必修五3.1.1基本不等式教学设计

必修五3.1.1基本不等式教学设计（共5篇）

篇1：必修五3.1.1基本不等式教学设计

《基本不等式（第一课时）》教学设计

汪清刚

吉林省辽源市东辽县第一高级中学

一、教学目标 知识与技能：

1.理解两个正数的算术平均数不小于他们之积的2倍的不等式的证明。2．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及几何解释。过程与方法

本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形俩方面深入的探究不等式的证明，从而进一步突破难点。基本不等式的证明要注重严密性，每一步都有理论依据，培养学生的逻辑能力。情感，态度与价值观

培养学生举一反三地逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

二、教学重点和难点

三、重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；

难点：理解“=”成立的充要条件.三、教学过程：

1．动手操作，几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为

．于是，，那么正方形的边长为4个直角三角形的面积之和正方形的面积由图可知，即

．

．

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和现一个不等式吗？

（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发通过学生动手操作，探索发现：

2．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若，则

． 若，则．

学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

（1）若，则；（2）若，则

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：，当（在该过程中，可发现证法二（分析法）：由于的取值可以是全体实数），于是

时取等号．

要证明，只要证明，即证，即，该式显然成立，所以，当时取等号．

得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若若，则，则

（当且仅当（当且仅当

时，等号成立）时，等号成立）

深化认识：

称为的几何平均数；称为的算术平均数

基本不等式又可叙述为：

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰 探究三：如图，于的弦是圆的直径，点．

由于Rt

中直角边

斜边，是

上一点，．过点

作垂直，连接根据射影定理可得：于是有故而再次证明： 当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．

当时，（当且仅当时，等号成立）

（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于（1）若，（定值），则当且仅当

时，有最小值

；

（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．

（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

例2.求的值域．

变式1.若，求的最小值．

在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示再次感受数形结合的数学思想． 的函数图象，使学生并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 练一练（自主练习）：

1.已知2.设，且，且，求，求的最小值． 的最小值．

5．归纳小结，反思提高 基本不等式：若，则

（当且仅当

时，等号成立）

若，则（当且仅当时，等号成立）

（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法． 媒体展示，渗透思想：

若将算术平均数记为，几何平均数记为

利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面在曲面 的上方

6．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P100习题组1、2题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．

（3）探究作业：

现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．

篇2：必修五3.1.1基本不等式教学设计

教材给出了5个与学生生活密切相关的例题，在此基础上抽象概括出不等关系.例1“神舟”五号飞船与东方红一号卫星技术参数的比较体现了教材的时代气息；例2《铁路旅行常识》的介绍了不等式的实际应用；例3运用直方图反映长江流域各省水质状况，水质的污染情况可以从大小关系的角度进行排序；例4运用函数图像比较两个函数的大小关系；例5给出了不等式组的实际背景.5道例题各反映了一种不等关系，又和实际生活接近，体现数学来源于生活又应用于生活的原则.三维目标

1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解

不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；

2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方

法；

3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

教学难点:用不等式（组）正确表示出不等关系。

教学建议：

由于本节课难度不大，可以通过具体问题，让学生去感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的等量关系，并从理性的角度去思考.鼓励学生用数学的观点进行类比、归纳、抽象，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;授课时要注重学生的探究活动.学生在学习过程中，通过对问题的探究思考、体验、认识、广泛参与，及实际问题背景的设计，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，从而提高学习质量.新课导入设计

导入一:[情景导入] 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

篇3：必修五3.1.1基本不等式教学设计

建构主义认为,学习是获取知识的过程,知识不是通过教师传授得到的,而是学习者在一定的情境下,借助其他人的帮助,利用必要的学习资料,通过有意义的建构方式获得的。《数学课程标准》也提出:数学学习“不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发”,这充分说明数学教学中创设问题情境的重要性。那么,在创设数学情境时要注意哪些问题呢?本文以必修1《3.1.1方程的根与函数的零点》的教学设计为例,谈谈如何创设数学教学情景可以极大程度上调动学生的学习积极性,以取得良好的教学效果。

一、教学观念

坚持“一个理念”——关注学习过程,体现自主探究,加强合作交流,渗透人文教育;

营造“一种氛围”——师生互动,愉快和谐;

建立“一种关系”——平等互助合作的师生关系;

