三个数基本不等式

第一篇：三个数基本不等式

基本不等式的证明

重要不等式及其应用教案

教学目的

(1)使学生掌握基本不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3+b3+c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式.

(2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力.

教学过程

一、引入新课

师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法?它的理论依据是什么?

生：求差比较法，即

师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的.我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法.

如果a、b∈R，那么(a-b)2属于什么数集?为什么?

生：当a≠b时，(a-b)2>0，当a=b时，(a-b)2=0，所以(a-b)2≥0.即(a-b)2∈

R+∪{0}.

师：下面我们根据(a-b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法.

二、推导公式

1.奠基

师：如果a、b∈R，那么有

(a-b)2≥0.

①

把①左边展开，得

a2-2ab+b2≥0， ∴a2+b2≥2ab.

②

②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍.这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立.由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件.②式中取等号的充要条件是什么呢?

师：充要条件通常用“当且仅当”来表达.“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的.所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).

以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法.以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式.现在让我们共同来探索.

2.探索

师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果.先考查三个实数.设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有

a2+b2≥2ab; b2+c2≥2bc; c2+a2≥2ca.

把以上三式叠加，得

a2+b2+c2≥ab+bc+ca

③

(当且仅当a=b=c时取“=”号).

以此类推：如果ai∈R，i=1，2，„，n，那么有

④

(当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号).

④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况.③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加.

3.再探索

师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢?先考查两个实数的立方和.由于

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)，

启示我们把②式变成

a2-ab+b2≥ab，

两边同乘以a+b，为了得到同向不等式，这里要求a、b∈R+，得到

a3+b3≥a2b+ab2.

⑤

考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢?

生：由③式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代⑤式，得到

b3+c3≥b2c+bc2， c3+a3≥c2a+ca2.

三式叠加，并应用公式②，得

2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)

≥a·2bc+b·2ca+c·2ab=6abc.

∴a3+b3+c3≥3abc

⑥

(当且仅当a=b=c时取“=”号).

师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍.同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n次方的和会有什么结果.这些问题留给同学们课外去研究.

4.推论

师：直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式.

⑦

(当且仅当a=b时取“=”号).

这就是课本中定理1的推论.

⑧

(当且仅当a=b=c时取“=”号).这就是课本中定理2的推论.

当ai∈R+(i=1，2，„，n)时，有下面的推广公式(在中学不讲它的证明)

⑨

(当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号).

何平均数.⑨式表明：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这是一个著名的平均数不等式定理.现在只要求同学掌握n=

2、3时的两个公式，即⑦和⑧.

三、小结

(1)我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧.它们之间的关系可图示如下：

(2)上述公式的证法不止综合法一种.比如公式②和⑥，在课本上是用比较法证明的.又如公式⑦也可以由①推出;用⑦还可以推出⑧;由⑦、⑧也可以推出②、⑥.但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数.

四个公式中，②、⑦是基础，最重要.它们还可以用几何法或三角法证明.

几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222则a+b=c表示以斜边c为边的正方形的面积.而

+

如上左图所示，显然有

(当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图).这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过.

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°， AB=c， BC=a，AC=b，则

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2

=a2+b2 (∵sin2A≤1)

(当且仅当sinA=1，A=45°，即 a=b时取“=”号).

2三、应用公式练习

1.判断正误：下列问题的解法对吗?为什么?如果不对请予以改正.

a、b∈R+.若tgα、ctgα∈R+.解法就对了.这时需令α是第

一、三象限的角.]

改条件使a、b∈R+;②改变证法.a2+ab+b2≥2ab+ab=3ab.]

师：解题时，要根据题目的条件选用公式，特别注意公式中字母应满足的条件.只有公式①、②对任何实数都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正实数(事实上对非负实数也成立).

2.填空：

(1)当a________时，an+a-n≥________;

(3)当x________时，lg2x+1≥_________;

(5)tg2α+ctg2α≥________;

(6)sinxcosx≤________;

师：从上述解题中，我们可以看到：(1)对公式中的字母应作广义的理解，可以代表数，也可以代表式子.公式可以顺用，也可以逆用.总之要灵活运用公式.(2)上述题目中右边是常数的，说明左边的式子有最大或最小值.因此，在一定条件下应用重要不等式也可以求一些函数的最大(小)值.(3)重要不等式还可以用于数值估计.如

表明任何自然数的算术平方根不大于该数加1之半.

四、布置作业

略.

