圆教学设计范文

2024-04-13

圆教学设计范文（精选10篇）

篇1：圆教学设计范文

圆_刘兴红_青州市庙子初级中学

圆教学设计教案背景：

1、面向学生：中学

2、学科：数学

3、课时：1课时

4、学生课前准备：一根棉线、铅笔、利用百度搜索汽车的发展史

二、教学课题

九年级数学上册圆

三、教材分析

（一）、教材、学情分析：

学生在学习本节课之前，已通过折叠、对称、平移旋转等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本节课是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，引导学生深入的研究事物的本质属性而进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．

学习本节课之前，学生在小学已经学习了圆的认识，容易找出日常生活中圆形的物体，已经掌握圆的画法及圆各部分的名称，特征，这为进一步学习圆的知识奠定了基础。通过前面的学习，学生的观察能力、动手能力已积累了一些活动经验，但对进一步探究认识事物的本质属性还是有一定的困难。

（二）教学目标

1、知识与能力：

（1）、知识目标：让学生在探索过程中深入认识圆，理解圆的本质属性。

（2）、能力目标：使学生了解弦，弧，半圆，优弧，劣弧，同心圆，等圆，等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系。

2、过程与方法

（1）积极引导学生从事观察、探究等活动，了解圆的概念，从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授与圆有关的概念

（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流

3、情感、态度与价值观：

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望，养成学生之间的合作的习惯。增强学生的民族自豪感。

（三）教学重难点：重点：圆的有关概念

难点：理解定义圆所应该具备的两个条件

四、教学方法

教学策略：

1、创设情境，让学生感受数学来源于生活，又服务于生活。

2、创设和谐民主的师生关系。使学生在和谐的交往环境中拥有一个自由的空间和环境、发挥自己的主观能动性和创造性。

3、创设层层递进的教学环节，使学生易于把未知转化为已知，自觉的参与到新知识的学习中。教学准备：

多媒体网络教室（与Internet相连）、一些圆的图片

五、教学过程：

（一）、创设情境，引入新课

1、在小学，我们已经学过一些圆的知识。下面请欣赏日常生活中有关圆的图片你能举例我们生活中还有那些物体是圆形的吗？

2、你是怎样画圆的？你能讲出形成圆的方法有多少种吗？

3、为什么行驶在路上的汽车的车轮都做成圆形的？

【百度搜索】汽车的发展史：http://wenku.baidu.com/view/309025c75fbfc77da269b17a.html

【设计意图】通过欣赏一些图片和了解汽车的发展史，引领学生进入这节课的学习当中，激发学生的求知欲和好奇心。

这节课我们一起研究：什么是圆？圆具有什么性质？与圆有关的有那些概念？

（二）探索新知

1、自主探索

（1）、学生用圆规画一个圆。（教师巡视）

（2）、你能用手中的一根棉线和铅笔试着画一个圆吗？（学生动手尝试，互相交流操作过程）

2、说一说

（1）观察上面两种画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗? 学生仔细观察，小组讨论交流，得出结论：

圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．

固定的端点O叫做圆心线段OA叫做半径

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．（2）从画圆的过程可以看出：（圆具有的性质）

①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合．

【设计意图】实践是检验真理的唯一标准，故通过让学生动手操作，在实践中发现圆的形成过程，从而加深对圆的性质的认识。（3）圆的两种定义：

动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．

静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．

【设计意图】课本上没有给出圆的动静两种定义，补充这两种定义，意在使学生看问题要从它的动、静两方面去认识，从而也渗透一些哲学的思想（4）借助多媒体展示人类汽车发展史“运动与力”的视频

【百度视频】：http://

【设计意图】增强学生的课外知识，对Л有新的认识，激发学生学习数学的兴趣，同时培养学生的民族自豪感。

（三）学以致用

1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由、你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径每年增加多少?.3、如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.4、判断下列说法的正误：

(1)弦是直径；（）(2)半圆是弧；（）(3)过圆心的线段是直径；()(4)过圆心的直线是直径；（）(5)半圆是最长的弧；()(6)直径是最长的弦；()

(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;()(8)半径相等的两个圆是等圆.（）

（四）课堂小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：

1、圆的两种定义

2．车轮为什么是圆的呢？

3、与圆有关的概念

（五）布置作业

教材P88习题24.1的第6题

六、板书设计

1、圆的概念：

3、圆的两种定义

6、弧圆心：动态：

7、半圆与等圆半径：

静态：

2、圆具有的性质

4、弦

5、直径

七、教学反思：

圆是在学生直观认识圆和已经比较系统的认识了平面上直线图形的基础上进行教学的，在教学中充分联系生活实际，让学生找出日常生活中圆形的物体，并通过观察、操作、讨论使学生认识圆的形状，掌握圆的画法及圆各部分的名称，特征。激发学生的求知欲和好奇心，从而使学生获取知识兴趣浓厚，积极主动。本节课的教学设计主要突出了以下几点：

（一）、从学生熟悉的情境出发，激发学生兴趣。我首先利用多媒体出示了一些圆的图片，然后让学生举例生活中哪些地方见到过圆形的物体。通过展示一些图片让同学们了解在自然现象，建筑物，运动领域都能找到圆的足迹。通过百度搜索汽车的发展史，激发了学生的好奇心，有进一步学习的欲望。

（二）、思维往往是从动手开始的，在教学中，重视学生动手、动脑，主动参与知识的形成过程。本节课在认识圆的各部分名称，理解圆的两个定义和特征时，注重给学生创设思维的空间，注意引导学生积极体验，安排了让学生自主探索、说一说等动手实践活动，使学生自己产生问题意识，自己去探究、尝试，总结，从而主动获取知识，收到了较好的教学效果。

（三）、注意使学生初步体验数学知识之间的联系，感受数学与现实生活的密切联系，培养初步的探索和解决问题的能力。从创设情境认识圆，到初步运用有关圆的知识解决实际问题，例如在操场上画一个半径是5m的圆，车轮为什么要做成圆形等都突出了这一思想。

不足的地方：

1、鼓励和表扬性语言比较少。

2、没能让学生充分表现自己。

3、本节在设计上，内容的深度和广度都不够。

八、教师个人介绍

省份：山东省学校：姓名：刘兴红职称：中学二级教师

通讯地址：青州庙子初级中学邮编：262503

个人简介：

刘兴红，女，1980年10月出生，中学二级教师，执教十三年以来，兢兢业业，任劳任怨，热爱学习，刻苦钻研，不断学习新的教学理念，矢志教学改革，求实创新，勇于拼搏，团结协作，无私奉献，凭着自己强烈的事业心和严谨的治学态度，为庙子初级中学的教育教学贡献自己微薄的力量。

