三个数的基本不等式

第一篇：三个数的基本不等式

证明不等式的基本方法

一、比较法

(1)作差比较法

3322【例1】已知a,b都是正数，且ab，求证：ababab

【1-1】 已知ab，求证：a3b3ab(ab)

【1-2】已知ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2)

(2)作商比较法

abba【例2】已知a,b都是正数，求证：abab，当且仅当ab时，等号成立.【2-1】已知a,b,c都是正数，求证：abc

二、综合法与分析法

(1)综合法

【例3】已知a,b,c0,且不全相等，求证：a(bc)b(ca)c(ab)6abc

【3-1】已知a1,a2,...,anR，且a1a2...an1, 求证：(1a1)(1a2)...(1an)21 n2222222a2b2cabcbaccab.【3-2】已知a,b,cR，用综合法证明：

(1)(abab1)(abacbcc2)16abc; (2)2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)

(2)分析法

【例4】设x0,y0，且xy1.求证：

【4-1】已知a,b,c是不全相等的正数 .求证：

三、反证法与放缩法 (1)反证法

【例5】已知x,y0,，且xy2,，试证：

【5-1】设0a,b,c1，证明：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于

11

18 xyxy

bcacababc abc

1x1y

,中至少有一个小于2. yx

(2)放缩法

【例6】用放缩法证明不等式 ：

【6-1】用放缩法证明不等式 ：

【6-2】用放缩法证明不等式 ：

1)1

1111...1(m1,mN*) 2m1m22m

11111n122...2(n2,3,4,...) 2n123nn

...nN* (n1)

2(nN*) 【6-3】用放缩法证明不等式 ：

...2

四、数学归纳法

11S(a). 【例7】在各项均为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足nn

2an

(1)求a1,a2,a3;(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明。

【7-1】.已知数列{an}前n项和为Snan()

12

n1

2(nN*).

(1) 令bn2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求{an}的通项公式; (2)设cn

22

【7-1】已知各项为正数的数列{an}满足an12ananan1，a2a42a34.

n15n

an，且{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并予以证明. n2n1

(1)求数列{an}的通项公式;

(2) 令bnan2，设数列{bn}的前n项和为Tn，试比较并予以证明.

Tn1122log2bn12

与的大小，

2log2bn14Tn

第二篇：三个正数的基本不等式

三个正数的算术-几何平均数 例1.(1)求函数y=(x-1)2(3-2x) (1

(2)求函数yx

值.

练习:

1.设x>0,则f(x)4x值为(). A.42B.4-2 24(x1) 最小2(x1)1的最大22x

C.不存在D.5/2

2.已知x,y∈R+,且x2y=4,求x+y的最小值及达到最小值时x,y的值.

3.设a>2,b>3,则a+b+1的(a2)(b3)最小值为.

4.设0

1.已知a,b,c∈R+,求证:

(abc)(1119). abbcac2

2.设x、y、z>0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.

第三篇：不等式的基本性质教案

课题：不等式的基本性质 课型：新授课 教学目标：

知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。

过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。

情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。

教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。 教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。 教学过程：

一.新知引入

以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。

说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明： (i) 设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的左边时，a与b有着怎样的大小关系?(a

(ii) 设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的右边时，a与b有着怎样的大小关系? (a>b) (i)(ii)边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。

由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。

a>b a-b>0. ab(或a

二.练习巩固

例1. 比较(x3)(x2)和(x4)(x9)的大小.(答案：> )

让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是作差比较法。

三.以旧推新

在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本性质?我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质?

提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系，而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质? 回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。 由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质： 性质1：a>bbb,b>ca>c (单向传递性)

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质?尝试和学生一起思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。

尝试写出：

a>bac>bc a>bac>bc 学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c的取值有关，从而总结得出以下性质：

性质3：a>bac>bc 性质4：a>b，c>0ac>bc a>b，c<0ac

性质5：a>b>0anbn(nN,n2) 性质6：a>b>0nanb(nN,n2)

给学生演示性质5,6的证明过程。

说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号(是否大于0)。

四.推论证明

利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。 性质3推论：

(i) 如果a+b>c，那么a>c-b (ii) 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d (iii) 如果a>b,c>d,那么a-d>b-c 对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演示推论(i)(ii)的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论(iii)让一个学生根据前面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。 性质4推论：

(i) 如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd (ii) 如果a>b>0,c>d>0，那么

ab dc让学生思考片刻证明过程，推论(i)让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。 推论(ii)由教师引导思考过程和方向：

要证ab1111，即证，在已知c>d>0的前提，问学生的证法。 dcdcdc学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。

让学生回答11的证明过程： dc由c>d>0，得出cd>0,c-d>0,

111cd0, 则0， cddccd11 dcaa0 dc接着证明推论(ii)： 由a>0及性质4，得由a>b>0, c>0,

1ab0及性质4，得0 cccab 由性质2得，。

dc五.小结与作业

小结：回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是作差比较法，回顾不等式的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。

