不定积分的方法总结

不定积分的方法总结（通用11篇）

篇1：不定积分的方法总结

不定积分的方法总结

不定积分的方法总结

教学过程：

在实际问题的解决过程中，我们不仅要用到求导数和微分，还要用到与求导数和微分相反的计算即积分运算.也就是由函数的导数求原函数,它是积分学的基本问题之一-----求不定积分.

一、原函数

1.引例1：已知物体运动方程s s(t)，则其速度是物体位移s对时间t的导数.反过来,已知物体的速度v是时间t的函数v v(t),求物体的运动方程s s(t),使它的导数s (t)等于v v(t),这就是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产量P是时间t的函数P P(t),则该产品产量的变化率是产量P对时间t的导数P (t).反之,若已知某产量的变化率是时间t的函数P (t),求该产品产量函数P(t),也是一个求导数运算的逆运算的问题.

2.【定义5.1】(原函数)设f(x)是定义在区间I上的函数.若存在可导函数F(x)，对 x I均有F (x) f(x)ordF(x) f(x)dx,则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数.

例如：由(sinx) cosx知sinx是cosx的.一个原函数;又(sinx 5) cosx,(sinx c) cosx(c是常数)，所以sinx 5,sinx c也都是函数cosx的一个原函数.

再如：由(2x3) 6x2知2x是6x的一个原函数;32

(2x3 c) 6x2，所以2x3 c(c是常数)也是6x2的一个原函数.

注意：没有指明区间时，应默认为区间就是函数定义域.

二、不定积分

1.原函数性质

观察上述例子知：函数的原函数不唯一，且有性质

(1)若f(x) C(I),则f(x)存在I上的原函数F(x).

(2)若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则F(x) C都是f(x)的原函数,其中C为任意常数.

(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则

F(x) G(x) C.

证明： F(x) G(x)

F (x) G (x) f(x) f(x) 0.

C R, s.t.F(x) G(x) C.

(4)设F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数为F(x) C(其中C为任意常数).2.【定义5.2】函数f(x)在I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分,记作 C R,s.t. f(x)dx.

即若F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则有 f(x)dx F(x) C,C为任意常数.

说明：(1) ---积分号;(2)f(x)---被积函数;

(3)f(x)dx----被积表达式.(4)x----积分变量.

3.结论：

①连续函数一定有原函数.

②f(x)若有原函数,则有一簇原函数.它们彼此只相差一个常数.

提问：初等函数在其定义区间上是否有原函数?例：edx,sinxdx， x2 2sinx xdx)

(一定有原函数，但原函数不一定还是初等函数.)例1求(1)3xdx;(2)x5dx. 2

解(1)∵(x) 3x，∴32233xdx x C.

x6 x6

55(2) C. x, xdx 6 6

例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x

1 1 x2dx arctanx C.

1提问： dx arccotx C对吗?1 x2

1例3求 dx.x

11解: (lnx) , dx lnx C.xx

例4:某商品边际成本为100 2x,则总成本函数为C(x) (100 2x)dx 100x x2 C.

3.导数与不定积分的关系

f (x)dx f(x) C.

(1)* df(x) f(x) C.(1)

df(x)dx f(x). dx

(2)*d f(x)dx f(x)dx.(2)

可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

提问:如何验证积分的结果是正确的?(积分的导数是被积函数时正确)

二、不定积分的几何意义

如图： f(x)dx F(x) C，

函数f(x)的不定积分表示

斜率为f(x)的原函数对应的

一簇积分曲线.在同一点x0处

积分曲线簇的切线平行.

此曲线蔟可由F(x)沿y轴上下平行移动而得到.积分曲线：函数f(x)原函数y F(x)的图形称为f(x)

的积分曲线.

不定积分的几何意义：f(x)的不定积分是一簇积分曲线F(x) C.且在同一点x0处积分曲线簇的切线互相平行.

例5设曲线通过点P(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线为y f(x),依题意知

x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,

2于是f(x) x C,

由f(1) 2 C 1,

所求曲线方程为y x 1.

提问：如何验证积分的结果是正确的?(结果求导必须是被积函数)

小结：

1.F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数F(x) c为f(x)的不定积分，即2

f(x)dx F(x) c

2.注意当积分号消失时常数c产生.

3.熟记积分公式，注意将被积函数恒等变形后用公式计算不定积分.

课后记：存在的问题不能正确理解几何意义;计算错误较多，找不对原函数，写掉积分常数C.

【提问】判断下列结论是否正确

(不正确说明理由)

(1)3dx 3x C.(2)xdx

(3)

515x C6 C.

(4) 1

x2 1x C.(5) 1

x lnx C.

(6) 5xdx 5xln5 C.

(7) 2exdx ex C.

