初中数学竞赛分类题典

初中数学竞赛分类题典（精选14篇）

篇1：初中数学竞赛分类题典

2007-2012年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编---几何填空题

1.已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB2,BCCD10,AD6，过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BEBF的值为____4_____.（2007）

解延长CD交⊙O于点G，设BE,DG的中点分别为点M,N，则

易知AMDN.因为BCCD10，由割线定理，易证BFDG，所以BEBFBEDG2(BMDN)2(BMAM)2AB4.F M N D

C

2．如图，正方形ABCD的边长为1，M,N为BD

所在直线上的两点，且AMMAN135，则四边形AMCN的面积为

5（2008）

解设正方形ABCD的中心为O，连AO，则AO

BD，AOOB, MO又ABMNDA135，,∴MBMOOB.245NADMANDABMAB13590MAB

MABAMB，所以△ADN∽△MBA，故ADDNAD，从而DNBA1MBBAMB2根据对称性可知，四边形AMCN的面积

115S2S△MAN2MNAO2.222

3． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.（2009）

【答】

设△ABC的面积为S,则因为△ADE∽△ABC，所

以

AD



ABBD又因为△BDF∽△BAC，所以

AB两式相加

得

F

C

ADBD1，即ABAB1，解

得S2.所以四边形DECF的面积为2mn

4．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA

PC＝5，则PB＝______．（2009）【答】

EmP,F作PE⊥AB，交AB于点E，作PF⊥BC，交BC于点F，设P

△PCF中利用勾股定理，得

n，分别在△PAE、m2(5n)25①(5m)n25②

②－①，得10(nm)20，所以mn2，代入①中，得n7n120，解得n13，n24.F

C

当n3时，mn21，在Rt△PAE

中，由勾股定理可得PB当n4时，mn22，此时PEAE，所以点P在△ABC的外面，不符合题意，舍去.因此PB

5．在△ABC中，已知B2A，BC2,AB22，则A．（2011）【答】 15。

延长AB到D，使BD＝BC，连线段CD，则DBCD

ABCA，所以CA＝2

CD。

作CEAB于点E，则E为AD的中点，故

AEDEAD(ABBD)(22)2222，EB

D

BEABAE(2(2.在Rt△BCE

中，cosEBC

EB，所以EBC30，故 

BCA

ABC15． 2

6．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果DE＝．（2011）

【答】 24.设CE4x,AEy，则DFDE3x,EF6x．

连AD，BC．因为AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，所以

A

B

CE，AC8，D为EF的中点，则AB4

EAF90,ACDDAF．

又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点，∴ DADEDF，∴ DAFAFD，∴ ACDAFD，∴ AFAC8． 在Rt△AEF中，由勾股定理得EF

