初中数学几何题教案

初中数学几何题教案（精选11篇）

篇1：初中数学几何题教案

1．如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件（请从其中选择一个）：

①AB=ED；

②BC=EF；

③∠ACB=∠DFE．

2．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．

（1）你添加的条件是：

3．如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．

4．如图10，已知与相交于点，连接，． ,（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：．

5．如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且AD平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。

6．如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD

篇2：初中数学几何题教案

多边形平面几何有两种基本入手方式：从边入手、从角入手

注意哪些角相等哪些边相等，用标记。进而看出哪些三角形全等。平行四边形所有的判断方式？

篇3：初中数学几何题教案

一、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理, 不仅可用于计算面积, 而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果.运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法, 称为面积方法, 它是几何中的一种常用方法, 面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来, 通过运算达到求证的结果, 所以用面积法来解几何题, 把几何元素之间的关系变成数量之间的关系, 只需要计算, 有时可以不添置补助线, 即使需要添置辅助线, 也很容易考虑到.

比如在实际几何教学中我遇到过这样的一道题目:如图, 在△ABC中, AB=AC=5, BC=6, DB=2AD, 过点D作DE⊥AC于点E, 求DE的长.我们可以先作AF垂直于BC于F (如图1) , 利用等腰三角形的“三线合一”与勾股定理算出高AF等于4, 然后求出△ABC的面积等于12, 接着因为DB=2AD, 所以AD等于AB的13, 而△ADC与△ABC同高, 所以△ADC的面积等于△ABC的面积的13, 从而求出△ADC的面积, 然后再利用三角形的面积计算公式求出DE的长.

二、构造法与转化思想

构造法在解题时, 我们常常会采用这样的方法, 通过对条件和结论的分析, 构造辅助元素, 它可以是一个三角形、一个方程 (组) 、一个等式、一个函数等, 架起一座连接条件和结论的桥梁, 从而使问题得以解决, 这种解题的数学方法, 我们称为构造法.运用构造法解题, 可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透, 有利于问题的解决.比如在学习《锐角三角函数》这一章时, 我们会涉及特殊角问题, 往往围绕这些特殊角构造直角三角形去解决三角形边与角的相关计算, 对于上面的这道题目, 老师在讲解时还可以引导学生观察DE所在的Rt△ADE, 已知条件很少, 无法利用勾股定理直接求出DE, 观察图形后, 我们容易得到AD∶AB=1∶3, 作BF垂直于AC于F (如图2) , 构造两个相似的三角形ABF与ADE, 先通过面积求出BG的长, 再借助于比例关系求出DE的长 (DE等于BF的三分之一) .这种构造相似三角形、全等三角形的方法在我们解初中几何题时有时会起到突破解题“瓶颈”的关键作用, 能否灵活运用构造法解题, 关键所在是老师在平时的教学中要注重转化思想的渗透, 将陌生的图形转化到我们所熟悉的图形中, 将看似缺条件的“孤独”线段转化成我们能熟练运用的图形.

三、方程思想

方程思想是指把所研究数学问题中已知量与未知量之间的数量关系, 转化为方程或方程组等数学模型, 从而使问题得到解决的思维方法.使用方程思想分析、处理问题, 思路清晰、灵活简便, 在探索解题思路时, 经常使用, 尤其解决和等量有关的数学问题, 非常有效.在考试卷中考查方程思想的试题, 随处可见, 一般主要有两类:一是列方程 (组) 解应用问题;二是列方程 (组) 解几何题.在上A面的构造法中提到构造相似三角形的方法, 其实还可以构造方程来求出DE的长, 作DF∥BC交AC于F (如图3) , 则△ADE∽△ABC, 因为AD∶AB=1∶3, 所以DF∶BC=AF∶AC=1∶3, 从而可以求出AD, DF, AF的长, 然后引导学生观察△ADF, 发现这个三角形的三边确定, 因此必定可以求出AF边上的高DE的长, 设AE=x, 则, DF=2, 分别在Rt△ADE与Rt△DEF中, 利用勾股定理将DE用含有x的式子表示出来, 然后以DE为“桥梁”构建方程解出x, 从而可以求出DE的长.

数学解题方法是数学知识具体运用的精髓, 它在学习和运用数学知识的过程中, 起着观念性的指导作用, 数学解题方法是数学思想的具体体现, 是学习和运用数学知识的工具因此, 数学思想和数学解题方法一直是中考的重要考查内容之一, 所以, 在我们平时数学的教学中一定要注意数学思想与方法的渗透, 相信这样“有法可循”的几何教学一定会使我们的学生在解几何题时感到“有路可寻”, 使我们的学生从盲目的解题中解放出来, 真正做到举一反三, 提高学生的学习效益.