(8) 2sinxdx cosx C.(9) 1

1 x2dx arctanx c arccotx C.

(10) sec2xdx tanx C.

(11) csc2xdx cotx C.

(12) arcsinx C arccosx C.

(13) secxtanxdx secx C.

(12) cscxcotxdx cscx C.

篇2：不定积分的方法总结

前言

说到技巧，在数学当中可是浩如烟海。从常规数学学习当中的配凑，换元，裂项相消，错位相减，数形结合，到竞赛中的.化归，调整，算两次，这些技巧极大简化了解决问题的难度，也成为了很多人对于数学产生兴趣的来源，这其中也包括了我。当然，在逐渐接触到越来越多更加高等的数学后，我明白当时对于数学的理解可谓十分浅薄，这门学科比这些模式化的计算和技巧的堆积要精彩太多。然而，虽然技巧只是数学汪洋当中微不足道的一隅，他们仍然是数学学习中非常重要的一部分。时至今日，我仍然会去关注和探索在初等和高等数学中的小技巧，因为我享受发现和使用技巧时的灵光一闪，也非常喜欢通过技巧来开阔思路，增强我对某个知识理解的深入程度。

在今天这一期推送里，我们来讲讲不定积分的技巧。在微积分/分析这门学科当中，计算是一项非常基本的能力，而在计算的过程当中有许多我们可以应用到的技巧。本文适合所有有一定微积分基础知识的人：对于学过一些微积分的高考同学，这篇文章可以做为一篇课外读物，加深一下你们对积分的理解;对于国外体制内，选修了相应微积分课程的同学们，你们可能对于其中的一部分或大部分概念感到比较熟悉;这篇文章可以作为你们对于相关学科内容的一个巩固。不论怎样，我都真诚地希望这篇文章能够对目标群体的读者有一定的帮助，而由于本人水平所限，如果有任何错误，还吝请大家指正。

篇3：不定积分的计算方法

不定积分的基本积分法:

一、分项积分法

分项积分法适用于一些比较简单的不定积分。这些不定积分是通过代数、三角等初等方法变形, 并利用不定积分的性质, 将其化为基本积分公式中的情形, 从而求出这些不定积分。

解:被积函数中的根式和分式均可化为幂函数, 从而可得

例2求

解:被积函数有不同三角函数sinx、cosx和cos2x, 可利用倍角公式化为

二、第一类换元积分法 (或凑微分法)

第一类换元积分法是利用复合函数的一阶微分形式不变性的原理, 反过来求不定积分的方法。它是通过适当的变量代换, 把原积分化为关于新变量的函数的积分。此时, 视新变量为中间变量, 从而达到化难为易的目的。第一类换元积分法的关键在于如何将被积函数g (x) 分解为f[φ (x) ]和φ' (x) 两部分, 从而转化为基本积分公式有关函数的形式或容易积分的形式, 其积分过程是:

例3.

解:被积函数自然地分成2xex2, 其中2x与dx可以凑成d (x2) , 于是应用变量代换u=x2, 从而有

例4.

解法二:

从例4的两种思路可看出第一类换元法的技巧性与灵活性, 虽然结果形式上不一样, 但均可化为同一函数, 至多相差一个常数。

注:应用第一类换元法的, 关键是怎样分解被积函数, 凑出新的微分, 使得到的新的积分比原积分更容求出。因此, 熟悉一些微分变换式是非常有用的。常见的凑微分形式有:

三、第二类换元积分法

第二类换元积分法是通过恰当的变量代换, 将原积分化为关于新变量的函数的积分, 从而起到化难为易的效果, 与第一类换元法的区别在于视新变量为自变量, 而不是中间变量。

使用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的代换x=φ (t) , 从而转化为基本积分公式有关函数的形式或容易积分的形式, 其积分过程是:

例5

说明: (Ⅰ) 对三角代换, 在结果化为原积分变量的函数时长借助于直角三角形。

(Ⅱ) 在不定积分计算中, 为了简便起见, 一般遇到平方根时总取算术根, 而省略负平方根情况的讨论;对三角代换, 只要把角限制在0到, 则不论什么三角函数都取正值, 避免了正负号的讨论。

(Ⅲ) 倒代换在用于被积函数分母中含有次数较高的x幂时往往很有效。

注:第二类换元法常用于含有根式的积分, 换元的目的在于取根号。常用的代换有:

4) 当被积函数含有时, 利用配方与代换可化为 (1) 、 (2) 、 (3) 中的一种;

6) 当分母含有高次因子时, 可用倒代换。

其中R (, ) 型的函数是关于变量“·”的有理函数。

四、分部积分法

分部积分法在求两种或两种以上类型的函数乘积的积分是十分有效的, 恰当的选取u (x) 与v' (x) 是关键。常用的选取方法有 (设P (x) 为多项式, m为正整数) :