F

AE2AF2，即 36x2y2320．

设BEz，由相交弦定理得 CEDEAEBE，即yz4x3x12x，∴ y3203yz① 又∵ ADDE，∴ DAEAED．

又DAEBCE,AEDBEC，∴ BCEBEC，从而BCBEz．

在Rt△ACB中，由勾股定理得 ABACBC，即(yz)320z，∴ y2yz320．② 联立①②，解得y8,z16．

所以ABAEBE24．

7．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．（2012）

【答】

设D为BC的中点，在△ABC外作∠CAE＝20°，则∠BAE＝60°.作CE⊥AE，PF⊥AE，则易证△ACE≌△ACD，所以CE＝CD＝

BCAP

BC.2

又PF＝PAsin∠BAE＝PAsin60

°＝

1AP，PF＝CE，所以AP＝BC，222

因此

BC

AP

E

B

篇2：初中数学竞赛分类题典

第二十一讲 分类与讨论

分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始．

有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？

因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论．

任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个．

上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论．

分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论．

例1 求方程

x2-│2x-1│-4=0 的实根．

x2+2x-1-4=0，x2-2x＋1-4=0，x1＝3，x2=-1．

说明 在去绝对值时，常常要分类讨论．

例2 解方程x2-[x]=2，其中[x]是不超过x的最大整数．

解 由[x]的定义，可得

x≥[x]=x2-2，所以 x2-x-2≤0，解此不等式得

-1≤x≤2．

现把x的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解．

(1)当-1≤x≤0时，原方程为

x2-(-1)=2，所以x=-1(因x=1不满足-1≤x＜0)．

(2)当0≤x＜1时，原方程为

x2=2．

(3)当1≤x＜2时，原方程为

x2-1=2，所以

(4)当x=2时，满足原方程．

例3 a是实数，解方程

x│x+1│+a=0．

分析 方程中既含有绝对值，又含有参数a，若以平方化去绝对值的话，则引入了高次方程，把问题更加复杂化了．对这种问题，宜讨论x的取值范围来求解．

解(1)当x＜-1时，原方程变形为

x2＋x-a=0．①

当△=1＋4a≥0(且a=-x│1＋x│＞0)，即a＞0时，①的解为

(2)当x≥-1时，原方程为

x2＋x＋a=0．②

又x≥-1，即

综上所述，可得：当a＜0时，原方程的解为

例5 已知三角形中两角之和为n，最大角比最小角大24°，求n的取值范围．

解 设三角形的三个角度数分别是α，β，γ，且有α≥β≥γ． 由题设α-γ=24．

(1)若β+γ=n，则α=180°-n，γ=α-24°＝156°-n，β＝n-γ＝2n-156°．

所以

156°-n≤2n-156°≤180°-n，所以 104°≤n≤112°．

(2)若α＋γ=n，则β=180°-n，于是

所以

所以 112°≤n≤128°．

(3)若α＋β=n，则γ=180°-n，α=γ+24°=204°-n，β=n-α=2n-204°．于是

180°-n≤2n-204°≤204°-n，所以 128°≤n≤136°．

综上所述，n的取值范围是104°≤n≤136°．

例6 证明：若p是大于5的质数，则p2-1是24的倍数．

分析 关于整数的问题，我们常把它分成奇数和偶数(即按模2分类)来讨论，有时也把整数按模3分成三类：3k，3k＋1，3k＋2．一般地，可根据问题的需要，把整数按模n来分类．本题我们按模6来分类．

证 把正整数按模6分类，可分成6类：6k，6k+1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5．因p是大于5的质数，故p只能属于6k+1，6k+5这两类．

当p=6k＋1时，p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)．

因k，3k＋1中必有一个偶数，此时24│p2-1．

当p=6k＋5时，p2-1=36k2＋60k＋24

＝12k2＋12k

=12k(k＋1)≡0(mod 24)．

所以，P2-1是24的倍数．

例7 证明

A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z

＝4max｛x，y，z｝，其中max｛x，y，z｝表示x，y，z这三个数中的最大者．

分析 欲证的等式中含有三个绝对值符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值去掉似乎较为困难，但等式的另一边对我们有所提示，如果x为x，y，z中的最大者，即证A=4x，依次再考虑y，z是它们中的最大值便可证得．

证(1)当x≥y，x≥z时，A=│x-y+x+y-2z│＋x-y+x+y+2z

=2x-2z+2x+2z=4x.(2)当y≥z，y≥x时，A=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z

=2y-2z+2y+2z=4y．

(3)当z≥x，z≥y时，因为

│x-y│＋x＋y=max｛x，y｝≤2z，所以

A=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z．

从而 A=4max｛x，y，z｝．

例8 在1×3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边相应地与大矩形的一条边平行，求两个小矩形周长和的最大值．

解 两个小矩形的放置情况有如下几种：

(2)两个小矩形都“横放”，如图2-124及图2-125所示，这时两个小矩形的周长和的最大值是

2(a＋3a)＋2[1-a＋3(1-a)]＝8．

(3)两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，如图2-126，这时两个小矩形的周长和为

练习二十一

1．解不等式：│x+1│＋│x│＜2．

2．解关于x的不等式：a(ax-1)＞x-1.3．解方程：││x-3│-2│=a．

4．解方程：x2-2[x]-3=0．

6．设等腰三角形的一腰与底边分别是方程x2-bx＋a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围．

篇3：初中数学竞赛分类题典

关键词：初中数学,分类讨论思想,分类原则,培养途径

分类讨论思想是初中数学中的一种常见的重要思想方法, 是把研究的数学对象分成几个不同的情况, 再分类进行研究和求解的一种数学思想。分类讨论思想是教学中的难点, 也是近几年中考的热门题型。

有些情况下, 当研究的问题中出现多种情况, 使得我们不能将它一概而论时, 就只能把出现的所有情况进行分类讨论, 求解出各种情况下相对应的结论, 最后进行综合汇总。分类讨论要遵循下面的原则:

1.对问题中的某些条件进行分类时, 要遵循同一标准。

2.分类要完整, 需要做到不重复, 不遗漏。

3.当分类不能一次完成时, 要进行逐级分类, 对不同级的分类, 分类标准不一定统一。

要让学生掌握分类讨论的思想, 就要求教师认真钻研教材, 制定相应计划, 结合数学知识, 进行分类讨论思想的教学。分类讨论思想不像有些数学知识, 通过一定时间的教学和练习就能掌握, 它需要根据学生的年龄阶段特点, 学生在学习中各阶段的认知发展水平, 以及所授数学知识的特点, 逐步渗透和培养, 呈阶梯状上升。在实际教学中, 教师要重视数学知识应用的教学, 更要重视数学知识形成的教学, 把分类讨论思想方法的渗透与培养贯穿于教学中。