篇2：圆教学设计范文

——“两会我先行”大型签名活动报道

一年一度“两会”的召开，使得13亿国人，加上几千万海外侨胞，以及多少亿关心中国发展的人，都把视线聚焦于中国，聚焦于北京。今年“两会”，五根主线上跳跃着老百姓关心的音符，它将奏响一部高音部与低音部和谐交织的民主曲。

两会的话题依旧大热，为了加强大一同学们对两会知识的了解，推动大学生政治文明建设,我院团委办公室于3月24日晚18时组织举行了“两会我先行” 大型签名活动。

团委办公室的五位学生干部早早的便在3教3楼大厅做着准备工作。辛苦的搬着桌子、细心的摆放好笔、铺平签名所用的红纸„„不论是学姐还是学弟学妹，都忙得不亦乐乎。

在大一学生们到来之前，我院郑光华主任、大一辅导员张一璠老师、大一各班级的小班们以及团学联，学生会各部门干部便做起模范代表，率先参与活动之中。红纸黑字，那是参与民主政治而表现出的——不可湮没热情证据。

接近18点时，大一各班级前来参加主题班会的同学们陆续到来。在团委办公室学生干部们的指引下，同学们有序的到达活动处签上了自己的名字。或潇洒飘逸或整齐规矩的字迹跃然纸上。一笔一画书写出简单的名字，一举一动表现出政治素养的提升。

几分钟的活动，留下的是深刻的记忆，最后相机定格的刹那，写满姓名的纸张——将会谱出的——必是聚焦两会，关注政治，圆中国之梦的精彩乐章！

篇3：“圆”之于设计

关键词：造型,精髓,回归,设计

一、圆——最美的造型

古希腊的毕达哥拉斯学派认为:“一切立体图形中最美的是球形, 一切平面图形中最美的是圆形。”这句话说得并不过火, 说到圆的美, 我们首先想到人们生活中的热水瓶、茶壶、茶杯、盆等容器都是圆形的。这是什么原因呢?原来人们在制过任何东西时总要考虑到三个方面:一是美观, 二是节省材料, 三是使用方便。实践证明, 用同样多的材料做成圆柱形的容器, 比做成方柱形的容器装得东西多。所以, 油桶、水缸等大都是圆柱形的。当然用同样多的材料做成球形容器盛的东西最多, 但球形容器使用起来不方便。所以, 人们便把大多数的容器做成圆柱形, 可说是两全其美的做法。

圆是最美的造型。它具有丰满、规整、匀称、平德, 富于韵律惑.在文艺作品中阅更是耀眼夺目、美不胜收。舞蹈演员的墓本动作就是一个又一个的圆, 她们的一招手, 一抬足, 亦是在空间划着一条又一条的圆弧形。就连那舞台上的灯光也照射的是一个圆, 舞蹈演员就是在这个圆内翩翩起舞。

有人认为圆是自然界美和节约的法则, 此话不无道理。树干长成圆形是为了减少水分和能量的散发。一根直径只有20多厘米的竹子却能长到30长高, 风吹雨打也不会折断, 它的奥秘就在于用最少的材料造了最好的结构, 同时它还采用了结节结构, 用以层层加固, 并采用一节比一节细的生长才式。世界著名建筑师贝律铭设计的高315米, 共70层的香港中国银行大厦, 是一项成功的“仿竹杰作”。

电视塔也是圆柱形的, 这种造型在高空受的风力最小, 在高空风向不定的情况下, 为了减少建筑投资, 自然会用圆筒、圆面构形。这样不仅其有受力合理, 机械强度高等优点, 而且还可以防止“风噪声”“风峰”等现象。北京的天坛, 作为皇帝的祭天建筑, 也是以圆作为基本造型的。

圆之所以其有美学的价值, 是人们在认识世界和改造世界的过程中逐渐认识到的。人们对天宇的砚察, 发现茫茫天宇像一个巨大的圆锅, 星球在天庭的运动, 也是在划着一个又一个的圆, 所以人类最早的器物也多是圆形。商周时打造的玉环, 很像日月的环食。

随着科学的不断发展。人们认识到了圆本身其有美的特点。首先, 圆形比其它形状所包含的空间大, 且容量多。这就是人们制造圆形器物的道理。其次是圆形显得饱满、充实, 它的完整与成熟的果实、动物丰腴的腰身类似, 人们由于对甜美的果实和肥壮动物的喜爱而对圆形产生了好感, 圆成为人们审美的对象, 成为最美的造型。

二、“圆”与中国设计

1. 原始艺术精神与艺术设计的回归之“圆”

“原始艺术”是指人类艺术发展中的早期阶段, 它是与原始宗教、巫术、图腾崇拜紧密相关的。原始艺术的发生发展与人类大脑进化和智力发展存在着必然的联系。由于原始人类大脑皮层结构还处于不成熟的状态以及理性经验的匮乏, 原始人认识和判断自身和客体的思维方式往往以情感为主要特征, 这种情感使得原始人类把世间万物都赋予了一种情感的性质, 这就是所谓“人化自然”“万物有灵”。原始艺术用情感的纽带把人与自然万物和谐地统一在一起, 体现了原始的“天人合一”思想。

当远古先人在彩陶上绘画出第一道花纹, 就奠定了艺术的基础, 当他们用一块石头第一次来打造劳动工具时, 设计也就在那一刻产生了。随着人类历史不断地向前发展, 设计的脚步从来没有停止。随着社会的变革和科学技术的进步, 设计也经历了翻天覆地的变化。印刷术发明后的400年, 人类的设计领域不断地扩展, 迈向20世纪以后, 随着科技的进步, 设计更呈现出振翅欲飞之势。传媒的成长使得人们的身边充斥着各种设计主义, 新技术、新思想层出不穷。在这种设计繁荣的背后同样也隐藏着危机。科技进步带来了现代社会的繁荣富裕, 但也导致人们对物欲的不满足以及人性的异化。加上战后人们蒙受心理创伤及现代怀疑论哲学的流行, 使得不少艺术家产生了对资本主义现代物质文明的怀疑和厌恶, 他们觉得自己仿佛生活在一种不和谐、不可理喻、不合逻辑的荒诞之中, 从而导致他们对原始艺术中纯洁、天真、质朴境界的向往和追求, 显示了一个向原始艺术精神回归的历史诉求。