3) 被积函数为P (x) 与三角函数乘积时, 一般选u=P (x) , v'为三角函数;

4) 被积函数为P (x) 与反三角函数乘积时, 一般选v'=P (x) , u为反三角函数;

5) 当被积函数为指数函数与三角函数乘积时, u、v'、可任选, 但注意前后两次分部积分中u、v'、必须保持同一类型函数;

6) 分部积分法依次取为反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数与三角函数。

上述所介绍的积分法是最基本, 也是最常见的一般方法, 具有较广的适用性。不定积分计算的核心是分析被积函数的特点, 联想基本公式, 通过各种手段、不同的处理方法, 千方百计的向基本公式靠近.所谓“千方百计”就是利用凑微分法 (即第一类换元法) ;代数恒等变形 (如四则运算, 分子、分母有理化, 因式分解等) ;三角恒等变形;变量代换 (即第二类换元法) ;分部积分法等等将被积函数转化为基本公式中的情形。同时在解题过程中要善于联想和反思, 做到触类旁通。

最后, 应当指出的是, 在求同一积分时, 可能有多种方法, 各种方法得到的结果形式上可能不一样, 但实质上最多相差一个常数, 其结果是否正确可通过求导数, 即其导数是否与被积函数一样来验证.在基本的积分法中, 第一类换元法 (又叫“凑微分”法) 是最基本的, 反映了积分法的精髓, 也是用得最多的, 更应当熟练地掌握它。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) [M]北京:高等教育出版社, 2001.

[3]复旦大学数学系.数学分析 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 1983.

[4]喻德生, 郑华盛.高等数学学习引导 (第二版) .北京:化学工业出版社, 2003.

篇4：不定积分积分方法浅析

【摘 要】在高职高专院校高等数学课程学习中，不定积分是很重要的一部分，它是定积分、广义积分、重积分、曲线积分等后续内容的基础，对不定积分的理解和掌握程度，不仅直接关系到高等数学课程本身的学习，而且还会影响相关专业课的学习和掌握。本文对直接积分法，第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法这四种积分方法加以总结和比较，以便学生对积分方法能更好地掌握.

【关键词】不定积分；直接积分法；第一类换元积分法；第二类换元积分法；分部积分法

在高职专科高等数学课程里面，一元函数不定积分的计算方法中，直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法是要求学生必须掌握的四种基本积分方法。但是在教学过程中，作者发现部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手。下面就个人的教学实践，分类讲解高等数学中的这几种不定积分方法，并对其使用技巧进行详细的说明。

五、总结

计算不定积分的方法有很多，以上只是求不定积分时比较常用的四种积分方法，在实际计算过程中并没有统一的规律可循，有时候要综合运用其中的两种甚至三种方法，所以我们要在做到活学活用、具体问题具体分析，切忌死记硬背、生搬硬套。每一种积分方法都有各自的原则和技巧，实际操作中我们只要掌握了这些原则和技巧，那么不定积分的计算就会变得非常简单，再也不会有无从下手的感觉了。

参考文献：

[1]同济大学.高等数学（6版）.高等教育出版社，2007

[2]张圣勤.高等数学（上）.机械工业出版社，2009

[3]张爱真，刘大彬.高等数学.北京師范大学出版社，2009

篇5：不定积分的方法总结

AP Calculus中的积分方法总结

AP频道为大家带来AP Calculus中的积分方法总结一文，希望对大家AP备考有所帮助。

1.常见公式

首先第一波是希望大家一定要牢记的公式

每个都必须背起来!

第二波公式属于：背不下来，你可以考场上临时推导一下嘛!下一篇推送我们在讲到具体方法的时候在三角函数那一块会来和大家讨论这些式子如何推导。知道推导方法了以后，我们也可以考场上临时求一下。

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2.换元法

一般常见的换元法，就不多说了，看到式子不熟悉的情况下，可以尝试用换元来做，但是换元如何选择，选择的好不好也影响到了这道题能不能做出来，方法是否简单。

比如下面这个式子：

如何选择换元呢?你有以下几种选择：

怎么选择才是最方便的呢?如何选择换元呢?

总不能考试的时候慢慢试探吧。

所以希望大家能够熟练的掌握下一种方法：

凑微分法!

3.凑微分法 三立教育ap.sljy.com

什么时候使用凑微分的方法?就是当你看到积分式子中有这样的形式可以去凑，并且剩余的部分只和右边括号里面的式子有关系，那么就可以用这样凑微分的方法来计算。

比如回到我们刚才的式子：

如果稍微做出一些变形后，大家可以看到式子可以被变换成： 三立教育ap.sljy.com

可以把一个对x积分的式子变成对tanx积分的式子，同时我们可以观察到，剩下来的部分都是和tanx有关的部分，因此就可以把tanx看成是一个整体来处理。

这里如果用换元法去做的话，其实是我们把tanx看成了一个整体进行换元。

那么怎么知道这才是正确的换元方法呢?