做到“三个淡化”一—淡化教师说教(重在问题创设);淡化理论灌输(重在自主发现);淡化知识记忆(重在能力培养)。

二、教学设计过程

1.“问渠哪得清如许,为有源头活水来”——引入情境讲究趣味性,可以激发学生的兴趣。心理学认为,学生只有对所学的知识产生兴趣,才会爱学,才能以最大的热情投入到学习中去。因此,在教学中,教师要善于挖掘教材,积极创设生动有趣的问题情境来帮助学生学习,培养学生对数学的兴趣。此例中,游戏不仅激发了学生的好胜心,也调动了学生的学习热情,使之自然而然地进入了学习状态。其实,引入情境除了可引用游戏外,还可以是趣味性较强的名人轶事、历史故事、数学趣题等。事实证明,贴近学生生活实际的、趣味性较强的情境,能很好地吸引学生的注意,最大程度地激发学生的学习欲望,培养其学习兴趣。

创设一个现实问题情境作为提出问题的背景:蹦极运动。

设置情境:利用投影展示蹦极运动图片。

设下落的时间t秒,人离开参照点“礁石尖端”的位移为s(s=0表示人在礁石点处,向下取负,向上取正),开始下落时,时间t=0,在t∈[4,6]时的变化如下表:

问:在这段时间内,人有几次通过礁石尖端处?

2.“不愤不启,不悱不发”——情境创设讲究引发学生的认知冲突,可以激发学生的内在需要。情境的设计必须以引起学生的认知冲突为基点,才能引起学生的学习需要。教师根据新学知识、方法特点及学生已有的认知结构,设计一个包含新知识、新方法或新思维的新问题情境(旧知识、旧方法或习惯思维不能解决的),学生运用旧知识、旧方法、习惯思维于新问题情境时便会产生认知冲突,由此产生疑问和急需找到解决方法的内在需要。在这种需要的驱使下,教师再展开教学,则能收到事半功倍的教学效果。

启发、引导学生提出自己关心的现实问题,逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题,解决过渡性问题时需要使用根的分布知识,借此引发学生的认知冲突,揭示方程的根与函数的零点的必要性,并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后,再引导学生抓住问题的数学实质,将过渡性问题引伸成一般的数学问题:蹦极运动在通过平衡位置的窜上与窜下抽象成函数图像,在x轴上下窜动。解决这个问题需要先回答目标问题:函数图像与x轴交点和方程根的关系?

3.“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”——情境创设讲究围绕问题动手实践,可以使学生获得经验。建构主义认为,动手实践与其他数学学习方式的合理配置和有效融合能够营造一种丰富多样的数学学习情境,而这种情境可以让学生初步体验将要学习的数学知识,为理解数学知识做好准备,为发现数学原理提供帮助,并且能够为学生提供与数学有着直接和重要作用的经验,以及情感性的支持。为了解决提出的目标问题,引导学生回到他们所熟悉的一元一次方程、一元二次方程根与相应函数图像和x轴交点问题,得出目标问题在以上情况下的结论,从而形成猜想,然后引导学生对猜想进行验证。

(1)提出问题。

问题:方程-x3-3x+5=0有根吗?

若有根,有几个根?能确定吗?

(2)探究问题。

师:以上函数图像与x轴交点和方程根的关系?

生:方程的根就是函数图像与x轴交点的横坐标;根的个数就是图像与x轴交点的个数。

师:一般的一元二次方程与相应的一元二次函数的联系又如何?

生:成立。得到知识:

①零点:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

②根据函数零点的定义可知:函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根。因此,判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实数根,有几个实数根。

③函数零点的求法:解方程f(x),所得实数根就是f(x)的零点。

(3)解决问题。

师:如何求方程-x3-3x+5=0的根?

生:画出函数的图像。

师:与x轴有交点吗?有几个?在哪里?

生:有,一个,(1,2)之间。

师:方程有没有根?有几个?多少?

生:有,一个。

(4)形成经验。

师:在零点两侧函数值符号如何?什么条件下有零点?

生:(归纳得到)

一般地:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

(5)发散思维。

①唯一性。

师:方程-x3-3x+5=0的根唯一吗?

生:只有一个。

师:为什么?用什么知识解决?

生:单调性。

②精确性。

师:这个(1,2)范围满意吗?可以更精确吗?

