基本不等式的应用教案

作为一位优秀的人民教师，通常会被要求编写教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。优秀的教案都具备一些什么特点呢？以下是小编收集整理的《基本不等式的应用教案》的相关内容，希望能给你带来帮助!

第一篇：基本不等式的应用教案

不等式的基本性质教案

课题：不等式的基本性质 课型：新授课 教学目标：

知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。

过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。

情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。

教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。 教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。 教学过程：

一.新知引入

以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。

说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明： (i) 设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的左边时，a与b有着怎样的大小关系?(a

(ii) 设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的右边时，a与b有着怎样的大小关系? (a>b) (i)(ii)边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。

由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。

a>b a-b>0. ab(或a

二.练习巩固

例1. 比较(x3)(x2)和(x4)(x9)的大小.(答案：> )

让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是作差比较法。

三.以旧推新

在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本性质?我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质?

提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系，而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质? 回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。 由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质： 性质1：a>bbb,b>ca>c (单向传递性)

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质?尝试和学生一起思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。

尝试写出：

a>bac>bc a>bac>bc 学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c的取值有关，从而总结得出以下性质：

性质3：a>bac>bc 性质4：a>b，c>0ac>bc a>b，c<0ac

性质5：a>b>0anbn(nN,n2) 性质6：a>b>0nanb(nN,n2)

给学生演示性质5,6的证明过程。

说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号(是否大于0)。

四.推论证明

利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。 性质3推论：

(i) 如果a+b>c，那么a>c-b (ii) 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d (iii) 如果a>b,c>d,那么a-d>b-c 对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演示推论(i)(ii)的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论(iii)让一个学生根据前面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。 性质4推论：

(i) 如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd (ii) 如果a>b>0,c>d>0，那么

ab dc让学生思考片刻证明过程，推论(i)让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。 推论(ii)由教师引导思考过程和方向：

要证ab1111，即证，在已知c>d>0的前提，问学生的证法。 dcdcdc学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。

让学生回答11的证明过程： dc由c>d>0，得出cd>0,c-d>0,

111cd0, 则0， cddccd11 dcaa0 dc接着证明推论(ii)： 由a>0及性质4，得由a>b>0, c>0,

1ab0及性质4，得0 cccab 由性质2得，。

dc五.小结与作业

小结：回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是作差比较法，回顾不等式的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。

作业：课后习题1.1的第1-4题。

第二篇：不等式的基本性质优秀教案

课时课题：第二章 第二节不等式的基本性质

课

型：新授课 授课人： 授课时间： 教学目标：

1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 2.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x>a”或“x

3.能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。

教学重难点：

重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. 难点：能根据不等式的基本性质进行化简. 教学过程：

一、复习引入，导入新课

师：我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗? 生：记得.

等式的基本性质1：在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得的结果仍是等式.

等式的基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式. 师：不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将加以验证. 设计意图：通过回顾等式的性质，为本节课类比等式的性质去探索不等式的性质做好铺垫，并且从学生已有的数学经验出发，有助于学生建立新旧知识之间的联系，让学生养成梳理知识体系的习惯。

二、情境导入：童言无忌(课件)

三岁的小凯幼儿园回家开始缠着他的爸爸说：“爸爸，你比我大多少岁啊?”爸爸放下手中的报纸笑眯眯的答道：“我比可爱的小凯大25岁呀，怎么了?”小凯高兴地跑开道：“再过25年我就和爸爸一样大唠”。 留下错愕的爸爸沉浸在“百感交集”中„„„„

设计意图：学生对故事很感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减。

三、新知探究

教师活动：展示课件，请同学们完成填空，并探究规律。

1、用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律：

(1) 5>3, 5+2 3+2 , 5-2 3-2 ; (2)–1<3 , -1+2 3+2 , -1-3 3-3 ; 学生活动：探究规律，交流讨论，解答上述问题，结果： (1) > 、 > (2) < 、 < 根据发现的规律填空: 当不等式两边加或减去同一个数(正数或负数)时,不等号的方向 师生共识：总结出不等式的性质：

板书：不等式的性质1 不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 字母表示为： 如果a>b，那么a±c > b±c 解决“童言无忌”的问题

2、继续探究，接着又出示(3)、(4)题：

(3) 6>2, 6×5 2×5 , 6×(-5) 2×(-5) ; (4) -2<3, (-2)×6 3×6 , (-2)×(-6) 3×(-6) (方法同上)又得到：

当不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变; 当不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变。

板书：不等式的性质2 不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 字母表示为：如果a>b,c>0,那么ac > bc.

