概率初步期末复习

概率初步期末复习（共9篇）

篇1：概率初步期末复习

第6课概率初步教学反思

（复习课）

通过教者上课，大家评课后，形成以下看法：

1、本节课能从学生的实际出发，以问题为载体，让学生在不断解决问题的活动中学习，充分体现了学生的主体地位。以交流与反思的形式出现，学生在交流与反思的过程中，对所学的列举法、列表法和树形图法的适用范围更清晰，对使用几种方法时需要注意的问题更明确，有利于学生更好的利用这些方法求随机事件的概率．

2、以发展思维过程为主线，把传授知识和发展思维有机结合起来，采用引导训练，随堂训练、拓展训练，把问题逐步引向更高的深度和广度，让不同层次的学生得到不同程度的训练，很好地发挥了老师的主导作用．课前延伸、课内探究和课后提升涵盖了概率初步的所有知识点，其中例题的选择很有特点，培养学生思维的多样性，有助于学生良好审题习惯的培养．

3、建议：

（1）预习第7题的学生做法，可通过实物投影仪展示，让学生点评，第8题可修改简单些．讲评和小结还需进一步到位；

（2）课内时间安排宜前紧后松，分配要合理到位．课内探究一三个方法可以不面面俱到，可再变式一个分组式的试题，探究二每题的小题可分别压缩成一题，视班级学生的实际水平，探究三课内解决为好；

（3）课内检测和课后提升的题量稍显过大，应进一步提炼减少题量．

篇2：概率初步期末复习

随机变量

1、离散型：两点分布、二项分布、泊松分布

2、连续型：均匀分布、指数分布、正态分布

分布函数的定义F(x)P(Xx)

随机变量函数Yg(x)的分布

两种方法：

A、F(y)P(Yy)P(g(x)y)P(xD(y))

这里D(y)是指符合g(x)y的x的集合。

B、利用定理2.4.1前提：g(x)单调

第三章

二维随机向量的本质：两个随机变量 <=> 二元函数

1、离散型：联合概率分布

2、连续型：联合密度函数、均匀分布、正态分布

边缘分布：X的边缘分布 <=> 对Y求和或者求积分

Y的边缘分布 <=> 对X求和或者求积分

条件分布：在某变量已知的情况下，求另一个变量的分布

1、离散型：联合概率/边缘概率

2、连续型：定理3.5.1

独立性的判断

唯一标准：离散型 <=> 联合概率分布等于边缘概率分布的乘积

连续型 <=> 联合密度函数等于边缘密度函数的乘积

随机变量函数的分布：两个随机变量的和（离散型、连续型）

第四章

期望（离散型、连续型）性质1、2、3、4

方差（离散型、连续型）：简化公式性质1、2、3

协方差（离散型、连续型）

相关系数与协方差的关系、线性无关与独立的区别

矩的定义

第五章

切比雪夫不等式、大数定律及推论、中心极限定律1、2

重点：这几个定理的应用

第六章样本、统计量、三个重要的分布（

2、t、F）、定理6.4.1

第七章

矩估计、极大似然估计

估计的优良准则：无偏性、最小方差（均方误差）准则

区间估计：

1、2已知，估计：构造符合标准正态分布的只含有这个未知参数和样本的函数

2、2未知，估计：构造符合t分布的只含有这个未知参数和样本的函数

篇3：概率与统计初步单元检测试题

1.某教师出了一份三道题的测试卷,每道题1分,全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%,则全班学生的平均分为______分.

2.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是______.

3.—个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是______.

4.将参加数学夏令营的100名学生编号为001,002,…,100,现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本,且第一段中随机抽得的号码为004,则在046号至078号中,被抽中的人数为______.

5.把一个体积为27 cm3的正方体木块表面涂上红漆,然后锯成体积为1 cm3的27个小正方体,现从中任取一块,则这一块至少有一面涂有红漆的概率为______.

6.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的,则中间一组的频数为______.

7.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:

90 89 90 95 93 94 93

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为______.

8.从{1,2,3}中随机选取一个数a,从{2,3}中随机选取一个数b,则b>a的概率是______.

9.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机抽1人表演,若选到男教师的概率为,则参加联欢会的男教师共有______人.

10.两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2 m的概率为______.

11.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是______。

12.掷两次骰子得到的点数分别为m,n,记向量a=(m,n)与b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0)的概率为______.

13.在第1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站台(假定这个站台只能停靠一辆汽车)上,有一位乘客等候第4路或第8路汽车,假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站的正是这位乘客所要等的汽车的概率是______.

14.在圆心角为90°的扇形中,以圆心O为起点作射线OC,则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为______.

二、解答题(本大题共6小题,共90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程)

15.已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.

(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;

(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.

16.某初级中学共有学生2000名,各年级男生、女生人数如表1:

已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19,(1)求x的值;(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名?(3)已知y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.

