发现学生解题中出现的差错, 利于获得较为准确的反馈信息。

摘要：采用问卷测试的方法, 对南宁市某中学八年级 (5) 班的48名学生进行测试, 根据测试的结果, 给出分数到分式迁移的特殊性, 剖析学生解题时存在的一些问题, 提出一些教学建议, 希望能对分式的教学有所帮助。

关键词：分数,分式,类比,迁移

参考文献

[1]喻平.数学教育心理学[M].广西教育出版社, 2004.

[2]周学海.数学教育学概论[M].东北师范大学出版社, 1996.

[3]任樟辉.数学思维论[M].广西教育出版社, 1996.

篇4：分数运算到分式运算的类比迁移

关键词：分数；分式；类比；迁移

一、问题的提出

类比迁移是问题解决的常用的策略之一，是迁移研究较常用的范式。类比迁移（analogical?摇?摇transfer）是一个结构映射过程，源问题各因素之间的关系（结构）被提取并被用于解决靶问题，源情景事物之间存在的关系系统也存在于目标情景的事物之间时，类比便可以发生[1]。结构映射是类比迁移的前提，因此类比方法也称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理，是事物共有关系的迁移，而不是迁移其中的物体或物体属性。许多教育心理学家对迁移的本质、发生过程、产生条件及其运用进行了大量研究，都非常重视学习迁移的问题，提出了各自的观点.对于为什么能够类比推理，周学海论述道：“这是因为对象之间存在着同一性、相似性，对象属性之间的相关性，提供了从对象的某些属性类推到另一些属性的可能性。两类对象及其属性和相关性结合起来就表现出这两类对象之间的类比性。”[2]任樟辉指出，类比思维的依据是客观事物或对象之间的普遍联系——相似性。傅夕联、张召生和张永凤认为数学中的类比就是从一个特殊的系统过渡到另一个特殊系统的思维方式。类比迁移是学习新知识、进行科学发现和探索、培养创造性的一个重要途径。成功的学习经常依靠我们从记忆中提取相关的知识和技能，并以此为出发点学习新的知识和技能，即类比迁移。因此，类比迁移的研究对我们学习新知识和技能，教育的改革和发展具有重要的实践意义和指导意义。本研究就分数到分式迁移的特殊性——分数分母的数字变为更具有代表性的字母，就成了分式（分母不等于零），分数的有关性质和运算法则可以迁移到分式具体问题的解决中，根据测试的结果，分析了学生做题中存在的一些问题，给出一些教学建议，希望能对分式的教学有所启示和帮助。

二、研究方法

1.测试方法。采用问卷测试的方法，对南宁市某中学八年级（5）班的48名学生进行施测。根据现行初中教材自编的分数试题、分式试题各一份，经过多次修改，试卷的可靠性程度较好。

2.被试选择。研究的被试是来自广西壮族自治区南宁市某中学八年级（5）班的学生，该班为普通班级。

3.测试过程。本测试分两次完成，第一次施测：分数试卷是在分式学习之前测试的，发放试卷48份，有效试卷45份；第二次施测：分式试卷是在学完分式内容之后测试的，发放试卷48份，有效试卷44份；两次施测的时间都为45分钟，学生统一匿名答卷，在施测的过程当中任课老师积极配合，并由研究人员主持测试。

三、结果分析

题1.写出下列等式中未知的分母：?摇■=■

错解：2b?摇?摇?摇?摇出错率：15.9%

剖析：分数的基本性质是分数的分子与分母同乘以（或除以）一个不为零的数，分数的值不变；类似的，分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。而学生错误的类比等式的基本性质进行求解，导致出错。

题2.化简：■?摇+■+■

错解：（1）原式?摇=abc·■+abc·■+abc■=ac-cb+ab-ac+cb-ab=0?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇

出错率：9.1%?摇（2）原式=■

出错率：6.8%

剖析：分数的加减运算法则是分母相同时，分母不变，分子相加减；分母不同时，先通分，分母相同时，分子相加减。类似的，分式的加减运算法则是分母相同时，分母不变，分子相加减；分母不同时，先通分，变为同分母的分式，分子相加减。分数通分，关键找分母的最小公倍数；分式通分，关键找分母的最简公分母。对于（1）的错误，学生把通分与解分式方程混淆了，通分是等式代换，不能去分母。对于（2）的错误，学生能够找出分式的最简公分母，但没有理解分数线的含义：既代表除号，又代表括号。

题3.化简：-■÷■·■

错解：?摇?摇（1）原式?摇=-■÷n=-■×■=-■

出错率：15.9%

?摇（2）原式?摇=-■·■÷■=-■

出错率：13.6%

剖析：分数的四则运算法則是先算乘除后算加减，有括号的先算括号内的，乘除混算，由左到右算；类似的，分式的四则运算法则是先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的，同级运算按从左到右的顺序计算。对于（1），学生先算乘后算除，导致解题错误。对于（2），学生在乘除运算中，错误地套用了加法交换律，导致解题错误。

题4.化简：?摇■÷（■+■）

错解：原式=■÷■+■÷■

=■·（x-y）+■·（x+y）

=?摇■+■=■?摇?摇?摇?摇?摇?摇出错率：15.9%

剖析：在分数运算中，乘法对加法分配律是可用的，除法对加法的分配律是不可用的；类似的，在分式运算中，乘法对加法分配律是可用的，除法对加法的分配律是不可用的。对于上述结果，学生错误地套用了乘法分配律，导致计算错误。

题5.当?摇?摇为何值时，分式■有意义？

错解：?摇1+x≠0 ∴x≠-1 ∵当x≠-1，分式有意义?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇出错率：65.9%

剖析：分数有意义的条件是分母不等于零；类似的，分式有意义的条件也是分母不等于零。对于上述错误，学生没有理解分式的实质，只考虑了■的分母，没有注意到整个分式的分母1-■，以偏概全，导致计算错误。

四、教学建议

1.?摇?摇关于分式概念的教学。分式的实质是两个整式相除所得的商，在教学中，应从区分整式与分式以及分式有意义的条件两个方面理解分式的概念。①式子■是否为分式，只与B中是否含有字母有关系。对概念中的重点、关键字词进行强调，给出练习让学生区分哪些是整式，哪些是分式。并举出反例，防止学生简单地认为“分母中含有字母的式子就是分式”这种误解，加深学生对概念的理解。②分式是否有意义跟分母的值是否等于零有关，而与分子的值是否等于零无关。类比分数分母不等于零，分母不等于零是分式概念的重要组成部分。③进行变式练习，比如上述第5题，求分式有意义的条件。学生刚刚接触分式，对分式的概念理解不够透彻，补充变式练习有利于学生对概念的理解和掌握。④结合学生的练习和作业，收集常见的病例，捕捉共性差错，重点纠误，以错纠错。

2.关于分式的基本性质的教学。①通过复习、回忆分数的基本性质，类比给出分式的基本性质，对其进行关键、重点字词强调。②课本上用■=■，■=■，?摇?摇这两个式子表示分式的基本性质，便于学生理解性质的内容。重点强调C不能等于零，举出例子（包括反例）加深学生的印象。引导学生注意分数线不仅代表除号的意思，而且还代表括号的作用，计算过程中要注意符号的变化，例如上述第2题学生出现的第（2）类错误。③利用分式的基本性质进行恒等变形时，分母中字母的取值范围发生了变化，要加上一定的限制条件，有利于学生学习分式方程时对“验根”的理解。

