基于径向基函数网络的多元函数逼近

2022-09-10

多元函数逼近可以看作是一种从Rn维空间到R空间的一种非线性映射。神经网络是模拟人脑思维的一种数学模型, 其具有很强的非线性映射能力。所以可以利用神经网络对多元函数逼近进行研究。径向基函数网络 (Radial Basis Function Networks, RBFN) 是一种只具有输入层[1], 隐层与输出层三层结构的神经网络。RBFN中隐节点的激活函数是径向基函数。径向基函数反映了空间中某一点pi到中心pc之间距离的单调增加或者下降。常用的核函数有高斯核函数、格林函数等。本文在参考了国内外众多文献的基础上, 试图应用RBFN的方法逼近一个二元函数, 该二元函数的逼近实例验证了RBFN进行多元函数逼近具有可靠性。

一、RBF神经网络

RBFN是有监督学习人工神经网络中的一种。本文所应用的RBFN由于要逼近一个二元函数, 其结构应该是具有两个输入, 一个输出的三层前馈式人工神经网络, 如图1所示。

图1中, 输入层有两个神经元, 两个输入x1、x2表示函数的两个元, 输入层与隐层之间的权值统一设置为1。隐层共有n个神经元, 第i个神经元用Φi表示。输出层有一个神经元, Y为输出, 隐层第i个神经元Φi与输出层之间的权值为ωi1。

隐层节点的激活函数应用的是标准的高斯核函数, 其表达式如公式1所示[1], 其中X为输入向量, Xc为核函数的中心, σ为核函数的宽度。RBFN的输出Y是隐层输出的加权求和, 其表达式如公式2所示[1]。

二、建立模型

本节应用RBFN对一个未知的二元函数进行逼近学习。为了检测逼近的效果, 设定一个二元函数Z=XY。假设函数Z的表达式未知。随机产生X1, X2作为两组输入数据, 应用公式3得到输出数据Y, X1, X2作为训练数据集对RBFN进行训练。本节中使用MATLAB的newrb () 函数来构建一个近似RBFN, 并且把训练样本数设定为600个, 测试样本数设定为1681个, 运用600个样本对网络进行训练后, 再使用1681个测试样本进行验证。

三、结果分析

运用图1所构建的RBFN逼近一个二元函数Z=XY。结果如图2-4所示。图2为误差随迭代次数增加的变化曲线, 由曲线可以看出, 误差值随迭代次数的增加在减小, 当迭代次数为600次, 误差达到最小, 其值为5.59779e-014, 图3是X, y的值在[-2, 2]区间内函数的真实图像, 图4是RBFN拟合的图形, 对比图3, 图4发现RBFN的拟合效果比较好, 拟合图形与真实图形基本一样。图5为误差图像。该实例验证了RBFN在逼近多元函数时具有可靠性。

摘要：神经网络通过训练可以以任意精度逼近任何一个单值函数。径向基函数神经网络是神经网络的一种形式, 其具有结构简单, 学习速度快, 非线性映射能力强等特点。本文利用径向基函数神经网络的方法进行多元函数逼近, 通过实例验证该方法的可靠性。

关键词：径向基函数神经网络,多元函数逼近