17.高三年级有500名学生,为了了解数学学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:

(1)根据上面图表,(1)(2)(3)的数值分别为:______、______、______

(2)根据题中信息估计总体平均数______.

(3)估计总体落在[129,150]中的概率为______.

18.先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率;(2)将a,b,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.

19.一个质地均匀的正四面体骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字,(1)若抛掷一次,求能看到的三个面上数字之和大于6的概率;(2)若抛掷两次,求两次朝下面上的数字之积大于7的概率;(3)若抛掷两次,以第一次朝下面上的数字为横坐标a,第二次朝下面上的数字为纵坐标b,求点(a,b)落在直线x-y=1下方的概率.

20.设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

概率与统计初步单元检测试题参考答案

一、1.2 2.6 3.8,16,10,6 4.8 5.6.50 7.92,2.8 8.9.54 10.11.12.13.14.

二、15.解:(1)记“甲命中不足8环”为事件A,则P(A)=1-0.56-0.22=0.22.(2)记“甲至少命中7环”为事件B,则P(B)=0.12+0.22+0.56=0.9.

答:(1)甲射击一次,命中不足8环的概率为0.22;(2)甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.

16.解:(1)设“抽到初二女生”为事件A,则,则x=380.

(2)初三年级占全校总人数的比例为,则48×0.25=12人.

(3)记“初三年级中女生比男生多”为事件C,所以.

篇4：《概率》期末复习检测题

1． （2007年四川绵阳）下列说法错误的是（）

A． 必然发生的事件发生的概率为1

B． 不可能发生的事件发生的概率为0

C． 随机事件发生的概率大于0且小于1

D． 不确定事件发生的概率为0

2． （2007年江苏淮安）根据最新规则,乒乓球比赛采用七局四胜制(谁现赢满四局为胜),2007年5月27日晚9点10分,第19届世乒赛男单比赛结束了前四局,马琳以3:1领先王励勤,此时甲、乙、丙、丁四位同学给出了如下说法（）

甲： 马琳最终获胜是必然事件

乙： 马琳最终获胜是随机事件

丙： 王励勤最终获胜是不可能事件

丁： 王励勤最终获胜是随机事件

四位同学说法正确的是（）

A． 甲和丙B. 乙和丁 C． 乙和丙 D． 甲和丁

3． （2007年山西省太原）下面有关概率的叙述，正确的是（）

A． 投掷一枚图钉，钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同

B． 因为购买彩票时有“中奖”与“不中奖”两种情形，所以购买彩票中奖的概率为

C． 投掷一枚均匀的正方体骰子，每一种点数出现的概率都是 ，所以每投掷6次，肯定出现一次6点

D． 某种彩票的中奖概率是1%，买100张这样的彩票一定中奖

4． （2007年北京）一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为()

A．B．C． D．

5． （2007年黑龙江哈尔滨）随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）

A． B．C． D．

6． （2007年福建福州）随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（）

A． 1 B．C．D．

7． （2007年河北）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）

A． 12B． 9C． 4D． 3

8． （2007年山东潍坊）小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏。三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢。下面说法正确的是（ ）

A． 小强赢的概率最小

B． 小文赢的概率最小

C． 小亮赢的概率最小

D． 三人赢的概率都相等

9． （2007年湖北天门）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）

A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率

B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率

C．抛一枚硬币，出现正面的概率

D．任意写一个整数，它能被2整除的概率

10. （2007年浙江杭州）将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a,b,c，则a,b,c正好是直角三角形三边长的概率是()

A.B.C.D.

二、填空题（每小题3分，满分30分）

11． （2007年湖南永州）夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩_______（填“可能”，“不可能”，“必然”）是优秀。

12． （2007年福建泉州）口袋中放有黄、白、红三种颜色的小球各1个，这3个球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取1个球，写出这个实验中一个可能发生的事件： 。

13． （2007年湖南湘潭）足球比赛前，裁判用抛一枚硬币猜正反面的方式让甲、乙两个队长选进攻方向，猜对正面的队长先选，则队长甲先选的概率是 。

14． （2007年四川资阳）现有50张大小、质地及背面图案均相同的北京奥运会吉祥物福娃卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘福娃的名字后原样放回，洗匀后再抽，不断重复上述过程，最后记录抽到欢欢的频率为20℅，则这些卡片中欢欢约为____________张。

15.（2007年海南）在一个不透明的布袋中装有 2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是 ，则n =。

16． （2007年广东梅州）小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 。

17． （2007年江苏南通）把6张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1、2、3、4、5、6，且洗匀后正面朝下放在桌子上，从这6张卡片中同时随机抽取两张卡片，则两张卡片上的数字之和等于7的概率是___________。

18． （2007年湖南益阳）如图，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②、③或同时闭合开关④⑤⑥都可使一个小灯泡发光，问任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为

