定积分计算方法总结

2024-04-24

定积分计算方法总结（共14篇）

篇1：定积分计算方法总结

定积分的计算方法总结

定积分

1、定积分解决的典型问题

（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件

●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质

●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的.最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

4、关于广义积分

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a

定积分的应用

1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）

●直角坐标系下（含参数与不含参数）

●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2)

●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）

●平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）

●功、水压力、引力

●函数的平均值（平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx）

篇2：定积分计算方法总结

为大家献上定积分的计算方法小结的论文，欢迎各位数学毕业的同学阅数列通项公式的求法!

摘要：本文通过对定积分计算方法的总结以达到更进一步提高高职学生学习高等数学的积极性，提高解题能力，增强分析问题解决问题的技能。

关键词：定积分;原函数;对称性;奇偶性

在高职高专院校高等数学的教学过程中，微积分是一个很重要的内容。其中定积分是函数微积分的重要组成部分。本文中给出几种常用定积分的计算方法，这是本人在数学实践中的一些总结，仅供参考。

1.原函数方法

此方法先求出被积函数的原函数，然后借助于积分的基本公式把原积分转化成原函数在积分区间端点上函数之差。设f(x)在[a,b]上连续,且, 则。

例1 求。

解因为x2是x/2的一个原函数，所以。

2.分部积分法

设f(x)，g(x)在[a,b]上有连续的导数, 则。

例2 求。

解在分布积分公式中取f(x)=Inx，g(x)=x，于是有。

3.换元法

设f(x)在[a,b]上连续，在上有连续的导数，其中且在上不变号。则

例3求

解令u=1+2x，有

。

4.利用奇偶函数性质计算积分

奇偶函数在对称区间上的`积分性质：

例4求。

解因为x/2在[-2,2]上是奇函数，所以。

5.利用周期函数性质计算积分

周期函数的性质：设T为一个正的常数，对x均有：f(x+T)=f(x)成立，又设a为任意实数，n为正实数，则有：。

例5 求。

解是以为周期的周期函数。于是有

计算定积分的方法还有很多，如泰勒级数法，递推公式法，欧拉公式等。以上给出的方法是比较基本常用的方法，比较符合学生的知识功底，适合高职学生学习掌握。

参考文献:

[1]严子谦等. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社. .

篇3：关于几类典型的定积分的计算方法

V1可看做为平面所围成的立体体积 (如图1) 。于是,

2巧用分部积分计算2

此题若用积分变量代换会很困难。

3利用函数公式计算定积分

4利用函数的特点作变量代换后积分

技巧:原始的被积函数与变量替换后新的被积函数之和恰好为1。

5综合计算

6利用递推关系计算定积分

7利用级数计算定积分

上式右端级数在 (-1, 1) 得任意闭区间中一致收敛, 故

摘要：本文通过具体例题, 介绍了几类典型的定积分计算的方法, 掌握这些方法和技巧既可减少计算量, 提高效率, 又可以开拓解题思路, 提高定积分的解题技能。同时给出了概率积分+∞0乙e-x2dx一种最简单的计算方法。

关键词：定积分,计算,方法

参考文献

[1]舒阳春.高等数学中若干问题解析[M].北京:科学出版社, 2005:101-102.

[2]杨延龄, 章栋恩, 邹励农等.高等数学微积分700例题[M].北京:中国建材工业出版社, 2004:136.

[3]岳全发.高等数学演算一题多解[M].北京:新时代出版社2004:210, 231.

[4]周建莹, 李正元.高等数学解题指南[M].北京:北京大学出版社, 2002:239-240.

篇4：定积分的常用计算方法

关键词：定积分不定积分计算方法

定积分是《高等数学》中积分学部分的一个重要组成部分，它是在学生掌握了不定积分的概念和计算后，为了解决一些实际问题而引出的一个新知识点。虽然现在大部分高职高专中用的教材以“必需、够用”为原则，对定理、公式的证明介绍的很少，要求学生会利用公式来计算即可，但随着高校入学门槛的降低，文科學生的数学知识非常薄弱，学生经常面临上课虽然能听得懂但拿到题目不知从何下手的困境。如何解决此难题？应注意的是通过实际问题引出的定积分定义虽然可以用来解决相关问题，但若要利用其定义来计算积分值是十分困难的，而在积分上限函数的基础上引出的牛顿—莱布尼茨公式，通过求解不定积分中原函数的过程，将不定积分与定积分联系起来，给出了非常简单的计算定积分的方法，最终简化并解决了定积分的计算。因此，我们在对应不定积分的计算方法的基础上，总结出相应的一些求解方法，帮助学生较快的理解和掌握定积分，为后面二重积分的计算奠定基础。

由牛顿—莱布尼茨公式公式∫baf（x）dx=F（x）|ba=F（b）-FF（a）可知，要计算定积分只要计算出被积函数的一个原函数，求出其在相应的区间上的增量即可。联系到不定积分的积分方法，将常用的求定积分的方法总结如下。

一、直接积分法

1.直接利用公式及性质计算

例1：求∫π120（2sinx-cosx）dx.