你得对上面的十个式子非常熟悉才可以吧!

4.一些特殊形式的规律

1.多项式分式

如果分母相对来说比较简单

(什么叫分母简单呢，就是你把分子全部换成1以后，这样的分式你会积分计算，那就可以判断成分母较为简单)

如这样的一些分母：

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这些分母形式都是可以直接套用公式，或者通过简单的换元/凑系数的方法进行快速的积分，因此我们把他们归成简单的分母。

(1)如果分子的最高次数大于等于分母的最高次数

the highest order of the numerator is greater than or equal to the highest order of the denominator

比如这样的：

分子的最高次数都要大于等于分母的最高次数：

我们采取的方法是：拆分子

也就是把分子拆成多项来和分母约分，从而让最后的分式只保留分子较为简单的形式：

(2)如果分母相对来说比较简单，但是分子的次数较小

这个时候我们需要对分母进行处理，如果分母出现是二次多项式的形式 三立教育ap.sljy.com

我们可以把分母根据不同形式分成两种类型

如果分母是第一种形式，我们把积分式子往arctan(x)的公式上去凑，比如：

如果分母是第二种形式，我们需要进行因式分解，比如：

不管分子是简单的1，还是关于x的简单的低次多项式，都可以采取这个方法。

为了更好的记住多项式分式的做法，大家可以练习下面这个多项式系列↓ 三立教育ap.sljy.com

我们根据上面讲的方法进行一下归类

(1)，(4)，(7)，(13)可以直接用公式适当变形后直接积分。

(2)，(3)，(5)，(6)，(9)，(12)，(15)都属于分子最高次数大于等于分母最高次数，因此可以用拆分子的方法计算。

(8)，(11),(14)因为分子都出现了xdx，剩余部分都是关于x平方的形式，因此可以用凑微分的方法计算。

(10)比较特殊，我们可以把分母因式分解后，拆分成两个分式分别进行计算。

饶莹/文

篇6：定积分证明题方法总结

●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

●分部积分法

如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

定积分

1、定积分解决的典型问题

(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件

●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质

●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。

4、关于广义积分

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a

定积分的应用

1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)

●直角坐标系下(含参数与不含参数)

●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)

●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)

●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积)

●功、水压力、引力

篇7：定积分证明题方法总结

关键词:积分方法  第一类换元法第二类换元法  分部积分法 不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计算技巧显得更加重要。这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。

1 直接积分法

直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本性质求不定积分的方法。直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积分表中能直接计算的公式,利用积分运算法则,在逐项积分。

一、原函数与不定积分的概念

定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF

f(x)

(x)f(x)dx

,则称F(x)为f(x)的一个原函数

定义2.函数

f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，，记为:

f(x)dxF(x)C

f(x)叫做被积函数  f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数

“

其中

”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.

性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即

f(x)dxf(x)C,

或df(x)f(x)C

性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

kf(x)dxkf(x)dx

(k0).

性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即

f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

基本积分公式

(1)kdxkxC(k为常数)

(2)xdx

1

1

x

1

C

(1)

1

(3)xlnxC

x

(4)exdxexC

(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)

11x

11x

2

(5)a

x

dx

a

x

lna

C

(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC

(11)

cscxcotxdxcscxC

(13)cscxdxlncscxcotxC (15)

1x

2

2

xarctanxC

xarcsinxC

xarcsinxC

三、换元积分法和分部积分法

定理1. 设(x)可导，并且f(u)duF(u)C. 则有

f[(x)](x)dxF(u)C

凑微分

f[(x)]d(x)

令u(x)

f(u)du

代回u(x)

F((x))C

该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设x数F

(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函

(t)，则

xt换元

fxdx

fttdt

积分

FtC

t

1

x

回代

1

FxC.

篇8：含指数函数的不定积分方法归纳

一、被积函数为复合函数, 且该复合函数的内函数为指数函数时, 利用该指数函数作为过度, 再利用凑微分法即可。

以上两个例子说明, 对于复合函数中内函数为指数函数的分部积分, 主要是凑出指数函数的形式, 继而进行进一步的求解。

二、当被积函数为指数函数和其它初等函数的乘积时, 可用分部积分法。

事实上, 对于这样的情形, 无论是指数函数和幂函数, 抑或是指数函数和三角函数, 还是和其它初等函数, 都采用分部积分法。这些分部积分方法在一般的数学分析教材中可常见。值得注意的是, 在含有指数函数和其它函数乘积的分部积分的过程中, 对于常用的分部积分公式∫uv'dx=∫udv=uv-∫vdu=uv-∫vu'dx, 一般令v为指数函数。