摘要：就初中几何学习而言, 通常用到的解题思想与方法有方程思想、构造法 (构造相似三角形) 、面积法等解题方法, 能掌握好这些基本解题思想与方法, 就相当于抓住了解初中几何题的灵魂.笔者借鉴前人研究的一些经验, 再结合本人的教学实践来浅谈初中数学解题方法在解几何题中的应用.

篇4：初中数学几何证明题教学探讨

关键词：初中数学；几何证明题；提高质效

提及初中数学几何证明题，不少学生就头皮发麻，找不到思路，面对各种各样的图形和线条就犯晕，几乎束手无策，更不用说作出精确的辅助线了；有的学生则是风风火火地写了满满一张纸，仔细一看，逻辑混乱，不知所云；还有的学生步骤简单，跳跃幅度大，因果关系没有整理清晰，关键步骤没有写清楚便匆匆得到要证明的结论，多多少少有些滥竽充数的嫌疑，自然也就拿不到证明题的完整分数了。 对于数学教师来讲，初中几何证明题也是教学上的一大难点，似乎在教学中花了不少的力气，但还是有不少的学生对几何证明题的掌握程度无法令人满意，达不到新一轮课程改革的基本要求。 如何針对初中数学几何证明题的特点，调动学生的主观能动性，提高几何证明题的教学效果，我结合个人教学实际，谈几点粗浅看法。

一、尊重教材

苏教版初中数学几何教材中，有几个重点环节，如平行线、轴对称图形、中心对称图形、相似图形等，这些章节的知识几乎无一例外都有证明题可供考查。 与这些知识点相关的证明题，一般来说难度不小，对于刚刚接触几何知识的初中生来讲，是一个很大的挑战。 要抓好这部分证明题的教学，我认为首先就是要尊重教材。

教材是一切教学工作的根源。 教材中有很多经典的例题，这些例题几乎可以涵盖初中几何所有的知识点，可以说，把教材上的例题讲通讲透，学生能完全消化教材的例题，应该说学生就可以解决百分之八十的基本证明题。 现实状况下，有些几何教师对证明题的讲解存在认识的误区，认为没有什么值得仔细讲、反复讲的，尽快讲完直接进入课后练习。 这种教学方式是不科学的，也是不合理的，我认为教材上的例题，至少要到边到角地讲三遍，每一遍都有不同的任务，第一遍是让学生大致了解题目要求证明的结论和题目提供的条件；第二遍是让学生明白如何通过给定的条件和现有的定理逐步得到要证明的结论，第三遍则是让学生做好细节上的处理工作。

二、做好细节的规范书写

初中几何证明题有着严谨的格式要求，证明题的书写还需要思路明确、步骤清晰、过程精练，这样的证明过程才能得到更高的评价。 教学实际中，通常遇到学生证明步骤烦琐，证明格式不规范，箭头指来指去，看得头晕眼花，不少数学老师对此大为光火。 其实，更多的时候，我们要反思自己在教学中是否做得到位，做得细心。

有的数学教师对于证明题示例的细节上把握不够，他们认为只要我能把证明思路、关键的步骤给学生演示一下就够了，至于其他的地方，没有必要过于苛求。 比如在板书的过程中，有的为了赶进度，图简单省事，一些看似不重要的证明步骤一笔带过，有的书写不够规范，有的字迹过于潦草，黑板上箭头指来指去，如同一幅军事作战指挥图，学生看起来很累，也很容易产生歧义。

如果教师是这种教学心态，那么也无法搞好几何证明题教学工作的，首先几何证明题本身就是一个严谨、严密的逻辑推理过程，没有做好细节自然就漏洞百出，所以，要充分认识到细节的重要性，为学生做好细节示范。 其次，学高为师，身正为范，这也是对教师教学工作的一个基本要求。 如果教学时间不是很充足，宁愿放弃示范也不能匆匆了事，一定要把握细节，注意火候，只有我们自己做得足够好，才能理直气壮对学生提要求。

三、抓好强化训练

初中几何证明题的教学，离不开强化训练。 这种强化训练既要训练学生的逻辑思维，还要训练学生的答题规范性。 比如，在三角形、多边形和圆这些章节的几何证明题中，有不少的题目要求学生作辅助线，不然难以解答。

要能准确作出辅助线，并熟练地运用各种定理来证明几何题，就需要平时进行一定量的强化训练。 这种强化训练一定不能走入了题海的误区，训练的题目最好是由老师提前把关，量不能太大、太复杂让学生产生畏难的心理，也不能过于简单，我认为以书本上的例题为参考，适当提高点难度为宜。 比如，我们可以在一堂课专门训练如何作辅助线，只要作出了辅助线，我们不要求学生完完整整地书写出整个证明过程，但要注意作出辅助线后续的工作，防止学生误打误撞，只要求他们说出证明的思路就可以进入下一题了。

