时间序列分解法

2024-05-03

时间序列分解法（精选九篇）

时间序列分解法篇1

1 研究方法

1. 1 移动平均法

本文所用到的移动平均法分为一次移动平均法和二次移动平均法。

( 1) 一次移动平均法

为了消除季节和随机性的方法, 以时间周期为间隔计算均值, 以最后一组计算的均值作为预测值。

采用的公式是:

( 2) 二次移动平均法

在一次移动平均值基础之上进行移动平均, 可以有效地降低预测的滞后性。采用的公式是:

居中移动平均算法

当N为偶数的时:

当N为奇数的时:

1. 2 时间序列分解法

一时间序列分解法主要受控于4 种要素组成: 长期趋势T、季节变动S、周期变动C和不规则变动I[6]。有加法和乘法两种方法, 本文采取乘法模型。

2 煤油销量预测

2. 1 二次移动平均值方法预测

以一年为周期, 取N = 4, 根据公式1, 2, 3, 4, 5 分别计算一次移动平均值、二次移动平均值、a值、b值和预测值。如表3. 1 所示。

2. 2 时间序列分解法预测

(1) 中心移动平均

以一年为周期, 取N = 4, 则根据公式6, 7 计算中心移动平均值, 如表3. 2 所示

( 2) 2 次拟合曲线图

分别绘制季度数据、移动平均数据和中心移动平均数据的2 次拟合曲线图。依次如图3. 3 所示。

由图可知, 移动平均值拟合直线拟合的程度更好, R^2值最大, 另一方面, 如果使用该拟合直线可以包含T和I的乘积, 如果使用原数据拟合, 值只包含T。

(3) 确定季节因子S

由于中心移动均值f已经求出。

知:f=T*C

F/f=S*I

可以求出S*I的值, 如表3.2所示。绘制S*I的曲线如图3.4所示。

将同季度的数据求平均值, 计算得到S的值, 如表3. 3 所示。

( 4) 预测与决策

预测未来一年的煤油销售量。F = T* S* C* I

由于I不确定因素是随机的, 因此这里不予计算。

采用的拟合直线为y=0.3364x2-4.6897x+243.23

预测如图3.5所示。

3 总结

通过使用二次移动平均和时间序列分解法两种方法预测, 得到以下结论:

( 1) 结果的来看观察, 我国煤油销售量将在两种预测方法均表明, 2015 年第三季度继续增长, 幅度在10% 以上。

( 2) 时间序列分解法给出了季节变动因子。第一季度至第四季度依次为: 95. 20% , 99. 53% , 105. 76% , 99. 50% 。

( 3) 由拟合曲线图知, 我国煤油销量成二次曲线上升, 虽有波动, 但是长期趋势是呈2 次快速增长的。

( 4) 通过时间序列分解法预测未来一年的煤油销售量, 2015 年第三季度至2016 年第二季度依次为:917. 49 万吨, 892. 88 万吨, 883. 30 万吨, 954. 45 万吨。

参考文献

[1]杨浔英.我国汽油煤油柴油市场的分析和预测[J].当代石油石化, 2001, 11:13-18.

[2]李永芹.我国煤油市场现状分析及发展预测[J].中国石油和化工经济分析, 2007, 15:30-35.

[3]罗艳托, 等.中国航空煤油市场现状分析与趋势预测[J].国际石油经济, 2009, 07:15-18+91.

[4]贾亚会, 等.利用ARIMA模型预测我国煤油电的价格[J].中国矿业, 2009, 02:82-85.

[5]华伯泉.统计预测中的二次移动平均法[J].统计研究, 1995, 02:70-73.

正交分解法教案篇2

一、正交分解法

把力按相互垂直的两个方向分解叫正交分解

FxFcosFyFsin

二、用力的正交分解求多个力的合力

1、建立直角坐标系（让尽量多的力在坐标轴上）

2、正交分解各力（将各力分解到两个坐标轴上）

3、分别求出x 轴和y 轴上各力的合力：

FFFFx1x2x3x FyF1yF2yF3y

4、求出FX 和 Fy 的合力，即为多个力的合力

大小：FFxFyFyFx22

方向：tan

三、用力的正交分解求解物体平衡问题

1、画出物体的受力图。

2、建立直角坐标系。

3、正交分解各力。（将各力分解到两个坐标轴上）

4、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向和y 方向方程。FxF1xF2xF3x0 FyF1yF2yF3y05、根据方程求解。

例题2：如图所示，质量为m的物体放在粗糙水平面上，它与水平面间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ角的斜向上的拉力F作用下匀速向右运动。求拉力F的大小。

∵物体匀速运动，合外力为零由x方向合外力为零，有：

FcosN由y方向合外力为零，有：

NFsinmgF解得：mgcossin

例题3：如图所示，质量为m的物体在倾角为θ的粗糙斜面下匀速下滑，求物体与斜面间的滑动摩擦因数。

解析：

∵物体匀速运动，合外力为零由x方向合外力为零，有：

mgsinN由y方向合外力为零，有：

Nmgcos解得： sintancos

练习一：如图所示，质量为m的光滑小球放在倾角为θ的斜面上被挡板挡住，求斜面对小球的弹力及挡板对小球的弹力。

练习二：如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物体与墙壁间的动摩擦因数。

正交分解法巩固：

1、如图，物体重力为10N，AO绳与顶板间的夹角为45º，BO绳水平，试用计算法求出AO绳和BO绳所受拉力的大小。FAOY=FAOcos45=G FAOX=FBO=G

2、如图，氢气球被水平吹来的风吹成图示的情形，若测得绳子与水平面的夹角为37˚，已知气球受到空气的浮力为15N，忽略氢气球的重力，求： ①氢气球受到的水平风力多大？

②绳子对氢气球的拉力多大？

风

3、如图，物体A的质量为m，斜面倾角α，A与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面固定，现有一个水平力F作用在A上，当F多大时，物体A恰能沿斜面匀速向上运动？解：FN=Fsinα+Gcosα

Fcosα=Gsinα+Ff

Ff=μFN

用力的正交分解求解物体平衡问题

1、画出物体的受力图。

2、建立直角坐标系。

3、正交分解各力。（将各力分解到两个坐标轴上）

4、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向和y 方向方程。

时间序列分解法篇3

混沌时间序列预测已经在信号处理、通信、自动控制、经济质量管理等领域中得到了广泛应用。但由于受到测量工具等外部环境的影响,实测数据往往含有噪声,掩盖了混沌信号真实的动力学行为[1],重构的相图也不能展现系统完整的状态。因此在预测前,有必要进行有效的降噪,利用原始混沌信号吸引子的局部流形重构出真实的混沌信号,既可以揭示混沌系统的本质特征,又可以提高后期预测的效度和精度。

由于混沌信号在时频域上的“伪随机”性和宽频性,传统的频谱滤波不再适用于混沌系统的降噪。目前,常用的混沌时间序列降噪方法主要是基于Takens嵌入定理和相空间重构思想,包括简单局部平均、局部投影、基于奇异谱和主分量分析法、小波分解[2]以及经验模态分解,各种方法在实践中都存在一定的局限性。主分量分析法虽然在有效阶次的选取方面存在一定的人为因素,但是可以在数据损失最小的情况下很好的提取信号的最大特征,并理清各主分量的意义,计算量小,实际应用性较强。