培养途径一:在概念和定义的教学中培养分类讨论思想

初中学生分类讨论的意识和能力不强, 不清楚哪些问题需要分类及如何分类。这就要求教师在平时的教学活动中结合教材, 予以强化。教材中有些概念和定义是分类给出的或有相关的限制, 涉及到这些概念和定义, 就必须按照概念和定义的分类形式进行讨论。

例如, 有理数的比较大小, 可划分为: 正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况进行比较。在“有理数”这一章的教学中, 要反复渗透分类讨论思想, 使学生逐步形成数学学习中的分类思想, 并能在分类讨论时注意到一些基本原则, 如分类的对象是确定的, 标准要统一, 在确定对象和标准后, 还要注意分清层次, 不越级讨论。

培养途径二:在法则、定理、公式的教学中培养分类讨论思想

初中教材中有一些定理、公式本身是分类给出的, 在教学过程中要有意识地让学生体会分类讨论的思想。

在平时的教学中, 教师要重视相关法则、定理、公式的证明过程, 注意总结、揭示公式之间的联系, 培养学生分类讨论意识, 体会分类讨论思想的作用。

培养途径三:在解题过程的教学中培养分类讨论思想

学生在解答数学题时, 容易出现应该讨论而不去讨论的情况, 这是因为学生没有形成分类讨论的意识, 需要教师在教学过程中, 解答某一分类讨论问题时, 先让学生自己先解题, 再从学生的错误答案中指出其没有分类讨论的问题, 从而让学生引起重视, 效果就会明显。利用分类讨论思想解题主要有两类:一类是代数式、函数、方程中, 根据字母不同的取值, 分别在不同的取值范围内讨论解决问题;第二类是根据几何图形中点和线出现的位置情况, 逐一讨论解决问题。

篇4：初中数学竞赛分类题典

一、分类教学方法与分类教学思想的作用

1.有效激发学生的学习兴趣

运用分类教学思想能使教学目标更明确，更切合学生的实际需求，能为学生营造出轻松和谐的课堂氛围，从而提升他们的学习兴趣。该种教学模式同时重视起学生之间的个体差异，能满足不同学生的学习需求。

2.有效提高课堂教学效率

利用分类教学方式方便教师对自己教学效果进行检查，有利于教学工作的改进。对于学生来说，既能够发现自身存在的不足，又能促进学习效率的提高，使数学教学工作能高效开展，并能及时查漏补缺，有效提高课堂教学效率。

二、分类方法与分类思想在初中数学课程教学过程中的应用

1.渗透分类思想，引导学生养成分类意识

在日常学习生活过程中，每个学生都有一定的分类意识，如对学科、活动项目等元素的分类。为此，教师应充分利用学生的这种分类基础，将学生在生活中的分类思想迁移到数学学习中来，在数学课程教学过程中进行分类思想的渗透，并充分结合教材特点，把握好分类思想渗透的契机。如不等式的性质、绝对值的意义等内容都是渗透分类思想的好机会。

如在比较两个有理数大小时，可分为正数与正数的比较、正数与零的比较、正数与负数的比较、负数与零的比较以及负数与负数的比较等。结合“有理数”这一相关内容的教学，强化数学分类思想的运用，既能让学生把握住学习的重点，同时还能引导学生养成良好的分类意识。在此过程中，学生还能在分类思想的运用过程中掌握一些基本的原则，如分类的对象必须是确定的且必须有统一的标准，若标准不一，就会出现重复、遗漏等错误。在确定对象与标准之后，学生还能分清层次，以充分掌握学习材料的不同特点。

2.运用分类方法，增强思维的缜密性

在教学过程中运用分类思想时，因引导学生了解所谓分类方法就是根据对象的属性，用统一的标准对它们进行不重不漏的分类，之后针对每一类的问题加以解答。在此过程中，合理的方法是成功解决问题的关键所在，在具体的分类过程中主要运用以下两种方法。

（1）根据数学概念进行分类

对于有些数学概念而言是分类给出的，为顺利解答出该类问题，通常是按概念的分类形式分类。

例如：解关于x的不等式：ax+6>3x+2a，通过分析可以将不等式化为 （a-3）x>2a-6的形式，并且可以根据不等式的性质进行分类，分成a-3>0，a-3=0以及a-3<0三种不同的分类形式，以明确解题思路，快速、准确地解答出题目。

（2）依据图形之间的关系进行分类

如对于三角形的按角分类形式而言，可分成锐角、直角与钝角三角形；根据直线与圆交点的个数可以分成直线与圆相交、直线与圆相切以及直线与圆相离等三类。

如在证明圆周角定理时，因圆心的位置分为在角的外部、内部与边上三种情况，应引导学生根据这三种情况的不同来进行讨论证明。具体的解题思路为，先证明圆心在一条边上的情况，这种情况比较容易解出，然后通过作过圆周角顶点的直径，再证明出圆心在内部与在外部的其他两种情况。这种解题方式是在定理的证明过程中所反映出的分类思想与分类方法，同时也是根据几何图形点与点出现位置的不同所提出的问题解决方式，在以后的解题过程中也可用该方式来进行解题。

