函数值域的几种求法

函数值域的几种求法（精选七篇）

函数值域的几种求法 篇1

一、观察法

通过对函数解析式的简单变形, 利用熟知的基本函数的值域或利用函数图像的“最高点”和“最低点”, 观察求得函数的值域, 这就是观察法.

例1求函数的值域.

解:由于

所以函数的值域为[3, +∞) .

点评:算数方根具有双重非负即 (1) 被开方数的非负性 (2) 值的非负性, 本题通过直接观察算术方根的性质而获解, 这种方法对于求函数的值域来说简洁、明了.不失为一种巧法.

二、配方法

对二次函数类型的函数解析式可先进行配方, 在充分注意到自变量取值范围的情况下, 利用求二次函数的值域的方法求函数的值域这就是配方法.

例2求函数y=2x2-4x+3 (x∈[0, 3]) 的值域.

解:因为y=2x2-4x+3=2 (x-1) 2+1

所以x=3时, ymax=9;x=1时, ymin=1.

故函数的值域为[1, 9].

点评:将自变量配方成完全平方数, 用二次函数的最值求得, 利用配方法时要特别注意定义域对值域的制约.

三、判别式法

将函数视为自变量的二次方程, 利用判别式求函数值的范围, 常用于一些“分式”函数、无理函数等, 使用此法要特别注意自变量的取值范围.

例3求函数的值域.

解:此函数的定义域为R,

可变形为 (y-1) x2- (y-1) x+y=0

当y-1=0时, x∈覫

故函数的值域为[-1/3, 1) .

点评:将原函数转化为自变量的二次方程, 应用二次方程的根的判别式从而确定出原函数的值域.

四、换元法

通过对函数解析式进行适当换元, 可将复杂的函数化归为几个简单的函数, 从而利用基本函数的取值范围求函数的值域.

例4求函数的值域.

解:设, 则

则

函数在[0, +∞) 上单调递减,

所以函数有最大值, t=0时, ymax=1/2

故函数的值域为 (-∞, 1/2].

点评:将无理函数或二次性函数转化为二次函数, 通过求出二次函数的最值从而确定出原函数的值域.

五、分离常数法

通过变形将函数分离出一个常数和一个熟悉的函数表达式, 再通过求熟悉的函数值域, 以达到求原函数值域的目的.

例5求函数的值域.

因为

所以2

点评:形如c≠0) 的形式的函数可利用这种方法.

六、单调性

先利用函数的单调性的定义说明函数在某个区间上的单调性, 再利用单调性求值域.

例6求函数f (x) =x+在x∈[1, 3]上的值域.

解:设1≤x1

因为1≤x1

所以f (x1) -f (x2) >0, 即f (x1) >f (x2) ;

当3≥x2>x1≥2时, , f (x1)

故f (x) 在[1, 2]是减函数, 在[2, 3]上是增函数.

所以f (x) 的值域为[4, 5].

点评:利用单调性求函数的值域是在给定的区间上结合函数的增减性求出函数在区间端点的函数值, 进而可求出函数的值域.

函数值域应用的几种解题策略 篇2

一、 给定函数解析式

对于函数解析式确定,已知值域求参数的问题,可以先求出这个函数的值域A,观察所给值域B与A的关系: BA,有时可以避免讨论.

例1已知函数f(x)=34x2-3x+4,若f(x)的定义域和值域均是［a,b］,求实数a和b的值.

解析:∵ f(x)=34(x-2)2+1对称轴是:x=2

当 x∈R时,f(x)的值域为［1, +∞)

∴ ［a,b］［1，+∞）∴ a≥1此时对称轴与区间的位置关系不确定

下面抓住对称轴与区间的位置关系讨论

① 当 a≥2时，函数f(x)在区间［a,b］上是单调递增函数

f(a)=a

f(b)=b解得a=43

b=4（舍去）

② 当a＜2＜b时,

f(x)min=f(2)=1=a

又f(1)=74＜2∴ f(x)max=f(b)=b解得b=4

∴ a=1,b=4

③当b≤2时函数f(x)在区间［a,b］上是单调递减函数

∴ f(a)=b

f(b)=a解得a=0

b=4（舍）或a=4

b=0（舍）

综上所述: a=1,b=4

例2已知函数f(x)=34x2-3x+5,若f(x)的定义域和值域均是［a,b］,求实数a和b的值.