后现代提倡文化的多元化发展, 提倡对自然、宇宙的全新审视与回归, 提倡艺术生命精神与自然宇宙的和谐。这正与中国古代的人文思想异曲同工, 后现代设计回归原始精神, 使得设计呈现出一种“圆”形的发展轨迹。现代设计对原始精神的采用不是把设计复归至原始之中, 而是利用原始艺术有力的助推作用, 使设计跃入全新的境界。现代设计以其多样的形式、全新的观念展示了人类本身所存在的创造力和难以估量的想象力, 东西方文化的广泛交流给后现代设计与中国文化融会与碰撞带来了契机, 同时揭示了人类各个民族文化的融合是艺术进程的必然。

2. 中国艺术设计的发展方向

“圆”的精髓体现在它流动、运转、包容、备足、充盈的特征上。从这个角度考察, 随着世界逐渐缩小为一个“地球村”, 各种不同质的文化正是在此基础上不断融合、渗透、交互、再生。我们的设计师生长在具有五千年文明沉淀的中国, 首先要汲取传统文化的精髓, 继而结合现代的设计手法对其进行再创造, 达到传统文化的“再生”。对于外来的文化则应采取“融合”的态度, 达到既“现代”又“传统”, 从而形成“中西合璧”之圆。

香港著名设计师靳埭强就主张把中国传统文化的精髓, 融入西方现代设计的理念中去。他强调这种相融并不是简单相加, 而是在对中国文化深刻理解上的融合。例如, 中国银行的标志, 整体简洁流畅, 极富时代感, 标志内又包含了中国古钱, 暗合天圆地方之意, 中间一个巧妙的“中”字凸现中国银行的招牌。这个标志可谓是融贯东西方理念的经典之作。

又如, 北京奥运会火炬“祥云”采用华夏文化的象征符号——“云纹”作为基本要素, “祥云”的设计理念来自蕴涵“渊源共生, 和谐共荣”的华夏传统的“云纹”符号, 通过“天地自然, 人本内在, 宽容豁达”的东方精神, 借祥云之势, 传播祥和文化, 传递东方文明。同时它也是高科技的结晶, 融合了东方的精神与西方的技术。

“圆”倡导了一种运动、变化、发展的观念, 而运动、变化、发展则是宇宙万物摆脱困境、焕发生机、推陈出新、长盛不衰的关键。《系辞》曰:“易穷则变, 变则通, 通则久。”这种生发、变易的思想为艺术设计的创新、发展提供了积极、进取的方法论眼光。中国的设计只有把几千年的文化积淀融入其中, 才能够探索出有我们民族特色的设计文化, 才能够实现圆满。作为设计师, 我们应该从文化内核入手研究中国传统的精神, 并把它运用到我们的创作中去, 使中国的设计融入世界, 为中国设计“圆”一个民族梦。

参考文献

[1]李泽厚.华夏美学.广西师范大学出版社.2001.

[2]田白秉.吴淑生.中国工艺美术图典.湖南美术出版社.1998

[3]罗素.西方哲学史.商务印书馆.1986.

[4]赵农.中国艺术设计史.陕西人民美术出版社.2004.

[5]许凌云.中国儒学通论.广东教育出版社.2002.

[6]萧兵, 叶舒宪.老子的文化解读.湖北人民出版社.1994.

[7]叶舒宪.庄子的文化解析.湖北人民出版社.2002.

[8]朱良志.中国艺术的生命精神.湖北人民出版社.2002.

篇4：《认识圆》的教学设计与研究

时，需要教师巧设悬念，精心设疑，创设情境，使学生产生自己解决不了的问题，或者自己得出结论确定不了是否准确，急需和别人交流，听取他人意见的欲望，在这种情况下就使学生恰到好处地进入合作学习的情境，使合作学习达到最佳状态。

关键词：圆的特征；直径与半径；观察分析；综合概括；操作能力；前置性研究；小组合作；探究交流

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）24-307-01

教学目标：

1、使学生认识掌握圆的特征，理解直径与半径的关系。

2、培养学生观察分析综合概括及动手操作能力。

3、让学生感受到圆的美无处不在，体会数学来源于生活。

教学重点：圆的认识，通过动手操作理解直径与半径的关系认识圆的特征。

教学难点：理解直径与半径的关系。

课前准备：课件，前置性研究，大小不同的圆形纸片，直尺。

六年级人教版上册

课前小研究设计：

1、寻找生活中的圆，想办法画大小不同的圆感受一下，圆与以前学过的图形有什么不同。

2、把画好的圆剪下来，折一折、画一画、量一量、比一比，你发现了什么？

3、我来出题考考你：

设计意图：本节课的教学设计本着简单、根本、开放的原则。

第一个问题：寻找生活中的圆，想办法画大小不同的圆感受一下，圆与以前学过的图形有什么不同。一方面让学生感知圆在生活中随处可见，圆来源于生活，与生活实际紧密相连，体验数学与生活的联系；另一方面通过自己观察、自己动手画圆并比较，初步感知圆的特征以及圆和以前学过的平面图形的不同。

第二个问题：让学生通过动手折一折、画一画，感知圆的特征；通过比一比、量一量来推理，验证圆的特征。在小组内相互交流、讨论，生成圆的特征。这一过程不仅使学生主动地获得了知识，还使学生的认识由感性上升到理性，培养了学生的团结协作精神，使学生确实学到了解决数学问题的一些基本方法，体现了以学生为本的原则。

第三个环节的设计，让学生自己出题互考，一方面是为了解教学目标的达成度；另一方面是让学生能够把所学知识进行归纳和整理，以便于形成系统、科学的认识，并学会理论联系实际，进一步体会数学源于生活、用于生活。