分析：直接套用三角函数公式及定积分的性质求出原函数再计算。

解：∫π120（2cosx-sinx）dx=2sinx+cosx|π120=1

例2：求∫π140tan2xdx

分析：被积函数是不定积分中见过的类型按相应的三角恒等变换先求出原函数再利用公式计算。

解：∫π140tan2xdx=∫π140（sec2x-1）dx=tanx-x|π140=1-π14

2）利用定积分的区间可加性计算

例3：设f（x）=1+x-1≤x<0

en0≤x≤2，求∫2-1f（x）dx

分析：这是一个分段函数，在不同的区间对应的函数表达式不同，利用区间可加性分区间考虑其计算。

解：∫2-1f（x）dx=∫0-1（1+x）dx+∫20exdx=x+112x2|0-1+ex|20=e2-112

例4：求∫π12π121-cos2xdx

分析：开方后被积函数其实是绝对值函数，利用绝对值定义去掉相应的符号后再利用区间可加性计算。

解：∫π12π121-cos2xdx=∫π12π122|sinx|dx=2∫0π12（-sinx）dx+2∫π120sin xdx=2cos x|0-π12-2cosx|π120=22

二、换元积分法

针对不定积分中的两类换元积分法，运用到定积分的计算时要注意的是如何正确选择两类方法。

第一类换元积分法直接可以应用到定积分的计算中，只要熟悉不定积分的凑微分，知道如何凑出中间变量的微分就可计算。

例5：求∫e1=dx1x1+lnx

分析：被积函数中有常用的凑微分公式，可先考虑使用凑微分法再计算。

解：∫e1=dx1x1+lnx=∫e1（1+lnx）112d（1+lnx）=2（1+lnx）112|e1=2（2-1）

注：能使用不定积分的第一类换元积分法解决的定积分不需要再使用变量代换去计算。比如上例用如下方法

∫e1=dx1x1+lnx=∫e1（1+lnx）112d（1+lnx）=∫21u-112du=2u112|21=2（2-1）

计算时不仅需进行变量代换u=1+lnx，同时还得将x的区间换成的区间[1，2]，增加了计算量。

由不定积分的计算可知，若被积函数中含有根式又不能用凑微分法计算时，可通过变量代换去根号后再计算。关键是正确地选择变量代换，同时要注意的是换元的同时一定要换上下限。由此得到的定积分换元积分公式为∫baf（x）dx=∫βαf[φ（t）]φt（t）dt

对应不定积分中的形式经常用到的有两种代换：三角代换、根式代换。

例6：求∫51=x-11xdx

分析：直接根式代换去根号。

解：令x-1=t，x=t2+1；dx=2tdt.当x=1时，t=0；当x=5时，t=2.

所以∫51=x-11xdx=∫202t21t2+1dt=2∫20t2+1-11t2+1dt=2∫20（1-11t2+1）dt=2（t-arctant）|20=2（2-arctan2）

例7：求∫101-x2dx.

分析：被积函数是自变量的平方形式，需三角代换才能去根号。

解：令x=sint，1-x2=cost，dx=costdt.当x=0时，t=0，当x=1时，t=π12.

∫101-xdx=∫π120cos2tdt=112∫π120（1+cos2t）dt=112（t+112sin 2t）|π120=π14

三、定积分的分部积分法∫baudv=uv|ba-∫bavdu

由不定积分的分部积分法可知此法主要用来解决被积函数是两个函数乘积的形式，应用此法的关键是选择合适的u，将函数凑成udv的形式，由不定积分的学习我们已知道选取的规律为：五种基本初等函数中，按“反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数（简称反对幂指三）”这一顺序先后排列，谁在前设谁为u，将剩下的函数与凑成微分形式dv。所以由不定积分的分部积分公式推导出的定积分的分部积分公式类推即可。要注意的是若被积函数中只有一个函数时（如∫21lnxdx），其实就是∫baudv的形式可以直接套用公式进行计算。

例8：求∫10xe-xdx

分析：两个函数相乘的形式使用分部积分法计算。

解：∫10xe-x=-∫10xde-x=-xe-x|10+∫10e-xdx=-11e-e-x|10=1-21e

以上只是给出了定积分的一些基本求解方法，对一般的定积分，只要熟练不定积分的计算，了解不定积分的类型及函数后就可以掌握定积分的计算，只有多练习才能掌握，从而熟能生巧。

当然在学习中还有一些其他的方法可用来解决一些比较特殊的函数的定积分，如果所求的定积分满足区间是关于原点对称而函数具有奇偶性的时候可利用相应的性质化简计算如例4也可用如下方法计算：∫π12-π121-cos2xdx=∫π12-π122|sinx|dx=22∫π120sinxdx=22（-cosx）|π120=22。

参考文献：

[1]吴赣昌.微积分（经管类第三版）[M].中国人民大学出版社，2009.