。

19． （2007年湖南株州）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b，且a，b分别取数字0，1，2，3，若a，b满足│a-b│≤1 ，则称甲、乙两人“心有灵犀”。现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为。

20． （2007年山东济宁）如图所示，将转盘等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6，指针的位置固定。自由转动转盘，当它停止时，指针指向偶数区域的概率是(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)；请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止转动时，指针所指区域的概率为。

三、解答题（第21、22题各6分，第23、24题各8分，第25、26题各10分，第27题12分，满分60分）

21． （2007年广东佛山）一个瓶中装有一些幸运星，小王为了估计这个瓶中幸运星的颗数，他是这样做的：先从瓶中取出20颗幸运星做上记号，然后把这些幸运星放回瓶中，充分摇匀；再从瓶中取出30颗幸运星，发现有6颗幸运星带有记号。请你帮小王估算出原来瓶中幸运星的颗数。

22． （2007年湖南株州）一枚质量均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次。（1）用列表法或树状图表示出朝上的面上的数字所有可能出现的结果；（2）记两次朝上的面上的数字分别为p，q，若把p，q分别作为点A的横坐标和纵坐标，求点A（p，q）在函数y=的图象上的概率。

23． （2007年山东青岛）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物。如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元。

（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；

（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由。

24． （2007年湖北咸宁)某中学九年级共有6个班，要从中选出两个班代表学校参加一项重大活动，九(1)班是先进班，学校指定该班必须参加，另外再从九(2)班到九(6)班中选出一个班，九(4)班有同学建议用如下方法选班：从装有编号为1，2，3的三个白球的A袋中摸出一个球，再从装有编号也为1，2，3的三个红球的B袋中摸出一个球（两袋中球的大小、形状与质地完全一样），摸出的两个球编号之和是几就派几班参加。

(1)请用列表或画树形图的方法列举出摸出的两球编号的所有可能出现的结果；

(2)如果采用这一建议选班，对五个班是一样公平的吗？请说明理由。

25． （2007年浙江丽水）在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次。

（1）若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表法说明）

（2）若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由。

26．（2007年山东威海）如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜。如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止。

（1）请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率。

（2）你认为该游戏规则是否公平？若游戏规则公平，请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则。

27． （2007年贵州贵阳）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：

（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率。

（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次。”小颖和小红的说法正确吗？为什么？

（3）小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率。

参考答案

1.C2.C3.A4.B5.A6.D7.A8.A

9.B10.C11.可能12.随机从口袋中任取1个球，可能是白球的概率为13. 14.10张

15.816.17.18.19. 20. ；

分别将1和2所在的扇形涂成红色，3和4所在的扇形涂成绿色，5和6所在的扇形涂成黄色，则指针指向红色区域的概率为 。 21.100颗22.（1）略；

（2）P= = 23.⑴50× +30× +20× =11.875（元）； ⑵ ∵11.875元＞10元，∴选择转转盘。 24.（1）

（2）不公平。∵P(2班）= ；P(3班）= ；P(4班）= ；P(5班）= ；P(6班）=∴P(4班）＞P(3班）=P(5班）＞P(2班）=P(6班），即不公平。

25.（1）踺子踢到小华处的概率是 。

（2）小王。理由：若从小王开始踢，三次踢踺后，踺子踢到小王处的概率是 ，踢到其它两人处的概率都是 ，因此，踺子踢到小王处的可能性是最小。

26.（1）画树状图如下：

可见，共有12种等可能的情况，其中和小于10的有6种。小颖获胜的概率为 = 。（2）该游戏规则不公平。由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，小亮获胜的概率为 = ，显然 ≠ ，故该游戏规则不公平。

游戏规则可修改为：①当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜。②当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；为偶数时，小颖获胜。

27．（1）“3点朝上”出现的频率是 = ；“5点朝上”出现的频率是 = ；（2）小颖的说法是错误的。这是因为，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的频率最大。只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近。小红的判断是错误的，因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次。（3）列表如下：

P（点数之和为3的倍数）= = 。

(责任编辑 钱家庆)