3.引导学生加强分类讨论，提高学生的解题能力

上文已经提到，在初中数学教材中有很多的公式、定理与法则，并且需要不同性质的分类讨论。当教师在教授这些内容时，就应不断强化学生的分类讨论意识，让他们充分认识到，只有利用分类讨论的方法才能够快速、完整、准确地将问题解答出来，如果不使用分类讨论的方法则很难将题目解出。在数学解题过程中，运用分类讨论方法还能有效提高学生的概括能力，帮助他们自主概括出一些有规律的东西，进而提高他们问题思考的缜密性与条理性。

篇5：初中数学竞赛方案

为增强我校学生的数学学习兴趣，培养学生竞争意识，也为了履行本学期初的教务工作计划，我数学教研组特定于11月21日在八年级学生中举行一次数学竞赛，具体竞赛方案如下：

一、竞赛组织教师：

出卷：李岩；监考：马慧，田丽霞；改卷：李岩。

由于九年级临近中考故不参加，九年级教师做好复习迎考工作。

二、参赛人员：

由八年级各数学教师从班上抽选或组织学生自愿报名的形式每班抽取5名学生参加竞赛。

三、奖项设置：

一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名。

四、竞赛时间：2013年11月21日（星期四）下午4:50—5:50

五、考场安排：

考场设置在多媒体教室，实行单人单桌考试制度。

六、监考教师务必从严监考，杜绝舞弊现象。改卷教师务必做到公

正、公平。

七、5月25日下午7点前各评卷教师将竞赛试卷交于教务处，请

教务处的同志安排发奖事项。

篇6：初中数学竞赛方案

七年级上学期是小学到初中的转折点。学生从小学六年级升入七年级后，科目增多了，时间更紧了，知识的`深度与难度也随之增加，特别是数学，好多小学的数学尖子生到了初中不再拔尖。刚升入七年级的学生的思维方式仍保留着小学生的那种以直观、形象思维为主的特点，学生的注意力集中时间短，小学对概念的掌握要求并不高，侧重于记忆与计算;而中学数学对概念的要求强化了，侧重于数学思想。到了初中，引入负数、代数式等后，运算过程将更加复杂，相当一部分刚升入七年级的学生在计算有理数、整式的加减及解方程时老出错。计算是学好数学的基本功，初中生是培养学生计算能力的黄金时期，刚升入七年级的学生的计算能力的培养更是整个初中计算能力能否打好基础的转折点，因为整个初中代数的内容都和运算有关：有理数的运算、整式的运算、因式分解、解方程等。初中运算不过关，直接影响到高中的数学成绩，运算屡屡出错，会打击学生学习数学的积极性，所以一定要培养学生具备准确性很高的计算能力。 基于这些，我们七年级数学组特组织这次数学计算能力大赛。测试的主要内容是第二章有理数，针对学生的易错点，本章的难点，特设置此测试卷。

二、活动时间

20XX年10月30日

三、领导小组名单

组长：姚海红(全面负责本次活动的策划与组织)

篇7：初中数学知识竞赛方案

（2012-2013学年第二学期）

为激发中学生学习钻研数学知识的兴趣，逐步形成勇于实践、敢于创新的思维和良好品质，拓展学生的知识面，提高学生的数学素养，发展学生的个性特长。我校决定在2013年4月24日下午课外活动举行中学数学知识竞赛活动。特拟实施方案如下：

一、竞赛方式：采用问答题的形式，时间每题1分钟。

二、竞赛内容：

1,出题范围是各年级本学年（含上学期）学过的内容。按各年级的教材基础 70%，综合知识 30%。,题目要求具有灵活性、技巧性、思维性和科学性。，题型：题一,基础题，每人回答2道题。题二,综合题，以班级为单位，合作交流做题，选出一个代表回答问题，回答错误，本班的观众里一人可以举手回答，可以另外加分。题三,抢答题，各年级共5道题，提完问题先举手的选手回答。

三、竞赛时间：

报名时间：2013年4月18-4月22日

参赛时间：2013年4月24日（星期三，第七节课）

四、竞赛地点：多媒体教室

五、参加对象：七，八，九年级，每班5人。

六、竞赛办法：、竞赛以个人和班级为单位，试题均以走进生活，解决实际问题，提高学生的思维能力的题型为主。、每班由数学老师选拔学生报名参赛，并将参赛名单于4月22 日