[2]郑亚琴.定积分的几种解法归类[J].中国商界，2010.（9）.

[3]梁志南.定积分的计算方法[J].数学学习与研究，2008.（9）.

篇5：定积分证明题方法总结

若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢!

性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或

df(x)dxf(x) dx

性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

性质3[f(x)g(x)]dx

或[f(x)g(x)]dx

二、基本积分公式或直接积分法

基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx;kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx

kdxkxC

xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax

edxeCadxlnaC xx

cosxdxsinxCsinxdxcosxC

dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC

secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC

dxarctanxCarccotx

C()1x2arcsinxC(arccosxC)

直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。代数变形主要是指因式分解、加减拆并等;三角变形主要是指三角恒等式。

三、换元积分法：

1.第一类换元法(凑微分法)

g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)

注 (1)常见凑微分：

u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).

111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|

c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2

(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：

若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx，若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类;

(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x);

(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次;奇次方，拆项;

2.第二类换元法

f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型:

(1) 对被积函数直接去根号;

(2) 到代换x1; t

(3) 三角代换去根号

atantxasect、

xasint(orxacost)

f(xdx，t

f(xx，x

asect

f(xx，xasint

f(xx，xatant f(ax)dx，ta

f(xx，t

三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.

注 (1)u的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;

(2)uvdx要比uvdx容易计算;

(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：

arcsinx1dx，

篇6：概率统计定积分近似计算实验报告

日期：2013 年 5 月 15 日班级

学号

姓名

实验名称定积分的近似计算

问题的背景和目的：

加深对大数定律的理解，学会用 o Monte Carlo 方法近似计算定积分的值．掌握利用随机投点法和平均值法近似计算定积分的方法．：

实验内容：

（随机投点法）

估计定积分11011xeJ dxe．(当 0 1 x   时，10()11xef xe  ).随机投点法的具体步骤为：

(1)独立地产生 2n 个服从(0，1)上均匀分布的随机数，1 2 1 2, , ,;, , ,n nx x x y y y ；(2)统计()i iy f x  的次数 k ；(3)用kn来估计1J ．

（平均值法）

估计定积分1101.1xeJ dxe(当 0 1 x   时，10()11xef xe  ).平均值法的具体步骤为：

(1)独立地产生 n 个服从(0,1)区间上的均匀分布的随机数1 2, , ,nx x x ；(2)计算()if x ；(3)用11()niif xn来估计1J ．（4）自己从《数学分析》教材中找一个“积不出来”的定积分，利用上述方法近似计算积分。

实验所用软件及版本：

Excel 2003 实验过程：

实验结果总结：

篇7：定积分计算方法总结

1.定义：b

af(x)dxlimf(k)xk 0k1n

2.可积性：

1）必要条件：f(x)有界；

2）充分条件:f(x)连续或仅有有限个第一类间断点；

3.计算1）b

af(x)dxF(b)F(a)

2）换元法

3）分部积分法

4）利用奇偶性，周期性

5）利用公式 n1n31,n偶nnnn222(1)2sinxdx2cosxdx 00n1n32,n奇nn23

(2)

4.变上限积分：π0xf(sinx)dx20f(sinx)dx x

af(t)dt

1)连续性：设f(x)在[a,b]上可积，则

2）可导性：设f(x)在[a,b]上连续，则

变上限求导的三个类型： xaxaf(t)dt在[a,b]上连续。f(t)dt医学考研论坛在[a,b]上可导且(f(t)dt)f(x).ax

(x)(1)f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)(x)

(x)x(2)f(x,t)dt例1:F(x)(tx)f(t)dx 0(x)

bdx2(3)f(x,t)dt例2:sin(xt)dt0adx

3）奇偶性：i）若f(x)为奇函数，则x

0f(t)dt为偶函数。

ii）若f(x)为偶函数，则5.性质：



f(t)dt为奇函数。

1)不等式：i)若f(x)g(x), 则



f(x)dxg(x)dx.a

ii)若f(x)在[a,b]上连续，则m(ba)iii)



f(x)dxM(ba).

f(x)dx|f(x)|dx.a

2)中值定理： i）若f(x)在[a,b]上连续，则



f(x)dxf(c)(ba),acb

g(x)不变号，则

ii）若f(x),g(x)在[a,b]上连续医学考研论坛，

f(x)g(x)dxf(c)g(x)dx,acb.a

【例1】I



n0

x dx;

【解法1】原式=n=n=n=n





sin2







(cossin)2 cosxsinx

(cosxsinx)dx(sinxcosx)22n.

