证明不等式的基本方法

第一篇：证明不等式的基本方法

证明基本不等式的方法

2.2 证明不等式的基本方法——分析法与综合法

●教学目标：

1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点.2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. ●教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤

●教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理

●教学过程：

一、复习引入：

1、复习比较法证明不等式的依据和步骤?

2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法

二、讲授新课：

1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法 综合法又叫顺推证法或由因导果法。

用综合法证明不等式的逻辑关系是：例

1、已知a,b,c是不全相等的正数，求证： . 分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明)

解：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③

因为a,b,c为不全相等的正数，所以以上三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.点评：(1)综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。

(2)在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.变式训练：已知a,b,c是不全相等的正数，求证： 例

2、已知 且 ，求证： 分析：观察要证明的结论，左边是 个因式的乘积，右边是2的 次方，再结合 ，发现如果能将左边转化为 的乘积，问题就能得到解决。

2、分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法 这是一种执果索因的思考和证明方法。

①用分析法证明不等式的逻辑关系是： ②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故B必真。

例3. 求证： 分析：观察结构特点，可以利用分析法。

点评：①分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通!

②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难，常用分析法.③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综

合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想方法.

例

4、已知 ，求证： 分析：要证的不等式可以化为 即 观察上式，左边各项是两个字母的平方之积，右边各项涉及三个字母，可以考虑用

三、课堂练习：

1、已知a,b,c,d∈R,求证：ac+bd≤ 分析一：用分析法

证法一：(1)当ac+bd≤0时,显然成立 (2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcd≤b2c2+a2d2即证0≤(bc-ad)

2因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二：用综合法 证法二：(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)

2∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd故命题得证 分析三：用比较法

证法三：∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤ 点评：用分析法证明不等式的关键是,寻求不等式成立的充分条件.因此,经常要对原不等式进行化简,常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做这些变形是否可以逆推,若不能逆推,则不可使用.2、已知 且 求证：(分析法)

四、课堂小结：

综合法与分析法证明不等式的方法与步骤

五、课后作业：

课本P25—26 习题2.2—2,3,4,5,6,7,8,9

第二篇：证明不等式的基本方法一

------ 比较法

教学目的：

以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用教学重点：比较法的应用

教学难点：常见解题技巧

一、复习引入：

两实数的大小关系。

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在图6一1中，点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么ab. 我们再看图6一1，ab表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：

若ab，则ab是正数;逆命题也正确.

类似地，若ab，则ab是负数;若ab，则ab0;它们的逆命题都正确.

这就是说：

abab0; b a abab0; A B abab0. 图6—

1由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.

二、讲解新课：

思考一：

3322已知a,b是正数，且ab，求证：ababab

尝试：作差比较，作差——变形——定符号

证明：∵(ab)(abab)=a2(ab)b2(ab)

=(ab)(ab)=(ab)(ab)

2∵a,b是正数，且ab,∴ab0,(ab)>0

3322∴(ab)(abab)>0,∴ababab 3322332222

2注：比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法

比较法之一(作差法)步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

例2(P21例)如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为

时糖的质量分数增加到a，若上述溶液中添加mkg白糖，此bam，将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。 bm

ama 此即：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：bmb

分析：这是一道分式不等式的证明题，依比较法证题步骤先将其作差，然后通分，由分子、分母的值的符

证明：amab(am)a(bm)m(ba) bmbb(bm)b(bm)

∵a,b,m都是正数，并且a 0 ,b  a > 0 ∴amam(ba) 0即bmbb(bm)

思考：若a > b，结果会怎样?若没有“a < b”这个条件，应如何判断? 例3.在⊿ABC中a、b、c分别是A、B、C的对边，S是三角形的面积求证： c2a2b24ab43S

222证明：在⊿ABC中cab2abcosC，S1absinC

2c2a2b24ab4S2abcosC4ab23absinC所以134ab(1cosCsinC)4ab[1C)]226

由于a，b∈(0，+∞)又sin(C)1 6

222则4ab[1sin(C)]0即cab4ab43S 6

abab2思考二： 例4.设a, b  R+，求证：ab(ab)