三、当被积函数可化为某可导函数及其导函数之和与指数函数的乘机时, 可用下面的推导公式。

例3.2说明公式 (1) 可有以下更广泛的推广:

对于这种情况, 主要是拆分和指数函数相乘的那个函数, 将被积函数中除去指数函数的部分, 拆成某可导函数及其导函数之和的形式, 然后利用公式 (2) , 即可进行较为方便的不定积分的求解。

综合以上三种情况, 可以将含指数函数的不定积分的三种形式归纳如下:首先, 当被积函数为指数函数的复合函数时, 可考虑凑微分法;其次, 当被积函数为指数函数和其它初等函数的乘积时, 可考虑采用分部积分法, 通过分部积分公式进行求解;最后, 当被积函数为指数函数和某可导函数及其导函数之和的乘积时, 可考虑公式 (1) 和 (2) , 采用这种有一定技巧的积分方法。

参考文献

[1]林源渠、方企勤编:《数学分析解题指南》[M], 北京大学出版社, 北京2003年, 137页。

篇9：不定积分的积分方法论文

不定积分的积分方法论文【1】

摘 要： 在高职高专院校高等数学的不定积分章节的学习中，有三种积分方法，分别是第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法.部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手.针对这种现象，本文对三种积分方法加以总结，以便学生对积分方法能更好地掌握.

关键词： 不定积分 换元积分法 分部积分法

一、第一类换元积分法

定理1(第一类换元积分法)设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元积分公式

f[φ(x)]φ′(x)dx=[f(u)du].

第一类换元积分公式实质上就是：f[φ(x)]φ′(x)dx=f[φ(x)]d[φ(x)].

第一类换元积分公式在运用过程中，应用的关键是确定新的积分变量φ(x)，那么如何确定φ(x)?方法有如下两种.

1.通过对所求不定积分中被积函数的观察，发现函数中既含有φ(x)又含有φ′(x)，则我们就可以猜测出新的积分变量为φ(x).

例如：求dx

分析：所求不定积分的被积函数为，因为(lnx)′=，所以我们可以把看做lnx，则新的积分变量φ(x)=lnx.

解：dx=[lnx]dx=lnxd[lnx]=lnx+C

2.通过对所求不定积分的观察，猜测出所要运用的基本积分公式，基于这个公式确定新的积分变量φ(x).

例如：求sin3xdx

分析：所求不定积分为sin3xdx，观察后发现我们所用的基本积分公式为sinxdx=-cosx+C，但是所求积分的被积函数不是sinx而是sin3x，我们可以把3x看做一个整体，就是新的积分变量φ(x)，即φ(x)=3x.

解：sin3xdx=[sin3x]3dx=[sin3x]d[3x]=[sin3x]d[3x]=-cos3x+C

二、第二类换元积分法

定理2(第二类换元积分法)设函数x=φ(t)单调，可导，且φ′(t)≠0，f[φ(t)]φ′(t)的原函数存在，则有换元积分公式

f(x)dx=[f[φ(t)]φ′(t)dt]，

其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函数.

第二类换元积分公式在何时运用?我认为：重点是解决被积函数中含有“根号”的积分问题.那么在学习中遇到的常见的含有根号的情形有几种呢?我总结了一下共有四种，分别是：;;;.

如何消除被积表达式中的根号?做适当变量替换即可，针对以上四种情形具体替换如下：

① 对，设t=;

② 对，设x=asint;

③ 对，设x=atant;

④ 对，设x=asect.

原来关于x的不定积分转化为关于t的不定积分，在求得关于t的不定积分后，必须代回原变量.在进行三角函数换元时，可由三角函数边与角的关系，作三角形，以便于回代.在使用第二类换元法的同时，应注意根据需要，随时与被积函数的恒等变形、不定积分性质、第一类换元法等结合使用.

例如：求dx

分析：所求不定积分的被积函数中含有根号，符合上述情形中的第三种，由此我们做替换x=2tant即可.

解：dx=•2sectdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln++C=ln(+x)+C

三、分部积分法

分部积分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx(其中u=u(x)与v=v(x)都具有连续导数)

分部积分法主要是解决被积函数是两类不同类型函数乘积的不定积分问题.这里我们所说的函数类型指的是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数五种基本初等函数.当然在具体应用时被积函数未必是这五种类型，有可能是相似的类型，我们在应用公式前，只需要将所求的不定积分运用其他的积分方法适当变形转化为这五种函数即可.

应用分部积分公式的关键是确定公式中的u和v′，如何确定它们?可按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序(即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排在前面的那类函数选作u，而把排在后面的那类函数选作v′.