40



【解法2】原式=n

54



54

sin2xdx





(cosxsinx)2dx

454





(sinxcosx)dx2.ex4

sinxdx;【例2】 I

1ex2

xt

ee44

sinxdx2sintdt【解析】I2

xt1e1e22



(xt)



sin1ettdt





12ex1442sinxdxsinxdx

1ex221ex

2

2sinxdx

22







sin4xdx

313

海文考研钻石卡 

42216

【例3】已知f(x)连续，【解析】令xtu得





tf(xt)dt1cosx,求2f(x)dx的值.

tf(xt)dt(xu)f(u)duxf(u)duuf(u)du，xxx

xxxdx，从而有tf(xt)dtf(u)duxf(x)xf(x)f(u)duf(u)dusinx 0000dx

令x



得



f(u)dusin



1.1n

12n

【例4】求 lim121n21n2nn

11222n212n

(2)ln1(2)ln1(2) 【解析】令yn(12)(12)(12)，则lnynln1nnnnnnn

2x2

ln22(1)limlnynln(1x)dxxln(1x)001x20n4

原式e

ln22(1

)



2e

2

.【例5】求证:【解析】



sinx2dx0.2



2

sinxdx =



sint20

（令x2t）





sint2t



2

sint2t



而



2

sinusint

=du（令tu）

2u

则



sinxdx

0

sint11

dt0.2t

【例6】设f(x)在[a,b]上连续，单调增。求证:【证法1】令F(x)

bab

axf(x)dx2af(x)dx



tf(t)

xax

f(t)dt a2

只要证明F(b)0，显然F(a)0

2a1x

f(x)f(t)dt 22a

=(xa)f(x)f(t)dt

a2

=(xa)f(x)(xa)f(c)(acx)

而F(x)xf(x)0 则F(b)F(a)0 原式得证.【证法2】由于f(x)在[a,b]上单调海文考研钻石卡增，则

(x

abab)(f(x)f())0 22

从而有即又则即



(x

abab)f(x)f()dx0 22

ababbab

(x)f(x)dxf()(x)dx0 a

22a2bab(x)dx0 a

2bab(x)f(x)dx0 a

篇8：定积分的计算技巧

一、巧用换元求定积分

定积分的换元积分法:设f (x) 在[a, b]上连续, x=Φ (t) 满足条件: (1) 当t在[α, β]上变化时x=Φ (t) 在[a, b]上变化; (2) Φ′ (t) 在[α, β]内保持定号; (3) a=Φ (α) , b=Φ (β) 则虽然定积分与不定积分通过N-L公式发生了内在联系, 它把定积分的复杂计算归结为求被积函数的原函数, 但有时找被积函数的原函数很麻烦, 更为严重的是, 有些被积函数的原函数不能用初等函数表示出来, 因而不能用N-L公式计算, 借用变量代换所换得的结果却可以求出定积分。

对于原函数不能用初等函数表示, 此时用定积分的性质和换元积分法往往可以使一些积分项相互抵消, 最终求得这个定积分的值。

二、利用含参量积分计算定积分

有些定积分, 用换元法和分部积分法不易计算出来, 甚至有的函数的原函数不能用初等函数表示出来, 此时可借助于含参量积分。在被积函数中引入参量化成含参量积分或将被积函数化为含参量积分。利用含参量积分的性质, 积分号下可求导性或积分顺序可交换性计算定积分。

此题利用换元法已得出结果, 这里再用引用参量来做一下。

小结其方法:

一利用积分号下可求导性计算定积分的方法与步骤:

1.在所计算的定积分的被积函数f (x) 中引进参量α化为含参量积分I (α) ;定积分I是I (α) 的一个值, 一般取I=I (α) 或I=I (b) ;

2.求出I′ (α) =G (α)

二利用积分顺序可交换性计算定积分的方法和步骤:

三、巧用对称区间求定积分

对于积分区间关于原点对称的定积分, 可利用下面的性质和结论来计算, 这样可以化简计算。

性质1:定义在对称区间[-a, a]上的任何函数f (x) 都可以表示为一个奇函数和一个偶函数之和。事实上, 是偶函数, 而f (x) =Φ (x) +ψ (x) 。

性质2:如果连续函数f (x) 定义在对称区间[-a, a]上, 那么当f (x) 是奇函数时,

四、利用周期函数的积分性质求定积分

当被积函数是一个周期函数时, 应特别注意将积分区间巧妙地分段, 作必要的替换, 简化运算, 而周期函数以三角函数为最为常用的。设f (x) 在 (-∞, ∞) 可积, 且以T为周期的周期函数, a是任意实数, 必有

周期函数f (x) 在长度等于周期T的任意闭区间上, 定积分的值相等, 与区间端点的位置无关。

正弦函数, 余弦函数在周期区间上的积分为零。

余弦函数在半周期区间上的积分等于零。

五、利用解微分方程求定积分

此方法往往和带参变量方法联用, 先建立微分方程再求解, 运用时要注意初始条件, 以便确定通解中的任意常数。

六、利用泰勒级数求定积分

首先, 我们先列出级数的有关定理:

例:计算积分

在x2的正弦级数展开式

七、利用递推公式

这是很常用的方法, 很多教材中介绍过, 尤其被积函数中含有自然数n时, 此方法较有效。

摘要：定积分是微积分学中的一个重要组成部分, 其计算方法和技巧是非常丰富的。牛顿-莱布尼兹公式使定积分的计算与不定积分联系起来。但不等于说, 定积分计算只是求原函数运算与N-L的简单组合。除用一些基本的定积分定义、性质、分部积分等方法外, 定积分计算有着特殊的方法和技巧。本论文通过实例分析探讨了定积分计算中所采用的几种技巧, 开拓解题思路, 以提高我们的定积分计算能力。

关键词：定积分,计算方法,技巧

参考文献

[1].钱昌本.高等数学解题过程的分析与研究[M].北京:科技出版社, 1994

[2].韦兰英.定积分的计算方法和技巧[M].武汉:华中科技大学出版社, 2001.20～22

[3].孙本旺, 汪浩主编.数学分析中的典型例题和解题方法[J].湖南科技出版社, 1981

篇9：三角函数定积分的四种求解方法

【关键词】换元法对称法待定系数法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）07-0215-01

Four methods of solving definite integral trigonometric function

PEI QINJUAN

ChangZhou garment and Textile Institute Department of Information Technology

213164， changzhou （China）；

【Abstract】This paper presents three methods for solving integral solution of trigonometric function

【Keywords】 Change element method Symmetry method The method of undetermined coefficients

定积分是微积分中很重要的一部分知识，因此对积分计算就显得尤为重要，当三角函数和定积分综合的时候，比起普通积分更加复杂，如果利用定积分的一些有趣的性质和特点以及三角函数的恒等变形等技巧时往往可以得到很美妙的形式，从而解决这类问题。下面就给出三种求解这些积分的技巧和方法。

一、换元法

换元法是最为常见的一种积分方法，尤其是在遇到三角函数积分的时候，往往使得解题过程中出现柳暗花明的景象。

例1：

解：令原式=

二、对称法

定积分有很多非常重要的性质，利用对称性的特点和三角函数联系起来后，往往可以将一些复杂的积分题目简单化。

1、对称区间上定积分性质：

定理1：（1）若

（2）若

（3）若

定理1中（1）式和（2）式简单，其实（3）式适用范围更广泛，用（3）式能更加简单快速的求解出积分。

例2：

解：令

原式=

由（3）式可以继续推广到非对称区间上。

2、非对称区间上定积分的性质

定理2：

推论1：

推论1给出了更一般的非对称区间的情形下一般函数求解积分的一种很好的思路。

例3：

解：由推论，我们得到：原式=

三、待定系数法

当定积分形式为的一次项线性组合的有理积分时，通常可考虑用这种方法解答

例4：

解：令

原式。

以上是对三角函数的定积分求解的三种比较常见的技巧方法的总结，利用这些方法能够很巧妙的化解积分形式，从而减少计算的步骤和复杂的程度，达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1] 李德新.利用对称原理计算定积分的三种方法[J]. 高等数学研究， 2004（06），41-47

[2] 陈纪修等[编著].数学分析[M]. 高等教育出版社， 2004

篇10：昆山积分入学计算方法

1.居住证满一年，可认定为在本市居住满一年;

2.有居住证，当前处于缴费状态，18个月以内社保累计缴费满12个月(截止时间为3月31日)。

3. 有居住证，并且满足以下条件之一的，视为居住满一年：

(1)203月31日前，已取得房产证的，可以在房产证所在区镇申请积分入学报名;

(2)年3月1日前，已购买一手住宅房并签订昆山市商品房购销合同且经市住建局网上备案的，可以现居住地参加积分入学报名;在7月15日之前取得房产证的，可以房产证所在地申请调整积分入学申报学校。

二、关于房产积分的认定及截止时间

2016年3月1日前，已购买一手住宅房并签订昆山市商品房购销合同且经市住建局网上备案的可以加10分;7月15日前取得房产证的，可以再加30分，共40分。

在3月31日之前尚未取得房产证的，如在7月15日之前取得房产证，可以纳入积分。5月15日到21日，7月10日到7月16日，各区镇积分入学办理窗口受理房产证的积分登记。

三、关于积分入学的时间调整

公布当年度准入学校可供学位数时间调整为6月底前;申请人查分阶段调整为7月18日至7月22日;公示各区镇和各准入公办学校申请人积分高低排名时间调整为7月25日前;公布各学段积分入学准入名单时间调整为8月10日;各区镇向符合积分入学的新市民子女发放相应学段积分入学准入卡时间调整为8月15日前。

篇11：三重积分的计算方法小结与例题

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分F(x,y)d，就是“投

z1z2D影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)dz]d

Dz1z2如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz，就是“截面

Dzc2c1法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面zc1与zc2之间，即z[c1,c2]，过z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分f(x,y,z)d，完成Dz了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分F(z)dz，完成“后

c1c2一”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)d]dz

c1Dzc2当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且Dz的面积(z)容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如f(x2y2),f()时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）