解析: ∵ f(x)=34(x-2)2+2

对称轴是: x=2

当x∈R时,f(x)的值域为［2, +∞)

∴ ［a，b］［2，+∞）

此时对称轴与区间的位置关系确定,就无须讨论了函数f(x)在区间［a,b］上是单调递增函数

∴ f(a)=a

f(b)=b解得a=2

b=103

例2中就巧妙的运用了值域A与B的关系.

二、 函数解析式中含有参数,可转化为恒成立问题的.

例3已知函数f(x)=asinxcos2x+（a-6）sinx的最小值是-6,求实数a的值.

分析:这道题如果按照常规方法:化同名,换元,然后利用导数求最值.就很麻烦.我们注意到它有一个特殊性f(0)=-6,所以这题可转化为恒成立的问题来解决就简单方便了.

解析: f(x)=asinx（1-2sin2x）+(a-6)sinx=-2asin3x+（2a-6）sinx

换元令t=sinxt∈［-1，1］

则有 y=-2at3+(2a-6)tt∈［-1，1］

下面常规方法是先求函数y的最小值,但这样处理的过程中比较繁.

我们注意到当t=1时,y=-6

所以我们把该题等价转换为

当 t∈［-1，1］时, -2at3+（2a-6）t≥-6恒成立.

当t=-1或0或1时,上述不等式成立

当t∈（0，1）时

分离参数a得: a≥-3t2+t恒成立

∵ -3t2+t＜-32 ∴ a≤-32

当t∈（-1，0）时分离参数a得: a≤-3t2+t恒成立

∵ -3t2+t=-3t+122-14∴ 当t=-12时，-3t2+tmin=12.

∴ a≤12

综上所述: -32≤a≤12

三、 灵活运用函数求值域的方法

例4函数若f(x)=ax+1x2+c的值域为［-1,5］,求实数a,c的值.

分析:根据解析式的特点,先用判别式法.但化简整理后利用判别式得到一个关于的一个含参数的不等式,这时如果去解不等式就麻烦了,可结合条件利用一元二次不等式的解与对应一元二次方程的解之间的关系,进行等价转化.

解:令y=ax+1x2+c整理得到:yx2-ax+yc-1=0

∴ y≠0

Δ=a2-4y(yc-1)≥0得4cy2-4y-a2≤0

由题意可知: 4cy2-4y-a2≤0的解集是［-1,5］

∴ -1和5是方程 4cy2-4y-a2=0的两个实数根

∴ -1+5=1c

-1×5=-a24c解得 c=14

a=±5

数学的学习不是死记硬背,我们要善于归纳和总结,对于同一类题型,要善于发现它们的共性和个性,从而选择适当的方法,达到优化解题.“一个人到学校上学，不仅是为了取得一份知识的行囊，而主要是获得聪明，因此我们主要的智慧努力就不应用在记忆上，而应用在思考上去，所以真正的学校应是一个积极思考的王国，必须让学生生活在思考的世界里.”这是苏霍姆林斯基说过的话，是提高学生思维能力的重要途径，也应是我们每一个人民教师所奋斗的目标.

函数最值的几种求法 篇3

函数 (代数式) 最值 (范围) 的确定名目繁多, 方法多样, 但笔者依结构不同主要归纳为以下三种方法.

一、一元函数 (代数式中只有一个未知数)

此类问题主要方法是函数的方法, 即先确立该函数的单调性、定义域, 由单调性和定义域共同求其最值.偶尔也用“不等式”方法, 包括均值不等式、柯西不等式等, 如

例1.设a>1, 函数f (x) =logax在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为1/2, 则a=_____.

点评:∵a>1, ∴f (x) 在[a, 2a]上是增函数, 由f (x) 的单调性及定义域直接求出最值.

例2. 定义域在R上的偶函 数f (x ) 在 [0 , +∞ ] 上递增 , f (1/3) =0, 则满足f (log (1/8) x) >0的x的取值范围是____.

点评:1.由f (x) 的奇偶性、单调性, 知f (x) 在R上的单调性, 推出:log (1/8) x>1/3或log (1/8) x<-1/3进而得解.

2.求最值务必先确立单调性 , 问题随之迎刃而解.

例3.已知函数y=f (x) 是偶函数, 当x>0时, f (x) =x+4/x, 且当x∈[-3, -2]时 , n≤f (x) ≤m恒成立 , 求m-n的值.

点评:此题可有两种方法, 即,

1.先确定x>0时 , f (x) =x+4/x的单调性, 进而求解.