学习过程预设：

一、情景导入（课件）

由课件演示生活中的圆形实物图片，让学生感受因为有了圆世界变得美妙而

神奇。由此

导入新课。

二、探究新知：

〈一〉小组合作交流：

1、教师明确讨论要求。

2、学生结合课前小组研究进行组内讨论交流。

〈二〉全班汇报展讲：

某小组汇报讨论结果：

第一发言人：1、拿实物圆演示圆与以前学过的平面图形的区别与联系感受圆形易滚动。

2、其他同学与他交流圆与其他图形的不同之处。

第二发言人：1、把一个圆形纸片反复对折几次，发现圆心、直径及字母怎样表示。

2、其他的同学与他交流有关圆心直径的知识。

第三发言人：1、和大家一起交流有关半径的知识。

2、其他同学与之交流有关半径、直径与半径的关系。

三、巩固提升：

1、组长回顾总结

2、组长出3-5个小题考大家

3、我来出题考考你（同学们出题互考）

四、教师总结

五、拓展延伸，联系生活。

为什么轮子要做成圆形，轴心要装在哪儿？为什么？

教学反思：

这节课上完之后，我觉得学生能在一个轻松快乐的情境中学习数学知识，在教师的引导下主动合作前置性研究，基本完成了课前预设的教学目标。

为了实现教学目标，有效地突出重点、突破难点，我采用生本的教学模式，本着简单、根本、开放的原则，精心设计课前小研究。

课的一开始，从生活中的圆为切入点导入，体验数学源于生活。圆形给我们带来了美的感受。在突破难点这一个部分上，我让学生自主动手折一折、画一画，量一量，比一比，自主探究发现圆的特征。在组内讨论交流时，我采用的是小组合作探究并明确讨论要求，让学生在小组内交流补充共同完成任务，达到共同提高的目的。这一过程突出了学生的主体地位，而教师则真正成为课堂上的组织者、引导者和合作者。

在“我来出题考考你”这个环节上，学生充分展示自我才智，真正展开了探究活动。在自主探究中自我发现新知，他们的主体性作用又一次得以充分的发挥。并且真正做到了在感知、体验、感悟中发现知识、掌握知识，灵活运用知识解决有关实际问题，真正突破了本节课的重难点。

当然，在教学中也发现好多问题，存在着一些不足之处，有待于在今后的教学中不断的研究改进，争取探究出一条成功的生本教学改革之路。

篇5：圆教学设计范文

云南省开远市一中

佘维平

一．教学要求与要点

1、使学生掌握椭圆的几何性质，会根据椭圆方程讨论椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、准线等性质，会应用椭圆的几何性质解决有关问题。