通过一定量的题目进行强化训练，学生面对各种看似复杂的图形问题，能凭着直觉作出精确的辅助线，作出了辅助线之后解题的思路也就渐渐呈现出来，能较大幅度提高证明题的解题效率。

总而言之，初中数学几何证明题是整个初中数学教学的一大难点，作为数学教师要抓好教材例题的讲解，教学上遇到困难及时带领学生回归教材，多多少少能获得启发和提示。 同时也要端正教学心态，在板书和示范上尽量做细做实，切忌一笔带过，草草了事。最后要以一定量的题目及时强化训练，帮助学生牢固掌握知识点和定理的运用，这样才能提高几何证明题的教学质效。

篇5：初中数学几何题教案

初中几何证明题不但是学习的重点。而且是学习的难点，很多同学对几何证明题。不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的证明过程几乎不会写，这样，导致大部分的学生失去了几何学习的信心，虽然新的课程理念要求，推理的过程不能过繁。一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整，教学中怎样才能把几何证明题的求解过程叙述清楚呢?根据教学经验，我在教学中是这样做的，希望与大家一起探讨。

(1)“读”——读题

如何指导学生读题？仁者见仁、智者见智，我们课题组结合我们的研究和本校学生的实际，将读题分为三步：第一步，粗读（类似语文阅读的浏览）。快速地将题目从头到尾浏览一遍，大致了解题目的意思和要求；第二步，细读。在大致了解题目的意思和要求的情况下，再认真地有针对性地读题，弄清题目的题设和结论，搞清已知是什么、需要证明的是什么？并尽可能地将已知条件在图形中用符号简明扼要地表示出来（如哪两个角相等，哪两条线段相等，垂直关系，等等），若题中给出的条件不明显的（即有隐含条件的），还要指导学生如何去挖掘它们、发现它们；第三步，记忆复述。在前面粗读和细读的基础上，先将已知条件和要证明的结论在心里默记一遍，再结合图形中自己所标的符号将原题的意思复述出来。到此读题这一环节，才算完成。

对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生。

(２)“析”——分析

指导学生用数学方法中的“分析法”，执果索因，一步一步探究证明的思路和方法。教师用启发性的语言或提问指导学生，学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等认识活动，思考、探究，小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法。

(３)“述”——口述

学生学习小组推选小组代表，由小组代表分析自己那一组探究到的证明的思路和方法，口述证明过程及每一步的依据。我们知道学习语文、外语及其他语言都是从“说”开始学起的，那么学习几何语言，也可以尝试先“说”后写。特别是初一初二的学生，让他们先在小组内自主探索、讨论交流，弄清证题思路，然后再让学生代表口述证题过程，这对于训练学生应用和提高几何语言的表达能力很有好处。

(４)“择”——选择最简易的方法

在各位学生代表口述完解题过程后，教师引导学生比较、选择最简单的一种证题方法，这样做，不仅能帮助学生进一步理清证明思路、记忆相关的几何定理、性质，而且还增加了学生学习的兴趣和好奇心，从而激发学生学习的积极性和主动性。

(５)“演”——板演

在学生集体复述解题的基础上，教师板演上述解题过程，给学生作证题的书写示范，让学生体会怎样合理、规范、科学地书写证明过程。

(６)“练”——变式练习

变式，既是一种重要的思想方法，又是一种行之有效的教学方法。通过变式训练，在课堂上展现知识发生、发展、形成的完整认知过程。在教学实践中，笔者深深体会到：变式教学符合学生是认知规律，能有层次地推进，为学生提供一个求异、思变的空间，让学生把学到的概念、公式、定理、法则灵活应用道各种情景中去，培养学生灵活多变的思维品质，提高学生研究、探索问题的能力，提高数学素养，从而有效地提高数学教学效果。

因此，在学生获得某种基本的证法后，教师可以通过变式，改变问题中的条件，转换探求的结论，变化问题的形式或图形的形状位置等多种途径，指导学生从不同的方向、不同的角度、不同的层次去思考问题。

篇6：初中数学几何题教案

在很多省份的教师招聘中会考查初中数学知识部分，而初中知识大都会把几何型综合题作为重点考查点之一，这类题主要是将初中的全等三角形，四边形性质及证明，圆，相似等知识点综合考查，其中圆的切割线定理及全等、相似用法居多，一般以解答题为主，难度也是有中等和高等。要想在做这类题时得心应手就需多加练习。山西教师招聘网

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教师招聘有笔试和面试两个重要环节，笔试科目为《教育基础理论》和《学科专业知识》，面试以试讲、说课等形式考察。