3、继续探究，接着又出示(5)、(6)题：

(5) 6>2,

6×(-5)____2×(-5)

6÷ (-5)____2÷ (-5) ; (6) –2<3, (-2)×(-6)____3×(-6)

(-2) ÷(-6)____3÷ (-6) 会发现: 当不等式的两边同乘或同除以同一个负数时,不等号的方向______; 板书：不等式的性质 3 不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

字母表示为：如果a>b，c<0,那么ac < bc.

l2l2 的正确性 4.用不等式的基本性质解释416l2l2l2l

2师：在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为和，且有存

416416在，你能用不等式的基本性质来解释吗?

生：∵4π<16 l2l2

∴ ，又∵l20

416l2l2

根据不等式的基本性质2，两边都乘以l得

4162设计意图：通过自主探究，对比不等式的变化让学生得出不等式的基本性质.。这样，既教给学生类比，猜想，验证的问题研究方法，又培养了学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。通过两道题目的训练提升学生利用不等式基本性质解决问题的能力。并进一步熟悉不等式的基本性质。

5.例题讲解

将下列不等式化成“x>a”或“x

(1)x-5>-1;

(2)-2x>3;

生：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得

x>-1+5

即x>4;

(2)根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得

x<-3; 2说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否. 程序说明：教师对题目进行分析，并引导学生题目的处理方法，如何才能将下列不等式化成“x>a”或“x

讨论下列式子的正确与错误.

(1)如果a

(2)如果a

(3)如果a

(4)如果a

ab. cc

师：在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负.

本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流.

生：(1)正确

∵a

a+c

∴结论正确.

同理可知(2)正确.

(3)根据不等式的基本性质2，两边都乘以c，得

ac

所以正确.

(4)根据不等式的基本性质2，两边都除以c，得

所以结论错误.

师：大家同意这位同学的做法吗?

生：不同意.

师：能说出理由吗?

生：在(1)、(2)中我同意他的做法，在(3)、(4)中我不同意，因为在(3)中有a

在(4)中存在同样的问题，虽然c≠0,但不知c是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c>0,则有

ab ccabab,若 c<0，则有,而他只说出了一种情况，所以结果错误. cccc

师：通过做这个题，大家能得到什么启示呢?

生：在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否.

师：非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行.

生：不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条.

区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时，所得结果仍是等式;在不等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变. 联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上(或减去)，同时乘以(或除以，除数不为0)同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.

设计意图: 让学生通过尝试练习与交流讨论，加深对性质的理解和运用。题目中的不等式变形中，将同加、减、乘(或除以)具体数字换成了表示数的字母，渗透了分类讨论的数学思想，加大了难度，有助于学生能力的提升，为解不等式作好铺垫.在这个环节的教学过程中，放手让学生展示、说理、点评、争论，充分发挥学生学习的主体作用.程序说明：学生先独立练习，再小组交流、指导、检查，最后小组选派代表展示，其他小组进行点评、补充、质疑.

四、训练反馈

1.填空：如果a>b,那么

(1)3a 3b; (不等式性质 ) (2)-a -b; (不等式性质 ) (3)-a+2 -b+2 ; (不等式性质 )

ab(4)1 1. (不等式性质 )

222. 用“<” “>”填空：

(1)若3x>3y,则x y; (2)若-2x<-2y,则x y; (3)若5x+1<5y+1,则x y. 3.(1)若3x>6，则x ;

(2)若3x>6，则x ;

(3)若4x5>9，则4x 95，即4x 4，得x 1. 4.判断下列各题的结论是否正确?并说明理由. (1)若ax>b，且a>0，则x>b;

a(2)若ax>b，且a<0，则x>b;

a(3)若a>b，则ac2>bc2; (4)若ac2>bc2，则a>b. 5.若xay的条件是 . A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D. a≤0 程序说明：学生先独立练习，再小组交流、指导、检查，最后小组选派代表展示，其他小组进行点评、补充、质疑.