例如：求xsinxdx

分析：不定积分中的被积函数xsinx为两类不同类型的函数乘积，所以我们就要应用分部积分法，其中u为x，v′为sinx，则u′=1，v=-cosx把上述四项代入公式即可.

解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C

小结：我们学习以上三种积分方法的目的就是要把我们所计算的不定积分问题转化为我们所熟悉的基本积分公式来处理，当然，这些积分方法在运用时往往不是单独使用，大多数情形下都是混合使用，甚至要多次使用.

参考文献：

[1]同济大学，天津大学，浙江大学，重庆大学编.高等数学.高等教育出版社，.6，第2版.

[2]周金玉.高等数学.北京理工大学出版社，2009.8，第1版.

[3]陈传樟等.数学分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.

不定积分计算方法的思考【2】

摘 要： 本文通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。

关键词： 不定积分计算 困难 分析 常用方法

不定积分是大学数学关于计算问题的一个重要内容，是定积分、重积分、线面积分计算、微分方程求解的基础。因此，熟练掌握不定积分的计算方法与技巧，对于学好高等数学是十分必要的，然而它的计算却存在着一定的难度。

一、不定积分计算的困难及分析

不定积分计算的困难首先是由其概念本身带来的，因为从求导的逆运算引进，造成了它的计算是非构造性的一类运算，它与求导相比有着显著的不同，求导有一定的公式可套，但求不定积分并非如此。

不定积分计算的困难还在于错误的思考方法，对于学生来说，解题往往通过“猜”的方式，猜原函数，这显然相当的困难;在老师方面，不定积分的教学也是一个难点，老师的任务是理出方法，教会学生如何理解方法，而不是凭感觉。

现实存在的问题有两个：一是当在指定让学生用哪种方法解决时，学生可以做到，但如果把方法混在一起，学生往往不知道用哪种方法;二是在当时学生会解决的题目，时间久了，学生就忘记了。原因都在于学生没有真正理解透各种方法的本质特点，面对问题时，不知道怎么根据其特征选择适当的方法。

二、不定积分计算的方法思考

在介绍积分方法时，老师首先应提醒学生注意被积函数的多样性，而不同类型的被积函数就需要不同的积分方法来解决，对于一个给定的f(x)，要求f(x)dx，这是一个未知的问题，从宏观上说我们要将未知的问题转化为已学知识来讨论。那么就存在两个问题：已知的是什么?怎么转化过去?

课本根据求导与不定积分的关系由基本求导公式给出了积分基本公式，它们可以作为已知的知识，那么不能直接由积分公式解决的问题，就要通过几种转化方法转化到现有的公式上，转化的依据要根据被积函数的结构和转化方法的特点。常用方法有以下几种。

1.基本变形。这个方法是由不定积分的性质线性引出的，只要做恒等变形就可以将要求的不定积分转化到基本积分公式中去，它的特点就是多个变单个。

2.凑微分法。顾名思义，关键在于一个“凑”字，如果能想到如何“凑”，则题目会迎刃而解，若想不到方法，则会无处入手。因此，归纳并熟记常用的`凑微分公式是十分必要的。

老师在讲解这个方法的时候可以先通过几个简单的凑微分的例子引出凑微分这个方法，以形象地观察出凑微分法的本质、特点，书上给出的定理是比较抽象的，在对其证明中，可以采取比较通俗的方式，如：要验证f[φ(x)]・φ′(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C是否成立，只要验证(F[φ(x)]+C)′=f[φ(x)]・φ′(x)是否成立。

如果成立，则证明了该定理，也证明了前几个例子的做法是正确的。再结合例子和定理归纳出凑微分法的特点就是“变元再协同”。

有些例题要“凑”多次，老师可以举相关例题让学生充分体会凑微元法的本质特点是变元再协同中的“再”，总的来说凑微元法就是一个“变元再协同”的过程。

3.变量代换法。从被积函数中会发现一些难以处理的因式，使用凑微元怎么也协同不了，在讲解这个方法的时候可以先举几个这样的例子，告诉学生思考这个问题的方法，多列几个学生就会知道想办法去掉难以处理的因式，当然是有多种代换方法的。在学生接受了这种思路后再给出定理，证明手段类似凑微元的证明。

例1：求.