奇异值分解(Singular Value Decomposition,简称SVD)作为一种主分量分析方法在水印、图像处理、人脸识别、故障信号等方面的降噪效果较好,近年来该方法也运用到混沌时间序列降噪处理中[3]。SVD分解通过对矩阵的旋转、拉伸和再旋转的形式,在数据损失最少的情况下,以低维矩阵最大程度的表示高维矩阵以实现降噪。已有文献表明在混沌时间序列的降噪处理中,SVD既可以作为一种降噪方法,也可以对降噪模型进行优化。滕丽娜、佟德纯等(2001)[4]对加噪声Lorenz系统的重构相空间矩阵进行SVD分解,发现该方法能够有效提高信噪比。钱征文、程礼等(2011)[5]通过仿真实验证实了奇异值分解对白噪声和有色噪声降噪效果较好。此外,雷达、钟诗胜(2013)[6]使用SVD和EMD结合的方法也有效地提取了航空发动机健康信号。

现有文献在使用SVD降噪时多采用全局分解的方法对数据处理,但是全局降噪也有缺陷。尤其是在混沌时间序列的处理中,它不像简单静态的图像处理,而是蕴含实际意义的动态相关联的复杂数据集,对数据一概而论的简单全局处理可能会忽略影响局部数据发生巨大变动的重要影响因素。鉴于全局SVD分解对细节描述粗糙的不足,文献[7,8]提出了在人脸的不同区域进行局部SVD分解,结果显示局部比全局能更有效地进行人脸识别。那么在混沌时间序列的降噪处理时,局部SVD降噪是否仍能表现出像在人脸识别中对细节捕捉的敏感性呢?是否能够显示出数据在某个时点上的突变以及其背后现实状况的涌现呢?现有文献并未给出明确的指导。

在上述研究的基础上,本文提出的基于相空间重构和奇异值分解的局部降噪方法是将受到噪声干扰的混沌时间序列数据重构到高维相空间中,通过对重构相空间中的相点及其邻近点组成的矩阵进行局部奇异值分解,使包含真实数据特征的矩阵分解到一系列奇异值和奇异值矢量对应的子空间中,通过对奇异值数量的选择提取信号的最主要信息,并以新的奇异值对应的矩阵替代原矩阵,再逐次向后完成全部相点的迭代过程,最终达到降噪的一种非线性局部降噪方法。最后将该方法应用到经典Lorenz系统和实测混沌时间序列的降噪处理中,仿真结果验证了本文方法的有效性,并且局部SVD降噪在混沌时间序列的处理时显示出比较突出的效果。

2 重构相空间矩阵的局部SVD降噪模型

2.1 理论模型

根据Takens嵌入定理,只要选定合适的嵌入维数(m≥2d+1,d为系统动力学维数)和时间延迟,就能在高维相空间里重构出与原始混沌系统拓扑意义上等价的动力系统,且两个相空间中的混沌吸引子微分同胚[2]。令实际数据信号为:

其中,ωt是噪声信号,xt是系统的真实信号。对时间序列(s1,s2,…,sn)进行相空间重构,嵌入维数m,时间延迟τ,得到重构后的整个相空间的相轨迹矩阵:

对相空间中的某个相点及其邻近点组成的相轨迹矩阵Cm×n做局部奇异值分解:

其中,U为m×m维正交酉矩阵,V为n×n维正交酉矩阵,为m×n维且与相轨迹矩阵C酉相似的对角形矩阵,∑=diag{d1,d2,…,dmin(m×n)},且d1≥d2≥…≥d min(m×n)≥0,di为矩阵Cm×n的第i个奇异值。

保留对角形矩阵∑的前K个(0<k<min(m×n))有效奇异值,将与信号主流形偏离的特征值设置为0,由筛选后的奇异值可以得到对应的对角形矩阵,再进行上述SVD分解的逆过程得到降噪后的相轨迹矩阵,并以此来替代Cm×n,逐步迭代直到所有相点都完成该过程,再通过反重构可以得到降噪后的时间序列,滤掉的奇异值所对应的时间序列值视为噪声。

由于奇异值是按序排列的,前面的奇异值代表信号的最主要特征方向,对应的特征向量代表矩阵的主要特征,而SVD降噪是保留带有最大信号信息的前K个特征值,相当于用提取了最主要特征的低维矩阵近似替代高维矩阵,所以可以说SVD分解也是一种主成分分析方法。

2.2 局部SVD降噪步骤

在以上理论模型基础上,本文的局部SVD降噪过程如下:

Step1:以原始数据作为时间序列数据,进行相空间重构,得到重构矩阵,并设定需要降噪的最小邻域半径;

Step2:在相轨迹矩阵中,找到每个相点邻域半径内的邻近点及个数;

Step3:对相空间中第一个相点及其邻近点组成的相轨迹矩阵进行SVD分解降噪,并用降噪后的相轨迹矩阵更新原时间序列中的对应矩阵;

Step4:对更新过的时间序列相轨迹矩阵逐步迭代以完成对后面相点进行Step2和Step3,直到所有相点完成降噪过程。

2.3 降噪效果评价

在降噪过程完成后,本文也从两个方面对降噪的效果进行评价:

(1)为了质性分析该降噪模型对混沌时间序列数据的降噪效果以及降噪后时间序列数据的混沌特性,可以对降噪前后数据的相图进行对比,如果吸引子的结构随着降噪过程越来越清晰,那么可以说该降噪过程不仅很好地保留了系统影响因素,也有效地滤除了随机影响因素,降噪后的数据可以较为完整地表现系统的真实动力学行为。

(2)为进一步量化分析降噪的效果,可以通过计算信噪比SNR和均方误差MSE来评价降噪效果的好坏[5]。一般来说,使SNR最大且MSE最小的状态是降噪效果最好的状态[8]:

其中,si为实际时间序列数据的第i个数据点,xi为真实时间序列数据的第i个数据点。SNR值越大,表示保留的有用信号的比值越大,滤掉的噪声信号越少。MSE值越小,表示噪声信号的比值较小。

3 仿真实例

为了验证本文模型方法的有效性和实用性,将该模型方法分别应用于经典Lorenz混沌系统和实测日产品合格率实际观测混沌时间序列数据的降噪研究,分析SVD降噪的有效性,并对全局和局部的效果进行比较,分述如下。

3.1 Lorenz系统全局和局部SVD降噪

首先以加高斯白噪声的Lorenz混沌系统作为研究对象,分别做全局和局部SVD分解降噪,分析该模型的有效性并对比两种方法降噪的效果。

=10,b=8/3,c=28时,系统处于混沌状态,初始值设置为x=12,y=2,z=9,取迭代30秒后的前1000个点,并加入高斯白噪声,作加噪信号的相图如图1左。使用本文方法对该加噪信号进行全局和局部SVD分解降噪,将奇异值小于均值的设置为0,半径选为使SNR最大且MSE最小时的半径,得到降噪前后的信号如图1所示。

从图1可以看出,无论是全局还是局部,SVD分解降噪都可以有效的减少噪声,展现原始混沌系统相对清晰的吸引子几何结构,还原信号的真实动力学轨迹,降噪效果较好。并且由图1可知,两种降噪效果比较接近。为了具体分析局部SVD分解的效果,计算两种方法降噪后的SNR和MSE的值得表1:

由表1可知,局部SVD分解的SNR值13.9846大于全局SVD分解的SNR值13.9382,并且MSE值7.9773e-029也小于全局的MSE值8.1792e-029。这说明局部SVD分解在Lorenz系统的仿真中效果相对较好,稍微优于全局分解的效果。这可能是因为对Lorenz系统加入的高斯白噪声信号对应的特征值较小,与原始信号差异较大,因此对加噪信号进行全局SVD分解便已经可以很好的提取原始混沌信号了。

3.2 日产品合格率时间序列局部SVD降噪

本文也对实测数据进行仿真实例验证。选取HZ公司从2006年12月28日到2009年7月20的每日产品的生产数量与不合格数量,得到588个日产品合格率数据,文献[9]显示该组数据具有混沌特性,将其作为原始数据。在对HZ公司的日产品合格率时间序列数据进行降噪处理时,首先对该时间序列进行相空间重构,根据本课题组前期研究,该时间序列的嵌入维数m选为7,时间延迟r选为1[9,10]。