(二)训练二

6.有人说:因为5>3,所以5a>3a,你认为对吗?为什么? 7.把下列不等式化为x>a或x

(1)2x5>3 (2)3x2>4

程序说明：学生先独立练习，再小组交流、指导、检查，最后小组选派代表展示，其他小组进行点评、补充、质疑.

设计意图: 分层测评，意在尊重个体差异，面向全体，激发学生的学习热情，挖掘每一个学生的潜能，让不同层次的学生得到不同程度的发展.

五、课时小结

教师活动：

1. 本节课你学习了那些新知识?

2. 在数学思想或方法上，你有什么感悟? 3. 在小组学习中，你觉得应该注意些什么? 4. 你还有什么困惑吗?

学生活动：畅所欲言，说出自己对本节课学习的感受和收获。

(预设问题)

1.等式与不等式的基本性质有什么相同点和不同点?

2.对不等式进行变形要特别注意什么

设计意图：让学生通过总结反思，一是为了进一步引导学生反思自己的学习方式，有利于培养归纳、总结的习惯，让学生自主构建知识体系;二是为了激起学生感受成功的喜悦，激励学生以更大的热情投入到以后的学习中去。比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握知识，发展学生的辨证思维。

六、限时作业

课本P42 习题2.2 知识技能 2 设计意图：通过作业来规范学生题目完成的规范性.

七、教学反思：

本节课设计旨在让学生经历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程.用类比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段.让学生充分进行讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握不等式的性质.这样就能有效地突破本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础.

教学过程中贯穿了一条“创设情境，引出新知—实验讨论，得出性质—探究辨析，突破难点—运用性质，解决问题”的线索，使学生真正成为学习的主人.在师生交流合作中营造互动的氛围，让学生积极主动地参与教学的整个过程，使他们的学习态度、情感意志和个性品质等都得到不同程度的提高.

为了突破教学难点，让学生能熟练准确地运用“不等式性质3"，本课设计了多样化的练习以巩固所学知识.在学生回答、板演、讨论的过程中，课堂气氛被激活，教学难点被突破，使学生在轻松愉快的氛围中扎实地掌握性质并灵活运用.同时，学习伙伴之间进行了思维的碰撞和沟通.

第三篇：高考数学难点归纳20 不等式的综合应用教案

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难点20 不等式的综合应用

不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题;另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题. ●难点磁场

2(★★★★★)设二次函数f(x)=ax+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x

1、x2满足0

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0<

x12. ●案例探究

[例1]用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，

(1)求a关于h的解析式;

(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大?求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度) 命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值. 知识依托：本题求得体积V的关系式后，应用均值定理可求得最值. 错解分析：在求得a的函数关系式时易漏h>0. 技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理. 解：①设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得：

12a4ha2

2消去h.解得:a1a2a2h1241h12(a0)

②由V13ah2h3(h1)而h)1h2 (h>0)

1h得：V13(h1h2h2

所以V≤16，当且仅当h=

1h即h=1时取等号

1故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为立方米.

6[例2]已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当-1≤x≤1时|f(x)|≤1. (1)证明：|c|≤1;

(2)证明：当-1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2;

(3)设a>0，有-1≤x≤1时， g(x)的最大值为2，求f(x).

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http:// 命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂. 错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“-1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用;绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局. 技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性;证法二利用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系. (1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1. (2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.当a>0时，g(x)=ax+b在[-1，1]上是增函数，于是

g(-1)≤g(x)≤g(1)，(-1≤x≤1). ∵|f(x)|≤1，(-1≤x≤1)，|c|≤1，

∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2，

g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2，

因此得|g(x)|≤2 (-1≤x≤1);

当a<0时，g(x)=ax+b在[-1，1]上是减函数，于是g(-1)≥g(x)≥g(1)，(-1≤x≤1)， ∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1)，|c|≤1 ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2. 综合以上结果，当-1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2. 证法二：∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1) ∴|f(-1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，

∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a-b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1， 因此，根据绝对值不等式性质得： |a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2， |a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2，

∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，

函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在[-1，1]上的最大值只能在区间的端点x=-1或x=1处取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(-1

)c])f(x1当-1≤x≤1时，有0≤

x12≤1，-1≤

x122x12≤0，

x12∵|f(x)|≤1，(-1≤x≤1)，∴|f ()|≤1，|f()|+|f(

)|≤1;

因此当-1≤x≤1时，|g(x)|≤|f (x1x12)|≤2.