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篇7：初中数学几何教案

知识与技能：经历从不同方向观察物体的活动过程，体会出从不同方向看同一物体，可能看到不同的结果;能识别从不同方向看几何体得到相应的平面图形。

过程与方 法：通过观察能画出不同角度看到的平面图形(三视图)。

情感态度与价值观：体会视图是描述几何体的重要工具，使学生明白看待事物时，要从多个方面进行。

教学重点：学会从不同方向看实物的方法，画出三视图。

教学难点：画出三视图，由三 视图判断几何体。

教材分析：本节内容是研究立体图形的又一重要手 段，是一种独立的研究方法，与前后知识联系不大，学好本课的关键是尊重视觉效果，把立体图形映射成平面图形，其间要进行三维到二维这一实质性的变化。在由三视图还原立体图形时，更需要一个较长过程，所以本节用学生比较熟悉的几何体来降低难度。

教学方法：情境引入 合作 探究

教学准备：课件，多组简单实物、模型。

课时安排：1课时

环节 教 师 活 动 学生活动 设 计 意 图

创

设

情

境 教师播放多媒体课件，演示庐山景观，请学生背诵苏东坡《题西林壁》， 并说说诗中意境。

并出现：横看成岭侧成峰，

远近高低各不同。

不识庐山真面目，

只缘身在此山中。

观赏美景

思考“岭”与“峰”的区别。 跨越学科界限，营造一个崭新的教学学习氛围，并从中挖掘蕴含的数学道理。

新

课

探

究

一

1、教师出示事先准备好的实物组合体，请三名学生分别站在讲台的左侧、右侧和正前方观察，并让他们画出草图，其他学生分成三组，分别对应三个同学，也分别画出 所见图形的草图。

2、看课本13页“观察与思考”。

图：

你能说出情景的先后顺序吗?你是通过哪些特征得出这个结论的?

总结：通过以前经验，我们可知，从不同的方向看物体，可能看到不同图形。

3、从实际生活中举例。

观察，动手画图。

学生观察图片，把图片按时间先后排序。

利用身边的事物，有助于学生积极主动参与，激发学生潜能，感受新知。

让学生感知文本提高自学能力。

利于拓宽学生思维。

新

课

探

究

二 1、感知文本。学生阅读13页“观察与思考2”，

图：

2、上升到理性知识：

(1)从上面看到的图形叫俯视图;

(2)从左面看到的图形叫左视图;

(3)右正面看到的图形叫主视图;

3、练一练：分别画出14页三种立体图形的三视图，并回答课本上 三个问题。(强调上下左右的方位不要出错) 学生阅读，想象。

学生分组练习，合作交流。 把已有经验重新建构。

感性知识上升到理性知识 。

体会学习成果，使学生产生成功的喜 悦。

新课探究三 1、连线，把左面的三视图与右边的立体图形连接起来。

主视图 俯视图 左视图 立体图形

2、归纳：多媒体课件演示

先由其中的两个图为依据，进行组合，用第三个图进行检验。

学生自己先独立思考，得出答案后，小组之间合作交流，互相评价。

以小组为单位讨论思考问题的方法。

把由空间到平面的转化过程逆转回去，充分利用本课前阶段的感知，可以降低难度。

课堂反馈

1、考查学生的基础题。

2、用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示， 搭建这样的几何体，最多需要几个小立方体?至少需要几个小立方体?

主视图 俯视图 学生独立自检

学生总结出以俯视图为基础 ，在方格上标出数字。

简单知识，基本方法的综合

课堂总结

1、学习到什么知识?

2、学习到什么方法?

3、哪些知识是自己发现的?

4、哪些知识是讨论得出的?

学生反思

归纳 让学生有成功喜悦，重视与他人合作。

附：板书设计

1.4 从不同方向看几何体

教学反思：

篇8：例谈几何画板视觉化数学中考题

一、几何画板的数形结合视觉化数学关系

函数是中学教学中最基本的、最重要的概念，函数本身的变化就是教学的难点，牵涉到相关图形的变化就更为复杂了，学生常常弄不清楚引起图形的变化本原是什么，理不清其中的数学关系，几何画板就能很好地解决这一问题。

例1：（兰州中考2010年第25题）P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A 1的坐标为（2, 0）。当点P1的横坐标逐渐增大时，P1O A 1的面积如何变化？依靠传统的粉笔黑板教法有很大的局限性，线条多不够精确，难以满足我们预想的数变、形变同时展示的需求，学生寻找数学关系时感觉很模糊，也费时间。而应用几何画板根据题目条件快速作出函数的图像，且知道三角形的面积是由底和高决定的，我们作出三角形的高P1D，用点的滑动功能让点在曲线上连续变化如图1。

使用几何画板度量计算功能度量高的长度和面积大小并制表，通过动态的图像和精确的数字结合展现出高和面积之间的变化关系即三角形底确定时随着高的变小面积也变小，而对于一些学困生可以利用闪动功能标记重要信息例如：图形的高，进行提示让学生清晰地了解到函数点的变化带动高的变化而找到面积变化根源。