篇5：概率初步期末复习

第一章：

1事件、概率的基本概念与公式；如互不相容、对立事件、加法公式、“减法”公式

2）古典概率 3）条件概率（公式）4）全概率公式与贝叶斯公式

5）事件的独立性

第二章：（分布函数、分布律、概率密度的性质）

1、一维离散型随机变量

（1）求分布律、概率（2）求分布函数（3）求函数的分布律(4)求期望

2、一维连续型随机变量

（1）确定概率密度函数中的未知常数、相关的概率（2）求分布函数（43页例1）

(3)求期望（4）正态分布化标准正态分布（5）求函数的概率密度（不考）

3、熟记重要的离散型随机变量的分布律与连续型随机变量的概率密度（不考）

第三章：

1、二维离散型随机变量

（1）求联合分布律（2）求边缘分布律（3）求函数的分布律（4）求函数的期望

2、二维连续型随机变量

（1）确定概率密度函数中的未知常数、相关区域的概率

（2）求边缘概率密度（3）求函数的概率密度（4）求函数的期望

3、随机变量的独立性；

二维离散型随机变量与二维连续型随机变量独立性的验证方法

第四章：

1、期望、方差的定义、性质

2、一维离散型、连续型随机变量期望、方差求法、3、求二维离散型、连续型随机变量函数的期望求法

4、协方差、相关系数、不相关

5、重要的离散型、连续型随机变量的期望、方差（直接记公式）

6、切比雪夫不等式

第五章：（一个6分题）

中心极限定理

第六章：

1、样本分位数的计算公式（一个填空题，参考书上例1）

2、样本平均值、样本方差、样本标准差

3、分布的定义、性质、分位点

4、t分布的定义、分位点

5、F分布的定义、分位点、性质

6、正态总体的样本均值与样本方差的分布

第七章：（参考作业的题型：有矩估计1题，最大似然估计1题，无偏性1题，置信性区间1题、单侧置信上或下限1题）

1、矩估计

2、求最大似然估计

3、估计量的评选标准：无偏性，有效性

4、区间估计：

1）单个正态总体均值的置信性区间、单侧置信上下限

2）单个正态总体方差的置信性区间

第八章：（参考作业的题型：218页1题或220页12题）

假设检验：1）单个正态总体均值的t检验：

双边检验（218页1题），单边检验（184页例1）

篇6：初三数学概率初步教案

概率初步

问题一：五名同学参加演讲比赛，以抽签的方式决定每个人的出场顺序，签筒中有5个形状，大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5，小军首先抽签。他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机（任意）地抽取一根纸签，请考虑以下问题：

① 抽到的序号有几种可能的结果？ ② 抽到的序号小于6吗？ ③ 抽到的序号会是0吗？ ④ 抽到的序号会是1吗？

为了回答上面的问题，我们可以在同样的条件下重复进行抽签试 验，从试验结果中我们可以发现：

①每次抽签的结果不一定相同，序号1，2，3，4，5都有可能抽到，共有五种可能的结果，但是事先不能预料一次抽签会出现那一种结果。

②抽到的序号一定小于6。③抽到的序号绝对不会是０。

⑤ 抽到的序号可能是１，也可能不是１，事先无法确定。问题二：小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分

别刻有1到6 的点数，每掷一次骰子，骰子向上面的数字怎样，请考虑以下几个问题：

① 可能出现那些点数？ ② 出现的点数大于0吗？ ③ 出现的点数会是7吗？ ④ 出现的点数会是4吗？

为回答上面的问题，我们可以在同样的条件下重复进行掷骰子试验，从试 验结果可以发现：

① 每次掷骰子的结果不一定相同，从1到6 的每一个点数都有可能出现，所有可能的点数共有6种，但是事先不能预料掷一次骰子会出现那一种结果。

② 出现的点数肯定大于0。③ 出现的点数绝对不会是7。

④ 出现的点数可能是4，也可能不是4，事先无法确定。

在一定条件下，有些事件必然（肯定）会发生，这样的事件称为必然事件。相反地，有些事件必然（肯定）不会发生，这样的事件称为不可能事件。必然事件与不可能事件统称为确定性事件。

在一定条件下，有些事件可能发生，也有可能不发生，事先无法确定，这样的事件称为随机事件。在现实世界中存在着大量的随机事件。

练习：指出下面事件中，那些是必然事件，那些是不可能事件，那些是随机事件。① 通常加热到100℃，水沸腾。

② 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中。③ 掷一次骰子，向上的一面是6点。④ 度量三角形的内角和，结果是360°。

⑤ 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯。⑥ 某射击运动员身击一次，命中靶心。

问题三：袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形壮、大小、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机地从袋中摸出一个球。①这个球是白球不是黑球？

②如果两种球都有可能摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？

为了验证你的想法，动手摸一下吧。在上面的摸球活动中，摸出黑球和摸出白球是两个随机事件。一次摸球可能发生摸出黑球，也可能发生摸出白球，事先不可能确定那个事件发生，但是，由于两种球的数量不等，所以事实上摸出黑球与摸出白球的可能性的大小是不一样的，摸出黑球的可能性大于摸出白球的可能性，你们的试验结果能说明这种规律吗？

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使摸出黑球和摸出白球的可能性大小相同呢？

练习：

1、已知地球表面陆地面积与海洋面积的比为3：7如果宇宙中飞来一 2 块陨石落在地球上，落在陆地上和落在海洋中的哪个可能性大？

2、你能列举一些生活中的随机事件、不可能事件和必然事件的例子吗？

概 率

在的条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生，那么，它发生的可能性 究尽有多大？能否用数值进行刻画呢？这是我们下面要讨论的问题。请看下面的两个试验：