教案说明

1.知识容量问题

这一节课安排的内容是比较多的，有些是补充内容.这是我教重点中学程度比较好的班级时的一份教案.实践证明是可行的，效果也比较好.对于普通班级则应另当别论.补充内容(一般式，几何、三角证法等)可以不讲，例题和练习也须压缩.但讲完两个定理及其推论，实现教学的基本要求仍是可以做到的.还应看到学生接受知识的能力也非一成不变的.同是一节课，讲课重点突出，深入浅出，富有启发性，学生就有可能举一反

三、触类旁通，获取更多的知识.知识容量增加了，并未增加学生的负担.从整个单元来看，由于压缩了讲课时间，相应的就增加了课堂练习的时间.反之，如果学生被动听讲，目标不清，不得要领，内容讲得再少，学生也是难以接受的.由此可见，知识容量的多少，既与学生的程度有关，与教学是否得法也很有关系.我们应当尽可能采用最优教法，扩大学生头脑中的信息容量，以求可能的最佳效果.

2.教学目的问题

近年来，随着教改的深入，教师在确定教学目的和要求时，开始追求传授知识和培养能力并举的课堂教学效果.在培养学生的能力方面，不仅要求学生能够运用知识，更重要的是通过自己的思考来获取知识.据此，本节课确定如下的教学目的：一是在知识内容上要求学生掌握四个公式;二是培养学生用综合法进行推理的能力.当然，学生能力的形成和发展，绝不是一节课所能“立竿见影”的.它比掌握知识来得慢，它是长期潜移默化的教学结果.考虑到中学数学的基本知识，大量的是公式和定理，如能在每一个公式、定理的教学中，都重视把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来，天长日久，肯定会收到深远的效果.

3.教材组织与教法选用问题

实现上述教学目的，关键在于组织好教材，努力把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来.教材中对定理1和定理2的安排，可能是为了与前面讲的比较法和配方法相呼应.但这容易使人感到这两个定理之间没有什么内在联系，又似乎在应用定理时才能用综合法.事实上，可以用比较法证明两个数的平方和或三个数的立方和的不等式，但当n>3，特别对n是奇数时，用比较法就困难了(因为这时难以配方与分解因式).因此不具有一般性.而对综合法，学生在初中证几何题时已多次用过了(只是课本上没有提到这个名称).现行课本中两个不等式定理及其推论，是著名的平均值不等式：

和它的等价形式当

n=2，3时的特殊情况(当n=2时，ai的取值有所变化).在中学不讲一般形式，只讲特殊情况是符合大纲要求的.由于普遍性总是寓于特殊性之中，因此，这两个特例应是一般式的基础.同时，这两个特例之间应有紧密的联系，在推导方法上也应该与一般式的证明有共性.这就是本教案的设计思想，因而改变了现行课本的证法.

这里，我们用由定理1先推出一个辅助不等式

a3+b3≥a2b+ab2，

然后经迭代、叠加，推出不等式

a3+b3+c3≥3abc，

这种方法具有一般性.事实上，引入一个一般的辅助不等式

an+bn≥an-1b+abn-1(n>1)，

由迭代、叠加，再应用数学归纳法就可以证出公式

正因为上述证法具有一般性，即揭示了证法的本质(共性)，就必然有利于递推与探索.又由(a-b)2≥0非常容易推出a2+b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式.于

2ab，因此，凡能用配方法证明的问题，必能用基本不等式证明，反之亦真.可见配方法的重要作用.它的重要性应在上一节比较法中就予以强调.

当学生在教师的指导下和教师一起探索问题时，这个探索本身就是培养学生今后独立去获取知识的过程.

第二篇：基本不等式教学反思

我对这节课做了如下的反思：

一.在教学过程中要充分发挥学生的主体地位

在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位;或者学生会因为长时间的习惯于听老师来讲解而忘记自己是课堂的主人。

在这节课中，我设计了多个让学生讨论的环节，但是当我说了同学们可以和自己的同桌讨论一下自己获得的结论之后教室里还是会很安静。这样的课堂活动经过了一分钟后，我不得不自己来讲解我设计好的问题。此时我感觉到这节课已经失败了，因为我占据了本该属于学生的时间。

二.要设计好教学问题

在教学中应合理设计教学中所要用的问题，我设计的学生互动环节为什么没有成功呢?我想很大的原因是我没有设计好问题，在提问题时没有明确我要求他们要给我什么样的结果。在这节课中，我大部分的问题都是这样问的：请同学们自己首先来做一下这道题目，然后跟自己的同桌讨论一下自己的结果是否正确。当学生听到这样的问题时，他们首先会自己一个人去完成题目，而不会跟自己的伙伴合作完成。而且在数学教学中对问题的梯度设计很重要，因为新课程很强调概念的形成过程，而概念的产生是一个抽象的过程，所以在教学时要非常好的展示给学生概念是怎么产生的，而这个教学环节就要求教师能够设计好问题的梯度。 三.要学会设计有深度的问题