3.关于分式的四则运算的教学。①分式的四则运算与分数的四则运算十分相似。在分式四则运算的教学时，要时刻通过类比分数的四则运算进行教学。②在初学阶段，按部就班的解题步骤是有必要的。例如，学习分式的除法运算时，强调先化除法为乘法的形式，再进行分式的乘法运算；在学习异分母分式相加减时，强调“找最简公分母—通分—同分母的分式相加减”的解题步骤。③学生对整式的运算、正整数指数幂的运算性质、因式分解等相关内容的掌握程度，直接影响着分式的学习。因此，在教学中，对这些内容进行复习，有利于教学的顺利进行，提高教学效率。④本章的核心是运算，培养学生的运算能力是本章的一个教学目标。运算能力依赖于对运算法则、性质的理解和运算技能的熟练掌握程度，因此，保证一定的练习量很有必要。教学之初的练习、测验，采用计算、化简等有解题步骤的题型训练，能及时发现学生解题中出现的差错，利于获得较为准确的反馈信息。

参考文献：

[1]喻平.数学教育心理学[M].广西教育出版社，2004.

[2]周学海.数学教育学概论[M].东北师范大学出版社，1996.

[3]任樟辉.数学思维论[M].广西教育出版社，1996.

篇5：分式的运算教学设计

一、教材分式：

本节课教材“分式的乘除法”。首先通过两个实际问题，创设情境，引出分式的乘除运算，这样安排自然、和谐，体现了教学的应用性和教学学习的问题性。然后，利用分式与分数的类比性，由分数的乘、除法法则，推出分式的乘除法法则，教材这样安排，背景性强，思想性强。使学生经历了一次精彩的数学思维训练，发展了学生的合情推理能力，接着教材通过两个例题，组织了分式乘、除法的训练，体现了运算能力的培养。例3是一道实际应用题，安排此例加强了双基的训练，体现了基础性，又体现了应用性，应用分式知识解决生产中的实际问题。还体现了思想性：数形结合的思想。

二、教学目标

1、知识与技能：

①掌握分式的乘、除法法则。②会进行分式的乘、除法运算。

2、数学思考：

①通过运用类比法推出分式乘、除法则的过程，体验类比思想的应用，发展学生的合情推理能力。

②通过例3的教学使学生体验数形结合的思想。

3、解决问题

①让学生体验数学知识，是怎从实践中来，又回到实践中去的，发展学生的应用意识。②使学生学会综合运用所学知识去解决运算、推理等问题，提高运算能力和逻辑推理能力。

4、情感与态度

①通过“类比”与“数形结合”等思想的渗透提高学生学习教学的兴趣。②使学生初步体验数学与人类生活的密切联系发展学生的辩证唯物主义观点。

三、重点与难点

重点是：分式乘、除法法则的推出过程。难点：应用法则进行分式的乘、除运程。

四、教学方法：

创设情境——引发思考—――变式训练

五、教学媒体

投影仪

六、教学过程

活动

（一）1、教师利用投影仪，展示教科书中的问题1，启发学生自己得出结果。然后指出：生产实践中的有些问题，需要我们进行分式乘法运算。

2、教师利用投影仪，展示教科书中问题2，启发学生自己得出结果，然后指出：生产实践中还有一些问题。需要我们进行分式除法运算。

这里两个问题的设计，为学生提供了数学知识的实际背景，创设了一种情境，使学生体验到了数学知识从实践中来，数学是为生产实践服务的。

活动

（二）问题1：通过前面的学习，大家已经知道分式与分数有许多类似的地方（如：形式上类似，基本性质类似，约分与通分类似）那么它们之间是不是还有更多类似的地方呢？请你回顾分数乘除法的法则，然后进行类比，你能说出分式的乘除法法则吗？

安排这个问题，为学生创设了一种具体情境，使学生轻松自然地得出了分式的乘除法法则。达到了温故而知新的目的。更重要的是使学生受到了一种数学思维的训练，在这里虽然没有严密的逻辑推理，但有一种更重要的合情推理。体现了类比的思想方法。