1、别标有1、2、3、4、5的5根纸签中随机的抽取一根，抽出的签上的号 码有5种可能，即1、2、3、4、5由于纸签的形壮，大小相同，又是随机抽取，所以每个号码抽到的可能性大小相等，都是全部可能结果总数的1/5。

2、掷一枚骰子，向上的一面的点数有6种可能，即1、2、3、4、5、6由于 骰子的形壮规则、质地均匀、又是随机掷出，所以出现的每种结果的可能性大小相等，都是全部可能结果总数的1/6。上述试验中的数值1/5和1/6反应了试验中相应随机事件发生可能性的大小。

一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性的大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。

经过进一步的研究发现，上述试验有两个共同的特点：①每一次试验中，可能出现的结果只有有限个。②每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。

对于具有上述特点的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果数中所占的比，分析出事件发生的概率，例如，在上面的抽签事件中，抽到1号这个事件包含一种可能的结果，在全部5种可能的结果中所占的比为1/5，于是这个事件的概率

P（抽到1号）=1/5 抽到偶数号这个事件包含抽到2、4这两种可能结果，在全部5种可能结果中所占的比为2/5，于是这个事件的概率

P（抽到偶数号）=2/5 一般地，如果在一次试验中，通过对试验结果以及对试验本身的分析，我们就可以求出相应事件的概率，在P（A）=m/n 中，由m和n 的含义可知0≤m≤n，进而有0≤m/n≤1，因此，0≤P(A)≤1 特别地：当A为必然事件时，P(A)=1 当A为不可能事件时，P(A)=0 当A为随机事件时，0＜P(A)＜1 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。

例

1、掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下面事件的概率。① 点数为2。② 点数为奇数。③ 点数大于2且小于5。

解：掷一个骰子时，向上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6共6 种，这些点数出现的可能性相等。

P(点数为2)=1/6 P(点数为奇数)=3/6 P(点数大于2且小于5)=2/6 例

2、如图是一转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分别为黄、绿、蓝三种颜色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率：①指针指向红色。②指针指向红色或黄色。③指针不指向红色。

解：问题中可能出现的结果有7种，即指针可能指向7个扇形中的任何一个，由于这是7个相同的扇形，转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等。

篇7：概率期末重点

计算题：二维连续型随机变量相关的概率问题；二维离散型随机变量分布律的确定（用到条件概率公式）；二维连续型随机变量函数的概率密度函数求解；求某个连续型随机变量的方差；

应用题：参数点估计；

完全没涉及到的内容有：中心极限定理，大数定律，切比雪夫不等式，条件分布，区间估计。

篇8：概率初步期末复习

关键词：中美教材；概率初步；习题设置；认知水平

文章编号：978—7—80712—971—4（2012）01—086—03

教材是体现课程标准理念、目标和内容的载体，直接承载课程计划的实施[1]。中国实施新一轮数学基础教育改革，数学教材改革的成功与否，这关系到整个素质教育的成败。教育改革是一个曲折漫长的过程，借鉴异国的成功经验很重要。美国的数学教育与我国有很大的不同，各州的教材都不相同，并且都有其独特性。因此，研究美国的中学数学教材对中国中学数学课程改革具有重要的借鉴意义。

习题是中学数学教材的重要组成部分。习题设置在一定程度上反映了数学教材编者的价值取向和目标要求，所以对习题的比较研究更有必要。中国在2001年7月颁布的《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）[2]将“统计与概率”作为义务教育数学课程的4个学习领域之一，概率内容首次进入中国义务教育数学课程之中，初中数学教材中也是第一次出现概率内容，这个变化值得数学教育者的注意。为了更好地深入理解这个数学教育的变革，借鉴其他国家初中数学教材的成功经验，本文进行中美初中数学概率初步题目设置及数学认知水平的研究比较的必要性就显而易见。

为此，笔者选取概率与统计专题之一“概率初步”部分进行比较。中国初中数学教材选取人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书数学》[3]（以下简称《课标数学》），美国初中数学教材选取影响较大的出版社PRENTICE HALL的关联数学教材《How Likely Is It》[4]（以下简称《美数学》）。《课程数学》中的概率初步内容集中在9年级上册第25章“概率初步”中，包括概率，用列举法求概率，利用频率估计概率等三节。《美数学》中的概率初步内容集中在六年级第6单元“可能性是多大”中，该单元包括概率的初步了解，关于概率的更多实验，用圆盘预测概率，理论概率，分析游戏中的概率问题，更多关于游戏中的概率问题，概率与遗传学等七节。

一、中美教材中题目设置比较

（一）题目类型及设置思想比较

通过对中美教材概率初步内容题目的比较我们发现：

（1）题目设置的类型

《课标数学》中关于概率的题目有练习题，习题，复习题，还有数学活动。《美数学》中关于概率的题目有练习题，习题，数学反思，复习题，单元测试题。这些问题的设置，类似的是都以数学问题为背景和实际相联系，题目都分为三个难度不同的层次：复习巩固，综合运用，拓广探索；《课标数学》中的“数学活动”和复习题与《美数学》中数学反思相对应，都是培养学生探究能力的题目，虽然名称不同，但属一类问题，因其都安排在章节最后，所以本文中我们将其归为复习题。