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http:// (3)解：因为a>0，g(x)在[-1，1]上是增函数，当x=1时取得最大值2，即 g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.

∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1，∴c=f(0)=-1. 因为当-1≤x≤1时，f(x)≥-1，即f(x)≥f(0)，

根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴， 由此得-b2a

①

<0 ，即b=0.

2由①得a=2，所以f(x)=2x-1. ●锦囊妙计

1.应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性. 2.对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题. ●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是(

) ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)

③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)

B.②④

C.①④

二、填空题

2.(★★★★★)下列四个命题中：①a+b≥2ab

②sin2x+数，若1x9y

4D.②③

sin2x≥4 ③设x，y都是正=1，则x+y的最小值是12 ④若|x-2|<ε，|y-2|<ε，则|x-y|<2ε，其中所有真命题的序号是__________. 3.(★★★★★)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处.

三、解答题

4.(★★★★★)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a>0)，设方程f(x)=x的两实数根为x1，x2. (1)如果x1<2-1; (2)如果|x1|<2，|x2-x1|=2，求b的取值范围. 5.(★★★★)某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件，假若定价上涨x成(这里x成即x10，0

13(1)设y=ax，其中a是满足(2)若y=23≤a<1的常数，用a来表示当售货金额最大时的x的值;

x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围. 6.(★★★★★)设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)²f(n)，且当x>0

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(2)求证：f(x)在R上单调递减;

22(3)设集合A={ (x，y)|f(x)²f(y)>f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax-g+2)=1，a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围. 7.(★★★★★)已知函数f(x)=(1)求b、c的值;

(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈[-1，1]时的单调性，并证明你的结论; (3)若t∈R，求证：lg

7516161352xbxcx122 (b<0)的值域是[1，3]，

≤F(|t-|-|t+|)≤lg.

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参考答案

难点磁场

解：(1)令F(x)=f(x)-x，因为x1，x2是方程f(x)-x=0的根，所以F(x)=a(x-x1)(x-x2).当x∈(0，x1)时，由于x10，

又a>0，得F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0，即x0，1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0 ∴x1-f(x)>0，由此得f(x)

1、x2是方程f(x)-x=0的两根，即x1，x2是方程ax2+(b-1)x+c=0

ax1ax212aa(x1x2)12ax12，因为ax2<1，

ax12a

歼灭难点训练

一、1.解析：由题意f(a)=g(a)>0，f(b)=g(b)>0，且f(a)>f(b)，g(a)>g(b) ∴f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b) 而g(a)-g(-b)=g(a)-g(b)∴g(a)+g(b)-[g(a)-g(b)] =2g(b)>0，∴f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 同理可证：f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) 答案：A

二、2.解析：①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式：|x-y|=|(x-2)-(y-2)|≤|(x-2)-(y-2)|≤|x-2|+|y-2|<ε+ε=2ε. 答案：④

3.解析：由已知y1=20x20x20x;y2=0.8x(x为仓库与车站距离)费用之和y=y1+y2=0.8x+

≥20.8x=8 20x当且仅当0.8x=即x=5时“=”成立

答案：5公里处

三、4.证明：(1)设g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1，且x>0. ∵x1<2

于是得x012b2a12(12

2b1a1a)12(x1x2)12x1x212(x1x2)(x1x2)2

(x1x2)2(24)21(2)解：由方程g(x)=ax+(b-1)x+1=0可知x1²x2=

1a>0，所以x1，x2同号

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http:// 1°若02， ∴g(2)<0，即4a+2b-1<0 又(x2-x1)=2

①

(b1)a224a4

∴2a+1=(b1)21 (∵a>0)代入①式得， 2(b1)21<3-2b 解②得b<1

4 ②

2°若 -274

③

④

.