(1)有效阶次的确定

奇异值分解的过程中,有效阶次选取的不同会对结果产生重大的影响。保留的奇异值数量过多时,虽然保留了足够多的系统真实信息,但可能仍带有大量的噪声,降噪效果不佳。保留的奇异值数量过少,则可能在过滤掉大量噪声的同时将部分系统真实信号也过滤掉了。因此有必要对有效阶次进行界定。

钱征文等(2011)[5]针对奇异值分解降噪中有效阶次的选择问题提出了基于信号频率成分的降噪方法,通过降噪信号的信噪比和均方误差确定重构矩阵结构,结果显示该方法对白噪声和有色噪声降噪效果较好。本文根据最大化信噪比SNR和最小化均方误差MSE的原理来确定奇异值的有效阶次问题,取保留的奇异值个数n在1～6(n为0表示全为噪声,n等于嵌入维数7时并没有实现降噪),得到SNR和MSE随奇异值个数n的变化而变化如图2所示。对重构的相空间矩阵进行局部SVD降噪,由图2可知,选择保留6个奇异值,将后面的奇异值设置为0时,此时效果较好。

(2)邻域半径的确定

时间序列降噪的邻域半径的选取也是衡量降噪效果的重要指标。半径选取过小时,相空间中某个相点的邻近点数会较少,甚至可能出现大量的孤立点。如果某个相点及其邻近点的总数小于需要保留的奇异值数量,则对该相轨迹矩阵进行SVD分解时将保留所有的奇异值,即此时对该相点及其邻近点的奇异值分解不能起到降噪的效果,对后面相点的迭代过程可能会对这些点达到一定的降噪效果,但是当大量相点的邻近点数都小于需要保留的奇异值数量时,SVD降噪效果将大打折扣,甚至可能失效。当半径选取过大时,在过滤掉噪声信号的同时可能将部分系统真实的信号也过滤掉了。

本文提出的SVD局部降噪方法是对相空间中某个相点及其邻近点的矩阵提取最大特征值后替换该邻域内的相点实现的,和传统的对某个相点邻域内的点取平均值来替代该点的简单非线性局部平均降噪法的邻域选取方法类似。本课题前期研究显示,在进行简单非线性降噪时该数据会出现孤立点的情况,因此作平均邻近点数和孤立点数随邻域半径选取的变化而变化如图3:

如图3左所示,平均邻近点数曲线的转折点r=0.04即为局部降噪的最佳邻域半径,此时平均邻近点数为20。但此时由于孤立点数较多(见图3右),简单非线性降噪过程会对235个数据不起作用[11,12]。仿真结果显示一次SVD降噪效果也不好,甚至在极值点处(数据较分散、邻近点数较少)该方法失效,见图4。因此有必要先进行孤立点的去除。

(3)孤立点去除的局部SVD分解降噪

此处用局部SVD分解的方法进行孤立点的去除,参照文献[12]中的简单非线性降噪方法。经计算,该时间序列数据重构相空间的各相点间的最大距离为dmax=0.9469。如图3右所示,当半径r=0.3时,恰无孤立点,因此孤立点去除的初始半径设为0.3,需要进行孤立点去除局部SVD降噪的邻近点数范围设定在2-25范围内,多次迭代时使半径以0.01的步长逐渐减小,共迭代27次。得到孤立点去除局部SVD分解降噪后的日产品合格率p的变化如图5,同时合格率p的相图变化如图6。

由图5可知:相对于一次SVD局部降噪,独立点去除多次迭代局部SVD分解降噪对数据相对分散的时间序列值降噪效果较好。这是因为在数据相对分散的区域中,邻近点数较少,孤立点去除局部SVD分解方法是以还未出现孤立点的邻域半径为初始邻域半径,用降噪后的数据不断更新时间序列值,从第一个相点开始进行迭代直到最后一个相点,再通过不断减小邻域半径进行多次局部降噪,减少了孤立点,使数据相对比较平滑,因此对数据相对分散的部分该降噪方法的效果更佳。虽然实测数据无法得到真实的混沌系统动力学轨迹,但由图6可知,由于噪声的干扰,原始数据的相图表现为杂乱无章的伪随机性质,降噪处理后的相图更加清晰,混沌系统吸引子的轨迹更加明显、有规律,说明了降噪后混沌序列的系统性因素得到了增强。与Lorenz系统仿真结果类似,该模型方法既滤掉了噪声信号,又很好的保留了原始系统的真实动力学特

为了对比全局和局部SVD分解降噪的效果,计算两种方法一次降噪后的SNR和MSE的值得表2。

由表2可知:在最佳邻域半径r=0.04时,局部SVD分解的SNR值50.0298远远大于全局SVD分解的SNR值31.8381,并且MSE值1.1729e-029和全局的MSE值1.0389e-029都较小接近于0。虽然此时局部SVD分解降噪会对少数几个极值点失效,但结果显示局部的效果明显优于全局的效果,这得益于局部分解对细节描述的细腻。当恰好没有孤立点的存在时(r=0.3),SNR值为34.7276也大于全局的SNR值,MSE的值相对更小,即局部降噪的效果也是优于全局降噪的效果,只因整个相空间的半径R=dmax/2=0.4734,因此r=0.3时局部降噪效果相对接近全局降噪的效果。

4 讨论

本文研究结果显示:SVD分解可以有效地减少信号中的噪声,还原信号的真实动力学轨迹;局部降噪的效果优于全局降噪的效果。这和现有文献的结论基本一致。

不同点在于:经典Lorenz混沌系统仿真结果显示,局部和全局的降噪效果比较接近;而在实测混沌时间序列的仿真中,发现局部SVD分解的效果明显优于全局SVD分解的效果。一方面,可能因为混沌系统下时间序列数据短期内的相关性和长期的不确定性,所以对动力学轨迹的每个小区域近似其动力学特征进行局部降噪,可以相对较好的还原系统的真实特性。另一方面,可能由于该实测数据在几个时间点上出现了极值点,实际生产运营中可能表现为某些重要因素如生产管理不善、整个宏观经济形势不佳等,造成了产品合格率的急剧下降,而局部SVD分解能够更好的发现并处理极值点问题,避免了全局分解对整个时间序列数据一概而论忽略重要影响因素的弊端,降噪效果和实践意义较好。因此,在对实测混沌时间序列数据进行SVD降噪时,可优先考虑局部SVD降噪;若在降噪过程中一次局部SVD在极值点失效了,需在此基础上通过不断减小邻域半径进行多次迭代局部SVD以减小孤立点的影响。

事实上,2008年金融危机使得HZ公司的内外经营环境发生了巨大变化,企业生产运营本来存在的问题进一步放大,致使企业在之后的不久就面临倒闭。这恰恰就是局部SVD降噪发挥优势的地方,当极值点较多或部分数据分散性较大时,一次局部SVD分解降噪在极值点处(邻近点数较少,甚至为孤立点)有可能会失效,这可能预示着在这些时间点上企业生产运营中隐含的问题。

需要指出的是,本文也存在一些不足之处:虽然根据最大化SNR和最小化MSE可以进行有效阶次的选择,但是在孤立点去除多次局部分解降噪的过程中并不能做到动态的选择,这可能会对结果有一点影响;另外,对混沌时间序列降噪效果的评价中,SNR和MSE能说明降噪的程度,相图分析可以对降噪后数据的混沌特征进行描述,若需定量的分析降噪前后时间序列的混沌特性还要通过混沌参数如Lyapunov指数、关联维数等来分析。