（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2y2z2)时，可选择球面坐标系计算

以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。

yx三重积分的计算方法小结：

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；

截面法（先二后一）： Dz是在z处的截面，其边界曲线方

程易写错，故较难一些。

特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算SDz。因而中只要z[a,b], 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2y2)时，可考虑用柱面坐标计算。

三重积分的计算方法例题：

补例1：计算三重积分Izdxdydz，其中为平面xyz1与三个坐标面

x0,y0,z0围成的闭区域。

解1“投影法” 1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”0z1xy

X型

D：

0x10y1x

0x1∴：0y1x

0z1xy

3.计算

11x1xy11xIzdxdydzdxdy0010zdzdx00111x(1xy)2dy[(1x)2y(1x)y2y3]10dx2203111311 (1x)3dx[xx2x3x4]1

06062424

解2“截面法”1.画出。2.z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz。

Dz是两直角边为x,y的直角三角形，x1z,y1z 3.计算

111Izdxdydz[zdxdy]dzz[dxdy]dzzSDzdz

0Dz0Dz0

1111z(xy)dzz(1z)(1z)dz(z2z2z3)dz22202400

补例2：计算x2y2dv，其中是x2y2z2和z=1围成的闭区域。解1“投影法”

zx22y21.画出及在xoy面投影域D.由z1消去z，111得x2y21即D：x2y21

2.“穿线”x2y2z1，1x1

X型

D：

221xy1x1x1∴ :1x2y1x2

22xyz13.计算11x111x2x2y2dvdx1dy21xxy22x2y2dzdx11x2x2y2(1x2y2)dy6

注：可用柱坐标计算。

解2“截面法”

1.画出。

2.z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz：x2y2z2

02 Dz： 0rz02

用柱坐标计算

:0rz0z1

3.计算1xydv[0Dz2212zxydxdy]dz[drdr]dz2[r3]0dzz3dz3306000022212z11

补例3：化三重积分If(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中：

zx22y2及z2x2所围成的闭区域。

解：1.画出及在xoy面上的投影域D.22zx2y2由 消去z，得x2y21 z2x即D： x2y21

2.“穿线” x22y2z2x2

1x1

X型 D： 221xy1x1x1：1x2y1x2

x22y2z2x211x22x23．计算 If(x,y,z)dxdydzdx11x2dyx22y2f(x,y,z)dz

注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。

补例4：计算zdv，其中为z6x2y2及zx2y2所围成的闭区域。

解1“投影法”

1.画出及在xoy面投影域D，用柱坐标计算

xrcos

由yrsin

化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r

zzz6r202得r2 ∴D：r2 即2.解

0r2zr“穿线”

02rz6r2

∴:0r2rz6r2226r22

6r23．计算

2zdv[Drzdz]rdrddrdr00r1r2zdz2r[z2]6dr r202222

r[(6r)r]dr(36r13r2r5)dr0092。3解2“截面法”

1.画出。如图：由z6r2及zr围成。

2.z[0,6][0,2][2,6] 12 1由z=r与z=2围成； z[0,2]，Dz：rz

02

1：0rz

0z22由z=2与z=6r2围成； z[2,6]，Dz：r6z

022：0r6z

2z6263.计算 =zdvzdvz[rdrd]dzz[rdrd]dz zdv120Dz12Dz2

262262236zSDz1dzzSDz2dzz[(z)]dzz[(6z)]dzzdz(6zz2)dz020202923注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。

补例5：计算(x2y2)dv，其中由不等式0ax2y2z2A，z0所确定。

xcossin解：用球坐标计算。由ysinsin得的边界曲面的球坐标方程：aA

zcosP，连结OP=，其与z轴正向的夹角为，OP=。P在xoy面的投影为P，连结OP，其与x轴正向的夹角为。

∴：aA，0，02

2222A222215A3(xy)dvdd(sin)sind2sin[]ad =500a0225252455(Aa)sin3d(Aa5)1(Aa5)

=553150三重积分的计算方法练习

（x2y2)dv，1.计算其中是旋转面x2y22z与平面z=2,z=8所围成的闭区域。

2.计算（xz)dv，其中是锥面zx2y2与球面z1x2y2所围成的闭区域。

篇12：定积分概念教案(修改)

授课计划（教案）

课程名称：高等数学

章节名称：第六章第一节定积分的概念使用教材：赵树媛主编，《微积分》（第四版），北京：中国人民大学出版社，2016.8 教学目的：掌握定积分的概念，培养学生建立数学模型、从具体到一般的抽象思维方式；从已知到未知的研究问题的方法，提高学生的应用能力和创新思维。