思路一：被积函数中既有x，又含有x，所以我们想办法通过变元都协同到x上，然后再观察，再协同。

解一：===

=d=d

=arctan+C

思路二：考虑被积函数中含有根号，想办法去掉根号，使用三角代换很容易将其算出。

观察这两种方法的各自特点，第一种思路它比较难想到，但计算起来比较简单，第二种方法它虽然操作起来相对麻烦一些，但指向性非常明确。

三角换元法一般是把被积函数中含有的，分别用x=asint，x=atant，x=asect做变换去掉根式，没有太多的技巧，但是有些含有这样根式的不定积分不需要采取变量代换的方法，例如xdx，dx，被积函数中含有了比较难处理的因式，而变量代换就是起到一个去掉难处理的因式的作用，但在有些题目中只要用凑微元做就可以了，提醒学生不要犯教条。

4.分部积分。其基本公式为udv=uv-vdu，此方法用于求udv不易，而求vdu较易的题目。在运用分部积分法关键是u与dv的选取，掌握此方法的一个关键在于你要对哪个求导，du是一个局部求导，求导之后要方便运算才有意义。

例2：求xedx.

分析：被积函数是指数函数e与三角函数x的乘积，用分部积分有两种方案：xedx=edx=ex-xdexde，第一种方案是对e局部求导，而我们知道对它求导还是本身，所以解决不了根本问题，所以学生在做题的时候要思考到底对谁局部求导能达到目的，这题中对x局部求导就可以去掉这个因式，所以选择第二种方案。

这部分内容的学习要求我们要对各类积分法进行总结比较，分析各类积分方法的特征，达到掌握并熟练运用的目的。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].高等教育出版社，1990.

[2]仉志余.大学数学应用教程(上册)[M].北京大学出版社，.8.

篇10：不定积分的方法总结

***

（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）

摘要：微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.在此主要讨论和简单总结一些有关定积分、曲线积分与二重积分的问题.关键词：定积分 曲线积分 二重积分

英文部分

引言：

微积分是一套关于变化率的理论.积分学包括求积分运算，为定义和计算面积、体积提供了一套通用的方法.通常积分计算问题都涉及到天文、力学、几何学等.这里主要通过有关定积分、曲线积分与二重积分的一些实例来对这些知识作一个回顾性总结.1、定积分

1(12333n3);4nn1、1利用定积分求极限：lim

解：lim1333(123n)nn4

112n=lim()3()3()3 nnnnn

i1=lim()3 nni1nn

设f(x)x3，则f(x)在[0,1]上连续且可积.取xi1i,i为区间nn

i1ixi1,xi,的右端点,i=1,2…,n.所以上式为函数f(x)x3在区间[0,1]nn

上的一个积分的极限，从而有

111411333lim4(12n)xdxx.0nn40

4回顾分析：由定积分的定义知，若f(x)在[a,b]上可积，则可对[a,b]用某种特定的方法，并可取特殊的点，此时所得积分的极限就是f(x)在[a,b]上的定积分，因此本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.定积分在物理中的某些应用1、2 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解：考虑建立直角坐标系，这里B(0,5),C(20,3).1则BC的方程为：x+20y-50=0.即y=5-x.10

由于在相同深度处水的静压力相同gx,故当x很小时，闸门上从深度x到x+x 这一狭条A上受的静压力为

1x)xxgdx.10

20202011pdp2(5x)xxgdx(10x2x3)dx 000105

=14373.33(kN).1、3 设有半径为r的半圆形导线，均匀带点电荷密度为，在圆心处有一单位E电荷，试求它们之间作用力的大小.解：同样考虑坐标，取所对应的一段导线，电荷电量为drd.，它圆心处电荷E在垂直方向上的引力为

srsinksFksin rr2pdp2yxdxxg2(5

则导线与电荷作用力为

0ksin2k rr

回顾分析：据以上例题可知，在解决积分实际问题中，确定积分区域是解决问题的关键，另外对于定积分我们还应注意以下几点：

⑴周期函数的定积分，其积分上下限可任意改变，只要积分区间的长度始终等于周期，则定积分的值不变。

⑵定积分存在的两个条件：

①积分区间有限;②被积函数有界

⑶对于定积分f(x)可积，则加上绝对值也一定可积，若其绝对值可积，但去掉绝对值却不一定可积.2、曲线积分2、1第一型曲线积分2、1、1证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),t[,]上连续,则存在点((x0,y0)L使得f(x,y)dsf(x0,y0)L l

其中L为L的弧长 证明：因为f(x,y)dsf(x(t),y(t))x(t)2y(t)2dt l

记F(t)f(x(t),y(t)),G(t)x(t)2y(t)2

由已知条件知F(t)在,上连续,G(t)在,上连续且非负（不变号），则根据推广的定积分第一中值定理知，存在t0,,对应点(x0,y0)(x(t0),y(t0)), 使f(x,y)dsf(x(t0),y(t0))lx(t)2y(t)2dtf(x0,y0)L

回顾分析:运用推广的定积分第一中值定理是证明此题的关键.2、2第二型曲线积分

2.2.1求y2dxz2dyx2dz，其中，L是维维安尼曲线x2y2z2a2，L

x2y2ax(z0,a0)若从轴正向看去，L是沿逆时针方向进行的.解：选择好参数方程确定好积分区域正是解此题的关键.将 x2y2z2a2表示为 2a2，x2y2ax