二、几何画板动画功能将图形运动轨迹及规律视觉化

图形的运动包括旋转，滚动。从固定的平面几何图形到空间中运动的图形是认识和思维上的一次质的飞跃。此类图形运动题目在中考中出现频率较高，其复杂程度高，学生解题时难以把握其变化规律。

例2：（桂林中考2011年第12题）如图将边长为a的正六边形在直线上由图1位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当第一次滚动到图2位置时顶点A 1所经过的路径长为（%）。

面对这样的题目大部分学生会尝试作图和猜想图运动轨迹，但用一维平面图形来表现二维图形运动往往是非常困难的，并且又缺乏必要的理论证明的支持仅仅依靠自己的学习经验去想象运动过程，学生容易根据自己的臆想而歪曲图形的真实情况，猜它是圆弧，是怎么样的圆弧，是多边形，又是怎样的多边形，是不是其他的图形呢？学生的作图和思考方向会变得越来越混乱，进而产生认识偏差，而几何画板则可将无形运动化为有形图像。

本题应用几何画板，通过参数设置，利用比较简单的动画构造出复杂的运动，利用轨迹追踪功能清晰的展示出A 1点的运动轨迹如下图3,

将抽象的问题转化成学生看得见的图形，再加上有颜色的轨迹标注，使得运动过程更加形象化、直观化，将教学对象的内在运动规律和轨迹完全展现出来。A 1所走的路程就是以正六边形边长或者对角线为半径的圆的圆弧，对称分为五段如图4～6表现的那样，每一段弧所对应的圆心角是60°，从而我们进行分段计算出总路径长为此外还可以通过改变参数，展示出更多的正多边形的顶点，圆心的运动轨迹让学生熟习这一类动态图形。

三、辅助学习实现学生自主视觉化

教师的教是为了学生更好地学，学习是学生主动建构的。几何画板操作简单、功能强大，学生可以在较短的时间里就可以熟练的操作，为学生提供了一个自主探究学习的平台，将单纯的中考题训练变一个以充分培养学生自己的视觉空间智能及其它相关智能解决问题的自主学习。

例3：（桂林中考2009年第12题）如图7，正方形A BCD的边长为2，将长为2的线段Q R的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果Q点从A出发，沿图中所示方向滑动到A止，在这个过程中线段Q R的中点M所经过的路线围城的图形面积为多少？

分析：正方形是轴对称，中心对成图形。那么我们可以猜想到线段在正方形的每条边上滑动时Q R的中点的轨迹M图像，应该是对称图形，只要作出一条边上的轨迹就可以得出完整的图像。学生顺着这样的思路绘制图形。

教师在探索过程中适当地提示学生，例如学生在制作过程中会发现如何保持运动线段长度不变有较大障碍，教师可以提出渗透着数学思想的、供学生尝试的路径，（1）两点固定一条线段；（2）由点到线，固定一点再确定直线的长度。结合老师的提示学生充分发挥主观能动性不断地尝试，积极地合作交流制作出M的轨迹图像如图8，将目标问题视觉化。几何画板图突破了传统教学的局限性让学生自己动手尝试作图，每一步都是几何原理的再体现，解决问题的同时也是几何原理的进一步深入学习和探究。

通过上述研究，借助几何画板将中考题所要考察的内在本质以视觉化的表征形式展现出来，并且辅助学生自主进行视觉化，让学生的想象力和创造力得到充分发挥，增加学生解决难题和学习的信心，会起到事半功倍的作用。这不仅有利于学生正确理解数学知识，而且有利于学生提高分析和解决问题的能力，为培养学生其他方面的能力打好基础。

参考文献

[1]何美萍, 唐剑岚, 全波.视觉化表征及其在数学学习中的作用[J].内蒙古师范大学学报:教育科学版, 2008, 21 (8) :138-141.

[2]王波.用几何画板的轨迹功能探讨数学问题的解法[J].数学通报, 2008, 47 (11) :19-22.

[3]刘焕芬.巧用数形结合思想解题[J].数学通报, 2005, 44 (1) :42-44.

[4]李永清“.几何画板”在高中数学教学中的应用[J].内蒙古师范大学学报:教育科学版, 2006, 19 (6) :167-169.