当学生用自然语言说出分式乘，除法的法则之后，教师提出问题2：你能用教学式子表示这些法则吗？

学生发言后，教师板书：

aca.c·= bdb.dacada.d÷=·= bbbcb.c这里实际上对分式乘除法法则的叙述用了两种语言： 自然语言和符号语言。活动

（三）问题：

1、教科书中例1：教师引导学生观察题目，运用分式的乘除法法则进行运算，然后请两名同学，对解题过程进行板演。教师关注：①学生是否能运用法则；②运算结果是否约分；③怎样处理符号。

2、教科书中例2：教师引导学生，观察题目，适时启发点拔，让学生自己去运算，请两名学生板演运算过程。

教师关注：①学生是否能运用法则；②当分子或分母是多项式应先分解因式；③对于分式 11应先将分母按降幕排列化为－。

49mm49此项活动：培养学生运用知识解决问题的能力，提高学生的运算能力，培训学生严肃认真一丝不苟的良好的学习品质。

活动：

（四）练习：教科书64页练习题，由学生独立思考、运算，教师组织全班交流。

活动中教师关注：①学生应用法则的熟练程度；②学生是否能严肃认真地去解每一道题；③在解题之后是否能进行检查、反思。

活动

（五）小结：

①通过本节课的学习中你有何收获？

②通过本节课的学习你对数学有什么新的认识和体会？ 由学生自我小结，谈感受、谈收获、谈体会、教师点评。作业：

1、常规作业：教科书75页习题11.2 1---3题

2、预习作业：教科书例3----66页练习

3、写数学日记

篇6：分式的加减运算

班级：________姓名：_______学号：________ 学习内容：8.3分式的加减运算 学习目标：

1、知识目标：会进行分式加减法的运算.2、能力目标：通过类比分数的加减运算，得出分式的加减法的运算法则，培养学生的想象能力.学习重点：同分母的分式加减法及简单的异分母的分式加减法.学习难点：当分式的分母是多项式时的分式的减法.学习过程：

一、情景创设

问题1：回顾分数如何相加减，思考两个分式如何相加？两个分式怎样相减？

二、探索活动

bcbc+=？-=？ aaaabcbc（2）异分母的分式怎样相加？怎样相减？如： =？ =？ adad（1）同分母的分式怎样相加？怎样相减？如：（3）你能说明你的猜想是正确的吗？

三、知识点 1．同分母的分式加减法．

公式：+=bacabcbc，-aaa=bc a文字叙述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 2．异分母的分式加减法．

公式：

四、例题讲解 例

1、计算：（1）bacdbdacbcbdac， adadad文字叙述：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．

13a22a3m2nn2m（2）（3）aaa1a1nmmnnm 小结：(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号．(2)注意符号问题(3)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分． 1 例

2、计算：（1）25a1a12（2） xxa1a1例

3、计算:（1）214a2（2）x242x42a

五、练习：①书本第45页练习②随堂作业

六、作业：补充习题及大练习册

七、小结： 1．同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号． 2．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分． 3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化． 4．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式． 2 8、3分式的加减作业

班级：________姓名：_______学号：_______ 一．请你填一填

62x=________.x3x3111=________.2．已知x≠0，x2x3x1．计算：x23．化简：x+=________.1x4．如果m+n=2，mn=－4，那么nm的值为________.mn

二、计算：（1）

3a2babba3bbaa22 －

（2）－

（3）xabbax5a2b5ab5ab（4）3baa2b3a4bxyy2xy

（5）222222ababbayxxyyx

三、计算： 5a6b3b4aa3b112b2（1）+

(2)a+b+

(3)2a2aab3a2bc3ba2c3cba

（4）163a6b5a6b4a5b7a8b2

篇7：中考数学二轮专题：分式及其运算

二轮专题汇编：分式及其运算

一、选择题

1.计算－的结果为()

A.1　　　　　　B.x　　　　　　C.D.2.（2020·贵阳）当x＝1时，下列分式没有意义的是（）

A．

B．

C．

D．

3.下列各式中，与的值相等的是()