教学重点：定积分的概念

教学难点：定积分概念建立、分割的思想方法及应用

教学方法：教学采用启发式、数形结合，用多媒体辅助教学。适用层次：应用型本科。教学时间：45分钟。

教学内容与教学设计

引言

介绍牛顿和莱布尼兹两位数学家和物理学家以及在微积分方面的研究成果，重点展示在积分方面的成果。（简单提及积分产生背景）

（PPT展示肖像，简历和成就。2分钟）

一、引例

已经会用公式求长方形、梯形、三角形面积。但对一些不规则平面图形的面积计算，需要寻求其他方法计算。

（PPT展示封闭的图形及分块，特别强调曲边梯形。2分钟）

（一）求曲边梯形的面积（板书）

由xa,xb,y0与yfx0围成平面图形，求面积A=?（如图）（PPT展示）

1.分析问题

（1）用小曲边梯形的面积相加就是A；（PPT展示）

（2）用小矩形代替小曲边梯形有误差，但有计算表达式（PPT放大图形）

（3）分的越细，其和精度越高（PPT）（4）最好是都很细，或最大的都很小（PPT）

（PPT展示，4分钟）

2.分割

（1）在a,b内任意插入n1个分点：

ax0x1x2xi1xixnb

这样，把a,b分成了n个小区间x0,x1,,xi1,xi,,xn1,xn，并记小区间的长度为xixixi1,i1,2,n（PPT演示，重点说明其目的是准备用小矩形代替小曲边梯形，以便提高精度。2分钟）

（2）过每一个分点作平行于y轴的直线，这样一来，大的曲边梯形被分成n个小曲边梯形Ai（小范围）。

3.近似代替

f(在第i 个小曲边梯形上任取i[xi-1,xi]，作以 [ x i, x

为底， i)为高的小矩形, 1i]并用此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积 

A i , 得

Aif(i)xixixixi1，i1,2,....,n

（PPT演示，重点说明乘积的量表示什么。2分钟）

（1）求和

把n个小曲边梯形相加，就得到大曲边梯形面积的近似值

AAifixi（板书）

i1i1nn（PPT演示，重点说明，两个量的区别，让学生记住后一个表达式，这是将来应用的核心部

分。3分钟）

（2）取极限

当分点的个数无限增加，且小区间长度的最大值，即趋近于零时，上述和式极限就是梯形面积的精确值。

AlimAi=limfixi即 max{xi},（板书）001ini1i1

（PPT演示，重点说明三个符号构成一个新的记号，重点。3分钟）

（二）变速直线运动的路程（板书）

求物体在这段时间内所经过的路程s。

n设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔T1，T2上t的连续函数，且 v(t)0,S=limviti（板书）

0i1（PPT展示上述结论，与

（一）对比，只是将符号变更，另一方面乘积的量发生了变化。

3分钟）

二、定积分的定义

定义：设函数fx在a,b上有定义，任意取分点

ax0x1x2xi1xixnb

把a,b分成n个小区间，xi-1，xi称为子区间，其长度记为xixixi1,i1,2,n。在每个子区间xi-1，xi上，任取一点ixi-1，xi，得函数值fnf()x。i，作乘积

f(i)xi。把所有的乘积加起来，得和式 i1当n无限增大，且子区间长度的最大长度趋近于零时，如果上述和式的极限存在，则称fx在子区间a,b上可积，并将此极限值称为函数fx在a,b上的定积分。记作：

fxdx

ab即

fx

（板书）fxdxlima0iii1bn

（PPT展示定义，重点说明：记号和等号，左边是新的符号，右边是其表达式，即如果可以建立右边表达式，就立即将其用左边符号表示，换言之，看见左边符号，立即联想到右边的表达式。4分钟）

（板书）fxdx，变速直线运动的路程可以表示为：S=vtdt（板书）曲边梯形的面积可以表示为：AabT2T1定理

1设fx在a,b上连续，则fx在a,b上可积。

定理2 设fx在a,b上有界，且只有有限个间断点，则fx在a,b上可积。

（PPT展示定理。解释：只要满足条件，lim0fx 就可以与定积分符号划等号。

iii1n2分钟）

三、例题

利用定义计算定积分

10x2dx

（PPT展示全部计算过程及答案，说明几何意义。特别强调，以后用牛-莱公式计算，即简单又快捷，但要用到不定积分的知识，提醒学生复习已学过的相关知识。下次课介绍牛-莱公式。2分钟）