在本节课的教学中，我问的最多的问题就是：同学们明白了没有啊，或者对不对啊，是不是这样的啊这些肤浅的问题。而从课堂效果看，这些问题并没有调动学生的学习积极性，学生也只是机械的回答一下：是或者不是，对或者不对。使学生跟老师之间的沟通成了一种机械的问答过程。所以在以后的教学中我应该更加重视对问题深度的要求。

以上就是我对本节课的教学反思：多发挥学生的主体性地位，设计好教学问题并且要学会提有深度的教学问题。

第三篇：《基本不等式》教学设计

基本不等式

教材分析

本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。 课程目标分析

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重、难点分析

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式abab的2证明过程及应用。

难点：

1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

教学准备

多媒体课件、板书

教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 具体过程安排如下：

一、 创设情景，提出问题;

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现

《基本不等式》教学设计

实.基于此,设置如下情境:

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 [问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab2ab。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

二、抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有ab2ab，当且仅当a=b时，等号成立。 [问] 你能给出它的证明吗?

学生在黑板上板书。

特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab2ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么?

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.答案：

222222abab(a,b0)。 2【归纳总结】

ab，当且仅当a=b时，等号成立。 2ab我们称此不等式为基本不等式。 其中称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的

2如果a,b都是正数，那么ab几何平均数。

三、理解升华：

1、文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式

已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?

两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3、符号语言叙述： 若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。 22abab; 2[问] 怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论，交流看法，师生总结)

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即ab仅当a=b时，取等号，即ababab。

24、探究基本不等式证明方法： [问] 如何证明基本不等式?

(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。)

2(ab)0展开证明。

方法一：作差比较或由 方法二：分析法(完成课本填空)

设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。

《基本不等式》教学设计

abab

① 2只要证ab

② 要证②,只要证ab

0

③ 要证③,只要证()20 ④ 要证显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立 。

点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

5、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式ababab(a,b0)ab(a,b0)22的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CDab

D

ab

ab

2 ba BAOC

几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦(直径是最长的弦);或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

四、探究归纳

例1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小? 例2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大? 结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值; 若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。 简记为：“一正、二定、三相等”。

五、领悟练习： 公式应用 (1)若x0,x1的最小 x值为________,此时x_________.

(1) 若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____。

六、反思总结，整合新知：

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力;帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平. 老师根据情况完善如下：

一个不等式：若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。 22两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：七字口诀“一正二定三相等”

七、布置作业：

第四篇：基本不等式教学反思200711

“基本不等式”教学反思

周开芹

根据新课标的要求，本节的重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，难点是用基本不等式求最值。本节课是基本不等式的第一课时。

因此我在本节课的设计中通过动画和图形的演示，让学生看到基本不等式的几何意义，直观生动。也从代数证明和几何证明两方面说明基本不等式的正确性。由于要求学生在课前预习，并辅以多媒体，所以整个引入过程比较快。

在新课讲解方面，我仔细研读教材，发现本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。如何用好基本不等式，需要学生理解六字方针：一正二定三等。这是比较抽象的内容。尤其是“定”的相关变化比较灵活，不可能在一节课解决。因为我把这部分内容放到第二节课。本节课主要让学生掌握“正”“等”的意义。

我设计从例一入手，第一小题就能说明“积定和最小”，第二小题说明“和定积最大”。通过这道例题的讲解，让学生理解“一正二定三等”。然后再利用这六字方针就最值。这是再讲解例二，让学生熟悉用基本不等式解题的步骤。然后让学生自己解题。

巩固练习中设计了判断题，让学生理解六字方针的内涵。还从“和定”、“积定”两方面设计了相关练习，让学生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。

课堂实施的过程中以学生为主体。包括课前预习，例题放手让学生做，还有练习让学生上台板书等环节，都让学生主动思考，并在发现问题的过程中展示典型错误，及时纠错，达到良好的效果。 由于层次清晰，学生掌握得比较好。

不足之处是硬件调试没有到位，影响了上课的效果和速度。对于关键词“当且仅当”没有及时为学生讲解;题目的难度可以适当加大，让基础好能力强的学生得到更充分的锻炼。

2007年11月

第五篇：三个正数的基本不等式

三个正数的算术-几何平均数 例1.(1)求函数y=(x-1)2(3-2x) (1

(2)求函数yx

值.

练习:

1.设x>0,则f(x)4x值为(). A.42B.4-2 24(x1) 最小2(x1)1的最大22x

C.不存在D.5/2

2.已知x,y∈R+,且x2y=4,求x+y的最小值及达到最小值时x,y的值.

3.设a>2,b>3,则a+b+1的(a2)(b3)最小值为.

4.设0

1.已知a,b,c∈R+,求证:

(abc)(1119). abbcac2

2.设x、y、z>0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.