2、对照右图，要求学生熟悉椭圆a、b、c、e、p各元素的之间的相互关系及其在图中所表示的部分，理解每一个量的含义。

p=为焦点到相应准线的距离，(>2c)是椭圆第一定义，是椭圆第二定义，二．学法指导

是由第二定义导出的椭圆焦半径公式。

1．课本中利用椭圆方程推导出椭圆的性质，这种用代数方法研究几何问题的方法是解析几何的主要方法；

2、由椭圆的几何性质求椭圆方程时，常常用待定系数法并通过解方程求出a和b；

3、在解决椭圆上的点与焦点连线（焦半径）的问题时，能及时地返回定义（用定义解题），会收到事半功倍之效果。三．例题解析

例1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为:两段，求其离心率。

解由题意，（a+c）:(a-c)=

:,即解得e=5-

2。,例2．如图－2，求椭圆,(a>b>0)内接正三角形的面积。

解由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设B（t,t),代入椭圆方程求得t=

2,即正方形ABCD面积为4。

例3．（1984年全国高考题）求出经过点M（1，2）且以y轴为准线、离心率为1/2的椭圆左顶点的轨迹方程。

解由题意，椭圆在y轴右侧，且长轴与x轴平行。

设其左顶点为P（x,y），由e=0.5知左焦点是F（,y）,又因M到准线y轴的距离是1，所以由椭圆定义有，即（－1）+（y－2）=

2所求方程为 9（x－）+4（y－2）=1。22例4．求以定点A为焦点，定直线L为准线的椭圆短轴端点的轨迹。解以A为原点，过A与L垂直的直线为y轴建立坐标系。

解设L：x=-d(d>0),P(x,y)为短轴端点，由椭圆定义。

化简得P：y=dx(x

2)。

例5．求证：以椭圆任意一条焦半径（焦点与曲线上任一点的连线段）为直径的圆必和与椭圆长轴为直径的圆相切。

证明：设椭圆方程为,(a>b>0)，焦半径PF2是圆O1的直径，则由a-知，两圆半径之差等于圆心距，所以两圆相切。

例6．点A（4，0）、B（2，2）在椭圆9x+25y=9*25内，M是椭圆上的动点，求

2的最值。

解易知A为椭圆焦点，则是一条焦半径，故考虑用椭圆定义。

设另一个焦点为F（－4，0），则＝2。

由

即＋的最值为10 练习题：

1．两同心圆半径为R、r(R>r)，AB是小圆上固定的直径，一个离心率为常数e的椭圆经过点A、B，且以大员的一条切线为准线，求此椭圆焦点F的轨迹。

（答案：当Re>r时，F点轨迹是椭圆；当Re＝r时，F点轨迹是线段AB，当Re

3．已知直线n:y=x+3与双曲线4x-这些椭圆中长轴最短的椭圆方程。

篇6：圆教学设计范文

经过圆心的弦是直径；

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；

圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆；

大于半圆弧的弧叫优弧，小于半圆弧的弧叫做劣弧；

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

（1）当两圆外离时，d>R_+r；

（2）当两圆相外切时，d=R_+r；

（3）当两圆相交时，R_-r

（4）当两圆内切时，d=R_-r（R>r）；

（4）当两圆内含时，d

其中，d为圆心距，R、r分别是两圆的半径。

如何判定四点共圆，我们主要有以下几种方法：

（1）到一定点的距离相等的n个点在同一个圆上；

（2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆；

（3）同底同侧相等角的三角形的各顶点共圆；

（4）如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；

（5）如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆；

（6）四边形ABCD的对角线相交于点P，若PA_*PC=PB_*PD，则它的四个顶点共圆；

（7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，若

PA_*PB=PC_*PD，则它的四个顶点共圆。

1、作直径上的圆周角

当告诉了一条直径，一般通过作直径上的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角这一

条件来证明问题.2、作弦心距

当告诉圆心和弦，一般通过过圆心作弦的垂线，利用弦心距平分弦这一条件证明问题.3、过切点作半径

当含有切线这一条件时，一般通过把圆心和切点连起来，利用切线与半径垂直这一性

质来证明问题.4、作直径

当已知条件含有直角，往往通过过圆上一点作直径，利用直径所对的圆周角为直角这

一性质来证明问题.5、作公切线

当已知条件中含两圆相切这一条件，往往通过过这个切点作两圆的公切线，通过公切

线找到两圆之间的关系.6、作公共弦

当含有两圆相交这一条件时，一般通过作两圆的公共弦，由两圆的弦之间的关系，找

出两圆的角之间的关系.7、作两圆的连心线

若已知中告诉两圆相交或相切，一般通过作两圆的连心线，利用两相交圆的连心线垂直

平分公共弦或；两相切圆的连心线必过切点来证明问题.8、作圆的切线

若题中告诉了我们半径，往往通过过半径的外端作圆的切线，利用半径与切线垂直或利

用弦切角定理来证明问题.9、一圆过另一圆的圆心时则作半径

题中告诉两个圆相交，其中一个圆过另一个圆的圆心，往往除了通过作两圆的公共弦外，还可以通过作圆的半径，利用同圆的半径相等来证明问题.10、作辅助圆

当题中涉及到圆的切线问题（无论是计算还是证明）时，通常需要作辅助线。一般地，有以下几种添加辅助线的作法：

（1）已知一直线是圆的切线时，通常连结圆心和切点，使这条半径垂直于切线.（2）若已知直线经过圆上的某一点，需要证明某条直线是圆的切线时，往往需要作出经

过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公

共点没有确定，则需要过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再通过证明这条垂线段的长等

篇7：圆教学设计范文

作业

（二）圆的周长

一、填空。

1、围成圆的（）的长叫圆的周长，用字母（）表示。

2、圆的周长除以直径的商是一个（）的数，叫做（），用字母（）表示，计算时通常取（）。

3、圆的周长=（）×（），用字母表示（）或（）。

4、一个圆的直径是5m，周长是（）；一个圆的周长是21.98dm，直径是（）。

5、一个圆的半径是4cm，周长是（）；一个圆的周长是28.26m，半径是（）。

6、在一个周长20cm的正方形里画一个最大的圆，这个圆的直径是（），周长是（）。

7、一个钟表的分针长8cm，从5时到6时，分针针尖走过了（）厘米。

8、圆的半径扩大3倍，直径扩大（）倍，周长扩大（）倍。

9、一个半径为5厘米的圆，如果半径增加1厘米，那么直径增加（），周长增加（）。

··

2210、在π、3.14、、3.14中，最大的是（）,最小的是（）。

711、一个半圆的直径是10cm，它的周长是（）；一个半圆的半径是3dm，它的周长是（）。

12、一个半圆的周长是20.56m，它的半径是（）。

13、一个圆的半径、直径、周长的和是46.4cm，这个圆的半径是（）,周长是（）。

14、在一个直径 10cm的圆里画一个最大的正方形，这个正方形的面积是（）。

二、判断题。

1、圆越大，圆周率就越大。

（）

2、圆的周长总是直径的3.14倍。

（）

3、两个圆的半径相等，它们的周长也一定相等。

（）

4、半圆周长等于圆周长的一半。（）

5、边长3cm的正方形与直径3cm的圆周长相等。

（）

三、选择题。

1、圆周率是一个（）小数。

A、有限

B、无限

C、无限不循环

2、圆的周长总是直径的（）。

A、3倍

B、3倍多一些

C、3倍少一些

3、要画一个周长25.12cm的圆，圆规两脚尖的距离应取（）cm。A、4

B、8

C、25.12

4、在一个长8cm、宽6cm的长方形里画一个最大的圆，圆的半径是（）

cm；如果画一个最大的半圆，直径是（）cm。

A、8

B、6

C、4

D、3

5、右图中两个小圆的周长之和与大圆的周长比较，（）。

A、一样长

B、大圆的周长长

C、大圆的周长短

四、应用题。

1、一个圆形牛栏的半径是20m，要用多长的粗铁丝才能把牛栏围上5圈？（接头处忽略不计）

2、一台压路机前轮直径是1.5m，如果前轮每分转6周，半小时可以前进多少米？

3、一辆自行车外轮胎直径是70cm，如果每分转150周，要过一座1300m长的桥，大约需要几分钟？（得数保留整数）

4、一辆汽车的车轮直径为0.5米，汽车行驶1570米，车轮转了多少周？

5、杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径30cm，要骑过14.13m长的钢丝，车轮要转动多少周？

6、一个挂钟的分针长20cm，经过30分钟后，分针的尖端所走的路程是多少厘米？经过45分钟呢？

篇8：圆极化引信天线设计

为保证火炮系统在全天候战场上具有较高的命中率,配备于火炮的无线电引信的探测装置至关重要,而且引信天线必不可少。若将引信天线的极化方式设计为圆极化,由于水滴对圆极化波的反射是反旋的,而雷达目标对入射的圆极化波产生的反射波是椭圆极化波,两者具有相同的旋向,从而使得圆极化波的抗雨雾能力比线极化波强得多。对于无线电引信而言,鉴于所探测目标的复杂性,采用圆极化天线可使回波信号的极化失配大大降低,从而提高引信的接收灵敏度。

圆极化波天线的结构多种多样,但对于无线电引信而言,所设计的天线在满足电气技术指标的条件下,还必须具有空间尺寸小,抗过载能力大的特点。微带天线低剖面尺寸小,辐射面垂直弹轴放置抗过载强,比较容易实现圆极化,所以本文选用微带天线形式。文中给出了引信天线的设计公式、具体尺寸和最终仿真结果。实践证明,这种设计结果正确,便于工程应用。

1 圆极化天线的设计原理

微带天线的贴片形状有很多种,最常用的是矩形、圆形、圆环形和三角形。由于弹体外型一般为圆柱形,因此弹载引信的天线选择圆形微带天线较合适。设圆形微带天线的贴片半径为a,当h≤λ0时,贴片与接地板之间可看成是四周为磁壁,上下为电壁的谐振空腔。用模展开的方法求解空腔内场,得出圆形微带天线TMnm模的谐振频率为[1]

式(1)中,a是计入边缘效应后的等效半径,它与物理半径a'的关系如下:

圆形微带天线一般工作在TM11主模。对主模有:

工作在TM11模的谐振电阻为:

式(4)中:ρ0是馈点到圆形微带中心的径向距离;Gr是圆形微带天线的辐射电导。

由式(4)可知,随着馈点逐渐向圆形天线中心移动,输入电阻会不断减小,直至为零。因此,可选择馈点径向位置来获得所需的输入电阻值。

微带天线实现圆极化波常用的方法是正交馈电和一点馈电。正交馈电方法需用馈电网络,而馈电网络自身占用空间较大,这对引信天线不太适用。而一点馈电方式无需馈电网络,馈电简单且天线整体占用空间小,所以本设计选用一点馈电方式。

根据腔模理论,在圆形微带天线上附加一个简并模分离单元ΔS=S1+S2(S1=S2),可使简并模分离单元的谐振频率产生分离。工作频率选在两个简并模分离单元谐振频率之间。当简并模分离单元的大小选择为适当值时,对工作频率而言,一个模的等效阻抗相角超前450,而一个模的等效阻抗相角滞后450,从而形成圆极化波[2,3,4]。圆形圆极化微带天线的简并模分离单元的大小可按下式计算[5]:

式(5)中:Δs是简并模分离单元的面积。s是辐射片的面积。

2 天线的具体设计

由于引信体的空间有限,要使微带天线能安装到引信体上,且方向性较好,进一步缩小天线尺寸是需要的。小型化微带天线结构设计方法很多[6,7,8,9],总体分为两大类。一类是在天线中植入槽孔的方式缩小天线尺寸[1,10,11]。其基本原理是在主模电流的路径上植入槽孔,使得等效电流长度变长,进而达到天线尺寸缩小的目的。另一类是在天线中植入电阻或短路棒的方式缩小天线的尺寸。其基本原理是在主模电流的路径上植入电阻或短路棒来改变金属片上电场的零点位置。理论上后一种方法可使天线尺寸缩小的更多,但其远场的交叉极化分量大,增益较低。考虑到天线增益、交叉极化分量及弹体天线允许的空间尺寸,此设计选择在天线中植入槽孔的方式来缩小天线的尺寸。槽的位置如图1所示。

针对引信天线空间尺寸和工作频带的要求,选择天线介质基片介电常数εr为5,厚度h为2 mm。利用式(1)～式(3),可计算出圆形天线半径R约为19.5 mm。为实现圆极化波,增加简并模分离单元。使用式(5)～式(6),最终计算出切角深度T约为1.1 mm。利用式(4),令R11=50Ω,计算出馈点距圆盘中心的距离D约为2.3 mm。为了实现右旋圆极化,馈点位置和槽中心线成45°角。为缩小天线尺寸,在圆形天线内以圆心为垂点,垂直开两条长L为18 mm、宽W为1 mm的槽。由于这些槽的存在,使馈点位置稍稍移向圆心[6]。根据经验可知,在天线内开这种类型的固定槽,尺寸大约能缩小约10%～20%。假定缩短比例为15%,取R为16.6 mm,馈点距圆盘中心距离D取2.1 mm,选取引信弹体高度为100 mm,以便减小计算量,提高天线仿真精度。天线结构及坐标位置如图2所示。

3 天线仿真

一般情况下,天线仿真过程中使用的天线尺寸有些是利用天线理论的近似公式计算所得,有些则是经验预估,这样设计出来的尺寸与实际工程要求存在较大的误差。根据引信体实物,利用仿真软件反复调试,最终得到满足给定指标的天线。Ansoft公司的HFSS三维电磁结构仿真软件是一个仿真精度很高的软件。只要考虑的仿真结构尺寸和实际工作的结构尺寸很一致、基板材料的介电常数很一致。由经验知,仿真结果和实测结果基本吻合。

使用HFSS仿真软件进行仿真。经过对天线各个参数的多次调整和优化,最终设计出的天线尺寸为:辐射面半径R为16 mm,开槽宽度W为1 mm,开槽长度L为16.8 mm,切角深度T为0.95 mm,馈点距中心距离D为1.9 mm。

图3是XOZ面右旋圆极化方向图,图4是YOZ面右旋圆极化方向图,由图看出半功率波瓣宽度超过100°,天线增益达到4.7 dBi。

图5是极化轴比图,天线正前方的极化轴比是1.06 dB,在±600的天线方向扫瞄空间内,天线极化轴比小于3.3 dB。

图6是天线输入端的史密斯圆图。图7是天线输入端的电压驻波比图。驻波比小于1.5的频带宽度大于1.8%。驻波比小于2的频带宽度大于2.5%。

4 结论

本文设计的引信用圆极化微带天线,在0°方向上极化轴比是1.06 dB,在±60°的天线方向扫瞄空间内,极化轴比小于3.3 d B,这说明天线圆极化效果较好。天线方向图后向辐射小,前向辐射的半功率波瓣宽度超过100°,天线增益达到4.7 dBi。这样的辐射方向图优于给定的天线指标。微带天线的工作带宽主要由天线输入端的电压驻波比决定。由天线电压驻波比图知,天线驻波比小于2的频带宽度大于2.5%。这个频带宽度满足引信天线的使用要求。

由于基板材料的实际介电常数值和标称的介电常数值稍微有差异,根据仿真设计结果加工的天线,还需要进行调试和测试,以便优化设计参数。经改进后的天线可应用于工程实践中。

参考文献

[1] 1钟顺时.微带天线理论与应用.西安:西安电子科技大学出版社,1991

[2] James J R,Hall P S.Handbook of microstrip antennas.London,Pe-ter Peregrinus Ltd,1989

[3] Johnson R C,Jasik H.Antennas engineering handbook.New York,McGraw-Hill,1984

[4] Sharma P C,Gupta K C.A analysis and optimized design of singlefeed circularly polarized microstrip antennas.IEEE Trans AntennasPropagate,1983;vol.29:949—955

[5]张钧.微带天线理论与工程.长沙:国防工业出版社,1988;216—229

[6] Wong K L.Compact and broadband microstrip antennas.John Wiley&Sons Inc,2002

[7]詹正义.圆形微带天线之新型应用设计.台北:台湾国立中山大学博士论文,78—90

[8] Waterhouse R.Small microstrip patch.Electron Lett,1995;31:604—605

[9] Waterhouse R B,Targonski S D.Perfomance of microstrip patches in-corporating a single shorting post.IEEE AP-S Int Symp Dig,1996:29—32

[10] Sanad M.Effect of the shorting posts on short circuit microstrip an-tennas.IEEE AP-S Int Symp Dig,1994;794—797

