基本不等式知识点梳理

第一篇：基本不等式知识点梳理

高考数学不等式部分知识点梳理

一、不等式的基本概念

1、不等(等)号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.2、不等式的分类：绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.

3、同向不等式与异向不等式.4、同解不等式与不等式的同解变形.

二、不等式的基本性质

1、abba(对称性)

2、ab,bcac

3、a(传递性) bacbc(加法单调性)

(同向不等式相加)

4、ab,cdacbd

(异向不等式相减)

5、ab,cdacbd

6、a.b,c0acbc

(乘法单调性)

7、ab,c0acbc

(同向不等式相乘)

8、ab0,cd0acbd

9、ab0,0cdab(异向不等式相除) cd

10、ab,ab011(倒数关系) ab

11、ab0anbn(nZ,且n1)(平方法则)

(开方法则)

12、ab0a(nZ,且n1)

三、几个重要不等式

(1)若aRa

(2)a、bR0，a20 ,则a2b22ab(或a2b222ab)(当仅当a=b时取等号)

ab(当仅当a=b时取等号) .2(3)如果a,b都是正数，那么

极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则○1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小;○2如果S是定值, 那么当x=y时，P - 1 -

的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.(4)含立方的不等式：

①a3b3≥a2bab

2②由a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abacbc)，可推出a3b3c3≥3abc;

(abc0等式即可成立,abc或abc0时取等);

③如果a,b,c∈{x|x是正实数}

，那么abc(当且仅当a=b=c时取“=”号)

3ba(5)若ab0,则2(当仅当a=b时取等号)

ab

(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

(7)含绝对值的不等式：①若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|②

四、几个著名不等式 a1a2a3a1a2a

3(1)平均不等式：如果a,b都是正数，那么 2aba2b2ab1122(当仅当a=b时取等号)即：平方平均≥算

术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)： 2222abababab22ab((当a = b时，())ab222

22a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)33

注：例如：(acbd)222...an幂平均不等式：a12a21(a1a2...an)2 n(a2b2)(c2d2). 11111112(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n常用不等式的放缩法：①

n1)

(2)柯西不等式：若a1,a2,a3,...,anR,b1,b2,b3,...,bnR;则

222222(a1b1a2b2a3b3...anbn)2(a12a2a3...an)(b12b2b3...bn);当且仅当

aa1a2a3...n

b1b2b3bn时取等号。

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数：若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

- 2 -

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)则称f(x)为凸(或凹)函数. ).2

2五、不等式证明的几种常用方法：比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.六、不等式的解法：

(1)整式不等式的解法(根轴法)。步骤：正化，求根，标轴，穿线(偶重根打结)，定解.

特例：①一元一次不等式：解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

(1)a0axb分(2)a0

(3)a0情况分别解之。

22axbxc0(a0)分aaxbxc0(a0)00②一元二次不等式：或及a情况分别解之，还要注

00b4ac意的三种情况，即或0或，最好联系二次函数的图象。

(2)分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 2

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0 f(x)0g(x)g(x)0

(3)无理不等式：转化为有理不等式求解

1f(x)0定义域 g(x)0f(x)g(x)

○2f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0 f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]

(4).指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x);

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

(5)对数不等式：转化为代数不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)

(6)含绝对值不等式 f(x)0 logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)

1应用分类讨论思想去绝对值;○2应用数形思想;○3应用化归思想等价转化 ○

- 3 -

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注：常用不等式的解法举例(x为正数)： ①x(1x)21124

2x(1x)(1x)()322327

22x2(1x2)(1x2)1234②yx(1x)y()y223272

类似于

ysinxcos2xsinx(1sin2x)，③|x1||x||1|(x与1同号，故取等)2 xxx

- 4 -

第二篇：高中不等式的基本性质知识点

高中不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点

1.不等式的定义：a-b>0

a>b, a-b=0

a=b, a-b<0

a

①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

如证明y=x3为单增函数，

设x1, x2∈(-∞,+∞), x1

+x22]

再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)

2.不等式的性质：

①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有：

(1) a>bb

(2) a>b, b>ca>c (传递性)

(3) a>ba+c>b+c (c∈R)

(4) c>0时，a>bac>bc

c<0时，a>bac

运算性质有：

(1) a>b, c>da+c>b+d。

ac>bd。 (2) a>b>0, c>d>0 (3) a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。