方法2：作商法abba

a1b 理论根据： aab,b01bab0

操作方法：“作商——变形——判断商式大于1或小于1”

证明：(作商)aabb

(ab)ab

2aab2bba2a()bab2

a当a = b时，()bab2

1aba0,()2bab2a当a > b > 0时，1,b1

ab

2a当b > a > 0时， 01,b

∴ab(ab)abab2aba0,()2b1(其余部分略)

注：1.比较法之一(作差法)步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

2.比较法之二(作商法)步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

三、练习

1.求证：x2 + 3 > 3x

证明：∵(x2 + 3)  3x = x3x()()3(x)

∴x2 + 3 > 3x

2. 已知a, b都是正数，并且a  b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 232232232230

4证明：(a5 + b5 )  (a2b3 + a3b2) = ( a5  a3b2) + (b5  a2b3 )

= a3 (a2  b2 )  b3 (a2  b2) = (a2  b2 ) (a3  b3)

= (a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵a  b，∴(a  b)2 > 0∴(a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2) > 0

即a5 + b5 > a2b3 + a3b

23.例4后半题

四、小结 ：我们一起学习了证明不等式的最基本、最重要的方法：比较法，

1.比较法之一(作差法)步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

2.比较法之二(作商法)步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

五、作业

P23习题2。

11、

2、

3、4

第三篇：不等式证明的基本方法 经典例题透析

经典例题透析

类型一：比较法证明不等式

1、用作差比较法证明下列不等式：

;

(a，b均为正数，且a≠b)

(1)

(2)

思路点拨：(1)中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号;(2)中作差后重新分组进行因式分解。

证明：

(1)

当且仅当a=b=c时等号成立，

(2)

(当且仅当a=b=c取等号).

∵a>0, b>0, a≠b,

∴a+b>0, (a-b)2>0,

∴

∴

.

，

总结升华：作差，变形(分解因式、配方等)，判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。

举一反三：

【变式1】证明下列不等式：

(1)a2+b2+2≥2(a+b)

(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)

(3)a2+b2≥ab+a+b-1

【答案】

(1)(a2+b2+2)-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0

∴a2+b2+2≥2(a+b) (2)证法同(1)

(3)2(a2+b2)-2(ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0

∴2(a2+b2)≥2(ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1

【变式2】已知a，b∈

，x，y∈

，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2

【答案】

ax2+by2-(ax+by)2

=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy =a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy =ab(x-y)2≥0 ∴ax2+by2≥(ax+by)2

2、用作商比较法证明下列不等式：

(a，b均为正实数，且a≠b)

，且a，b，c互不相等)

(1)

(2)(a，b，c∈

证明：

(1)∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.

∴，

∵a, b为不等正数，∴

∴

，∴

(2)证明：

不妨设a>b>c，则

∴

所以，

总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。

举一反三：

【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b2，b>2

∴

∴

∴

【变式2】已知a，b均为正实数，求证：aabb≥abba

【答案】

∵a>0, b>0, ∴ aabb与abba均为正，

∴，

分类讨论可知(分a>b>0, a=b>0, 0

，当且仅当a=b等号成立，

∴ aabb≥abba.

类型二：综合法证明不等式

3、a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 证明：

法一：由b2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2)≥2abc，

同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc

∵a,b,c不全相等，∴上述三个等号不同时成立，

三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 法二：∵a，b，c是不全相等的正数，

∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数，

由三个数的平均不等式得：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)

∴不等式成立.

总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。

举一反三：

【变式1】a , b, m∈R+，且a

【答案】

∵00, ∴am

∴am+ab

.

∵b+m>0, ∴.

【变式2】求证lg9·lg11<1.

【答案】

∵lg9>0, lg11>0,

∴

∴ , ∴lg9·lg11<1.

,

4、若a>b>0，求证：.

思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.