14综上，当0

74. 5.解：(1)由题意知某商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p(1+npzp(1x10x102)元、n(1-)n(1y10y10)元、npz元，因而

1100(10x)(10y)，在y=ax的条件下，z=131100),z2[-a [x-5(1a)a]+100+25(1a)a].由于≤a<1，则0<

5(1a)a5(1a)a≤10. 要使售货金额最大，即使z值最大，此时x=(2)由z=1100. (10+x)(10-

23x)>1，解得00，n=0得：f(m)=f(m)²f(0).∵f(m)≠0，∴f(0)=1 取m=m，n=-m，(m<0)，得f(0)=f(m)f(-m) ∴f(m)=1f(m)，∵m<0，∴-m>0，∴01 (2)证明：任取x1，x2∈R，则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1] =f(x1)-f(x2-x1)²f(x1)=f(x1)[1-f(x2-x1)]， ∵f(x1)>0，1-f(x2-x1)>0，∴f(x1)>f(x2)， ∴函数f(x)在R上为单调减函数. f(x2y2)f(1)x2y21得(3)由，由题意此不等式组无解，数形结合得：f(axy2)1f()axy20京翰教育http:///

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http:// |2|a12≥1，解得a≤3 2∴a∈[-3，3]

2xbxcx1227.(1)解：设y=，则(y-2)x-bx+y-c=0

2

①

∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即 b2-4(y-2)(y-c)≥0， 即4y2-4(2+c)y+8c+b2≤0

由条件知，不等式②的解集是[1，3] ∴1，3是方程4y-4(2+c)y+8c+b=0的两根

132c28cb∴c=2，b=-2，b=2(舍) 1342

2

②

(2)任取x1，x2∈[-1，1]，且x2>x1，则x2-x1>0，且 (x2-x1)(1-x1x2)>0，∴f(x2)-f(x1)=-

2x21x22(2x1x12)2(x2x1)(1x1x2)(1x1)(1x2)22>0，

∴f(x2)>f(x1)，lgf(x2)>lgf(x1)，即F(x2)>F(x1) ∴F(x)为增函数. (3)记u|t1613||t16|,|u||(t16)(t16)|13,

即-F(- 1313≤u≤，根据F(x)的单调性知

13)≤F(u)≤F()，∴lg

75≤F(|t-

16|-|t+

16|)≤lg

135对任意实数t 成立.

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第四篇：不等式的基本性质_教学设计_教案

教学准备

1. 教学目标

(一)教学知识点：

1.探索并掌握不等式的基本性质; 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. (二)能力训练要求：

通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. (三)情感与价值观要求：

通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与 交流. 2. 教学重点/难点

教学重点：

探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. 教学难点：

能根据不等式的基本性质进行化简. 3. 教学用具

课件

4. 标签

不等式的基本性质

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗? [生]记得. 等式的基本性质1：在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式. [师]不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授

1.不等式基本性质的推导

[师]等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢?请大家探索后发表自己的看法. 如果 7 > 3，

那么 7+5 ____ 3+ 5 ，

7 -5____3-5. 如果-1< 3，

那么-1+2____3+2，-1- 4____3 – 4. 你能总结一下规律吗?

在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变. [师]很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. [生]∵3<5 ∴3×2<5×2 3× <5× . 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. [生]不对. 如3<5 3×(-2)>5×(-2) 所以上面的总结是错的. [师]看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. [生]如3<4 3×3<4×3 3× <4×

3×(-3)>4×(-3) 3×(- )>4×(- ) 3×(-5)>4×(-5) 由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变;在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. [师]非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0)，情况会怎样呢?请大家用类似的方法进行推导. [生]当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变;当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变. [师]因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释 > 的正确性

[师]在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为 和 ，且有 > 存在，你能用不等式的基本性质来解释吗? [生]∵4π<16 ∴ >

根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得

>

3.例题讲解

将下列不等式化成“x>a”或“x-1; (2)-2x>3; (3)3x<-9. [生](1)根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得 x>-1+5 即x>4;

(2)根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得 x<- ;

(3)根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得 x<-3. 说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否. Ⅲ.课堂练习

1.将下列不等式化成“x>a”或“x2 (2)-x<

[生]解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x>3 (2)根据不等式的基本性质3，两边都乘以-1，得 x>-

2.已知x>y，下列不等式一定成立吗? (1)x-6y，∴x-6>y-6. ∴不等式不成立; (2)∵x>y，∴3x>3y ∴不等式不成立; (3)∵x>y，∴-2x<-2y ∴不等式一定成立. Ⅳ.课时小结

1.本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质. 2.利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空. Ⅴ.课后作业 习题

Ⅵ.活动与探究 1.比较a与-a的大小. 解：当a>0时，a>-a; 当a=0时，a=-a; 当a<0时，a<-a. 说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论. 2.有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小?