（2）习题设置的思想

在概率初步的内容中，中国教材在每个知识点后均配有相应知识点的练习题和习题，并按照难度、层次和对知识点的考察的不同分为：复习巩固、综合应用和拓广探索。这些习题考察本节知识点或曾经学过的知识，如：请指出在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些事件是不可能发生的？随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，这里的“奇数”就要用到学生以前学到的数学知识。

本章复习题是对本章知识点的综合考察，对知识点考察的方式分为复习巩固、综合应用和拓广探索，而主要考察知识点的综合应用，这部分习题更复杂，综合性更强，如：同时投两个骰子，求点数的和小于5的概率。这个题目首先考察的是两个骰子而不是一个骰子，再者是两个骰子点数的和，而不是一个骰子的点数，最后点数的和不是哪个具体的数字，而是小于5，这样就包括了2，3，4这三种情况。从此题可以看出《课标数学》中概率初步习题的设置是由易到难，从简单到复杂，先对各个知识点一一突破，然后再把各个相联系的知识综合到一块。

《美数学》在概率初步这个内容中同《课标数学》一样在每节后面均配有该节知识点相应的练习题，不同的是美国教材中似乎没有像中国教材那样有明确的例题，而是在一小段故事或游戏的情景下设置几个问题。如：Problem1.1，Problem1.2等。这些问题解决办法是通过一定的实验得出答案的，促使学生动手操作，使学生更直观的获得知识。这些实验操作性强，能够在课堂上解决，设置比较合理。在每节问题后还有Problem1.1Follow—up这样的随堂练习，根据题目的要求，或是要求分组做实验，最后全班汇总实验结果来解决，或者和老师集体讨论，或者分组讨论，方式的选择依题而定。另外在每节的后面都有应用、联系、拓展三类题，这与中国教材中每节的习题相对应。

在复习题上，中国教材在这部分内容结束后有一个总复习题，复习题也是按习题分为复习巩固、综合运用、拓广探索三个部分和层次，而美国教材在每节最后都有一个Mathematical Reflections，通过这个练习，它帮你回顾这节课所学到的知识点，并要学生把自己所学到的东西写在自己的日志上。中国的教材在概率初步内容中有“思考”，这与美国教材中“Think about this！”，Did you know？”是一致的。

（3）课堂引入的设置

在每节课引入情景的设置方面，就概率初步这部分内容而言，中美教材都采用从现实联系比较密切的问题和游戏引入，这种方式使问题设置合理、自然。之后介绍新知识，并根据知识的难度逐渐深入，提出的问题也越来越复杂，既符合学生学习循序渐进的规律，又使知识之间连贯逻辑性强。

（二）题目数量的比较

中美教材中概率初步题目数量的比较：

从上面的比较可以看出，中国教材在题目设置的总数上远远低于美国教材，只占美国的31.5%。例题和复习题的设置上比率高于美国，练习题和习题的设置均低于美国。中国教材在每节课后只给出了相应的习题，美国不仅给出了习题，还给出了相应的反思题，这些反思题个数不多，每节课后4道题左右，但通过简单的几道题可以检验、回顾这节课所学到的知识点，这是中国教材所没有的，也应该加强的地方。

nlc202309011515

二、从数学认知水平框架比较题目

（一）数学认知水平框架的设置比较

西北师大吕世虎、孙学敏已以“概率”为例对中新初中数学教材的习题认知水平进行了比较研究[5]，为求得其中研究的一致性，笔者在这里选取顾泠沅等做“青浦实验”[6]采用的大样本测试，把数学认知水平分为4个层次：

水平1：计算—操作性记忆水平；水平2：概念—概念性记忆水平；水平3：领会—说明性理解水平；水平4：分析—探究性理解水平。根据四个层次的划分，将其在概率初步中具体化，对概率题目认知水平的层次作出如下界定：

水平1：计算—操作性记忆水平。考察学生对教材中运算方法和程序的掌握情况。学生只需按照教材所明确要求的程序和方法进行运算即可，是数学认知水平中最低的层次。如：已知种子粒数50，发芽种子粒数45，求种子发芽频率。

水平2：概率—概念性记忆水平。考察学生对基本概念的理解，分类，识别。如：判断“掷一次骰子，向上的一面是6点”是必然事件，不可能事件还是随机事件。

水平3：领会—说明性理解水平。该水平所需的认知水平超越前两个，仅仅只有记忆的认知水平还远远不够，需在此基础上对复杂问题进行简单的推理，需要运算，概念理解，判断题目中信息的能力。如：掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求点数大于2且小于5的概率。