A.B.C.D.4.计算÷的结果是()

A.B.C.D．2(x＋1)

5.（2020·临沂）计算的结果为（）

A.B.C.D.6.不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为()

A.B.C.D.7.已知=，则的值为

()

A.B.C.D.8.如图，若x为正整数，则表示的值的点落在()

A.段①

B.段②

C.段③

D.段④

二、填空题

9.若+=2，则分式的值为.10.如果分式有意义，那么x的取值范围是________．

11.（2020·常州）若代数式有意义，则实数r的取值范围是________．

12.（2020·怀化）代数式有意义，则x的取值范围是

．

13.（2020·南京）若式子1－在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______.14.（2020·衡阳）计算：

-x=

.15.约分：＝________．

16.要使＝成立，则m＝________．

三、解答题

17.下列分式中的x满足什么条件时，分式有意义？

(1)；(2)；(3)；(4).18.化简：a－b－.19.先化简，再求值:-1÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取.20.化简：÷(1－)．

21.先化简，再求值：(1＋)÷，其中x＝4－tan45°.22.（2020·河南）先化简，再求值：，其中．

23.甲、乙两商场自行定价销售同一种商品，销售时得到如下信息:

信息1:甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元;

信息2:乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比提价前少买1件.(1)该商品在甲商场的原价为　　　　元.(2)求该商品在乙商场的原价是多少.(3)甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整.甲商场:第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b;

乙商场:两次提价的百分率都是.(a>0，b>0，a≠b)

甲、乙两商场中哪个商场提价较多?请说明理由.24.设k法阅读下列解题过程，然后解题：

题目：已知＝＝(a，b，c互不相等)，求x＋y＋z的值．

解：设＝＝＝k，则x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)，∴x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝k·0＝0.∴x＋y＋z＝0.依照上述方法解答下列问题：

已知＝＝，其中x＋y＋z≠0，求的值．

2021中考数学

二轮专题汇编：分式及其运算-答案

一、选择题

1.【答案】A　【解析】－＝＝＝1.2.【答案】

B

【解析】解：A、，当x＝1时，分式有意义不合题意；

B、，当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义符合题意；

C、，当x＝1时，分式有意义不合题意；

D、，当x＝1时，分式有意义不合题意；

故选：B．

3.【答案】C　[解析]

＝.4.【答案】C　[解析]

原式＝·(x－1)＝.故选C.5.【答案】A

【解析】根据异分母分数加减法的法则先进行通分，然后计算即可，如下：

所以选A.6.【答案】B　[解析]

＝＝.7.【答案】D　[解析]

∵=，∴=6.∴a+=5.∴a+2=25，即a2++2=25.∴=a2++1=24.∴=.8.【答案】B　[解析]==1-，根据x为正整数，类比反比例函数y=-的性质，可得-≤-<0，∴≤1-<1，∴表示的值的点落在段②.二、填空题

9.【答案】-4　[解析]由=2，可得m+n=2mn，===-4.10.【答案】x≠1　【解析】要分式有意义，则分式的分母不能为0，即x－1≠0，即x≠1.11.【答案】x≠1

【解析】本题考查了分式有意义的条件．由x－1≠0得，x≠1

12.【答案】x＞1．

【解析】根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1＞0，再解不等式即可．

解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案为：x＞1．

13.【答案】

x≠1

【解析】由分式的定义可知分母不能为0，故x－1≠0，解得：x≠1.14.【答案】1

【解析】本题考查了分式的加减运算.原式=-=.因此本题答案为1．

15.【答案】　[解析]

＝＝.16.【答案】1　[解析]

根据题意，得3m＋2＝7－2m，移项，得3m＋2m＝7－2，合并同类项，得5m＝5，系数化为1，得m＝1.三、解答题

17.【答案】

解：(1)x≠0.(2)x－2≠0，解得x≠2.(3)x(x－1)≠0，解得x≠0且x≠1.(4)x2－9≠0，解得x≠±3.18.【答案】

解：原式＝a－b－(a＋b)(2分)