篇9：初中数学几何证明题解题方法探讨

【关键词】树立信心  几何思想  答题思路  答题步骤

中图分类号：G4     文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.058

几何类题目在卷面上大都体现为几何证明题，本文就如何帮助学生攻克几何证明题这一难关提出了相关建议。

一、树立面对几何证明题的信心

纵观整个数学学科，几何证明类题目称得上是初中数学的一大难点，也是初中数学试卷上占有较大分值的一个题目，多数学生在此类题目上失分，进而影响了整体的数学成绩。有的学生甚至对此类题目产生恐惧情绪，一看到几何证明类题目，就自动跳过，主观上认为这类题目的难度太大，自己一定做不出。学生的这种恐惧心理自然而然成为了他们攻克此类题目的一大障碍。作为老师应该清楚，还没读题就打退堂鼓是解题的一大禁忌。学术研究本身就具有一定的冒险精神，断然不可以对问题产生恐惧心理。老师讲解题目的时候，应当更多地引导学生自主思考，抛出一些直接的线索，让学生自然而然想到接下来的解题思路，树立学生的自信心。老师最好能总结出几何证明题的一般规律，告诉学生几何证明类题目有规律可循。最终让学生克服恐惧，树立信心，让学生能感受到其实几何证明类题目并不难，只需要掌握一定的规律，并能将理论知识与几何图相结合，这类问题就迎刃而解了。经过老师们长时间的引导，学生对于这类题目的自信心必然能够大大提高。

二、带领学生看图读图，培养几何思想

几何证明类题目最大的难点就在于读图，而解决此类题目的突破口往往隐藏在几何图形中。然而只有少数学生能够从几何图中发掘到线索，拿到高分。究其原因，大多是因为学生做惯了文字类题目，习惯性从文字中获得线索和解题关键，读图能力弱，分析几何图形的思想不够牢固，容易忽略几何图中所揭示的重要线索。作为老师，若想强化学生几何证明题的软肋，首先要做的，就是提高学生的读图能力，培养学生的几何思想。

第一类几何思想是指数形结合的思想。老师要在授课过程中给学生养成乐于读图，并能从图中获得线索的习惯，提高学生对于几何图的分析能力，最终要让学生能自如地将课本上的理论知识与几何图紧密地结合起来，树立起数形合一的几何思想，看到几何图就能轻松写出相应的数学公式和数值。老师千万不要以解题为目的进行讲解，而是要以教会学生分析几何图为目的进行讲解。例如我们做过的经典例题，老师可以反复拿出题目中的几何图，抛开例题所设的问题，就图论图，带领学生分析几何图，或者指派学生分析，检验教学成果。

第二个需要培养的几何思想就是整体变换的思想，整体变换，顾名思义就是要将部分结合到整体，从整体中分离个体。这就需要老师多在讲解题目的过程中花心思了，逐步引导，找出部分线索，向学生抛出问题，如何将这一部分线索与整体联系起来，要让学生能够主动的思考部分与整体的关系，例如，让学生养成一看到直线就要思考是否有与已知直线平行或垂直的直线。

第三种几何思想，就是分类讨论思想。我们常常遇到一些综合性强的证明类题目，既需要学生的逻辑性，也需要学生计算部分数值来作为证明的条件，这时可能会出现答案不唯一的情况，而粗心的学生往往会漏掉部分情况。例如一些题目要求证明两个三角形全等，已知某一角度，需要求出另一角度与之相等，计算时可能会出现多种答案，而答案只能取其中之一，这时，老师需要要求学生解出所有答案，分类讨论，列出某个答案不符合条件的理由，并舍去，这样学生才能拿到满分。在分类讨论的题目上失分是很可惜的，老师需要多给学生准备些需要分类讨论的题目，要让学生看到题目能及时想到分类讨论的情况。第四种必备的几何思想是逆变化思想，指的是从要证明的部分出发，倒推条件。对于某些难度稍大的题目，往往正推会比较困难，思路很难理清，这时就需要老师来教会学生逆变化的几何思想，引导他们反方向解题，平时多加训练，加深他们对逆变化思想的印象和理解。如此一来，学生做起几何证明题才能得心应手，拿到高分。有了这些几何思想，便能初步攻克几何证明题的大门。

三、帮助学生理清答题思路

证明题的解答必须要有清晰的思路和很强的逻辑性，然而很多学生答题时的思路混乱，想起什么就写什么，完全不依据逻辑，即使他们掌握了几何思想，发掘出几何图中的线索，也未必拿得到满分。混乱的思路和解题步骤必然会给阅卷老师留下思路混乱的误导，使他们对学生的解题能力产生怀疑，进而影响得分。

作为老师，在培养完成学生的几何思想之后，第二步就是要帮助学生理清答题思路。分析出题目的所有线索后，需要条理清晰地从所有线索中提取要点，并将它们有机结合，组合成一条完整的思路，最终体现到卷面上，这是完成一道几何证明题的关键一步。首先，老师上课时的思路一定要是清晰明了的，结合课本上的理论知识，让学生体会到此类题目的依据和逻辑性，要让学生明白，思路是来源于理论知识体系。再者，老师要尽可能将解题思路简单化、通俗化，采取平铺直叙，开门见山式的讲解方法，能让学生更直观地了解到老师想要表达的解题思路。这两点可以给学生建立解题需要清晰直白的思路的思维模式。同时，老师不能一味地讲解，要留给学生独立的思考空间，培养学生独立建立理清思路的习惯。