表示为r2ax 或 rax

令 xacos2 则 yasincos,zacos2asin，于是L:xacos2,yasincos,zacos2



2

2,所以

Ly2dxz2dyx2dz



2[a2sin2cos2(2acossin)a2(1cos2)a(cos22

sin)acosacossin(1cos)]d

224212

2a32(sin2cos2sin4)d0

3351a3[(,)(,)]2222



4a

3通过以上实例分析可知，曲线积分有着较为广泛和重要的作用.因此对于曲线积分，我们应注意以下几点：

⑴第一型曲线积分：第一型曲线积分上限、一定要大于积分下限； ⑵第二型曲线积分：

①曲线和有方向，方向改变后第二型曲线积分二值就要反向，即变号；

②第二型曲线积分的计算，在化为定积分时，积分上限可以小于积分下限，起点即为下限，终点即为上限.⑶曲线积分是定积分的推广.⑷对ds,即表示L的弧长，即f(x,y)=1.l

3.二重积分3、1计算(xy)2d，其中D0,10,1.，D

解：应用定理即：设f(x,y)在矩形区域Da,bc,d.上可积，且对每个xa,b积分d

cf(x,y)dy存在，则累次积分

bdbadxf(x,y)dy也存在，且cdf(x,y)ddxDacf(x,y)dy 有f(x,y)ddx(xy)2dx

D00117 6

回顾分析：对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集D{(x,y)y1(x)yy2(x),axb}为x型区域

称平面点集D{(x,y)x1(y)xx2(y),cyd}为y型区域.3、2关于x型区域的实例3、2、1计算二重积分d，其中D为由直线y=2x,x=2y及x+y=3所围的三角

D

形区域.解：把D看作x型区域时，相应的2x,0x1x ,y1(x), y2(x)23x,1x2

dxdddxxdydxxdy DD1D2021212x23x

12xx(2x)dx(3x)dx0122

333x23xx241240123、2、2关于x,y混合型区域的实例

求由坐标平面x=2,y=3,x+y+z=4所围二角柱体的体积.解：

Vzdxdy(4xy)dxdy

DD

dx(4xy)dydx0011324x0(4xy)dy

55

6回顾分析：

对于二重积分应注意以下几点：

⑴ 二重积分化为累次积分，积分上限一定要大于积分下限.⑵ 二重积分的许多性质与定积分的几乎完全相同.⑶ n(n2)重积分的计算都是转化为定积分的计算.⑷ 掌握型区域和型区域的二重积分的计算是计算一般平面上二重积分的基础.⑸ 解决了x型区域或y型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决.参考文献：

【1】 华东师范大学数学系编.数学分析（上、下）[M].第三版.北京:高等教育出版社.2001

篇11：巧解积分的几种方法

【关键词】 对称性;巧解;计算技巧.

积分学是高等数学的重要组成部分，在理论研究和实际应用中，许多问题都可以归结为积分的计算问题，而且重积分、曲线、曲面积分最终都转化为定积分的计算.计算定积分的一种行而有效的`工具是微积分基本公式，即牛顿―莱布尼茨公式.但一个显见的事实是：若被积函数的原函数不能用初等函数表示，则牛顿―莱布尼茨公式就失去了效力;另一方面当被积函数本身形式复杂，传统的积分方法也相形见绌，发挥不了作用.为了减少计算量和提高计算效率，我们总结了如下几种常见的巧解积分的方法和技巧.

一般情况下，积分并不是这种形式，需要通过换元或对称性对积分进行变换或变形.

5.巧用对偶性

有些积分单独考虑时比较难以积出结果，倘若构造出另一个积分作为对偶，两个积分同时考虑则可利用两积分相互之间的良好关联性质，即可简单地求出原积分，这种利用对偶求解积分的方法称为对偶(“伴侣”)法.

总之，由于积分的形式具有多样性，导致积分的计算有很强的灵活性.对具体函数的积分，我们不能只停留在一般的方法上，要积极尝试新的方法，具体问题具体分析，才能寻求到最佳解法提高积分的解题技能.

【参考文献】

[1] 陈兆斗，郑连存，王辉，等.大学生数学竞赛习题精讲[M] .北京：清华大学出版社，.

[2] 曹斌，孙艳.对称性在积分计算中的应用[J] .吉林师范大学学报(自然科学版)，，33(3)：125-128.

[3] 马军英.用积分域变量轮换对称性计算几类积分[J] .山东师范大学学报(自然科学版)，，19(1)：79-81.

[4] 李源，郝小枝.多元数量值函数积分中的轮换对称性[J] .云南大学学报(自然科学版)，，35(S2)：433-437.