解：原来的两位数为10b+a. 调换后的两位数为10a+b. 根据题意得10a+b>10b+a. 根据不等式的基本性质1，两边同时减去a，得9a+b>10b 两边同时减去b，得9a>9b 根据不等式的基本性质2，两边同时除以9，得a>b.

课堂小结 学了这节课，你有什么收获?

课后习题 完成课后练习题。

板书 不等式的基本性质

第五篇：高中数学 3.4.1《基本不等式的证明(2)》教案 苏教版必修5

第 11 课时：§3.4.1基本不等式的证明(2)

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步掌握基本不等式;

2.学会推导并掌握均值不等式定理;

3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题;基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、过程与方法



值。

三、情感、态度与价值观

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点与难点】：

重点：均值不等式定理的证明及应用。

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

【学法与教学用具】：

1. 学法：

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.重要不等式：如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号)

2.基本不等式：如果a,b是正数，那么22ab，并会用此定理求某些函数的最大、最小2ababab(当且仅当ab时取""号).我们称为a,b2

22的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，ab22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者

只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。

二、研探新知

最值定理：已知x,y都是正数， ①如果积xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p;②如果和xy是定值s，那么当xy时，积xy有最大值

证明：∵x,yR，∴ 12s. 4xyxy，

2①当xyp (定值)有(xy)min2p; xy2p∴xy2p，∵上式当xy时取“”，∴当xy时

②当xys (定值)时，xys12 ∴xys，∵上式当xy时取“”∴当xy时有2

4(xy)max12s. 4

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

①最值的含义(“”取最小值，“”取最大值);

②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

③函数式中各项必须都是正数;

④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 (1)求 lgxlogx10(x1)的最值，并求取最值时的x的值。

解：∵x1∴lgx0logx100，于是lgxlogx102lgxlgx102，

当且仅当lgxlogx10，即x10时，等号成立，∴lgxlogx10(x1)的最小值是2，此时x10.

(2)若上题改成0x1，结果将如何?

解：∵0x1lgx0logx100，于是(lgx)(logx10)2，

从而lgxlogx102，∴lgxlogx10(0x1)的最大值是2，此时x

例2 (1)求yx(4x)(0x4)的最大值，并求取时的x的值。

(2)求yx4x2(0x2)的最大值，并求取最大值时x的值

解：∵0x4，∴x0,4x

0，∴1. 10x4x2则yx(4x)4，当且仅当

2x4x，即x2(0,4)时取等号。∴当x2时，yx(4x)(0x4)取得最大值4。

例3 若x2y1，求11的最小值。 xy

11x2yx2y2yx2yx

123()3xyxyxyxy解：∵x2y1，∴

x12yxy，即当且仅当x

yx2y1

2

∴当x1,y11时，

取最小值3xy2例4 求下列函数的值域:(1)y3x11yx;(2) 2x2x

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值;

(4)正确写出答案.四、巩固深化，反馈矫正

1.已知0x1,0y1,xy1，求log1xlog1y的最大值，并求相应的x,y值。 93

32.已知x0，求23x的最大值，并求相应的x值。

3.已知0x

2，求函数f(x)x值。

4.已知x0,y0,x3y1,求的最小值，并求相应的x,y值。

五、归纳整理，整体认识

1.用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解;

2.运用基本不等式求最值常用的变形方法有：

(1)运用拆分和配凑的方法变成和式和积式;(2)配凑出和为定值;

(3)配凑出积为定值;(4)将限制条件整体代入。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数;积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。

六、承上启下，留下悬念4x1x1y

七、板书设计(略)

八、课后记：