生:(1,1.5)

师:这是下节课的内容。

③知识点:函数零点具有的性质:对于任意函数y=f(x),只要它的图像是连续不断的,则有当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号,如函数f(x)=x2-2x-3=0的图像在零点-1的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-1时,函数由正变为负,在通过第二个零点3时,函数值又由负变正。在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。

(6)知识应用。

例1:设计几个函数,直接判断函数是否有零点,若有,判断零点的个数。

设计意图:判断函数y=f(x)是否有零点或零点有几个,需要准确把握零点的定义,即判断方程f(x)=0是否有实数根或有几个实数根。

例2:设计一个函数,求函数的零点的个数。

设计意图:确定函数零点所在大致区间及零点个数的方法、步骤如下:

①用计算机、计算器或笔算出x,f(x)对应值表格;

②做出函数y=f(x)的图像;

③确定y=f(x)的单调性情况;

④将定义域进行分割,应用零点存在性定理判断零点所在的大致区间,并通过单调性确定函数零点的个数。

三、教学反思

在本课的教学中,教师立足于所创设的情境,通过学生自主探索、合作交流,亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程,学生成为零点存在条件的“发现者”和“创造者”,切身感受了创造的苦和乐,知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

篇4：必修五3.1.1基本不等式教学设计

3.1.1 不等关系与不等式

（一）

从容说课

通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.

根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.

教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；

2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；

3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值. 教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系； 2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题. 教具准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺

三维目标

一、知识与技能

1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系； 2.了解不等式或不等式组的实际背景； 3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用； 3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程

导入新课

师 日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？ 生 实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.

生 实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xa＜xb.(老师协助画出数轴草图)

生 实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零. 实例4:两点之间线段最短.

实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬) 推进新课

师 同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.

(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.

实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.［过程引导］

师 能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?

生 可以用不等式或不等式组来表示.

师 什么是不等式呢?

生 用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.

（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）

师 能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.

（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）

［合作探究］

生 我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来. 师 说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢?

（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）

生 上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃≤t≤26℃. 生 可以表示为x≥0.

（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画） 生 |AC|+|BC|＞|AB|

(只需结合上述三角形草图). 生 |AB|+|BC|＞|AC|、|AC|+|BC|＞|AB|、|AB|+|AC|＞|BC|.

生 |AB|-|BC|＜|AC|、|AC|-|BC|＜|AB|、|AB|-|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以. 生 如果用v表示速度，则v≤40 km/h. 生 f≥2.5%或p≥2.3%.

(此时,一片安静,同学们在积极思考)

生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际

f2.5%,问题中的不等量关系，即可以表示为

p2.3%.生 也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%. 师 同学们看这两位同学的观点是否正确? 生(齐答)大家齐声说，都可以.

师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达. 课堂练习

教科书第83页练习1、2.

(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）

【问题1】 设点A与平面α的距离为d,B为平面α上的任意一点. ［活动与探究］

师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨) ［方法引导］

师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以?

(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A作AC⊥平面α于点C，则d=|AC|≤|AB|. 师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形. 师 请同学们继续来处理问题2.

［合作探究］ 【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?

生 可设杂志的定价为x元，则销售量就减少师 那么销售量变为多少呢？如何表示？ 生 可以表示为(8x2.50.10.2)万本，则总收入为(8x2.50.10.2)x万元.

x2.50.10.2)x≥20〕

x2.50.10.2万本.

〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为(8师 是否有同学还有其他的解题思路？ 生 可设杂志的单价提高了0.1n元，(n∈N)，

（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况） 师 为什么可以这样设？ 生 我只考虑单价的增量. 师 很好，请继续讲.

生 那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.

师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间） 师 请同学们继续思考第三个问题. ［合作探究］

【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?

师 假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？

生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.

生 截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍. 生 截得两种钢管的数量都不能为负.

师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？ 生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.

生 由实际问题的意义，还应有x,y∈N. 师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？

生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 500x600y40000,3xy, x0,y0,x,yN.*师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.

课堂练习

练习：若需在长为4 000 mm的圆钢上，截出长为698 mm和518 mm两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?

分析：设截出长为698 mm的毛坯x个和截出长为518 mm的毛坯y个，把截取条件数学化地表示出来就是： 698x518y4000,x0, y0,x,yN.（练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N） 课堂小结

师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？ 生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.

生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.

生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.

师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.

（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力） 布置作业

第84页习题3.1A组4、5.

板书设计

不等关系与不等式

（一）实例

方法引导

方法归纳 如何用不等式或不等式组表示

实例剖析（知识方法应用）

小结 实际问题中不等量关系？

示范解题

备课资料

一、备用习题

1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.