四、规范答题步骤

篇10：初中数学几何题教案

课时：18 课型：复习课 复习引入：

在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为x1,y1、x2,y2，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1 求弦中点的轨迹方程

x2y21，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.例1 已知椭圆2解 设弦的两个端点分别为Px1,y1,Qx2,y2，PQ的中点为Mx,y.x12x222y11，y221，则（1）（2）22x12x22y12y220，12得：2x1x2y1y2y1y20.2x1x2y1y22，x4y0.x1x2又x1x22x,y1y22y,弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为x4y0（在已知椭圆内）.例2 直线l:axya50（a是参数）与抛物线f:yx1的相交弦是

2AB，则弦AB的中点轨迹方程是.解 设Ax1,y1、Bx2,y2，AB中点Mx,y，则x1x22x.l:ax1y50，l过定点N1,5，kABkMN又y1x11，（1）y2x21，（2）22y5.x112得：y1y2x11kAB于是

2x21x1x2x1x22，2y1y2x1x22.x1x2y52x2，即y2x27.x1弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为y2x27（在已知抛物线内）.2 求曲线方程

例3 已知ABC的三个顶点都在抛物线y232x上，其中A2,8，且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.解 由已知抛物线方程得G8,0.设BC的中点为Mx0,y0，则A、G、M三点共

22x0812线，且AG2GM，G分AM所成比为2，于是，82y0012解得x011，M11,4.y04设Bx1,y1,Cx2,y2，则y1y28.又y1232x1，（1）y2232x2，（2）

12得：y12y2232x1x2，kBCy1y232324.x1x2y1y28BC所在直线方程为y44x11，即4xy400.x2y2例4 已知椭圆221ab0的一条准线方程是x1，有一条倾斜角为的4ab直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为C11,，求椭圆方程.24x12y121解 设Ax1,y1、Bx2,y2，则x1x21,y1y2，且221，（1）

2abx22y2221a2b，（2）

12得：

x12xa2yy12b2222，2b2x1x2y1y22b2y1y2b21，1kAB（3）222，a22b2，x1x2ay1y2a1x1x2a2a21，a2c，又（4）c而

2（5）由（3），（4），（5）可得aa2b2c2，121,b，24x2y21.所求椭圆方程为11243 求直线的斜率

x2y291上不同的三点Ax1,y1,B4,,Cx2,y2与焦点例5 已知椭圆2595（2）若线段AC的垂直平分线与x轴F4,0的距离成等差数列.（1）求证：x1x28；的交点为T，求直线BT的斜率k.（1）证 略.（2）解 x1x28，设线段AC的中点为D4,y0.x12y12x22y221，1，又A、C在椭圆上，（1）（2）259259x12x22y12y22，12得：2599x1x2y1y29836.x1x225y1y2252y025y0直线DT的斜率kDT25y025y0，直线DT的方程为yy0x4.令36369056464.y0，得x，即T,0，直线BT的斜率k564425254254 确定参数的范围 例6 若抛物线C:y2x上存在不同的两点关于直线l:ymx3对称，求实数m的取值范围.解 当m0时，显然满足.当m0时，设抛物线C上关于直线l:ymx3对称的两点分别为（1）y22x2，（2）Px1,y1、Qx2,y2，且PQ的中点为Mx0,y0，则y12x1，12得：y12y22x1x2，kPQ又kPQy1y211，x1x2y1y22y01m，y0.m25.中2中点Mx0,y0在直线l:ymx3上，y0mx03，于是x0点M在抛物线y2x区域内

5my0x0，即，解得10m10.2222综上可知，所求实数m的取值范围是10,10.5 证明定值问题

x2y2例7 已知AB是椭圆221ab0不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的ab中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明 设Ax1,y1,Bx2,y2且x1x2，x12y12x22y22则221，（1）221，（2）ababx12x22y12y2212得：22，abb2x1x2b2x1x2y1y2y1y2，kAB.22x1x2x1x2ay1y2ay1y2又kOP6 y1y2b2b21，kAB2，kABkOP2（定值）.ax1x2akOP处理存在性问题 例8

2已知双曲线x12y1，过B1,1能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q2两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.解 假设这样的直线存在，设P,Q的坐标分别为x1,y1,x2,y2，则x1x22，y1y22，又x12 12122y11，（1）x2y21，（2）221xxxx 得：12y1y2y1y20，121222x1x2y1y20 PQ的斜率 k y1y22

篇11：初中几何证明题

证明:延长AO,交圆O于M,连接BM,则:∠ABM=90°,且∠M=∠ACB.∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB,则⊿AEC∽⊿ADB,AE/AD=AC/AB;

又∠EAD=∠CAB,则⊿EAD∽⊿CAB,得∠AED=∠ACB=∠M.∴∠AED+∠BAM=∠M+∠BAM=90°,得AO⊥DE.--------(1)