5 结论

本文采用相空间重构和SVD分解的方法对混沌时间序列数据进行降噪,并对Lorenz系统和实测日产品合格率混沌时间序列数据进行仿真实验,结果表明:SVD分解降噪效果较好,并且在实测数据处理时,局部SVD分解对数据处理更加细腻,降噪效果明显优于全局;同时,一次局部降噪可能会在极值点处失效,这能够辨识出时间序列在某个时点上的跳跃性,这些跳跃点可能在实际生产运营中蕴含着影响产品合格率的重要因素。孤立点去除多次迭代局部SVD降噪解决了一次局部SVD的失效问题,能够清晰地显示掩藏在噪声内部的混沌吸引子结构,很好的还原原始混沌系统真实的动力学特性,为进一步预测和混沌参数求取奠定一定的基础。

参考文献

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分解因式-公式法教案篇4

（一）教学目标

（一）教学知识点

运用平方差公式分解因式．

（二）能力训练要求

1．能说出平方差公式的特点．

2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．

3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．

（三）情感与价值观要求

培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．

教学重点

应用平方差公式分解因式．

教学难点

灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．

教学方法

自主探索法．

教具准备

投影片．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

出示投影片，让学生思考下列问题．

问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？

问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？

问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？

[生]1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，•也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．

2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，•就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．

3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解．

[生]要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，•不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：

a2-b2=（a+b）（a-b）．

[师]多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．

Ⅱ．导入新课

[师]观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？

（让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）

（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．

（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．

（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，•“平方差”是得分解因

式的多项式．

由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．

出示投影片

[做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．•也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2•这一类错误]

填空：

（1）4a2=（）2；

（2）42b=（）2； 9

（3）0.16a4=（）2；

（4）1.21a2b2=（）2；

14x=（）2； 4

4（6）5x4y2=（）2．

9（5）

2例题解析：

出示投影片：

[例1]分解因式

（1）4x2-9

（2）（x+p）2-（x+q）

[例2]分解因式

（1）x4-y4

（2）a3b-ab

可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．

[师生共析]

[例1]（1）

（教师可以通过多媒体课件演示（1）中的2x，（2）中的x+p•相当于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b•可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）

[例2]（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，•让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．

（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a3b-ab•有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．

解：（1）x4-y4

=（x2+y2）（x2-y2）

=（x2+y2）（x+y）（x-y）．

（2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．

学生解题中可能发生如下错误：

（1）系数变形时计算错误；

（2）结果不化简；

（3）化简时去括号发生符号错误．

最后教师提出：

（1）多项式分解因式的结果要化简：

（2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．

练一练：

（出示投影片）

把下列各式分解因式

（1）36（x+y）2-49（x-y）2

（2）（x-1）+b2（1-x）

（3）（x2+x+1）2-1(xy)2(xy)2（4）-．

Ⅲ．随堂练习

1．课本P196练习1、2．

Ⅳ．课时小结

1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．

2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．

3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，•则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．

§15．5．3．2 公式法

（二）教学目标

（一）教学知识点

用完全平方公式分解因式

（二）能力训练要求

1．理解完全平方公式的特点．

2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．

3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．

（三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．

教学重点

用完全平方公式分解因式．

教学难点

灵活应用公式分解因式．

教学方法

探究与讲练相结合的方法．

教具准备

投影片．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

问题2：把下列各式分解因式．

（1）a2+2ab+b2

（2）a2-2ab+b2

[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．

[师]能不能用语言叙述呢？

[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．

问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．

[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．

Ⅱ．导入新课

出示投影片

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2-4a+4

（2）x2+4x+4y2

（3）4a2+2ab+12 b

4（4）a2-ab+b2

（5）x2-6x-9

（6）a2+a+0.25

（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．

2222

结果：（1）a-4a+4=a-2×2·a+2=（a-2）

（3）4a2+2ab+12111b=（2a）2+2×2a·b+（b）2=（2a+b）2 422

2（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2

（2）、（4）、（5）都不是．

方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．

例题解析

出示投影片

[例1]分解因式：

（1）16x2+24x+9

（2）-x2+4xy-4y2

[例2]分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay（2）（a+b）2-12（a+b）+36

学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．

[例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即

解：（1）16x2+24x+9

=（4x）2+2·4x·3+32

=（4x+3）2．

（2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．

所以：

解：-x+4xy-4y=-（x-4xy+4y）

=-[x2-2·x·2y+（2y）]2

=-（x-2y）2．

练一练：

出示投影片

把下列多项式分解因式：

（1）6a-a2-9；

（2）-8ab-16a2-b2；

（3）2a2-a3-a；

（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2

Ⅲ．随堂练习

课本P198练习1、2．

Ⅳ．课时小结

学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？

（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）2

222

Ⅴ．课后作业

课本P198练习15．5─3、5、8、9、10题．《三级训练》

板书设计

15.5.2 公式法

知识要点

1．把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．常用公式有：

①两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2-b2=（a+b）（a-•b）．

②两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即a2±2ab+b2=（a±b）2．

2．分解因式时首先观察有无公因式可提，再考虑能否运用公式法．

典型例题

例．一个正方形的面积是（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，你知道这个正方形的边长是多少吗？（x>0）

分析：本题的实质是把多项式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1化成完全平方式的形式，可以运用分解因式的方法．

解：∵（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]+1 =（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1 =（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1 =（x2+5x+5）2 ∴这个正方形的边形是x2+5x+5．

练习题

第一课时

一、选择题：

1．下列代数式中能用平方差公式分解因式的是（）

A．a2+b2 B．-a2-b2 C．a2-c2-2ac D．-4a2+b22．-4+0.09x2分解因式的结果是（）

A．（0.3x+2）（0.3x-2）B．（2+0.3x）（2-0.3x）C．（0.03x+2）（0.03x-2）D．（2+0.03x）（2-0.03x）3．已知多项式x+81b4可以分解为（4a2+9b2）（2a+3b）（3b-2a），则x的值是（）

A．16a4 B．-16a4 C．4a2 D．-4a24．分解因式2x2-32的结果是（）A．2（x2-16）B．2（x+8）（x-8）C．2（x+4）（x-4）D．（2x+8（x-8）

二、填空题：

5．已知一个长方形的面积是a2-b2（a>b），其中长边为a+b，则短边长是_______． 6．代数式-9m2+4n2分解因式的结果是_________． 7．25a2-__________=（-5a+3b）（-5a-3b）．

228．已知a+b=8，且a-b=48，则式子a-3b的值是__________．

三、解答题

9．把下列各式分解因式：

①a2-144b2 ②R2-r2 ③-x4+x2y2

10．把下列各式分解因式：

①3（a+b）2-27c2 ②16（x+y）2-25（x-y）2

③a2（a-b）+b2（b-a）④（5m2+3n2）2-（3m2+5n2）

2四、探究题

11．你能想办法把下列式子分解因式吗？

①3a2-

12b ②（a2-b2）+（3a-3b）3

答案: 1．D 2．A 3．B 4．C 5．a-b 6．（2n+3m）（2n-3m）7．9b2 8．4 9．①（a+12b）（a-12b）；②（R+r）（R-r）；③-x2（x+y）（x-y）10．①3（a+b+3c）（a+b-3c）；②（9x-y）（9y-x）；

③（a+b）（a-b）2；④16（m2+n2）（m+n）（m+n）11．① 1（3a+b）·（3a-b）；②（a-b）（a+b+3）3第二课时

一、选择题

1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）A．8 B．4 C．±8 D．±4 2．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）

A．x2-6x-9 B．a2-16a+32 C．x2-2xy+4y2 D．4a2-4a+1 3．下列各式属于正确分解因式的是（）

A．1+4x2=（1+2x）2 B．6a-9-a2=-（a-3）C．1+4m-4m2=（1-2m）2 D．x2+xy+y2=（x+y）24．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（）

A．（x-y）4 B．（x2-y2）4 C．[（x+y）（x-y）]2 D．（x+y）2（x-y）2

二、填空题

5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．

6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）27．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．

8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________．

三、解答题

9．把下列各式分解因式：

①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2

③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y2

10．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．

11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．

四、探究题

12．你知道数学中的整体思想吗？解题中，•若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．

你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？

①（x+2y）2-2（x+2y）+1 ②（a+b）2-4（a+b-1）

答案: 1．C 2．D 3．B 4．D 5．y2 6．-30ab 7．-y2；2x-y 8．-2或-12 9．①（a+5）2；②（m-6n）2；③xy（x-y）2；④（x+2y）2（x-2y）2

时间序列分解法篇5

分组分解法是因式分解的重要方法,许多多项式经过适当的分组后,便可用提公因式法或公式法进行进一步分解.