2.可直接使用“不等式”求得x>0时 , f (x) 的最值 , 进而得解.

二、二元函数 (代数式中含有两个未知数)

此类问题的主要方法是依所给条件所定, 如所给条件及目标函数都有较重要的几何意义, 其主要方法是线性规划法及其思想, 如所给条件的几何意义不明显, 则使用方法三.

例1.已知点P (x, y) 的坐标同时满足以下不等式:x+y≤4, y≥x, x≥1, 如果点O为坐标原点, 那么|OP|的最小值等于____, 最大值等于______.

点评:因为其几何意义十分明显, 可直接使用线性规划法.

例2.设实数x, y满足不等 式组求 z = (x+2y) / (2x+y) 的范围.

点评:1. 条件显然有明显的几何意义, 而目标是“斜率”的增函数, 即确定了目标的几何意义, 问题得解.

2.几何意义是可以通过“变形”发现的.

三、多元函数 (代数式中含有两个及两个以上未知数)

此类问题多使用“不等式”方法, 即用均值不等式、柯西不等式等结合“一正、二常、三等号”的原则构造结构, 确定范围.

例1.x, y∈R, x2+xy+y2=3, 求u=?

点评:此题可用不等式x2+y2≥2xy可解, 也可用代入法化为方法一求解.

例2.已知a+b+c=1, 求证:

2.此题显然不适合用方法一二 , 只能采用方法三.

例3.a, b∈R+, a+b=1, 求的最大值.

点评:此题一二三种方法都可以解决, 但是用柯西不等式简捷、明了, 是最适用的方法.

以上三种方法是我要介绍的求最值 (范围) 最有效也是最常用的方法, 是我处理此类问题的基本策略, 令我受益匪浅, 希望能给各位同仁提供参考.

摘要：关于函数最值问题一直是高考数学中的热点及重点, 而对于学生而言由于函数最值问题涉及的范围广、内容多, 因此函数最值问题一直是学生学习的难点.本文主要探讨了求函数最值的三种基本方法.

函数值域求法解析 篇4

一、直接法

直接法即从自变量x的范围出发, 推出y=f (x) 的取值范围.

例1已知函数y=x2+1, x∈{-1, 0, 1}, 求函数的值域.

解∵x∈{-1, 0, 1}, 而f (-1) =f (1) =2, f (0) =1.

∴y∈{1, 2}, 即函数的值域为{1, 2}.

注意求函数的值域时, 不能忽视定义域, 如果该例的定义域为x∈R, 则函数的值域为{y|y≥1}.请体会两者的区别.

二、配方法

配方法即对解析式配方, 利用“平方数非负”求函数的值域的一种方法.此法适用于形如F (x) =a·f2 (x) +b·f (x) +c (a≠0) 的函数.但要注意f (x) 的值域.

例2求函数的值域.

从而有0≤y≤2, 即函数的值域为[0, 2].

三、反函数法

反函数法即利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系, 通过求反函数的定义域, 得到原函数的值域

四、判别式法

判别式法即将原函数y=f (x) 同解变形为关于x的一元二次方程, 利用Δ≥0, 求得原函数的值域.此方法一般适用于解析式中含有分式和根式的函数求值域.

原函数变形为: (y-2) x2+ (y-2) x+ (y-3) =0. (1)

(1) 当y=2时, 求得y=3, 所以y≠2.

(2) 当y≠2时, 因为x∈R, 所以一元二次方程 (1) 有实数根.则Δ≥0, 即

五、换元法

换元法即将原函数解析式 (含有根式或解析式较复杂) 中的某个部分视做一个变量, 再将原函数转化为简单的熟悉的基本函数.

例5求函数的值域.

当t≥0时, ymax=1-02-2×0=1,

∴函数的值域为 (-∞, 1].

六、单调性法

单调性法即通过确定函数在定义域或定义域子集上的单调性来求得函数值域的方法.通常要求已知函数为常见的基本简单函数或基本简单函数的复合.

令x=2sinθ+3 (θ∈R) , 则x∈[1, 5].

于是, 原函数可记为

∵g (x) 在[1, 2]上为单调减函数, 在[2, 5]上为单调增函数, 且

函数值域求法探讨 篇5

函数的值域取决于定义域, 因此无论采取何种方法求解值域, 都需考虑定义域, 以求和读者共同探讨.