四、总结（板书）

（PPT展示定义-符号、定理，提示复习不定积分，核心表达式板书。1分钟）

五、作业（板书）

板书设计框架

第五章第一节定积分的概念

一、引例

（一）求曲边梯形的面积

（二）变速直线运动的路程

二、定积分定义

fx fxdxlima0iii1bn

三、例题

10x2dx=

四、总结

篇13：定积分计算方法总结

定积分是一个过程性的概念, 对给定闭区间上连续函数进行分割、求和与取极限三个步骤, 得到相应的常量即为该函数在此区间上的定积分.在讲解定积分的概念时, 往往都会以曲边梯形面积的求解为引例, 也会据此来表述定积分的几何意义, 它的几何意义正是运用定积分解决平面图形求解的依据.在以往的教学中, 往往在运用这一方法求解时, 只对应了一般平面图形的面积求解的问题, 可以直接利用几何意义, 针对不同函数曲线所围成的图形面积进行求解.在对这一内容进行讲解时, 有不少同学对内容的接受是十分被动的, 不能真正体会到定积分在解决平面图形面积求解问题时真正的优势所在.我们知道, 新知识的学习和接受的多少、好坏, 在很大程度上取决于之前知识的铺垫, 铺垫过渡越自然, 学生学起来也会越轻松易受, 反之则会困难和被动.为此, 合理利用好之前所学内容, 将旧问题用新方法解决, 请同学们自己比较新旧两种方法, 便会在比较中获知新知识学习的必要性和实用性.因此, 在本部分内容的讲解中, 我们将旧问题提出, 用旧新两种方法来解决并加以比较, 实现知识的“以旧换新”, 在教学中取得了较好的效果.

一、提出旧问题, 回顾旧方法

对于图形面积的求解, 同学们已不陌生, 他们已经非常熟悉一些具有一定规则形状图形的面积求解, 如长方形、三角形、梯形和圆形等, 运用的方法均为公式法.

长方形面积=长×宽;

三角形面积=

梯形面积=

圆形面积=πr2 (r为圆的半径) .

公式法的特点即是一一对应, 即一个图形, 一个公式.由于多数同学在学习时均不习惯于或不善于对所学知识进行整合, 对同一问题进行归类分析, 同样对这种公式法求解特殊图形面积, 也仅仅停留在一对一的应用上.作为教师, 应在此帮助学生从整体上看待问题, 把以上的方法看成一种公式方法的运用, 提出这种方法的弊端在于针对性过强, 而使一个公式的使用范围受到局限, 同一个问题, 即均为平面图形面积求解, 却要采用各自不同的公式进行解决.那么, 有没有一种更具备普适性的方法来一次性解决以上平面图形面积的求解问题呢?回答是肯定的, 那就是定积分.但是如何让以上不同的图形同时归于一种方法?其中的重要载体或者说使用前提是什么?

二、旧问题如何引入新方法

定积分在求解平面图形面积时, 功能非常强大, 但强大不是嘴上说说就行的, 要用实例说明和证明, 让学生心服口服.方法的应用和问题的解决往往需要一些先行条件, 即如何将以上问题与定积分扯上关系.让同学们仔细回顾定积分的概念, 要使他们认识到定积分是用来研究函数的数学工具, 它的具体应用当然离不开函数这个载体, 也就是说, 以上特殊图形面积的求解也必须以函数为对象.那么图形如何与函数一一对应, 这里可以引导同学们借助于解析几何所学知识来完成这种转换.这几种数学课程的相互链接, 也会帮助学生体验到知识间的内在联系与相互依存, 而不是把它们独立分割.比如矩形在直角坐标系中可以转化为一条平行于x轴的直线与两条与x轴垂直的直线所围成的平面图形;圆形可以看作由圆这个二次曲线所围成的封闭图形.在解析几何中, 这些特殊图形均能有函数的形式与之对应, 从而很好地完成了图形函数化的过程, 而这个过程中完全运用学生以往所学知识, 不存在太大的学习困扰因素.

三、旧问题, 新旧两种方法同时出击, 比不同

完成了特殊图形函数化的过程, 那么接下来就要发挥定积分的作用了.在让学生理解定积分几何意义的基础上, 将以上图形面积用新旧两种方法求解, 一来比较, 二来验证.具体比较内容见下表.

从这个图表中, 学生便很快地也很清楚地看到了定积分这种方法的优势, 大有“放之四海而皆准”的效果.通过比较, 可以将所学知识很好地串连在一起, 比较的方法对于知识点的把握和理解通常是非常有效果的.我想这里所作的比较虽是一些非常简单的知识的联合组成的一个比较构架, 但将简单的问题进行归纳、分析会得到良好的比较效应, 也能给学生带来一种豁然开朗的感觉.

篇14：浅谈定积分的计算方法

关键词：定积分；计算

一、定积分计算的重要性

定积分是微积分三大基本运算之一，也是计算重积分、曲线和曲面积分的基础。我们熟知的牛顿——莱布尼茨公式是求连续函数定积分的一般方法，但是在习题中我们经常会碰到所求原函数很复杂或者根本无法求出的情形。因此定积分的计算，除使用求不定积分的换元法、分部积分法等之外，还有自己的特色。这里列举几例供同学们参考。

二、计算定积分的方法

（一）利用定积分的几何意义

例1

解：令x-1=t，原式

对于一些被积函数是分段函数或含绝对值符号等情形，如果被积函数图象易于作出，可以利用作图简化计算。

（二）利用对称区间上定积分的性质

对称区间上的定积分有偶倍奇零的结论，但当被积函数非奇非偶，且f（x）+f（-x）可化为易于积分的函数，有以下结论：

，

例2

解：令，

原式=

三、利用周期函数定积分的性质