证明：，

∵ a>b>0, ∴a-b>0, b>0, ,

∴ ,

∴

举一反三：

(当且仅当，即a=2，b=1的等号成立)

【变式】x, y,z∈R+, 求证：

证明：∵ x, y,z∈R+,∴

,

同理 ，

∴ ,

∴

，

，a2-2ac+c2

5、已知a,b>0，且2c>a+b，求证：

证明：要证

只需证：

即证：

∵a>0，只需证a+b<2c

∵已知上式成立，∴原不等式成立。

总结升华：

1.分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的

问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。

2.分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。

3.基本思路：执果索因

4. 格式：要证„„，只需证„„，只需证„„，因为„„成立，所以原不等式得证。

举一反三：

【变式1】求证：a3+b3>a2b+ab2(a，b均为正数，且a≠b)

【答案】

要证a3+b3>a2b+ab2，即证(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b)

∵a，b∈

，∴a+b>0 只需证a2+b2-ab≥ab，只需证a2+b2≥2ab 只需证(a-b)2≥0， ∵(a-b)2≥0显然成立 所以原不等式成立。

【变式2】a , b, m∈R+，且a

【答案】

∵ b>0且b+m>0,

.

∴

，∴

成立

∴ .

【变式3】求证：

【答案】

要证

只需证，而

，只需证

，只需证，

显然成立，所以原不等式得证。

【变式4】若a>1，b>1，c>1，ab=10求证：logac+logbc≥4lgc

【答案】

要证logac+logbc≥4lgc，只需证

只需证，只需证

∵，

∴成立

所以原不等式成立

【变式5】设x>0，y>0，x≠y，求证：

证明：要证

只需证

，只需证

只需证

因x>0，y>0，x≠y，所以x2y2[3(x-y)2+4xy]>0成立

所以

类型四：反证法证明不等式

6、已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于。

思路点拨：此题目若直接证，从何处入手?对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。

证明：假设原结论不成立，即，

则三式相乘有：„„①

又∵0

同理有：，

以上三式相乘得，这与①矛盾，

∴假设错误，原结论成立。

总结升华：反证法的基本思路是：“假设——矛盾——肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的。由于本题题目的结论是：三个数中“至少有一个不大于

”，情况比较复杂，会出现多个由异向不等式组

”，结构简单明了，成的不等式组，一一证明十分繁杂，而对结论的否定是三个数“都大于为推出矛盾提供了方便，故采用反证法是适宜的。

举一反三：

【变式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0

【答案】

假设a≤0

若a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，则b+c>-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 ，与题设矛盾

若a=0，则与abc>0矛盾，

∴必有a>0

同理可证：b>0，c>0

类型五：放缩法证明不等式

7、若a,b,c,dR+，求证：

思路点拨：记中间4个分式之和的值为m，显然，通过通分求出m的值再与

1、2比大小是困难的，可考虑运用放缩法把异分母化成同分母。

证明：记

∵a,b,c,dR+，

∴

∴1

总结升华：证后半部分，还可用“糖水公式”，即

常用的放缩技巧主要有：

① f(x)为增函数，则f(x-1)

进行放缩。

② 分式放缩如

③ 根式放缩如

举一反三：

;

【变式1】求证：

【答案】

∴

【变式2】 当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1

【答案】

∵n>2，∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴

∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)<1

类型六：其他证明不等式的方法

1. 构造函数法

8、已知a>2，b>2，求证：a+b

∵1-b<0，∴f(a)是减函数

当a>2时，f(a)

∴a+b

总结升华：不等式证明方法很灵活。分析不等式的结构特点，构造函数，借助函数单调性，使问题变得非常简单。

举一反三：

【变式】已知a≥3，求证：

【答案】

。

令(x≥0).

∵f(x)在x∈[0,+∞)上是递减函数，∴f(a-1)

故

。

2、三角换元法：

9、求证： [0,π]，

证明：∵-1≤x≤1，∴令x=cos,

则

∵-1≤sin≤1，

10、若x2+y2≤1，求证：

证明：设

则

11、若x>1，y>1，求证：

证明：设

则

12、已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：

证明：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设

则

总结升华：

①若0≤x≤1，则可令

②若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin (0≤θ<2π)

③若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan (0≤θ<2π)