(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：

(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

第三篇：新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)（范文）

基本不等式

知识点：

1. (1)若a,bR，则ab2ab

ab时取“=”) 22(2)若a,bR，则abab222(当且仅当

2. (1)若a,bR*，则

ab时取“=”) ab2(2)若a,bR，则ab2ab *ab (当且仅当

ab(3)若a,bR，则ab) (当且仅当ab时取“=”

2*

23.若x0，则x

若x0，则x1x

1x) 2 (当且仅当x1时取“=”2 (当且仅当x1时取“=”)

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”)

xxx

4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”)若ab0，则

ba

a

b2即a

bb

a2或

2ab2ba() -2当且仅当ab时取“=”5.若a,bR，则(

注意： ab2)2ab2(当且仅当ab时取“=”)

(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，

当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

(1)y=3x 2+

12x 21(2)y=x+ x

解：(1)y=3x 2+1

2x 2 ≥23x 2·12x 2=6∴值域为[6 ，+∞)

1(2)当x>0时，y=x ≥2x1x·=2; x

11

当x<0时， y=x+= -(- x-)≤-

2xx∴值域为(-∞，-2]∪[2，+∞)

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x

54x·=-2 x

，求函数y

4x2

14x5

的最大值。

解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)要进行拆、凑项，

x

54,54x0，y4x2

4x5

不是常数，所以对4x

21

54x

4x554x

231 

3

当且仅当54x

154x

，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

技巧二：凑系数 例： 当时，求yx(82x

)的最大值。 解析：由

知，

，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，

此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将

yx

(82x)凑上一个系数即可。

当

，即x=2时取等号当x=2时，yx(82x)的最大值为8。

32

变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。

2x32x9

解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222

当且仅当2x32x,即x

技巧三： 分离 技巧四：换元 例：求y

x7x10

x

13

0,时等号成立。 42

(x1)的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。

当

,即

时

,y59(当且仅当x=1时取“=”号)。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x+1，化简原式在分离求最值。 y

(t1)7(t1)+10

t

=

t5t4

t

t4t

5

当,即t=时

,y59(当t=2即x=1时取“=”号)。

例：求函数y

的值域。

t(

t2)，则y

1t

1t

t

1t

(t2)

因t0,t1，但t因为yt

1t

解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

52

在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y

5



。

所以，所求函数的值域为,。

2

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知x0,y0，且

1x9y

1x

1，求xy的最小值。

9y

1x

9

xyy

12故

错.解.：x0,y0，且

1，

xy



xymin

12 。

等号成立条件

是xy，在

错因：解法中

两次连用均值不等式，在xy1x

9y

1x



9y

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，

在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

19y9x正解：x0,y0,191，xyxy1061016

xy

xy

xy

当且仅当技巧七

yx



9xy

时，上式等号成立，又

1x



9y

1，可得x4,y12时， xymin16 。

例：已知x，y为正实数，且x =1，求1+y 2 的最大值.2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

221+y中y前面的系数为，x

y 2

a 2+b 2

。

1+y 22· =2

同时还应化简1+y 2 =x

x·

1y 2

+22

1y 2

+分别看成两个因式： 22x 2+(

1y 2

+ )22222

x 2+ =

y 22+

下面将x，

x·

1y 2

+ ≤22

=即x

1+y 2 =2 ·x

1y 23+≤224技巧八：

已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=的最小值.

ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的;二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30-2b-2 b 2+30b

法一：a=，ab=·b=

b+1b+1b+1由a>0得，0

∴ ab≤18∴ y≥

118

当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立。

2 ab

-2t 2+34t-31

1616

=-2(t+)+34∵t+ ≥2

16

t·

30-2b

tttt

法二：由已知得：30-ab=a+2b∵ a+2b≥22 ab∴ 30-ab≥2令u=ab则u2+22 u-30≤0， -5∴

2 ≤u≤3

ab≤32 ，ab≤18，∴y≥

ab2

18

ab(a,bR)的应用、不等式的解法及运算能力;②



点评：①本题考查不等式





如何由已知不等式aba2b30(a,

bR)出发求得ab

的范围，关键是寻找到

ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

2ab(a,bR)，这样将已知条件转换



为含ab的不等式，进而解得ab的范围

.技巧

九、取平方

例:

求函数y



12x

52)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

y

44(2x

1)(52x)8

又y0，所以0y当且仅当2x1=52x，即x

32

时取等号。故ymax。

应用二：利用均值不等式证明不等式

例：已知a、b、cR，且

abc1。求证：



111

1118 abc

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111abc，可由此变形入手。

a

a

a

a

解：a、b、cR，abc1。



1a

1

1aa



bca



a

。同理

1b

1

b

，

1c

1

c

1111。当且仅当时取等号。 abc1118

3abcabc

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

解：令xyk,x0,y0,

10k

3k

1x



9y

1，

xykx



9x9yky

1.

10k



ykx



9xky

1

12

。k16 ，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若

ab1,P

lgalgb,Q

12

(lgalgb),Rlg(

ab2

)，则P,Q,R的大小关系

是.

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

Q

12

(lgalgb)

ab2

)lg

lgalgbp

12

lgabQ∴R>Q>P。

Rlg(ab

第四篇：不等式(一)--考点梳理

不等式

(一)--考点梳理

1.不等式的性质

(1)基本性质

实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是不等式性质的依据。在不等式性质中，最基本的是：

①a>bbb,b>ca>c(传递性)

③a>ba+c>b+c(数加)

ab,c0acbc④(数乘)(a>b,c=0a·c=b·c) ab,c0acbc

(2)基本性质的推论

由基本性质可得出如下推论：

推论1：a>b>0,c>d>0ac>bd推论2：a>b>0,c>d>0

推论3：a>b>0an>bn(n∈N)推论4：a>b>0

3.不等式的证明

(1)基本不等式

定理1：如果a,b∈{x|x是正实数}，那么ab

2nadnbc ab(n∈N) ≥ab(当且仅当a=b时取“=”号)

≥3abc(当且仅当a=b=c时取“=”号) 定理2：如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么abc

3定理3：如果a、b∈{x|x是正实数}，那么

2a

1b≤ab≤ab2≤ab222(当且仅当a=b时取“=”号)

推论4：如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么

3a1

b1

c≤abc≤abc3≤abc3222(当且仅当a=b=c时取“=”号)

由上述公式还可衍生出一些公式

①4ab≤(a+b)2≤2(a2+b2),a、b∈R(当且仅当a=b时等号成立)

②a2+b2+c2≥ab+bc+ca,a,b,c∈R(当且仅当a=b=c时等号成立)

③a+b+c≥

④|ba22213(a+b+c)≥ab+bc+ca,a,b,c∈R(当且仅当a=b=c时等号成立) 2+a

b|≥2(当且仅当|a|=|b|时取“=”号)

4⑤a>0,b>0,a+b=1，则ab≤等。

(4)不等式证明的三种基本方法

①比较法：作差比较，根据a-b>0a>b，欲证a>b只需证a-b>0;作商比较，当b>0时，a>ba

b>1。

比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)。

②分析法：从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。

③综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形(恒等变形或不等变形)推导出要求证明的不等式。

4.不等式的解法

(1)一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)

解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

(2)高次不等式

解高次不等式常用“数轴标根法”。一般地，设多项式

F(x)=a(x-a1)(x-a2)„(x-an)(a≠0)

它的n个实根的大小顺序为a1

(-∞,a1)，(a1,a2)，„，(an-1,an),(an,+∞)

自右至左给这些区间编上顺序号，则当a>0时有：

①在奇数区间内，F(x)>0。②在偶数区间内，F(x)<0

(4)分式不等式

分式不等式的等价变形：

f(x)g(x)0>0f(x)·g(x)>0≥0 g(x)0g(x)g(x)f(x)f(x)

(5)无理不等式

两类常见的无理不等式等价变形：

f(x)0f(x)0或f(x)≥g(x) g(x)0g(x)02f(x)g(x)f(x)0 f(x)

(6)指数不等式与对数不等式

①当0ag(x)f(x)

②当a>1时a(fx)>ag(x)f(x)>g(x)logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0

(7)含参数不等式

对于解含参数不等式，要充分利用不等式的性质。对参数的讨论，要不“重复”不“遗漏”。

5.含有绝对值的不等式

(1)两个基本定理

定理1：||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(a、b∈R)