一、利用导数作单调性判断, 进而结合定义域求值域

这类题型很重要, 对于一般的可导函数f (x) , 若f' (x) >0, 则f (x) 递增;若f' (x) <0, 则f (x) 递减.由此作出函数值的增减趋势, 进而作出值域的判断.

例1求函数上的值域.

此题给出的函数显然是比较复杂的, 由若干初等函数组合而成, 若从不等式和图像角度则无从下手, 因为不等式的运用需满足一些基本特征, 而上述函数图像也无法作出, 因此可以考虑一般形式的单调性, 进而给出值域.不妨分三步:

(2) 由于x2>0成立, 只需考虑x2-ax+2的正负, 此时参考g (x) =x2-ax+2的判别式Δ=a2-8.

(3) 列表分析f (x) 的增减性.

以上根据上述函数的导数进行探究单调性进而对给定区间的值域进行判断是一种常有的方法, 应予以重视!

二、利用函数图像求给定区间函数值域

在函数中, 其图像占据着重要的地位, 数形结合的思想是数学解题中最重要的方法之一, 通过图形能清晰地看到函数的大致趋势, 从而对值域作出判断.

例2求f (x) =|x2-4|x|+3|在[-2, 1]中的值域.

所给的函数是由二次函数f (x) =x2-4x+3通过翻折和对称变化而得到.因此可以通过作f (x) =|x2-4|x|+3|的图像来对给定区间的值域进行判断, 这是一种常用的方法.

∴f2 (x) 为偶函数, 当x≥0时, f2 (x) =f1 (x) ,

∴f2 (x) 是由f1 (x) 图像去除y轴左半部分而将右半部分作关于y轴对称的图形而得到.

∴f3 (x) 为f2 (x) 去除y轴下半部分作关于x轴对称, 保留y轴上半部分而得到.如图所示.

由图可知f3 (x) 在[-2, 1]的值域为[0, 3].上述过程反映函数图像在解题过程中所起的巨大作用, 图像的加入使解题过程直观, 一目了然.

三、利用换元法对函数形式转化进而求值域

换元法求值域是最常见的一种题型, 通过一系列的换元使得问题变成熟悉的函数形式, 进而求得值域.

这时通过观察表达式易知通过换元:log3x=t, 则转化为二次函数类型f (t) =t2+6t+6, t∈[0, 1], 求值域.

浅谈函数值域的求法 篇6

一、观察法

函数的定义域和对应法则直接约束着函数的值域, 对于一些比较简单的函数可通过观察法求函数值域.

例1求函数y=3+姨x2+1的值域.

解:∵∴该函数值域为[4, +∞) .

二、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时, 可以利用配方法求函数值域.

例2求函数的值域.

解:∵3+2x-x2≥0∴该函数的定义域为[-1, 3]

当x=1时, ymax=2, 当x=-1或则x=3时ymin=0

∴该函数的值域为[0, 2]

三、反解法

用y来表达x, 根据x取值范围, 通过解不等式求y取值范围.

例3求函数的值域.

解:由得, 则0

∴该函数值域为 (0, 1)

四、换元法

以新变量代替函数式中的某些量, 使函数转化为以新变量为自变量的函数形式, 进而求出值域.

例4求函数的值域.

解:定义域为令t= (t≥0) , 则

于是由t≥0, 故函数值域为

五、判别式法

分子、分母中含有二次项的有理函数, 其定义域为R, 可用判别式法求函数值域.

例5求函数的值域.

解:∵x2+3x+6>0恒成立, ∴y (x2+3x+6) =x+2,

整理得yx2+ (3y-1) x+6y-2=0

当y≠0时, △= (3y-1) 2=-4y (6y-2) ≥0

解得

当y=0时, x=-2有意义, 故y=0

∴该函数的值域为

六、利用函数的单调性

单调函数可利用函数的单调性求函数值域.

例6求函数的值域.

解:∵原函数可变形为

∴原函数的单调性与函数y=-x2+x (0≤x≤1) 一致

当时, 原函数单调递增;

当时, 原函数单调递减.

代入端点可得原函数的值域为

七、数形结合法

函数图象是掌握函数的重要手段, 运用数形结合的方法, 根据函数的图象求得函数的值域.

例7求函数的值域.

分析:可将函数化为分段函数, 逐段确定函数值的范围.

解:原函数可化为y=|x+1|+|x-2|, 利用零点分段的方法.