水平4：分析—探究性理解水平。该层次是数学认知水平的最高层次，对学生的认知水平要求最高，需对问题进行分析，综合，创造性地解决。这类题目，是学生先前没有接触过，例题中没有的，也没有现成的解决方案可遵循，包括开放题、探究题、不同于例题的非常规问题等。如：在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是3/8 ，写出表示x 和y 关系的表达式，如果往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为1/2 ，求 x和y 的值。

（二）数学题目认知水平层次的比较

根据以上对习题数学认知水平层次的分析，我们把中美教材中“概率初步”中的习题（这里的习题包括上述题目中的练习题，习题和复习题）进行分类，并比较各水平习题数与习题总数，结果如下：

表3：中美概率初步习题数学认知水平的比较

从上表可以看出，在数学认知水平上，中国教材在水平1中的习题所占的比例很小，而美国就比较多，主要是美国主张学生合作动手实验来得到答案；而在水平2上，美国只有9.7%，而中国在该水平上有22.4%，比美国多12.7%，说明中国教材相对侧重对基本概念的考察；水平3的习题中国的比率稍高于美国，说明中国侧重对理解能力的培养；水平4的习题美国的比率略高于中国，说明美国比较重视探究能力的培养。

三、结论和建议

通过对中美两国概率初步习题的比较，我们可以得出如下结论：

1.在习题总量上，美国教材中的习题总量远远大于中国教材。二者虽然在数学认知水平上较高层次的比率相差不大，但中国教材相比于美国教材具体到题目的数量上，高层次的习题就显得相当少了。

2.在习题的层次上，中国教材更偏重于概念性记忆水平的培养和训练，希望通过大量的习题来使学生记忆概念，这也就是形成大家普遍接受的 “中国学生基本功很好”观念 的原因吧！但美国教材概率初步内容习题层次分明，每节有课堂练习，练习，习题，每节习题后还有一个数学反思Mathematic Reflections，通过这个反思的习题能很好的回顾这节的知识点，让学生自己总结反思自己在这一节里的收获，并写在自己的日志中，这是美国与中国教材在知识章节上的不同，也是值得借鉴的地方。

3.在习题的数学认知水平上，表三显示水平1中虽然美国比中国的习题数学认知水平高很多，但主要是因为概率初步这一特定内容，实验比较多，美国教材在这一内容中，让学生单独或分组合作做实验，通过实验结果进行概率的求值，或得出结论，所以这一水平的显得高很多。在这里也可以看出美国教材中比较重视学生动手能力和合作精神的培养，注重学生在做中学，这也许与中西方文化背景有关系。

水平2中中国所占的比率要比美国的高很多，这就是中国重视对基础概念记忆的很好的例证，而美国对概念安排的练习题很少，有些节甚至没有安排这个水平的练习。

水平3、4中美两国所占比率相差不大，但习题数目上相差就很大了，美国教材中该部分的习题类型较中国丰富，注重开放题，推理题，非常规题，也比较重视学生的归纳能力的培养，比如说通过从一系列实验所得出的数据，你能得到什么结论等，中国教材虽然也有，但在数量上就少得可怜，探究题、构造模型题就更少。

比较并不是一决高下，每种教材都有优点，都有教育的功用。它们的差异和其自身的文化环境是相关的，从中美比较中发现自己的不足，找出对方的长处，以更好的提升自己。蔡金法教授的研究所得到的数据[7]表明，计算题的成绩，中国学生远远比美国学生高，解决简单问题的能力也领先；但在开放题中，美国学生优势很明显。

从中美教材的比较结果来看，我国教材应增加练习题的数量，如通过自己做实验得出的数据来计算事件发生的可能性是多大？可以得到什么结论等等，来培养学生的动手能力和合作能力。对于概念性的题目，是中国培养双基的需要，但在比例上应该有所降低。对于例题应多选一些可以进行变式的题目，来发展学生的想象力、发散力、逻辑思维能力。最重要的是加大水平4的题量，就如蔡金法教授说的“并不是中国学生不具备创造的潜能，而是我们不重视营造培养学生创造性品质的环境，我们的社会和教育并没有很好地提供给学生发挥创造性的环境”。学生接触最多的课本上都没有这类习题，老师课堂上也就不会给学生提供分组，讨论，合作，想象的机会，学生的创造能力就无从谈起。如此，从美国数学教材中攫取优点为我所用，也为我国中学数学教育的改革提供一些思路和借鉴。

参考文献：

[1]张辅.上海与美国加州小学数学课程的比较研究[D].上海：华东师范大学，2007.

[2]义务教育课程标准实验教科书数学九年级（上册）[M].北京：人民教育出版社，2005.

[3]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2001.

[4]Glenda Lappan，JamesT，Fey，WilliamM.How Likely Is It [M].Michigan State University Office，2002.