下午报组长处。

七、奖励办法：、每个年级设一等奖1人，二等奖1人，三等奖1人。、以班级为单位，一等奖1名，二等奖1名。

阿热勒托别乡牧寄校初中理科组

篇8：浅谈初中数学分类讨论

有些数学问题较复杂，有时会遇到多种情况，不能一概以统一的形式解决，需要对各种情况加以分类，分别加以研究求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。它既是一种数学思想，又是一种逻辑方法，同时也是一种重要的解题策略。分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中，分类的过程有利于培养和发展学生思维的条理性、周密性、灵活性;而分类讨论，又使学生学会全面地考虑问题、化整为零地解决问题，促进学生研究问题、探索规律的能力。以下从几方面对初中数学分类讨论思想谈几点粗浅认识。

一、为什么要分类讨论

数学对象本质属性存在共同点和差异点，可将数学对象区分为不同种类，其引起分类讨论的主要原因有：1.由数学有关概念引起的分类讨论，例如实数的分类和绝对值的定义分为大于零、等于零、小于零三种情况及研究含字母的绝对值问题等;2.由数学定理、性质、公式和式子变形的限制条件引起的分类讨论，如一元二次方程的根讨论;3.由几何图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨论，如圆周角与对同弧的圆心角关系定理的推导;4.对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的分类讨论，如不等式的性质和一次函数的性质(k>0或k<0时，图像的变化情况)等。

二、科学分类应遵循的规则

应用分类讨论思想解决问题时，应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据;分类后的各类应是互斥的且各类之和应等于被分的对象，即不重复、不遗漏;有的数学问题比较复杂，仅仅进行一次分类还不能将问题讨论清楚，需要进一步对其中一类或几类继续分类，即按层次分类。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。

三、用分类讨论思想解决问题的一般步骤

俗话说“物以类聚”，要进行恰当的分类，应先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围，然后正确选择分类的标准，进行合理分类后逐类讨论解决，最后归纳并作出结论。

四、分类讨论思想在教学过程及解题中的渗透

教师在数学知识教学的同时，应该注重数学思想和方法的有机渗透，以有助于学生形成一个活的系统的数学知识结构。在实践中探索规律，以构成数学思想和方法教学的指导原则。数学家乔治·波利亚说过：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”

由于初中生对分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理地分类，分类思想也不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。这就需要教师认真钻研教材，结合数学知识的学习进行数学思想的教学，不失时机地逐步引导学生建立分类讨论的思想，揭示分类讨论思想的本质，使学生能够自觉合理地运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。下面举例说明。

1. 在数学概念教学的渗透。

例：七年级《有理数》一章中学习负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：

为下一步分类讨论奠定基础。如数-a一定表示负数吗?让学生对数a进行分类，得出-a可表示正数、零、负数三类。又比如讲解绝对值的意义时，引导学生得到如右图分类。通过对正数、零、负数的绝对值 的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识，并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：整数、分数、零，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

2. 着眼于数学定义、性质、公式和式子变形或限制条件中的渗透。

教材中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论。因此不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题要通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的;如果不分类讨论，就很容易出现错误。在解题应用中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性、缜密性。

3. 在涉及几何图形相关知识解题中渗透。

如《三角形》一章中，对三角形全等识别方法的探索，教材中的思考题：如果两个三角形有一个、两个或三个部分(边或角)分别对应相等，那么有哪几种可能的情况?同时，教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论，由简到繁，一步步得出，教学时渗透并让学生体验这种思想方法。

在初中数学教学注重渗透分类讨论思想，既符合了数学课程的基本理念又体现了新课程标准。不仅对学生进行思想观念层次上的数学教育，也使学生初步掌握必要的数学思想。对提高学生的素质，启发学生积极运用数学的思维方式，学会去观察、分析、解决数学问题及其他学科学习和日常生活中的问题，具有十分重要的作用。

摘要：数学思想方法是数学教学的重要内容,在初中数学新大纲中已把它列入基础知识的范畴,因此重视和加强中学数学思想的教学,符合新课程标准的要求,且对于抓好双基、培养良好的思维品质以及提高学生的数学素质都有着十分重要的作用。

篇9：初中数学分类教学的探索

一、分类教学的目标

1.发展A类学生的学习品质，数学特长，培养并提高他们的知识综合能力、应用能力、实践能力和创新能力。

2.提高B类学生，使他们牢固掌握课程标准、教材所规定的知识和技能，培养他们的学习能力和学习品质，努力争取成为A类学生。

3.帮助C类学生，加强思想教育、心理教育，严格要求，热情关怀，转变他们的学习态度，培养良好的学习习惯，调动他们的积极性，努力使他们掌握最基本的知识和技能，提高学习质量，稳步发展成为B类学生。

