谈谈分式运算中的解题技巧

分式是初中数学中的重点内容之一, 它的运算综合性强, 技巧性大, 如果在解题时方法选取不当, 不仅使解题过程复杂化, 而且出错率增高, 选择了恰当的方法, 可以收到事半功倍的解题效果。下面通过举例子说明分式运算中的几种技巧, 供同学们学习参考。

1 分步通分计算

例:化简1/x-1+1/ (x-1) (x-2) +1/ (x-2) (x-3) +1/ (x-3) (x-4) 。

分析:如果直接通分, 它的公分母是 (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) , 计算量很大, 如果逐步通分可以简化运。

例:化简1/ (x-y) +1/ (x+y) - (x-y) 算。

2 巧分组后通分/x2+xy+y2- (x+y) /x2-xy+y2

分析:如果直接通分, 非常明显计算量较大, 但是如果注意到 (x±y) (x2-+xy+y2) =x3±y3时, 可以把四个分式分成两组相加, 可以简化运算。

3 先化简后通分

例:化简 (x+2) (x-3) /x 2+x-2-x2+7x+12/x2+2x-3+x2+6x-7/x2-2x+1。

分析:直接通分, 极其烦琐, 但是, 各个分式并非最简分式, 有化简的余地, 很显然, 化简后再通分计算会方便很多。

4 裂项后通分

例:化简1/x (x+1) +1/ (x+1) (x+2) +1/ (x+2) (x+3) +1/ (x+3) (x+4) -3/x (x+4) 。

分析:各个分母之间形成一种链式关系, 前呼后应, 现在采用裂项的方法, 使此分式出现相消的现象。

5 看作整体通分

例:化简m3/m-1-m2-m-1。

分析:把-m2-m-1看作整体, 利用 (m-1) (m2+m+1) =m3-1公式求解, 可以简化运算。

6 调整符号后通分

例:化简:a/ (a-b) (a-c) +b/ (b-a) (b-c) +c/ (c-a) (c-b) 。

分析:调整符号后通分, 可以减少符号错误, 提高正确率。

7 一次性通分计算

例:化简3/5x2+5x-10-x+1/x2-x-6+x-2/x2-4x+3。

分析:观察这个式子, 可以发现, 一次性通分最简便。

8 分离整式后计算

例:化简1-1/x2+7x+6-x2-5x+5/x2-5x+6。

分析:在分式x2-5x+5/x2-5x+6中可以分离出整式, 变成整式与分式的和, 即x2-5x+5/x2-5x+6=1-1/x2-5x+6, 再代入计算, 可以简化运算。

9 局部巧用通分

例:化简2+x-2/ (2x-3) (x-1) +3x-1/ (2x-3) (x+2) -2x+1/ (x-1) (x+2) 。

分析:如果直接通分, 非常明显计算量较大, 观察第2, 3项可以先提取它们的公因式, 再进一步计算, 观察化简, 可以大大简化运算。

1 0 巧用公式通分

例:化简x2-1/x2-2x+1÷x+1/x-1×1-x/1+x。

分析:分子和分母都是多项式, 先利公式a2-b2= (a+b) (a-b) , a2-2ab+b2= (a-b) 2分解因式, 在运算过程中约分, 可以简化运算。

1 1 妙用倒数通分

例:化简 (x-1) ÷{x-1-1÷[x+1+1÷ (x-1) ]}。

分析:观察这个分式, 如果把它写成的形式, 我们注意到它的分子为x-1, 分母为{x-1-1÷[x+1+1÷ (x-1) ]}, 十分复杂, 对于这种类型的分式, 我们多采用取倒数的方法进行通分计算, 这样可以化难为易。

分式化简的方法有很多, 这里给出十一种, 希望同学们在解题中不断总结和归纳, 能够根据分式的特征, 选择恰当的方法来解题。

摘要：分式是初中数学中的重点内容之一, 它的运算综合性强, 技巧性大, 如果在解题时方法选取不当, 不仅使解题过程复杂化, 而且出错率增高, 选择了恰当的方法, 可以收到事半功倍的解题效果。

关键词：通分,化简,方法,简化运算

参考文献

[1] 李广.分式的运算中的通分[J].初中生, 1998 (3) .