4xy10,18x15y66,分析：设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则

x0,y0.2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.

12xy84,10x＜y,分析：设该班共有x人，这笔开学费用共y元，则.

11xy40,xN*.3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.

分析：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目， xy10,0.3x0.1y1.8,由题意，知

x0,y0.4.某企业生产A、B两种产品，A产品的单位利润为60元，B产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h和2.4 h，每件B产品在两个车间都需经过1.6 h，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.

0.8x1.6y240,2.4x1.6y288,分析：设该企业分别生产A产品x件、B产品y件，则

x,y0x,yZ.

二、课外探究 开放性问题

xy50,xy100,已知：不等式组x1,你能举出符合此不等式组的实际问题吗？

y1,x,yN,3.1.2 不等关系与不等式

（二）

从容说课

本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.

根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.

教学重点 1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；

2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质； 3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.

教学难点 1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形； 2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式. 教具准备

投影仪、胶片、三角板、刻度尺

三维目标

一、知识与技能

1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;

2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;

3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用; 3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.

三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程

导入新课

师 上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解. 推进新课

师 我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？

生 等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.

师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？

（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）

师 一般地说，不等式的基本性质有三条：

性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）

性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答） 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答）

［过程引导］

师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演） 性质1：a＜ba+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞ba+c＞b+c（或a-c＞b-c）. 性质2：a＜b且c＞0ac＜bc(或＜caacbcbc)；a＞b且c＞0ac＞bc(或＞cabc).). 性质3：a＜b且c＜0ac＞bc(或＞)；a＞b且c＜0ac＜bc(或＜cabc（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）

师 性质

2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？ 生 对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数. 师 很好，c可以为零吗？

生 c不能为零.因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.

师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.

师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.（学生已迫不及待）

生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.

（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位） 师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）

［教师精讲］

师 若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞ba-b＞0.它的逆命题是否正确？

生 显然正确.

师 类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,

a＞ba-b＞0;a=ba-b=0;a＜ba-b＜0.

师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.

师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？ 生 只要考察它们的差就可以了.

师 很好.请同学们思考下面这个问题.

(此时，老师用投影仪给出问题) ［合作探究］

【问题1】 已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，

22242由x≠0，得x＞0，从而(x+1)＞x+x+1.

（学生对x≠0，得x2＞0在说理过程中往往会忽略）

师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 【例1】 比较下列各组数的大小（a≠b）.(1)ab24与21a1b3(a＞0,b＞0);

（2）a－b与4a（a－b）.

师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定. 解：（1）ab221a1bab22abab(ab)4ab2(ab)2

4(ab)22(ab)，

∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0. ∴(ab)22(ab)＞0,即ab2＞21a1b.

（2）a4-b4-4a3(a-b)

=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)

=(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］ =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)

222=-(a-b)［2a+(a+b)］,

∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号), 又a≠b,∴(a-b)＞0,2a+(a+b)＞0. ∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0.

∴a4-b4＜4a3(a-b).

师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.(此时，老师用投影仪给出下列问题)

［合作探究］ 【问题2】 求证：（1）a＞b且c＞0ac＞bc；（2）a＞ba+c＞b+c.

师 请同学们思考第一小问该如何证明？

生 可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.

师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？ 2

22生 ac-bc=(a-b)c，∵a＞b，∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，所以得证.

师 这位同学证明得是否正确？ 生 正确.

师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.

生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件. 师

回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.

（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路） 师 请同学继续思考第二小问该如何证明？

生 可由结论到条件，a+c-(b+c)=a-b，∵a＞b，∴a-b＞0，∴a+c＞b+c.

师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？ 生（齐声）没问题.

师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.

师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）

(此时，老师用投影仪给出本课时的例2) ［例题剖析］

已知a＞b＞0,c＜0，求证：＞accb.

师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？

生 可由条件到结论.∵a＞b＞0，两边同乘以正数∴＞accb1ab，得

1b＞

1a，即

1a＜

1bb.又∵c＜0，.

师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求. 课堂小结

常用的不等式的基本性质及证明：（1）a＞b,b＞c a＞c;

a＞b,b＞c a-b＞0,b-c＞0(a-b)+(b-c)＞0a-c＞0a＞c.（2）a＞ba+c＞b+c;

a＞ba-b＞0(a-b)+(c-c)＞0(a+c)-(b+c)＞0a+c＞b+c.（3）a＞b,c＞0ac＞bc;

a＞b,c＞0a-b＞0,c＞0(a-b)c＞0ac-bc＞0ac＞bc.（4）a＞b,c＜0ac＜bc.

a＞b,c＜0a-b＞0,c＜0(a-b)c＜0ac-bc＜0ac＜bc.布置作业

课本第84页习题3.1A组3,Ｂ组1.（3）（4）、2.