探究活动:

【活动一】

分解因式:

(1)x+y+xy+1;

(2)x2- xy+xz-yz.

活动指导:

这两题从整体上看都无法用提公因式法或公式法来分解. 如果用加法的交换律和结合律给它们重新进行分组,就可以用提公因式法来解题了.

(1)x+y+xy+1

解:原式=(x+xy)+(y+1)=x(1+y)+(1+y)=(x+1)(y+1).

(2)x2- xy+xz-yz

解:原式=(x2- xy)+(xz-yz)=x(x-y)+z(x-y)=(x-y)(x+z).

上述两道题还有其他方法分组吗?请同学们继续探究.

活动小结:

先将多项式按字母特征分组,再用已学过的方法进行因式分解.

【活动二】

分解因式:

(1)7a2+2b+ab+14a;

(2)2ac- 6ad+bc- 3bd.

活动指导:

这两题若按字母特征分组并不能解决问题,观察系数发现(1)7×2=14;(2)2×(- 3)=- 6. 因此,可以按系数特征分组.

根据系数特征,采用“二、二”分组的方式.

(1)7a2+2b+ab+14a

解:原式=(7a2+14a)+(2b+ab)=7a(a+2)+b(a+2)=(a+2)(7a+b).

(2)2ac- 6ad+bc- 3bd

解:原式=(2ac- 6ad)+(bc- 3bd)=2a(c- 3d)+b(c- 3d)=(2a+b)(c- 3d).

上述两道题还有其他方法分组吗?请同学们继续探究.

活动小结:

先将多项式按系数特征分组,再用已学过的方法进行因式分解.

【活动三】

分解因式:

(1)m2- 9n2+2m- 6n;

(2)m2+m- 4n2- 2n.

活动指导:

若按前面两种方法进行分组是无法解决这两题的,观察指数发现有二次项和一次项,且二次项可以用平方差公式分解.这类四项式,经“二、二”分组后,其中两项符合平方差公式的特点,需用平方差公式进行分解,另两项需用提公因式法进行分解,各自分解后再用提公因式法继续分解.

(1)m2- 9n2+2m- 6n

解:原式=(m2- 9n2)+(2m- 6n)=(m+3n)(m- 3n)+2(m- 3n)=(m+3n+2)(m- 3n).

(2)m2+m- 4n2- 2n

解:原式=(m2- 4n2)+(m- 2n)=(m+2n)(m- 2n)+(m- 2n)=(m+2n+1)(m- 2n).

活动小结:

先将多项式按指数特征分组,再用已学过的方法进行因式分解.

【活动四】

分解因式:

(1)p2- 2pq+q2- k2;

(2)k2- 4p2+12pq- 9q2.

活动指导:

观察这两题的结构特征,其中有三项可以用完全平方公式分解,可进行“一、三”分组. 如果四项式中有三个平方项且符号不全相同,试着把其中同号的两项与第四项括在一起,看能不能应用公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”,若能,再应用平方差公式分解.

(1)p2- 2pq+q2- k2

解:原式=(p2- 2pq+q2)- k2=(p-q)2- k2=(p-q+k)(p-q-k).

(2)k2- 4p2+12pq- 9q2

解:原式=k2(4p2- 12pq+9q2)=k2(2p- 3q)2=(k+2p- 3q)(k- 2p+3q).

活动小结:

先将多项式按公式特征分组(平方差公式是两项,完全平方公式是三项),再用已学过的方法进行因式分解.

活动总结:

时间序列分解法篇6

随着电子商务市场的快速增长,如何为不同用户提供个性化推荐日益重要。协同过滤是现阶段最成功的推荐技术之一,其本质是根据用户对项的历史评分数据来预测未知评分。在典型的协同过滤场景中,有n个用户和m个项。用户对项的评分数据用一个n×m阶的矩阵R来表示。第i行第j列的元素Ri,j代表用户i对项j的评分,是一定范围(通常为[1,5])内的任意整数。如果用户i对项j没有评分,那么Ri,j为空。

协同过滤中使用最广泛的是基于用户的最近邻法[1]。它选取与当前用户有相似兴趣的用户,基于这些用户对当前项的评分来预测当前用户对当前项的评分。然而,通常评分数据极端稀疏,往往两个用户之间缺少共同打分的项。这严重影响了用户之间相似度的准确性,进而影响了预测的准确性。文献[2]提出一种基于项的最近邻法。对于项来讲,它们之间的相似性要稳定很多,因此可以离线计算相似性,从而大大降低了在线计算量,提高了推荐效率。但是项之间同样面临共同评分过少的问题。文献[3]提出一种基于项目评分预测的协同过滤推荐技术,通过估计用户评分的办法补充用户评分矩阵,减小数据稀疏性对计算结果的负面影响。文献[4,5]使用奇异值分解作为前处理,减少评分矩阵的维数,之后应用最近邻法预测评分。这种方法可以一定程度上解决了同义词问题,提高了推荐质量。在奇异值分解之前,该算法对评分矩阵中的未知评分进行填充,通常使用所有评分的平均值来代替未知评分。但是,评分矩阵中大部分的评分是未知的,经过填充以后已知评分的统计规律性就被弱化。所以得到的用户和项特征矩阵不能直接用于预测评分,只能当作最近邻法的预处理过程。文献[6]提出了一种支持不完整评分矩阵的奇异值分解方法,通过梯度下降法进行奇异值分解,不用对评分矩阵进行填充,得到了很好的推荐精度。文献[7]在最近邻法中引入时间权重,在计算最近邻居时考虑了评分时间的影响,刻画了用户兴趣随时间的变化。

本文对文献[6]提出的奇异值分解算法进行改进,将时间权重有机地结合到奇异值分解的过程中,提出了一种结合奇异值分解和时间权重的协同过滤算法。该算法克服了上述方法的缺点,更好地反映了用户兴趣的变化,进一步提高了推荐精度。

1结合奇异值分解和时间权重的协同过滤算法

给定一个n×m阶的评分矩阵R和特征向量的维度f,经过奇异值分解的一系列变换,可以分别得到一个n×f阶的用户特征矩阵U∈Rn×f和一个m×f阶的项特征矩阵M∈Rm×f。本文提出的算法从反方向考虑,如果得到了这两个特征矩阵U和M,那么就可以预测评分矩阵R中的任意评分Ri,j≈UiMjT。矩阵U和M可以任意选取,但是只有选取其中比较好的,才能够准确地预测评分。所以首先需要定义能够表示特征矩阵U和M好坏的目标函数。

1.1 目标函数

我们希望预测的评分和未知评分的真实值之间的误差越小越好,但是我们无法知道未知的评分。基于这样一个假设,即在评分矩阵中已知评分和未知评分之间有着相似的统计规律性,我们使预测的评分和已知评分尽量地接近,这样就可以得到一个对于未知评分的较好预测。所以我们的目标是寻找两个特征矩阵U和M,使得所有已知评分和它们的预测值之间差值的平方和尽量小:

$E = \sum_{(i, j) \in Κ} E_{i j} = \sum_{(i, j) \in Κ} (R_{i j} - U_{i} Μ_{j}^{Τ})^{2} (1)$

其中集合K记录了哪些评分是已知的,即K={(i,j) | 如果用户i对项j的评分已知}。

1.2 时间权重

通常的协同过滤算法忽略了用户对项的评分时间的信息,没有考虑用户偏好随时间的变化,从而在一定程度上影响了预测的准确性。因此,我们对上述的目标函数进行改进,将评分时间信息有机地结合进来。

首先,根据评分时间,我们给每个评分赋予一个权重,满足最近的评分权重较大而过去的评分权重较小。令minTS(i)表示用户i的所有评分中最早的评分时间,maxTS(i)表示用户i的所有评分中最晚的评分时间,而TS(i,j)表示用户i对项j的评分时间,则用户i对项j的评分的权重定义为:

$W_{i j} = {\begin{cases} 1.0 \max Τ S (i) = \min Τ S (i) \\ e^{- (\max Τ S (i) - Τ S (i, j) / \max Τ S (i) = \min Τ S (i))} \max Τ S (i) > \min Τ S (i) \end{cases} (2)$

Wij是一个按照时间衰减的函数。例如,当一个评分是当前用户的最晚评分时,它的权重是e0.0=1.0,而当一个评分是当前用户的最早评分时,它的权重只有e-1.0≈0.368。

然后,我们将时间权重按照下面的方法加入到目标函数中,得:

$E = \sum_{(i, j) \in Κ} E_{i j} = \sum_{(i, j) \in Κ} W_{i j} (R_{i j} - U_{i} Μ_{j}^{Τ})^{2} (3)$

从式(3)可以看出,每个评分误差有了不同的敏感度。对于最近的评分,它的误差Rij-UiMjT被赋予了较大的权重,所以在最优化的过程中,最近评分的预测值和真实值将更加接近。而对于过去的评分,由于其时间权重较小,所以它的误差的敏感度较低,可以有一定程度的误差。这样,通过在目标函数中加入时间权重,算法对于最近的评分将更加重视。

1.3 过拟合问题

为了使预测值和已有评分的误差最小,特征矩阵中往往含有过大的值。然而这样会使预测值和未知评分的误差变大,即所谓的过拟合问题,所以特征矩阵中过大的值应该尽量避免。克服这一问题的常用方法是通过加入特征向量的长度来进行规则化,从而引出最终的目标函数:

$E = \sum_{(i, j) \in Κ} E_{i j} = \sum_{(i, j) \in Κ} (W_{i j} (R_{i j} - U_{i} Μ_{j}^{Τ})^{2} + λ ∥ U_{i} ∥^{2} + λ ∥ Μ_{j} ∥^{2}) (4)$

其中λ称为规则化系数,用来调整特征向量的长度在目标函数中所占的比重。

同时,我们并不需要目标函数E尽量地逼近于0。因为E只反映了预测值和已有评分的误差,即在训练数据上的误差。对于训练数据的过度拟合会使在测试数据上的误差变大。所以我们设定一个常数Emin,当E<Emin时,我们就认为这时的特征矩阵U和M已经足够好。

1.4 梯度下降法

定义好了目标函数,下面使用梯度下降法来寻找最优的用户和项特征矩阵U和M。

梯度下降法是一种优化算法,它从任意给定的一个初始值开始,沿目标函数当前梯度的反方向前进,逐步找到一个局部的最优值。我们应用梯度下降法,局部最小化目标函数E。即,首先初始化矩阵U和M,然后对于每个已知的评分Rij,我们考虑它与估计值之间误差的平方Eij的负梯度:

$- \frac{\partial E_{i j}}{\partial U_{i}} = W_{i j} (R_{i j} - U_{i} Μ_{j}^{Τ}) Μ_{j} - λ U_{i} (5)$

$- \frac{\partial E_{i j}}{\partial Μ_{j}} = W_{i j} (R_{i j} - U_{i} Μ_{j}^{Τ})) U_{i} - λ Μ_{j} (6)$

并且按照负梯度的方向来不断更新特征向量Ui和Mj,最终找到最优的特征矩阵U和M。

下面给出算法的具体步骤:

1) 选择合适的学习速率μ,规则化系数λ和常量Emin。

2) 设置矩阵U和M的初始值。

3) 循环:

对于训练数据中的每个已知评分Rij,

① 根据式(5)和(6)计算梯度 $\frac{\partial E_{i j}}{\partial U_{i}}$ 和 $\frac{\partial E_{i j}}{\partial Μ_{j}}$ 。

② 更新Ui和Mj:

$U_{i} \leftarrow U_{i} - μ \frac{\partial E_{i j}}{\partial U_{i}} Μ_{j} \leftarrow Μ_{j} - μ \frac{\partial E_{i j}}{\partial Μ_{j}}$

直到目标函数E开始增长或者小于Emin。

(4) 结束。

可调节的参数有学习速率μ和特征矩阵的规则化系数λ。学习速率影响训练时间,但速率过大会导致目标函数发散。一般情况下,较小的学习速率能够得到更优的性能,但训练的时间也更长。规则化系数λ一般取较小的值。

另一个影响性能的设置是特征矩阵U和M的初始值。一种方法是使用一定范围内的随机数,但如果随机性过大,算法的性能将不稳定。另一种方法是将初始值设置成所有已知评分的平均值 $\bar{R}$ :

Uik=Mjk=Rf+rand(r) i=1,2,…,n

j=1,2,…,m k=1,2,…,f (7)

其中f是特征向量的维度,rand(r)是在[-r,r)区间内均匀分布的随机数。在算法开始,所有评分都被预测为接近全局平均值 $\bar{R}$ 的数值。值得注意的是,如果没有式(7)中引入的随机噪声rand(r),用户或物品的特征向量中的每个值都将相等,因为在优化的过程中,它们一直有相同的梯度。噪声量r一般取较小的值。

1.5 产生预测

在大多数应用中,R中的数值被限制在某个特定的区间[a,b]内,其中a和b分别是定义在具体应用中的最小和最大评分。例如,如果用户能够给项打1分至5分,那么评分就被限制在区间[1,5]内。因此,我们对点积UiMjT的结果进行裁剪,得到一个有界点积,定义为:

$p (U_{i}, Μ_{j}) = {\begin{cases} a i f U_{i} Μ_{j}^{Τ} < a \\ U_{i} Μ_{j}^{Τ} i f a \leq U_{i} Μ_{j}^{Τ} \leq b \\ b i f U_{i} Μ_{j}^{Τ} > b \end{cases} (8)$

求得用户和项的特征矩阵U和M后,用户i对项j的预测评分为p(Ui,Mj),是一个实数。由于真实评分是在一定范围内的整数,我们再将p(Ui,Mj)的值四舍五入为整数,作为最后的预测评分。实验表明将预测评分取整,可以得到更准确的预测。

2 实验结果及分析

2.1 数据集

我们使用目前比较常用的MovieLens数据集作为测试数据,对本文提出的算法进行评估。该数据集从MovieLens网站采集而来,由美国Minnesota大学的GroupLens研究小组提供,包含943个用户对1682部电影在连续7个月内的评分数据,其中每个用户至少对20部电影进行了评分。评分的范围是1～5,1表示“很差”,5表示“很好”。

实验需要将整个数据集划分为一个训练集和一个测试集。MovieLens数据集提供了5组这样的随机划分,每组中80%的评分数据用作训练集(.base文件),另20%用作测试集(.test文件)。实验将在这5组数据上分别进行,最终结果为这5次结果的平均值。整个数据集的稀疏等级,即评分矩阵中未知评分在整体数据集中所占的比例,为:1-100,000/(943×1682) = 93.7%。