当x≤-1时, y=-x-1-x+2=-2x+1;

当-1

它的图象如图所示.显然该函数的值域为[3, +∞) .

八、不等式法

有的函数可拆配成重要的不等式的形状, 利用重要的不等式求函数值域.

例8求函数的值域.

解:函数的定义域为[0, 1], 两边平方得

∴函数值域为[1, 姨2]

九、导数法

例9求函数的值域.

解:函数的定义域为[0, 1], 函数在[0, 1]上连续, 由

得解得 (检验是方程根)

当x=0时, y=1;当x=1时, y=1;当时,

由函数的连续性知函数的值域为

十、分离常数法

例10求函数的值域.

解:原函数可变形为

∴该函数的值域为 (0, 1)

以上十种方法是我们求函数值域时常用的方法, 除此之外还有构造法、最值法等方法, 这里不再详细介绍.

摘要：函数的值域是数学学习中的难点, 因此在学习中必须引起我们重视, 同时要想学好该知识点, 必须掌握一定的方法.本文一共总结了十种求函数值域的方法.

例谈函数值域的常用求法 篇7

关键词：函数,值域,方法

函数值域的求法问题遍及中学数学各个内容的方方面面, 同时在我们的生活实践中也有着广泛的应用, 是中学数学的重要内容之一.由于利用中学数学的思想方法去解决函数值域问题, 涉及数学许多知识与方法, 要求学生具有扎实的数学基本功及良好的数学思维能力, 因此, 函数值域的求法一直是中学数学中的一个重要的热点问题、难点问题, 就是在高考中也占有极其重要的地位.它没有固定的方法和模式, 常用的方法有:

一、配方法

配方法是求“二次函数类”值域的基本方法, 形如F (x) =af2 (x) +bf (x) +c的函数值域问题, 均可使用配方法.例如:

例1求函数y=4-槡3+2x-x2的值域.

解由3+2x-x2≥0, 得:-1≤x≤3.

∴当x=1时, ymin=4-2=2,

当x=-1或3时, ymax=4.

所以, 原函数的值域为[2].

二、反函数法

该法主要是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系, 通过求反函数的定义域, 得到原函数的值域.形如 (a≠0) 的函数的值域问题, 均可使用反函数法.此外, 这种类型的函数值域问题也可使用“分离常数法”求解.例如:

例2求函数的值域.

解 (1) 反函数法:由已知可解得

∵2y+1≠0, ∴原函数的值域为

(2) 分离常数法:∵,

∴y≠, 原函数的值域为

三、判别式法

这种方法就是把函数转化成关于x的二次方程F (x, y) =0, 通过方程有实根, 判别式Δ≥0, 从而求得原函数的值域.形如 (a1, a2不同时为零) 的函数的值域问题常用此法求解.例如:

例3求函数的值域.

解移项变形得:.

再平方整理得:x2+2 (1-y) x+y2-1=0.

利用Δ≥0, 得:y≤1.

∴原函数的值域为 (-∞, 1].

四、换元法

就是运用代数或三角代换, 将所给函数化成值域容易确定的另一函数, 从而求得原函数的值域.形如y=ax+b+ (a, b, c, d均为常数, 且a≠0) 的函数的值域问题常用此法求解.例如:

例4求函数y=x+2的值域.

解设, 则t≥0, 且x=t2-1,

从而, 原函数的值域为[-1, +∞) .

五、不等式法

就是指利用基本不等式a+b≥ (a, b∈R+) 来求函数的值域.在用不等式法求值域时, 要注意均值不等式的使用条件“一正, 二定, 三相等”.例如:

例5求函数 (x<0) 的值域.

∴x++1≤-1, 从而-3≤y<0, 原函数的值域为[-3, 0) .

六、函数单调性法

就是指通过确定函数在定义域 (或某个定义域的子集) 上的单调性来求函数的值域.形如的函数的值域问题常用此法求解.例如:

例6求函数的值域.

解易得上的增函数, 再利用x≤, 可得原函数的值域为 (-∞, ].

此外还有其他方法, 如导数法、数形结合法、线性规划法等等.

综上, 我们可以看出求函数的值域是一个比较复杂的问题.在利用上述常用方法求解时, 一定要注意原函数的定义域, 不然即使方法正确, 结果也是错误的;还应注意到求函数的值域问题往往和函数的最大值、单调性等性质相互联系, 应综合应用这些知识.

参考文献

[1]朱长江.数学通讯.武汉:华中师范大学出版社, 2003.