板书设计

不等关系与不等式

（二）引入

方法引导

方法归纳 不等式和实数的基本性质

实例剖析（知识方法应用）

小结

篇5：必修五3.1.1基本不等式教学设计

第1课时

微粒的性质

引入：我们学习一些氧气、二氧化碳、水等物质的性质，它们各自都有着不同的性质。物质间为什么可以发生那么多的反应？氧气和二氧化碳等为什么会有不同的性质，原因是什么？物质到底由什么构成的？世界是由物质构成的，那么各种物质是否有相同的构成？„„这些问题将会在我们本章逐步为你解决。

板书：第三章 物质构成的奥秘 §

3、1构成物质的基本微粒

设问并引导假设：物质能够被分割吗？分割到不能分割的程度时，物质是否还存在？中国古代《庄子·天下篇》中有一句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。说明了一个辩证法思想，即物质是无限可分的。将物质分小的方法很多，工具也很多。你能说出一些将物质分开的方法和使用的工具吗？（烧开水、物质溶解）这些方法中，哪种方法能将物质分得最小？

实验：探究物质的可分性：将高锰酸钾粉末放入试管中少量，加入少量的水，发现试管中的固体颗粒逐渐变少，直至消失，得到的高锰酸钾溶液中，逐渐加入水，溶液的紫红色逐渐变浅，直至无色。

分析：1．固体颗粒为什么消失？

答：高锰酸钾颗粒被“粉碎”成肉眼看不见的微粒，分散到水中。2．溶液的颜色由深到浅，直至无色，这是为什么？

答：变浅直至无色，不是高锰酸钾消失，而是构成它的微粒太少太小，我们看不见了。

也就是能说明高锰酸钾固体是由肉眼看不见的微粒构成的。

设问：日常生活中，糖水是甜的，盐水是咸的，这个现象又能说明什么问题？

答：在水的作用下，构成蔗糖和食盐的微粒被分散到水中。同样是微粒，一种是甜的，一种是咸的，说明不同物质是由不同微粒构成的，具有不同的化学性质。总结：

一、物质是由极其微小的、肉眼看不见的微粒构成的

1．物质可以再分；

2．物质是由极其微小的微粒构成的；

3．不同的物质由不同的微粒构成，具有不同的化学性质，即：构成物质的微粒能保持物质的化学性质；

4．构成物质的微粒不能保持物质的物理性质，物理性质是由大量微粒体现的。举例：除了课本实验，我们日常生活中还有那些现象能够说明物质是由大量微粒构成的？ 回答：学生自行讨论。如过滤时水能够从滤纸中渗过.微粒除了及其微小外，有什么性质呢？

过渡：我们把紫黑色的高锰酸钾放入水中成紫红色；走近花园会闻到花香；打开酒瓶会闻到酒香；以上实例都说明构成物质的微粒是不断运动的。

实验探究：微粒是不断运动的P63《观察与思考》

步骤：实验1：向盛有少量蒸馏水的小烧杯中滴入2～3滴酚酞试液，再向其中加少量 的浓氨水。现象：滴入浓氨水后，溶液由无色变为红色

说明：酚酞试液遇蒸馏水不能变色，而酚酞试液遇浓氨水后变红。

实验2：重新配制酚酞与水的混合溶液A，在另一烧杯B中加入3～5mL的浓氨水，用大烧杯罩在一起。

现象：烧杯C中溶液逐渐变红

原因：构成氨气的微粒扩散在大烧杯中，溶于水后形成溶液就能使无色酚酞试剂变红。假设实验3，为了使实验结论准确可靠，用一杯纯净水来代替浓氨水来做对比实验，有无必要性？

回答：没有必要。因为在实验一开始，已经证明了蒸馏水不能使无色酚酞变红。结论：构成物质的微粒是在做不停地运动的。

提问：若用氢氧化钠溶液代替浓氨水。有此现象吗？说明说明？

回答：没有变色。这个实验可以说明，各种微粒运动的情况是不同的，有的容易扩散，有的不容易甚至很难，所以我们可以看到有些物质容易挥发，有些物质容易溶解，而有些物质却不易挥发，不易溶解。