篇9：谈小学数学“圆”的教学与应用

一、观察生活现象，构建知识网络

小学生年龄小，抽象的理论知识教学可能使得学生感觉到枯燥乏味、晦涩难懂，引入生活元素，构造生活化教学策略，找寻生活中的事物、现象、问题，引导学生从最熟悉的生活例子入手，学习小学数学知识，在脑海中获得较为深刻的理论知识印象，构建基础知识网络。

例如：在“认识圆”学习阶段，教师组织学生做游戏，一位学生不动，另一位学生保持与他的距离不变，围着第一位同学转，画出自己转的图形。学生在游戏中观察分析得出“圆”的结论。之后教师利用多媒体展示生活中的相关图片“自行车车轮、向日葵”等，鼓励学生观察分析圆的特点。学生讨论交流得出相关性质“到一个点的距离相等”。接着教师引导学生认识圆心、圆的周长、圆的面积等。并引导学生学习画圆的方法，学生在观察、分析、思考之后，深入了解了圆的基础知识，结合动手作图的方法，构建了较为完善的基础知识网络。

二、鼓励发散思维，领悟数学奥秘

学习是循序渐进、逐渐深入的过程，现阶段的课堂应该是学生自主的课堂，学生是学习的主人，教师只是起到引导、组织作用。为提升学生创造性思维能力、科学探究能力，也为了激发学生的创新思维，需要打造生活化的小学数学教学策略，引入生活中学生感兴趣的话题，鼓励学生动手分析、实践探究，由此发散思维，领悟数学知识的奥秘。

例如：2008年奥运会会徽由5个不同颜色的圆环围在一起组成。教师提问“如何利用你们的想象力和所学知识，画出五环旗？”学生们相互交流与合作，在课下收集关于五环旗的图片，并分析五环旗的组成形式，讨论出五环旗是由五个直径相同的圆环组成的。学生可以首先画出一个长方形，长为2倍圆环直径的，宽为直径1倍，其次将长方形上边的“长”左右延长1个半径，由长方形上边“长”的中点、延长线达到的2端点，得出3个圆心，画出三个圆，之后下面由长方形的两个顶点为圆心画出两个圆，围成五环图。通过寻找生活中学生感兴趣的主题，基于学生已学知识，引导学生发散思维、深入分析，自主动手实践探究，获得知识与技能的良好体验，领悟到数学知识的奥秘。

三、引导拓展分析，促进思维创新

学生的知识储备与能力提升是一个循序渐进的过程，小学数学阶段是学生打基础的阶段，需要夯实学生基础，引导学生拓展分析，运用相关理论，引导学生创新思维与对比分析，由此促进学生思维发散，在问题探究与解决的过程中，逐渐构建完善的知识网络，提升思维能力与解决问题的能力。

例如：在学生初步了解了“圆”的面积的计算方法，结合以前学习的相关知识，教师引导学生总结归纳长方形、正方形、圆、三角形面积的计算方法，并列表分析。之后，教师引导学生借助皮尺、4米长的绳子展开问题探究，分析“相同周长的图形，哪种图形的面积最大”。学生分小组合作，设计不同的长方形、正方形、三角形、梯形、圆等，由同一根绳子围成，记录围成的不同图形的面积。课上教师引导学生展开小组交流讨论，分析得出相关规律。在同学们画一画、量一量、算一算，以及讨论之后，总结出“相同周长的图形，圆围成的面积最大”的结论。由相关基础知识，结合生活中的有趣问题，展开问题探究，引导学生在自主分析、互助合作、交流讨论的过程中，提升综合能力与科学素养。

四、应用理论知识，解决实际问题

在学生对圆的周长、直径、面积相关知识有了深刻的了解以后，教师引导学生结合实际问题来探索相关理论知识的应用，结合生活中的问题，鼓励学生发散思维、创新分析、拓展应用。小学数学应该以培养学生能力为目标，鼓励学生走出教室，应用数学理论知识解决实际问题，探索问题的解决方法与技巧，提升学生的综合技能与数学科学素养。

例如：让学生走出教室，来到操场，分析篮球场、足球场上有哪些图形，结合这些图形的周长、面积计算方法，得出其周长与面积。对于复杂的图形，教师引导学生学会分割，转换思维，转化为简单的图形组合，提升学生解决问题的技巧。

知识来源于生活，而又应用于生活与生产实践。教师应该从培养学生的数学思维与方法、知识探究的技能与能力出发，鼓励学生从生活中找寻数学知识的奥秘，运用数学解决生活中的问题，由此强化学生的数学科学精神、解决问题的能力，为学生的今后学习和成长奠定基础。

（作者单位：江苏邳州市车辐山镇山南小学）

篇10：圆教学设计

目标认知学习要点

1.了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．

2.了解圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．

3.了解圆周角的概念，理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．重点

1.垂径定理及其运用．

2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．

3.圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．难点

1.探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

2.探索定理和推论及其应用．

3.运用数学分类思想证明圆周角的定理．

一、知识要点梳理知识点

一、圆的定义

1.定义1：

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一圈，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆(circle)，固定的端点O叫做圆心(center of a circle)，线段OA叫做半径(radius).以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：

(1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

(2)圆是一条封闭曲线.2.定义2：

圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：

(1)定点为圆心，定长为半径；

(2)圆指的是圆周，而不是圆平面；

(3)强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球

面，一个闭合的曲面.知识点

二、与圆有关的概念 1.弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦(chord).直径：经过圆心的弦叫做直径(diameter).要点诠释：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)

∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc).以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆(semi-circle).优弧：大于半圆的弧叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：

(1)半圆是弧，而弧不一定是半圆.(2)无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：

等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视.知识点

三、圆的对称性 1.圆是轴对称图形

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.2.圆是中心对称图形

圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能和自身重合，对称中心就是圆心，因此，圆又是中心对称图形.要点诠释：

(1)圆有无数条对称轴；

(2)因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.知识点

四、垂直于弦的直径

1.垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点

五、弧、弦、圆心角的关系

1.圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角(central angle)．

2.定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

要点诠释：

(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.知识点

六、圆周角 1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.二、规律方法指导

圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题.另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识.由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章.经典例题透析

类型

一、圆及有关概念

1.判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)

(1)半圆是弧，但弧不一定是半圆；

(2)弦是直径；

(3)长度相等的两段弧是等弧；

(4)直径是圆中最长的弦.思路点拨：(1)因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；(2)直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；(3)只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；(4)直径是圆中最长的弦，正确.答案：(1)√(2)×(3)×(4)√.举一反三