2.2 度量标准

本文采用平均绝对偏差MAE(Mean Absolute Error)作为度量算法优劣的标准。假设预测的用户评分集合为{p1,p2,…,pn},对应的实际用户评分集合为{r1,r2,…,rn},则算法的MAE定义为:

$Μ A E = \frac{\sum_{i = 1}^{n} | p_{i} - r_{i} |}{n} (9)$

2.3 参数的确定

本文提出的算法包含多个参数,包括:学习速率μ,规则化系数λ,噪声量r,特征向量维度f和常数Emin。首先根据经验,随意选取一些可能会产生较好结果的参数值,进行若干次实验,以确定每个参数的大致范围。然后,枚举某个参数在一定范围内的一定数量的取值,并固定其它参数,进行实验来观察这个参数对于算法结果的影响。我们发现当μ=0.005,λ=0.04,r=0.01,f=50且Emin=0.65时,我们的算法可以产生一个较小的MAE=0.678。

图1显示了学习速率μ取不同的值,其它参数不变时的实验结果。结果说明当μ取一个较小的值时,能够得到较小的MAE。但如果μ过小,梯度下降法在迭代过程中将很快陷入局部最优值。相反,如果μ过大,则无法找到最优解。这里μ=0.001时的运行时间是μ=0.005时的5倍左右,但MAE没有明显提升,所以我们选取μ=0.005以平衡时间和正确性。

图2显示了规则化系数λ取不同的值,其它参数不变时的实验结果。结果说明加入规则化系数λ有助于缓解过拟合问题,能够得到更小的MAE。但λ的取值同样不能过大。

图3描述了噪声量r对实验结果的影响。如果r过小,那么用户或项的特征向量中的每个元素一开始就非常接近。在迭代过程中,这些特征向量一直保持着相同的梯度,结果这些元素在迭代结束时仍然基本相同。这样显然不能够得到最优解。如果r过大,特征向量中每个元素的初始值偏离平均值过远,在迭代过程中不易找到最优解。

下面我们评估特征向量维度f对实验结果的影响。由图4可知,当f较大时,用户和项特征矩阵能够描述更多的信息,所以能够得到较小的MAE。但当f≥50后,f即使继续增大也不会使MAE明显减小。这说明f=50已经足够。

常数Emin的取值非常关键。如上节所述,我们并不希望使目标函数E无限趋近于0。图5分别描述了算法在第一组数据上的E和MAE随跌代次数的变化。从中可以看出,随着算法不断地进行迭代,目标函数E在逐渐减小。但是当E小于一定数值以后,算法在测试集上的MAE反而逐渐增加,产生过拟合问题。通常Emin的取值应略低于预期的MAE的值。大多数推荐算法在MovieLens数据集上的MAE在0.70和0.75之间,所以我们将Emin定为0.65,并得到了很好的结果。

2.4 与其它协作过滤算法的比较

在这一节中,我们比较本文提出的结合奇异值分解和时间权重的协同过滤算法(SVD-tw-r)和其它协作过滤算法之间的推荐质量,包括基于项的最近邻法(ib)和使用奇异值分解作降维的最近邻法(SVD-ib)。在SVD-tw-r算法中,我们在最后一步对预测的评分做了四舍五入的取整处理,结果表明它比直接使用实数值的算法(SVD-tw)有更小的MAE。在SVD算法中,我们不对预测评分取整,并忽略了时间权重,即所有时间权重都为1.0。图6列出了上述5个算法分别在5组训练和测试集上的平均绝对偏差MAE。可以看出,本文提出的算法能够得到更小的MAE,显著提高了推荐的质量。

3 结束语

本文提出了一种结合奇异值分解和时间权重的协同过滤算法,在使用梯度下降法进行奇异值分解的过程中考虑了用户兴趣变化的影响,并对预测结果做了裁剪和取整处理。该算法显著地提高了推荐质量。我们曾尝试在该算法的基础之上再运用最近邻法。但由于该算法已经能够产生较小的MAE,用最近邻法做后处理并不能得到更优的结果。今后的工作将主要研究如何对用户兴趣变化进行更精确建模,以及如何有效地其它推荐算法相结合。

摘要：协同过滤是现阶段最成功的推荐技术之一。提出一种结合奇异值分解和时间权重的协同过滤算法。与使用奇异值分解来降维的最近邻法不同,该算法通过梯度下降法进行奇异值分解,并直接将分解的结果用于预测评分。同时,该算法根据评分时间,为每个评分赋予不同的时间权重,考虑了用户兴趣随时间的变化。实验表明,该算法相较于传统协同过滤算法,能够获得更高的推荐精度。

关键词：协同过滤,奇异值分解,梯度下降法,时间权重

参考文献

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[6]Paterek A.ImprovingRegularized Singular Value Decomposition for Collab-orative Filtering[C]//Proceedings of KDD Cup and Workshop,2007.

浅议分组分解法的技巧篇7

1. 许多同学在做题时发现,当初步分解后提公因式时,公因式很相似,但位置、符号各不相同.

例1 6a(x-5y)+5b(5y-x).

【分析】本题中的(x- 5y)和(5y-x)很相似,不难判断它们互为相反数,这就涉及变号的问题,只要把其中一个因式转化为它的相反数即可.

解:原式=6a(x- 5y)- 5b(x- 5y)=(6a- 5b)(x- 5y).

2. 分解要彻底.

例2 x2-6xy+9y2-1.

【分析】我们可以把前三项分为一组,利用完全平方公式分解因式,但不要忘记再与第四项运用平方差公式继续分解因式.

解:原式=(x- 3y)2- 1=(x- 3y+1)(x- 3y- 1).

3. 拆项或添项后再分组.

例3 y4- 3y2+1.

【分析】本题不能直接提公因式或运用公式,也不能直接分组,所以可以尝试拆项或添项来解决.

解:原式=y4- 2y2+1- y2=(y2- 1)2- y2=(y2+y- 1)(y2- y- 1).

时间序列分解法篇8

因式分解是整式乘法运算的相反的变形, 是把一个多项式化成几个整式的积的形式。常用的因式分解方法有:提取公因式法;应用公式法;求根分解法;分组分解法;待定系数法;综合试除法;换元法;十字相乘法等。

“十字相乘法”是分解因式的重要方法之一, 在许多情况下运用十字相乘法分解因式是很方便的。那么怎样才能够灵活运用“十字相乘法”呢?下面通过例题使学生掌握其常见的几种类型。

1 首先应该明确什么叫“十字相乘法”

对于二次三项式x2+px+q, 如果能够找到两个数a, b使a+b=pa·b=q那么它就可以将二次三项式x2+px+q直接分解为两个一次多项式乘积的形式即:x2+px+q= (x+a) (x+b) 。这种分解因式的方法就叫做“十字形乘法”。

例如: (1) x2-9x+20= (x-4) (x-5)

2 在使用“十字相乘法”a, b符号应如何确定

2.1 在应用时要注意a, b这两个因数符号的选择。

当q>0时, a, b应取同号, 并且和一次项系数p的符号相同, 当q<0时, a, b应取异号, 绝对值大的一个数的符号和一次项系数p的符号相同。

2.2 对于系数比较简单的二次三项式

ax2+bx+c (a≠0) 应如何使用“十字相乘法”来分解因式:

如果有rs=c mn=a ms+nr=b存在, 那么, ax2+bx+c= (mx+r) (nx+s) 。

例 (1) :20x2-3x-2= (4x+1) (5x-2)

3 如何灵活运用“十字相乘法”