[5]吕世虎，孙学敏.中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究[J].数学教育学报，2010，19（6）：70—73.

[6]沈兰，郑润洲.变革的见证：顾泠沅与青浦教学实验年[M].上海：上海教育出版社，2008.

[7]蔡金法.基于中美学生数学学习的系列实证性研究（上）[J].小学青年教师（数学版），2006，（10）：24.

篇9：概率初步期末复习

知识点、题型归纳 实验中学 马贵荣

【知识梳理】

1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，4.下列事件中属于不可能的事件是（）

A.军训时某同学打靶击中靶心 B.对于有理数x，∣x∣≤0 其中，① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；

② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③ 如果A为不确定事件，那么0

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；

第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算。② 实验估算又分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算。要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率。

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算。如，利用计算器产生随机数来模拟实验。

综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率。

这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算。3．概率应用：

通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。

【针对训练】

随机事件与概率： 一.选择题

1.下列事件必然发生的是（）A.一个普通正方体骰子掷三次和为19 B.一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。C.今天下雨。

D.一个不透明的袋子里装有4个红球，2个白球，从中任取3个球，其中至少有2球同色。2.甲袋中装着1个红球9个白球，乙袋中装着9个红球1个白球，两个口袋中的球都已搅匀。想从两个口袋中摸出一个红球，那么选哪一个口袋成功的机会较大？（）A.甲袋 B.乙袋 C.两个都一样 D.两个都不行 3.下列事件中，属于确定事件的是（）

A.发射运载火箭成功 B.2008年，中国女足取得冠军 C.闪电、雷声出现时，先看到闪电，后听到雷声 D.掷骰子时，点数“6”朝上

C.一年中有365天 D.你将来长到4米高

5、一个袋子中放有红球、绿球若干个，黄球5个，如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25，那么袋子中共有球的个数为（）A.15 B.18 C.20 D.25 用列举法求概率： 填空题：

1、小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观．火车车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是。

2、初三

（一）星期二下午安排了数学、英语、生物各一节课，则把数学课安排在最后一节的概率_________________。

3、甲乙两人去某风景区游玩，每天某一时段开往风景区有三辆汽车（票价相同）。两人分别采取不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车；乙是观察后上车，当第一辆车开来时都不上，如果第二辆车比第一辆车好就上第二辆，第二辆车没第一辆好就等着上第三辆车，则甲坐上好车的概率为___________，乙坐上好车的概率为_____________.4、有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开其中一把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，则两把钥匙同时打开两把锁的概率___________。

5、三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖，突然停电，小伟只好把茶盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率________________.6、三张完全相同的贺卡分别送给三位同学，则三位同学都拿到的是送给自己那张贺卡的概率是_____________.7、在平面直角坐标系xOy中，直线yx3与两坐标轴围成一个△AOB。现将背面完全相

同，正面分别标有数1、2、3、112、3的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该

卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为。

8、有四张正面分别标有数学－３，０，１，５的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程1ax21有正整数解的概率为。

x22x9、将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是

．

10、从3，0，－1，－2，－3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5－m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图像经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为________。

11、有七张正面分别标有数字-3，-2，-1, 0, 1, 2, 3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的方程x

2-2(a-1)x+a(a-3)=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的函数y=x2-(a+1)x-a+2的图像不经过点（1,0）的概率是__________________.第二十五章 概率初步

知识点、题型归纳 实验中学 马贵荣

12、m的值可以取0、1、2、3中的一个数，n可以取0、1、3中的一个数，则使方程mx-2=n(x+1|n)的解是正整数的概率____________.13、已知ai不等于0（i=1、2、3…….2012）满足 使直线y=ai+i(i=1、2、3……..2012)的图像经过一、二、四象限的ai概率________________.解答题：

1、减负提质“1+5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措。某中学“阅读与演讲社团”为了了解本校学生的每周课外阅读时间，采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时内”、“2小时—3小时”、“3小时—4小时”、“4小时以上”四个等级，分别用A、B、C、D表示，根据调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中所给出的信息解答下列问题：

（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；

（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人每周课外阅读时间都是4小时以上，现从中任选2人参加学校的知识抢答赛，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自同不同小组的概率。

2.随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通 高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）该校近四年保送生人数的极差是 _________ ．请将折线统计图补充完整；

（2）该校2009年指标到校保送生中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进人高中阶段的学习情况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．

3．为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：

（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；

（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率。

第二十五章 概率初步

知识点、题型归纳 实验中学 马贵荣

4．在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如下两幅不完整的统计图：

概率的实际应用：

1、集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1－20号），另外袋中还有1只红球，而且这21只球除颜色外其余完全相同。规定：每次只摸一只球。摸前交1元钱且在1—20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元。

（1）求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；（2）如果发了3条箴的同学中有两位同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学． 现要从发了3条箴和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

5、有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）。小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积。（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；

（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢。你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平。

（1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。

（2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？