连接DG,EG.点G为BC的中点,则DG=BC/2;(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)同理可证:EG=BC/2.故DG=EG.又F为DE的中点,则FG⊥DE.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)-----------------(2)所以,AO∥FG.(2)已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点

延长LM至E，使LM＝ME。

∵AM＝MB，LM＝ME，∴ALBE是平行四边形，∴AL＝BE，AL∥EB，∴LN/EN＝DN/BN。

延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为G。

∵AB是梯形ABCD的底边，∴BF∥CD，∴CN/FN＝DN/BN。

由LN/EN＝DN/BN，CN/FN＝DN/BN，得：LN/EN＝DN/BN，∴LC∥FE，∴∠GLM＝∠FEB。

由AL∥EB，得：∠LAG＝∠EBF，∠ALM＝∠BEM。

由∠ALM＝∠BEM，∠GLM＝∠FEB，得：∠ALM－∠GLM＝∠BEM－∠FEB，∴∠ALG＝∠BEF，结合证得的∠LAG＝∠EBF，AL＝BE，得：△ALG≌△BEF，∴AG＝BF。

∵AC＝BC，∴∠CAG＝∠CBF，结合证得的AG＝BF，得：△ACG≌△BCF，∴ACL＝∠BCN。

(3)如图,三角形ABC中,D,E分别在边AB,AC上且BD=CE,F,G分别为BE,CD的中点,直线FG交

AB于P,交AC于Q.求证:AP=AQ

取BC中点为H

连接HF,HG并分别延长交AB于M点，交AC于N点

由于H，F均为中点

易得：

HM‖AC,HN‖AB

HF=CE/2,HG=BD/

2得到：

∠BMH=∠A

∠CNH=∠A

又：BD=CE

于是得：

HF=HG

在△HFG中即得：

∠HFG=∠HGF

即：∠PFM=∠QGN

于是在△PFM中得：

∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN

在△QNG中得：

∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN

即证得：

∠APQ=∠AQP

在△APQ中易得到： AP=AQ

(4)ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O，O，O，O．求证：OOOO为矩形． 123

41234

已知锐角三角形ABC的外接圆O，过B,C作圆的切线交于E，连结AE，M为BC的中点。求证角BAM=角EAC。

设点O为△ABC外接圆圆心，连接OP；

则O、E、M三点共线，都在线段BC的垂直平分线上。

设AM和圆O相交于点Q，连接OQ、OB。

由切割线定理，得：MB² = Q·MA ；

由射影定理，可得：MB² = ME·MO ；

∴MQ·MA = ME·MO，即MQ∶MO = ME∶MA ；

又∵ ∠OMQ = ∠AME，∴△OMQ ∽ △AME，可得：∠MOQ = ∠MAE。

设OM和圆O相交于点D，连接AD。

∵弧BD = 弧CD，∴∠BAD = ∠CAD。

∵∠DAQ =(1/2)∠MOQ =(1/2)∠MAE，∴∠DAE = ∠MAE∠DAE = ∠CAD-∠DAQ = ∠CAM。

设AD、BE、CF是△ABC的高线，则△DEF称为△ABC的垂足三角形，证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角 设交点为O，OE⊥EC，OD⊥DC，则CDOE四点共圆，由圆周角定理，∠ODE=∠OCE。

CF⊥FC，AD⊥DC，则ACDF四点共圆，由圆周角定理，∠ADF=∠ACF=∠OCE=∠ODE，AD平分∠EDF。

其他同理。

平行四边形内有一点P，满足角PAB=角PCB，求证：角PBA=角PDA

过P作PH//DA，使PH=AD，连结AH、BH

∴四边形AHPD是平行四边形

∴∠PHA=∠PDA，HP//=AD

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD//=BC

∴HP//=BC

∴四边形PHBC是平行四边形

∴∠PHB=∠PCB

又∠PAB=∠PCB

∴∠PAB=∠PHB

∴A、H、B、P四点共圆

∴∠PHA=∠PBA

∴∠PBA＝∠PDA

补充：

补充：

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．

已知点o为三角型ABC在平面内的一点，且向量OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,，则O为三角型ABC的（）

只说左边2式子 其他一样

OA2+BC2=OB2+CA2 移项后平方差公式可得

(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)化简

得 BA(OA+OB)=BA(CA-BC)

移项并合并得BA(OA+OB+BC-CA)=0

即 BA*2OC=0 所以BA和OC垂直

同理AC垂直BO BC垂直AO哈哈啊是垂心

设H是△ABC的垂心，求证：AH2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2．

作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG． 易证∠HCB=∠BCG，从而△HCD≌△GCD．

故CH=GC．

又显然有∠BAP=∠DAC，从而GC=BP．

从而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．