＝a－b－a－b(5分)

＝－2b.(7分)

19.【答案】

解:原式=·=-·=.解不等式组得-1≤x<3，则不等式组的整数解为-1，0，1，2.∵x≠±1，x≠0，∴x=2，原式==-2.20.【答案】

解：原式＝÷(－)(2分)

＝·(4分)

＝.(6分)

21.【答案】

解：原式＝·

＝.(2分)

∵x＝4－tan45°＝4－1＝3，(3分)

∴代入得：原式＝＝.(5分)

22.【答案】

解：原式=.当时，原式=.【解析】先计算括号里的，再把除法转化为乘法，分子、分母能因式分解的先因式分解，最后约分化简、代入计算即可．

23.【答案】

解:(1)1

(2)设该商品在乙商场的原价为x元.则-=1，解得x=1.经检验，x=1是原分式方程的解，且符合题意.答:该商品在乙商场的原价为1元.(3)乙商场提价较多.理由:由于原价均为1元，则甲商场两次提价后的价格为(1+a)(1+b)=

(1+a+b+ab)元，乙商场两次提价后的价格为1+2=1+a+b+2元.因为2-ab=2>0，所以乙商场提价较多.24.【答案】

解：设＝＝＝k，则y＋z＝kx(1)，z＋x＝ky(2)，x＋y＝kz(3)．

(1)＋(2)＋(3)，得2x＋2y＋2z＝k(x＋y＋z)．

篇8：分式运算中的常见错误剖析

一、自作聪明改变运算顺序出错

【错解】

【 错因分析 】乘除是同级运算, 按照从左往右的顺序进行. 不要看到题中有而忽视了运算顺序.乘除混合运算时, 先将除法运算转化成乘法运算, 再约分.

二、 运算律运用出错

【 错因分析】 乘法对加法有分配律, 而除法对加法没有分配律.误用运算律致错.

三、 分式运算与解分式方程混淆致错

【 错解】原式=x-1+x+1=2x.

【 错因分析 】本题是分式的运算, 不是解分式方程, 因此只能通过通分, 将异分母的分式变成同分母的分式后再加减.而不能像解分式方程那样去掉分式的分母.

【 正解】 原式=1x+1+1x-1

四、忽视分数线的括号作用出错

【 错因分析】 分数线有两个作用, 其一, 起到除号的作用, 表示分子与分母相除;其二, 对整个分子有括号的作用.本题的错误就是忽视了作用二. 当分式与多项式相加减时, 必须将这个多项式看作一个整体, 先用括号括起来, 当作分母是1, 再通分后相加减.本题正确答案为.

五、 选值代入有错误

1. 从备选值中, 选值代入陷入“陷阱”

例5 先化简, 然后从, 1, -1中选取一个你认为的数作为x的值代入求值.

【 分析】 所选择的值必须使分式有意义.即使分式的各分母不能为0, 本题中的分母是x -1, x +1, 2x2-2 =2 (x +1) (x -1) , (除式也应看作分母) .综合以上情况可知, 要使所取值使原分式有意义, 则x的取值不能为0, 1, -1.因此本题中, 所选择的值只能是.

所选择的值是, 当时, 原式=.

【 点评】本题同学们在选择x的值时, 往往不注意分析, 只知道选择简单的有理数1或-1代入计算, 这恰好中了命题者所设下的“陷阱”.

2. 自己选择喜欢的值代入有“陷阱”

例6 先化简:, 当b=-1时, 请你为a任选一个适当的数代入求值.

【 分析 】 要使原分式有意义则对于分母a2-ab=a (a-b) , a不能为0, 当b=-1时, a不能取0, -1.另外除式, a+b也不能为0, 因此a只能取0, 1, -1以外的任一实数.

我取的a值是2, 当a=2, b=-1时, 原式==1.