二、分类教学的模式和做法

所谓分类教学，就是教师在学生知识基础、智力因素和非智力因素存在明显差异的情况下，有区别的设计教学环节来进行教学，遵循因材施教原则，有针对性的实施对不同类别学生的学习指导，不仅根据学生的不同选择教法，布置作业，还因材施“助”，因材施“考”，因材施“分”，使每个学生能在原有的基础上得以发展，从而达到总体教学目标。具体分类模式如下：

1.分类建组。把学生分类编组是实施分类教学的基础。教师通过对全班学生平时的学习能力、学习积极性、学习习惯及学习成绩等因素进行综合分析，采取学生自报和教师考查相结合的办法，把学生按好、中、差分为A、B、C三类，分别占全班的20%、50%、30%左右，随着学生成绩的全面提高，A类学生所占比例应有所增加，B、C类学生所占的比例应有所减少，分类前做好学生的思想工作，使学生明白分类教学的目的，了解分类教学的方法，并说明根据学生的学习情况定期地做些调整，合理地进行升降，消除学生的心里不平衡状态。分类后，再按照自愿结合的方式组成互学小组，每组里A、B、C三类学生都有，给学生提供互帮互学的机会，锻炼学生的交流能力。

2.分类备课。分类备课是实施分类教学的前提。备课要在彻底理解课程标准和教材的基础上，結合班级不同类别学生的实际情况，制定教学目标。

3.分类授课。分类授课时是实施分类教学的中心环节。教师在教学过程中应遵循“学生为主体，教师为主导，探究为主线，能力为目标“的教学宗旨，做好分类设疑，分类释疑，分类练习，分类指导，分类反馈，分类纳入知识系统等环节。

4.分类辅导。分类辅导是实施分类教学的关键。分类辅导包括查漏补缺、学法指导和心理辅导等。对A类学生辅导注重知识之间的联系和区别及解题的思路分析，并提供一些课外思考题，充分开发其学习的潜能；对B类学生的辅导重在分析和解决问题能力的培养；对C类学生辅导重点放在最基本的知识点的掌握和最基本的题型的解决上，鼓励其学好数学。

5.分类布置作业。分类布置作业是实施分类教学的有效途径。根据不同类别的学生布置不同的作业，使各类学生得以提高和发展，减轻学生的作业负担。

6.分类测试

分类测试是衡量分类教学效果的主要依据。在统一试题的要求下，对不同类别的学生采取不同的记分方法。试卷分基础题、提高题和综合题三部分，基础题满分为80分，各类学生都做，C类学生得80分记作100分；提高题满分为20分，A、B类学生必做，C类学生选做，B类学生得100分记作100分；综合题满分为50分，A类学生必做，B、C学生选做，A类学生得150分记作100分，如果B类学生考试超过100分，主动升为A类再折算分数，C类得分超过80分或100分，升为B类或A类再折算分数。这样就改变了一张试卷，一个标准衡量学生的现状，使得各类学生都有获得成功的体验，同时也可避免优生常因得高分而产生骄傲自满的思想。

7.分类评价

分类评价是进行分类教学的重要环节。一个班级内学生的差异始终是存在的。为了更好地发挥分类促进作用，在一语道破的评价中也应进行分类。对C类学生侧重表扬，B类学生侧重鼓励，A类学生侧重促其发展，让每位学生能“跳一跳摘到桃”，从而树立起学习的信心，提高学习的兴趣。

三、分类教学的效果

通过分类教学的尝试，将收到明显的效果，表现为：

1.学生的学习目标更为明确，更切合自身实际，学习负担也减轻了，学习过程比较轻松、灵活、主动，培养了学生的学习兴趣，学生学习能力和心理素质也得以加强。

2.教师改变了以往面向少数、忽视整体的现象。

3.建立了新型的师生关系，学生情感态度有了很大的变化，缩小了师生之间的距离，学习兴趣及积极性有了明显的提高。

4.通过实施分类教学，学生的个性和潜能得到充分的发展，A类学生面得以扩大，C类学生面得以缩小，教学质量有了全面提高。

四、分类教学的方向

努力的方向：解决好动态分类如何更能体现学生个性这一问题，完善操作方法是关键，这样才能充分调动学生的学习积极性；完善分类教学操作模式，探索各种类型课和不同知识进行分类教学的具体操作办法；进一步完善分类测试和评价体系，促进学生个性特长的发展；建立和完善互帮互学小组、竞争激励机制，充分挖掘各类学生自主学习的潜能。我们坚信，只要勤于探索与实践，数学学科的分类教学将更趋于规范、合理和科学。