提问：我们为了加快物质的溶解，我们一般可以用加热的方法。我们发现相同质量的白糖在热水中溶解要比在同样多的冷水中快，这是为什么？这又能说明什么问题？

回答：温度高，构成白糖的微粒更快地扩散到水中。说明微粒的运动速率与温度有关，温度越高，速率越大。

总结：

二、微粒是在不断地运动的

1．构成物质的微粒是在不断运动的；

2．不同微粒的运动情况有所不同；

3．微粒的运动速率与温度有关。温度越高，微粒运动的速率就越大。如；阳光下晒衣服更快干。

举例：那些现象又能够说明构成物质的微粒是不断运动的呢？ 讨论：学生举例。如闻到花香，湿衣服晒干，氯化氢与氨气生烟实验 过渡：微粒还有什么性质？

实验探究1：水与酒精的混合的体积变化P63 1．50mL水+50mL水

2．50mL酒精+50mL酒精

3．50mL水+50mL酒精 结果：等于100mL

等于100mL

小于100mL 说明：构成物质的微粒间有空隙。同种微粒之间的空隙相同；不同种微粒空隙不同 实验探究2：水和空气的压缩实验P64 现象：水不容易被压缩，而空气容易被压缩 说明：1．构成物质的微粒之间具有空隙；

2．构成水的微粒空隙很小，构成空气的微粒空隙很大；

总结：

三、微粒之间存在一定的空隙

1．构成物质的微粒间都有一定的空隙。2．不同物质微粒间的空隙大小不同。

3．在固体和液体中，微粒之间的空隙比较小，气体中，微粒之间的空隙比较大 问题与讨论 ：人能在空气中自由行走，还能在水中游泳，但不能穿墙而过。想一想，这是为什么？世界著名魔术大师大卫曾经有一个穿越长城的表演，你相信大卫真的从长城中穿过了吗？为什么？

穿越长城的真相

“大卫穿墙前走上平台的台阶处有一个可以容身的暗箱，在他走进幕布的刹那其实真正的大卫就顺势钻进了暗箱。而观众看到的白色幕布上正在奋力穿墙的人影是他的‘克隆人’。真正的大卫此时正通过旁边镜头外的梯子翻过城墙，出现在另一面的平台上。两个大卫配合默契，最终完成了精彩叫绝的长城幻影。” 来源：京华时报（2002年07月31日）

4．同种物质时，液体、固体微粒间隙小，而气体间隙大 提问：有谁能够运用微粒的知识来解释物质三态变化的原因？

解释：微粒的运动受温度的影响，温度越高，微粒运动越快，微粒间的空隙就越大。当微粒间的空隙小到一定程度时，成为固体，大到一定程度时，成为液体，微粒间的空隙继续增大，就会成为气体。

例题解析

1．用构成物质的微粒的特性解释夏天空气潮湿，而冬天空气干燥的原因。

答：夏天气温高，地面上构成水的微粒运动快，每天扩散到空气中的水的微粒很多，使空气变得很潮湿；冬天气温低，构成水的微粒运动慢，每天扩散到空气中的水的微粒较少，空气显得干燥。

2．装开水的保温瓶有时候会跳出来，为什么？

答：保温瓶该有时会跳起来的原因之一是，瓶内开水没有装满，瓶内留有空气，受热后微粒空隙增大，或者倒开水时，有冷空气进入瓶中，盖上瓶盖，空气受热，气体微粒空隙增大，体积膨胀，瓶内压强增大，使瓶盖跳起来。

拓展：比较法P64

过渡：学习了微粒的性质后，大家可能会问构成所有物质的微粒是不是相同的？ 出示：铜、二氧化碳、水、氧气的分子模型和堆积成物质的情况。

讲述：世界是由物质构成的，物质是由肉眼看不见的微粒构成的，微粒很小，构成物质的微粒有多种，经过科学家长期研究证实，构成物质的微粒有：原子、分子和离子。

讲：不管哪种微粒，它们都具有以下的基本性质：

1：很小，但却真实存在，用显微镜放大几千万倍可观察到分子的图象。2：微粒是在不断地运动的，温度越高，运动越快。3：微粒之间存在一定的空隙。

板书: 分子—非金属+非金属。气体、水、酸、固体非金属单质、有机物等

原子—金属单质、稀有气体