3.1 要深刻的理解二次三项式ax2+bx+c中变量x的含义。

二次三项式ax2+bx+c中的x可以是一个代数式, 经过适当的恒等变形, 就可以运用十字相乘法来进行分解因式。

例 (1) :分解因式:x2y2z2+4xyz-12

分析:从表面上看似乎不可运用十字相乘法, 但是通过仔细观察便会发现变量xyz后, 我们可以采用换元的方法:

分析:原式可以写成 (m2) 2+22m2-75它就变成了二次三项式的形式。

所以就可以用十字形乘法对m4+22m2-75进行分解。

例 (3) :解方程12x6-8x3+1=0分析:原式可变形为:12 (x3) 2-8x3+1=0

令:y=x3

3.2 正确理解二次三项式ax2+bx+c中的系数

a、b、c, 注意并发现它们之间的相互关系, 是运用十字相乘法分解因式的关键所在。

例 (4) :分解因式2y2- (a+3b) y- (a2-b2)

分析:在这个二次三项式中, 因为常数项-

通过分析发现一次项- (a+3b) 可以变形为 (a-b) -2 (a+b)

因此2y2- (a+3b) y- (a2-b2) 可以用十字相乘法。

牙体分解法拔除多根磨牙的治疗效果篇9

关键词：涡轮牙钻,分解牙体,三角挺,多根磨牙

1 资料与方法

1.1 一般资料

病例来自2009至2010年绵阳市中心医院口腔科门诊笔者本人的患者,共386例,400颗多根磨牙或残根,所有患者均无拔牙禁忌证。386例400颗牙分为治疗组和对照组,治疗组200例200颗磨牙应用高速涡轮机分解技术,三角挺挺出法拔除,其中上颌磨牙90例,下颌磨牙110例,年龄12～60岁。同期应用传统增隙挺出法(对照组)拔除磨牙200颗进行比较。高速涡轮机采用日本制造的NSK手机配用裂钻牙钻头,涡轮机头均统一采用高温高压灭菌器消毒。

1.2 治疗方法

(1)治疗组和对照组术前常规拍X线片,以明确牙根情况,两组均常规消毒铺巾,用斯康杜尼行阻滞及浸润麻醉。(2)治疗组用高速涡轮机自牙冠颌面向根方至根分叉完全磨切分解牙齿,上颌磨牙行近远中向磨切,颊侧二根的再作颊舌向磨切。下颌磨牙行颊舌向磨切,用牙挺伸入磨切间隙,缓慢转动牙挺,如各部分松动,则用根钳分别取出,如转动困难,切勿力量过大过猛,以避免牙根折断,用涡轮钻顺牙冠颊面自龈缘紧贴牙面近远中向开辟间隙,深度根据牙根长度而定,用三角挺向舌(腭)侧挺,取出各部分牙齿。对照组则用增隙器锤击开辟间隙,在近中颊角插入牙挺,挺松牙齿,用牙钳拨出牙齿,两组术后清除牙槽碎片,牙槽窝内不放入任何药物,用消毒纱布卷压迫创口止血30～60min,术后常规用消炎及止痛药,拔牙术后5～7d复诊1次,并记录相应症状。

1.3 术后检测及评定标准

两组患者拔牙后第5～7天门诊复诊,观察术后反应,记录肿胀程度、疼痛程度、出血情况。(1)疼痛程度:Ⅰ度,轻微疼痛,不需服止痛药物;Ⅱ度,明显疼痛,需服止痛药物;Ⅲ度,剧烈疼痛,服止痛药仍影响睡眠。(2)肿胀程度:Ⅰ度,拔牙创龈缘充血,无明显肿胀;Ⅱ度拔牙创周围牙龈充血,肿胀明显;Ⅲ度拔牙创周围牙龈肿胀,眶下区或颌下区肿胀、压痛。(3)术后出血:Ⅰ度,术后6～8h唾液中带有红色;Ⅱ度,24h唾液中带红色;Ⅲ度,出血量多或呈块状。

2 结果

察两组手术后反应,治疗组在术后反应的肿胀程度、疼痛程度、术后出血、张口受限情况均明显优于对照组,治疗组有2例出现断根,占1%,而对照组则有14例出现断根,占7%。见表1。

3 讨论

3.1拔牙常用的器械是牙钳和牙挺,拔除阻生牙则用骨凿,1903年有人提出用牙钻分开牙齿拔牙,随着高速涡轮牙钻的普及,其高效的磨切功能用于拔牙,日渐受到国内外学者的重视[1,2]。有文献介绍,在美国拔除阻生牙,无论切牙还是切骨均应用高速牙钻[3],这样既准确、安全,又不用锤击,消除了患者的恐惧心理。又减少了拔牙的创伤。

3.2近年来,应用高速涡轮钻拔牙在临床上日益受到重视和普及,但更多的关注在下颌智齿用涡轮机钻配合拔除。对难以用牙钳和牙挺拔除的多根磨牙则鲜有关注。我们对应用涡轮牙钻分解牙体,拔除多根磨牙进行了较深入地研究,取得了满意的效果。

3.3 用涡轮钻将多根牙分解为单根牙曾有报道[4],但是由于上颌磨牙的颊根或下颌磨牙牙根较细扁,分解后不易取出,此时常规方法是在近颊方向向远中或(舌)腭侧挺,仍不能减少断根的概率,因为牙根多为颊舌向宽而近远中向窄,若近远中向用力,易形成根折,因此我们采用涡轮钻顺牙冠颊面自龈沟向根方开辟间隙,此时既避免了用增隙器锤击时的震动,深度又可控,以改变冠根比例。上颌磨牙的腭根多粗而圆,分解牙体后用根钳夹住旋转用力多易取出。用三角挺插入颊侧开辟出的间隙,向冠方挺颊根部分,脱位非常容易,普通牙挺挺面宽,插入间隙后旋转时易使牙龈撕裂,致术后出血较多,其次力量的方向不易控制,其横向力量较大而脱位的分力较小,而三角挺则能避免此缺陷,其脱位的力量较为集中,且就位容易,减少了断根的概率。

3.4 在拔除上颌多根磨牙时,常有断根进入上颌窦的报告[5],其原因是视野不清,盲目取根,牙挺安放不当,用力过大或失控。锤击过猛,给患者带来极大的痛苦,也给手术医生带来巨大的心理压力,而用牙体分解,三角挺挺出的方法则极大地较少了断根的概率,在整个拔牙操作的过程中,完全避免了向根尖方向的压力,也就避免了牙根进入上颌窦的危险。

3.5 该方法拔除多根磨牙,创伤小,因为避免了多个牙根同时脱位时对牙槽扩大的要求,术后出血少,术后出血的原因46.1%[6]是因为术中对牙龈的损伤,损伤牙龈的主要原因是增隙时深度不够的情况下,牙挺的转动所引起,而分解法用涡轮钻磨出开辟挺出间隙深度可控,因此,尽量地减少了牙龈的损伤,在涡轮钻开辟间隙时会伤及龈缘,但由于牙龈并未与骨面分离,所以不会增加术后的出血。

3.6 在手术操作过程中必须注意:(1)涡轮钻钻速不易过快,曾有用涡轮钻辅助拔牙引起皮下会肿的报道[7],笔者推荐钻速在1000±200钻为宜。操作熟练后控制钻速不难掌握。(2)在分解牙体后,用牙挺伸入磨切间隙转动时,动作要慢,缓慢加力,若牙根不是过长,此时牙体各部分会松动,用根钳拔除即可,若牙根过长或牙根弯曲,在尝试未能挺松牙齿后,就应在颊侧开辟挺出间隙,此时牙挺若力量控制不当,易形成根折,本组两例根折都发生在此环节的用力不当。

综上所述,在用拔牙钳不能直接拔除的多根磨牙的拔除术中,运用高速涡轮钻和三角挺的分解拔除法,高效、微创、安全,对器械要求低,操作方法易于掌握,易于在临床推广使用。

参考文献

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