作业：课后习题1.1的第1-4题。

第四篇：证明不等式的基本方法二

综合法与分析法

1教学目的：教学重点：综合法、分析法

教学难点：不等式性质的综合运用

一、复习引入：

1.重要不等式：

如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

2.定理：如果a,b是正数，那么

ab

222ab2ab(当且仅当ab时取""号). ab2：ab≤，ab≤()4. b

aa

b≥2(ab>0)，当且仅当a=b时取“=”号;

5.比较法之一(作差法)步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二(作商法)步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

二、讲解新课：

(一)1.综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)2.用综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB

3.综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质

(二)证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都2.用分析法证明不等式的逻辑关系是：BB1B2BnA

3.分析法的思维特点是：4.分析法的书写格式：

要证明命题B为真，

只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

„„

这只需要证明命题A而已知A为真，故命题B

例1：已知a,b是正数，且ab，求证：a3b3a2bab

2转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止. 其逻辑关系是：BB1B2BnA 证明：∵a0,b0,且ab

∴要证a3b3a2bab2,只要证(ab)(a2abb2)ab(ab), 只要证a2abb2ab,只要证a22abb20. ∵ab0,∴(ab)20即a22abb20得证.注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通

联想尝试，就是由已知的不等式及题设条件出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其逻辑关系是：

AB1B2BnB

法二：证明：∵a0,b0,且ab ∴a3ab22a2b,b3ba22ab2,

∴a3ab2b3ba22a2b2ab2,∴a3b3a2bab2

aab

法三 aab

注：综合法的思维特点是：执因索果. 基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。

例2.(P23例1)已知a,b,c是不全相等的正数,求证

a(bc)b(ca)c(ab)6abc

证明：∵bc≥2bc,a>0,

∴a(bc)≥2abc① 同理 b(ca)≥2abc②

c(ab)≥2abc③

22

22

因为a，b，c不全相等，所以b2c2≥2bc, c2a2≥2ca, a2b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc 法二：abbcca

3abc

333

3法三：ab2ac2bc2ba2ca2cb26法四：ab2ba2

2法五：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)33a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2) 例3(P23例2).已知a1,a2,anR，且a1a2an1，求证

(1a1)(1a2)(1an)2

n

改变:同样的条件,怎样证明: (2a1)(2a2)(2an)3

n

证明：a1R,1

1a

1

a1a1即

a12a1，同理1a22a2„„1an2an

因为a1,a2,anR，由不等式的性质，得

(1a1)(1a2)(1an)2

n

a1a2an2

n

因为ai1时，1ai2ai取等号，所以原式在a1a2an1时取等号 变式：已知a1,a2,anR，且a1a2an1，求证

(2a1)(2a2)(2an)3

n

例

4、(P24例3)求证2证(略)

四、课堂练习： 1.设a, b, c  R， 1求证：ab

736



2

2(ab)

2求证：ab

22

bc

ca

22

2(abc)

3若a + b = 1,求证：a

12

b

12

2

证：1∵

ab2

22

(

ab2

2222

)0∴

ab2

22

|

ab2

|

ab2

∴a2b2(ab)

2同理：b2c2

(bc)， ca

22



22

(ca)

三式相加：a2b23由幂平均不等式：

bc

22

ca

22

2(abc)

12

(a

12

b

12

(a)

12

)(b2

12

)

(ab1)



22



1∴a

12

b

12

2

2.已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2b2)(c2d2) 分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即证2abcd≤b2c2+a2d2

即证0≤(bc-ad)2

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,

综合(1)、(2)可知:分析二:用综合法

证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)+(bc-ad)≥(ac+bd)

∴(ab)(cd)≥|ac+bd|≥ac+22

22222

五、课后作业

P25习题2。2

1、

2、

3、4

第五篇：《基本不等式》的教学实践反思

编号：570041 《基本不等式》的教学实践反思

三亚榆林八一中学

王

海

本学期学习必修5《基本不等式》，我上完这节课后感触颇深，在教材的处理和学生的互动方面有所收获，我将这些经验总结起来，供各位同行参考，希望大家提出宝贵意见。

一、教学目标

本小节的内容包括基本不等式的证明及其意义;正数a，b的几何平均数的两种解释;一个不等式链ab222ab2ab21a1b;培养了学生发散的思维能力和数学探究能力，使他们对数学能保持浓厚的兴趣。

二.本小节的教学重点是理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义;难点是利用基本不等式推导不等式ab21a1b;关键是对基本不等式的理解掌握。

三.教材处理及教学设计

1、证明均值不等式

教材上：x，y∈R，(x-y)02xy2222xy, 当且仅当x=y时，等号成立。

令 x=a, y=b, 所以 等号成立。

xy22xyab2ab,当且仅当a=b时，接下来提问学生能否有别的方法证明该不等式，没想到学生思维活跃，提出了两种证法，令我始料不及，收获很大。

证法2：当a>0,b>0时，有(a-b)20 a2+b22ab

(a+b)2 4ab

 a+b-2ab(舍去)或 a+b2ab ab2ab

当且仅当a=b时，等号成立

证法3：当a>0,b>0时，(a—b)20 a+b-2ab0

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