④若x≥1，则可令，若xR，则可令

举一反三：

【变式1】已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd

【答案】

∵x2=a2+b2，∴不妨设

∵y2=c2+d2 ，∴不妨设

∴

∴xy≥ac+bd

【变式2】已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：

【答案】

由x>0,y>0，2x+y=1，可设

则

类型六：一题多证

13、若a>0，b>0，求证：

思路点拨：由于a>0，b>0，所以求证的不等式两边的值都大于零，本题用作差法，作商法和综合法，分析法给出证明。

证明：

证法一：作差法

∵a,b>0，∴a+b>0,ab>0

∴

证法二：作商法

，得证。

∵a>0,b>0,∴a+b>0，

∴得证。

证法三：分析法

要证

，只需证a3+b3≥(a+b)ab

只需证(a+b)(a2-ab+b2)≥(a+b)ab(∵a+b>0)

只需证a2-ab+b2≥ab

只需证(a-b)2≥0

∵(a-b)2≥0成立，∴得证 证法四：综合法

∵a>0,b>0，

∴同向不等式相加得：

举一反三：

【变式】已知

【答案】

证法一：

都是实数，且求证：

，

同理

证法二： 即

.

证法三：

要证

所以原不等式成立.

证法四：

原不等式等价于不等式

用比较法证明

且

，只需证

只需证

又

所以

证法五：

设

则

即

故可考虑用三角换元法.

证法六：

用向量的数量积来证明

设

，

第四篇：2．1证明不等式的基本方法：比较法

(一)教学目标

1.知识与技能: 掌握比较法证明不等式的方法。

2.过程与方法: 通过糖水(盐水)不等式引入比较法;通过对比较法的两种形式，加深对比较法的理解。

3.情态与价值：体会数学在日常生活中无所不在，培养数学兴趣。

(二)教学重、难点

重点：掌握比较法证明不等式的方法。 难点：比较法证明不等式的方法中的变形。

(三)教学设想 [创设问题情境]

一、作差比较法

3322例1 已知a,b都是实数,且ab,求证ababab

a例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为, b 若在上述溶液中再添mkg加白糖,此时溶液的浓度 am增加到,将这个事实抽象为数问学题,并给出证明. bm

解:可以把上述事实抽象如成下不等式问题:

ama,并ab且,则 已知a,b,m都是正数bmb

二、作商比较法

abba例3 已知a,b是正数,求证abab,

当且仅当ab时,等号成立.

abc 变式引申:求证:若a,b,cR,则aabbcc(abc)

3补充例题:已知a2,求证:loga(a1)log(a1)a 补充练习:若a,b,m,n都是正实数,且mn1,

试证明manbmanb

三、小结：两种方法的步骤。

四、作业

第五篇：§4.2.2证明不等式的基本方法—综合法与分析法

【学习目标】

能熟练运用综合法与分析法来证明不等式。

【新知探究】

1.用综合法证明不等式：从已知条件出发，利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，又称为顺推证法或由因导果法。

2.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件或充要条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立的方法叫分析法，又称为逆推证法或执果索因法。

3.不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法。我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达

【自我检测】

1.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的

A.充分条件 B.必要条件C.充要条件

2.若a>b>c，则D.既不充分又不必要条件 113+_______.(填“>”“=”“<”) abbcac

222222【典型例题】 例1.已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(bc)b(ca)c(ab)6abc.

变式训练：课本P25页习题2.2第2题

例2.已知x1x2x3xn1且x1,x2,,xn都是正数，求证：(1x1)(1x2)(1xn)2.例3.求证2736

变式训练：课本P26页习题2.2第3题

- 1 –“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” n

a2b2b2c2c2a

2abc. 例4.若a,b,c>0，求证：abc

变式训练：已知：abc0，求证：abbcca0.

例5.设a、b∈R，关于x的方程x2+ax+b=0的实根为α、β.若|a|+|b|<1， 求证：|α|<1，|β|<1.

变式训练：课本P26页习题2.2第6题

yyxx例6.是否存在常数C，使得不等式+≤C≤+对任意正数x、y恒成2xyx2yx2y2xy

立?试证明你的结论.

【课堂练习】课本P26页习题2.2第4，5，7，8，9题

- 2 –“天下事，必作于细”