定理2：||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|(a、b∈R)

应理解其含义，掌握证明思路以及“=”号成立的条件。

(3)解绝对值不等式的常用方法

①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式。

②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形

|x|0)|x|>ax2>a2x>a或x<-a(a>0)

一般地有：

|f(x)|g(x)f(x)>g (x)或f(x)

四、思想方法

1.不等式中常见的基本思想方法

(1)等价转化。具体地说，就是无理化为有理，分式化为整式，高次化为低次，绝对值化为非绝对值，指数、对数化为代数式等。

(2)分类讨论。分类讨论的目的是处理解决问题过程中遇到的障碍，在无障碍时不要提前进行分类讨论。

(3)数形结合。有些不等式的解决可化为两个函数图像间的位置关系的讨论等几何问题。

(4)函数方程思想。解不等式可化为解方程或求函数图像与x轴交点的问题，根据题意判断所求解的区间。

如“标根法”实际上就是一种函数方程思想。

2.证明不等式的常用方法

除了课本上介绍的证明不等式的三种基本方法外，还有如下常用方法：

(1)放缩法

若证明“A≥B”，我们先证明“A≥C”，然后再证明“C≥B”，则“A≥B”。

(2)反证法

反证法是通过否定结论导致矛盾，从而肯定原结论的一种方法。

(3)数学归纳法

证明与自然数n有关的不等式时，常用数学归纳法。此法高考中已多次考查。

(4)变量代换法

变量代换是数学中的一种常用的解题方法，对于一些结构比较复杂，变化较多而关系不太清楚的不等式，可适当地引进一些新的变量进行代换，以简化其结构。其代换技巧有局部代换、整体代换、三角代换、增量代换等。

(5)函数方法

通过利用函数的性质，如单调性、凹凸性、有界性、实根存在的条件等证明不等式的方法称为函数方法。

(6)构造方法

不等式证明中的构造方法，主要是指通过引进合适的恒等式、数列、函数、图形及变量等辅助手段，促使命题转化，从而使不等式得证。此法技巧要求较高，高考试题中很少见。

第五篇：课时九 基本不等式与不等式基本证明

第一部分：基本不等式变形技巧的应用

基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积(或和)为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。

技巧一：加减常数

例

1、求函数yx

点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。

技巧二：巧变常数

例

2、已知0x

点评：形如f(x)x(1ax)或f(x)x2(1ax2)等可有两种变形方法：一是巧乘常数;二是巧提常数，应用时要注意活用。

技巧

三、分离常数

例

3、已知x

5452121x1(x1)的值域。 ，求函数y=x(1-2x)的最大值。 ，则f(x)x3x32x4542有() 32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。

技巧

四、活用常数

例

4、若x,yR且满足

点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。

技巧

五、统一形式

例

5、已知a,b,cR，求(abc)(4x16y1，求x+y的最小值。 1

ab1

c)的最小值。

点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一(如求函数yxx2(0x1)可变形为y第二部分：均值定理证明不等式的方法技巧

22

。 x(1x)等)

1.轮换对称型

例1 若a,b,c是互不相等的实数，求

证：abc

222

abbcac.

点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技

巧。

2.利用“1”的代换型

111

已知a,b,cR,且 abc1,求证 9.

abc例2

点评：做“1”的代换。

.

3.逆向运用公式型

a,bR,ab1求证： a



12

b

12

2.

例3已知

点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，

a

12,b

将

11

转换成 1a,1b,然后逆向运222

用均值不等式： 若

a,bR则 ab



ab2

.

4.挖掘隐含条件证明不等式

111

a,bR,ab1求证：11.

ab9 例4 已知

a,bR,ab1

12

ab说明a,bR,ab1的背后隐含ab

4ab

2点评:由于

着一个不等式ab

.

5.用均值不等式的变式形式证明不等式

ab例5已知a,b,cR,求证：



bc

22

ca

22



2abc.

点评：本题的关键在于对ab,bc,ca的处理， 如果能找出

ab与ab间的关系，问题就可以

222222

解决，注意到



ab2ab2ab

22





ab2

2ab

22

ab 其中a,b,cR即可。解题时要注意a

b2ab的

ab

变式应用。常用



ab2

(其中a,bR)来解决有关根式不等式的问题.