篇10：初中数学竞赛活动小结

初中数学教研组

2013年5月24日下午第二、第三节课，我数学组“超越平凡课堂，畅游数学天地”初中数学竞赛活动拉开了序幕，这次活动的内容是“初中数学疑难题解答”。

篇11：初中数学竞赛寒假作业

2、已知a、b、c∈R，且满足a＞b＞c，a＋b＋c=0。那么，c的取值范围是___________。

a

3、代数式4x21x2达到最小值时，x的值为___________；代数式4x21x2达到最大值时，x的值为___________。

4、已知⊙O1、⊙O2外切，它们的半径分别为112、63，它们的内公切线被它们的两条外公切线截得的线段为AB。那么，AB的长为___________。

5、已知在直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A(-1，1)，顶点C(1，1+2)。那么，顶点B、D的坐标分别为___________、___________。

6、在一个m行、n列的方格表中，有mn个边长为l的小方格。每个小方格用红、黄、蓝三种颜色中的一种颜色染色。已知方格表的每一行有6个红色的小方格，每一列有8个黄色的小方格，整个方格表共有l5个蓝色的小方格．如果n是两位的质数，那么，m=___________，n=___________。

7、方程

8、设a、b为常数，并且b＜0，抛物线y＝ax2bxa22a4的图像为图中的四个图像之一。则2x63x7＝x11x6的解是___________。

a=___________。

9、如图，在△ABC中，AB=BC＝5，AC=7，△ABC的内切圆⊙O与边AC相切于点M，过点M作平行于边BC的直线MN交⊙O于点N，过点N作⊙O的切线交AC于点P。则MN-NP=___________。

10、已知某人用12.1万元购买了一辆汽车。如果每年需交保险费、养路费、汽油费合计1万元，汽车维修费第一年为0元，从第二年开始，每年比上一年增加0.2万元。那么这辆汽车在使用____________年后报废，才能使该汽车的年平均费用达到最小，该汽车的最小年平均费用是___________万元。

1.已知a≠0,并且关于x的方程ax2－bx－a+3=0①至多有一个解,试问:关于x的方程(b－3)x2+(a－2b)x+3a+3=0②是否一定有解?并证明你的结论.2.已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点,P为AB线段内部的任意一点,设BP的垂直平分线与直线AD交于点E,PC与AD交于点F.求证:直线EP是△APF的外接圆的切线.3.在1,2,…,2 007这2 007个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中的每一个都与2 007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数.1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,ABAC6,则=________________.1ACBC2ab1,20082008ab22.已知a,则代数式2007化简的最后结果是_________.b212007c(2007-c)c2007c20073.代数式113x23－110x的最小值为__________________.4.如果一个直角三角形的两条直角边的乘积等于它的斜边的平方的________________.5.已知在直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点分别为A(2

1,那么,这个直角三角形中较大的锐角的度数为42 , 2+6)、B(2,2)、C(5 2, 2).则△ABC的边BC上的高与∠ABC的平分线的交点的坐标为___________.6.已知某工厂一月份生产某产品1万件,二月份生产1.2万件,三月份生产1.3万件,n月份生产abn+c万件,其中a、b、c都是常数,n=1,2,…,12,则该工厂四月份生产___________________万件.7.方程3x3+2 2x2－(17－9 2)x－(6－5

篇12：2014年初中数学竞赛大纲

数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。为了使全国数学竞赛活动持久、健康地开展，中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《初中数学竞赛大纲》，这份大纲的制定对全国初中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导作用，使我国初中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。

新的课程标准的实施在一定程度上改变了初中数学课程的体系、内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛活动所涉及的知识内容、思想和方法等方面也有了一些新的要求。为了使新的《初中数学竞赛大纲》能够更好地适应初中数学教育形势的发展和要求, 经过广泛征求意见和多次讨论, 中国数学会普及工作委员会组织了对《初中数学竞赛大纲》的修订。

本大纲是在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的精神和基础上制定的。在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中提到：“„„要激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；„„要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；„„” 由于各种不同的因素，学生在数学知识、技能、能力方面和志趣上存在差异，教学中要承认这种差异，区别对待，因材施教，因势利导。应根据基本要求和通过选学内容，适应学生的各种不同需要；对学有余力的学生，要通过讲授选学内容和组织课外活动等多种形式，满足他们的学习愿望，发展他们的数学才能；鼓励学生积极参加形式多样的课外实践活动。

学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导，引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的基本要求。在竞赛中对同样的知识内容，在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求。“课堂教学为主，课外活动为辅”也是应遵循的原则。因此，本大纲所列的课程标准外的内容充分考虑到学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，重在培养学生的学习兴趣、学习习惯和学习方法，使不同程度的学生在数学上都得到相应的发展，并且要贯彻”少而精”的原则，处理好普及与提高的关系。

1.数

整数及进位制表示法，整除性及其判定。

素数和合数，最大公约数与最小公倍数。

奇数和偶数，奇偶性分析。

带余除法和利用余数分类。

篇13：浅谈初中数学分类讨论法

分类讨论思想, 贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题, 就其引起分类的原因, 可归结为: (1) 涉及的数学概念是分类定义的; (2) 运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的; (3) 求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能; (4) 数学问题中含有参变量, 这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论, 往往能使复杂的问题简单化。分类的过程, 可培养学生思考的周密性, 条理性, 而分类讨论, 又促进学生研究问题, 探索规律的能力。分类思想不象一般数学知识那样, 通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征, 学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点, 逐步渗透, 螺旋上升, 不断的丰富自身的内涵。教学中可以从以下几个方面, 让学生在数学学习过程中, 通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括, 形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想, 养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识, 如人群的分类、文具的分类等, 我们利用学生的这一认识基础, 把生活中的分类迁移到数学中来, 在教学中进行数学分类思想的渗透, 挖掘教材提供的机会, 把握渗透的契机。如数的分类, 绝对值的意义, 不等式的性质等, 都是渗透分类思想的很好机会。同时, 一些定理、公式等数学内容也有分情况予以表述的, 或者有特定的适用范围, 比如二次函数的最大值和最小值问题, 在运用此类定理、公式解题时, 一定要注意分类进行讨论, 让学生领会定理、公式的适用范围。以《有理数》这章为例, 概念很多, 整数、分数、正有理数、零、负有理数等, 当教授完负数、有理数的概念后, 应及时引导学生对有理数进行分类, 让学生了解到对不同的标准, 有理数有不同的分类方法。例如, 有理数可分为正有理数、0和负有理数;有理数也可分为整数和分数。 认识数a可表示任意数后, 让学生对数a进行分类, 得出正数、零、负数三类。又如, 两个有理数的比较大小。可分为:正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较, 而负数和负数的大小比较是新的知识点, 这就突出了学习的重点。

结合《有理数》这一章的教学, 反复渗透, 强化数学分类思想, 使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则, 如分类的对象是确定的, 标准是统一的, 如若不然, 对象混杂, 标准不一, 就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为:正数、负数、整数, 就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后, 还要注意分清层次, 不越级讨论。

二、学习分类方法, 增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时, 应让学生了解。所谓分类就是选取适当的标准, 根据对象的属性, 不重复、不遗漏地划分为若干类, 而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法, 就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种:

1、根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的, 解答此类题, 一般按概念的分类形式进行分类。例如, 刚才的有理数分类等。2、根据图形的特征或相互间的关系进行分类。如三角形按角分类, 有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形, 直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为:直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。例如, 等腰三角形一角为50°, 则其底角度数为______。这时, 就要把已知角分别按照顶角和底角讨论得出答案。

三、引导分类讨论, 提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题, 都需要分类讨论, 在教授这些内容时, 应不断强化学生分类讨论的意识, 让学生认识到这些问题。只有通过分类讨论后, 得到的结论才是完整的、正确的。如不分类讨论, 就很容易出现错误。在解题教学中, 通过分类讨论还有利于帮助学生概括, 总结出规律性的东西, 从而加强学生思维的条理性, 缜密性。

一般来讲, 利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类:其一是涉及代数式或函数或方程中, 根据字母不同的取值情况, 分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况, 逐一讨论解决问题

四、培养学生分类讨论思想的路径

分类讨论思想贯穿中学整个数学课程的始末, 充分发挥分类讨论思想的优势, 可以将复杂的问题大大简化, 不仅有助于提升学生的学习效率, 还有助于培养的数学思维能力。

1、概念、定理、公式讲解全面透彻。要做到全面、合理的分类讨论, 拥有扎实的知识储备是必不可少的。因此, 教师一定要对存在变化的数学概念、定理、公式进行全面的讲解, 把各种情况透彻的传达给学生。

2、头脑风暴活动。数学中分类讨论也是一种高强度的脑力活动, 需要学生调动所有的可能情况, 并根据实际的条件一一印证。而现代脑力开发训练的头脑风暴活动正是培养学生短时间调动所学所有知识的最有效方法。因此, 通过教师制定一些存在变化的数学题目, 开展一场师生间的头脑风暴活动, 对于提高分类讨论思想的应用有着很大的促进作用。

篇14：初中数学分类思想的应用

随着课程改革的深入，“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

例如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

1、根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例：绝对值的代数定义：|a|=a（a>0）、|a|=-a（a<0）、|a|=0（a=0）

意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

例，解关于x的不等式：ax+3>2x+a

分析通过移项不等式化为（a-2）x>a-3的形式，然后根据不等式的性质可分为a-2>0，a-2=0，和a-2<0三种情况分别解不等式。

当a-2>0，即a>2时，不等式的解是x>

当a-2=0，即a=2时，不等式的左边=0，不等式的右边=-1。因为0>-1，所以不等式的解是一切实数。

当a-2<0，即a<2时，不等式的解是x<