【变式1】下列说法错误的是()4

A.半圆是弧

B.圆中最长的弦是直径

C.半径不是弦

D.两条半径组成一条直径

思路点拨：弧有三类，分别是优弧、半圆、劣弧，所以半圆是弧，A正确；直径是弦，并且是最长的弦，B正确；半径的一个端点为圆心，另一个端点在圆上，不符合弦的定义，所以不是弦，C正确；两条半径只有在同一直线上时，才能组成一条直径，否则不是，故D错误.答案：D.类型

二、垂径定理及应用

2.已知，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为()

A.2

B.3

C.4D.5

思路点拨：在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.知道这些，就可以利用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围.解：作图，过点P作直径AB，过点P作弦

则OC=5，CD=2PC

由勾股定理，得

∴CD=2PC=8，又AB=10

∴过点P的弦长的取值范围是

，连接OC

弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4条.答案：C.总结升华：本题中很多条件是“隐性”出现的，或者称之为“隐含条件”.我们在解题时，要善于挖掘隐含条件，识别隐含条件的不同表达方式，将其转化为容易理解的题目，化难为易，这也体现了转化思想在解题中的具体应用.3.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.思路点拨：⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.解：(1)如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长

MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.又∵AB∥CD

∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm

=8+6

=14(cm)

(2)如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆

心O的同侧)时

同理可证：MN=OM-ON=8-6=2(cm)

∴⊙O中，平行线AB、CD间的距离是14cm或2cm.总结升华：解这类问题时，要依平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，•其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．

思路点拨：本题是垂径定理的应用.解：如图，连接OC

设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m

∵OE⊥CD

∴CF=CD=×600=300(m)

根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF即R2=3002+(R-90)2 解得R=545

∴这段弯路的半径为545m．

总结升华：构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．

举一反三

【变式1】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

思路点拨：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m，是否需要采取紧急措施，要求出DE的长，因此要先求半径R．

解：不需要采取紧急措施

设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18

R2=302+(R-18)2，R2=900+R2-36R+324

解得R=34(m)

连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16

342=162+(34-x)

2x2-68x+256=0

解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)

∴DE=4m大于3m

∴不需采取紧急措施．

类型

三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用

5.如图，在⊙O中，求∠A的度数.思路点拨：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．

解：

举一反三

【变式1】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC..思路点拨：AD和BC是同圆中两条相等的弦，要说明的AB、CD也是同圆中的两条相等的弦，可以考虑弧、弦、圆心角的关系，因为图中没有给出圆心角，所以可以先考虑弧.证法1：∵AB=CD，∴为优弧或同为劣弧)也相等)

∴

(在同圆中，相等的弦所对的弧(同

∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)

证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC，∵AB=CD，∴的圆心角相等)

(在同圆中，相等的弦所对

∴

∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)

总结升华：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中若有一组量相等，它们对应的其余各组量也相等，因此在圆中说明或证明弦、弧、圆心角的相等关系时可考虑利用弧、弦、圆心角的关系，只不过叙述时要注意一条弦和两条弧对应，不要认为相等的弦所对的弧一定相等．

类型

四、圆周角定理及应用

6.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.思路点拨：如图，连接OE，则

答案：90°.举一反三

【变式1】如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠1（所对的圆心角）和∠BAD的大小．

思路点拨：要求圆心角∠BOD的大小，且知道圆周角∠BCD=100°，但两者不是同弧所对的角，不能直接利用同弧所对圆心角等于圆周角的2倍来实现求解．观察∠BCD它所对的弧是，而

所对的圆心角是∠2，所以可以解得∠2．又发现∠2和∠1的和是一个周角，所以可得∠1，而∠BAD=

解：∵∠BCD和∠2分别是

∠1.所对的圆周角和圆心角

∴∠2=2∠BCD=200°

又∵∠2+∠1=360°，∴∠1=160°

∵∠BAD和∠1分别是

所对的圆周角和圆心角

∴．

总结升华：圆心角和圆周角是借助它们所对的弧联系起来的，所以在圆中进行有关角的计算时，通常找到已知角所对弧，看看怎么样通过弧和未知角建立起联系．事实上由这个题我们可以总结出圆内接四边形对角互补．

7．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

思路点拨：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

解：BD=CD

理由是：如图，连接AD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°即AD⊥BC

又∵AC=AB

∴BD=CD.举一反三

【变式1】如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式.9

解：

解法1：如图所示，∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°

∴∠POB=180°-x°=(180-x)°

又

解法2：如图所示，连结AQ，则

又∵AB是⊙O的直径，∴∠AQB=90°

【变式2】已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长.解：如图所示，作⊙O的直径AC′，连结C′B

则∠AC′B=∠C=60°

又∵AC′是⊙O的直径，∴∠ABC′=90°

即⊙O的直径为

.学习成果测评基础达标

一、选择题

1.下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心

角所对的弧相等．其中真命题的是（）

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

2.下列命题中，正确的个数是（）

⑴直径是弦，但弦不一定是直径；

⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；

⑶半径相等的两个圆是等圆；

⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.如果两个圆心角相等，那么（）

A.这两个圆心角所对的弦相等

B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D.以上说法都不对

4.⊙O中，∠AOB=∠84°，则弦AB所对的圆周角的度数为（）

A.42°

B.138°

C.69°

D.42°或138°

5.如图，已知A、B、C是⊙O上的三点，若∠ACB=44°．则∠AOB的度数为（）

A．44°

B．46°

C．68°

D．88°

6.如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）

A.CE=DE

B.C.∠BAC=∠BAD D.AC＞AD

7.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A.4 B.6 C.7 D.8 8.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）

A.140°

B.110°

C.120°

D.130°

9.如图，⊙O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（）

A.80°

B.50°

C.40°

D.20°

10.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（）

A．3≤OM≤5

B．4≤OM≤5

C．3＜OM＜5

D．4＜OM＜5

二、填空题

1.如图，AB为⊙O直径，E是

中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____.2.如图，⊙O中，若∠AOB的度数为56°，∠ACB=_________.3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BDC=25°，则∠BOC=________.4.如图，等边ΔABC的三个顶点在⊙O上，BD是直径，则∠BDC=________，∠ 12 ACD=________.若CD=10cm，则⊙O的半径长为________.5.如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD=______度．

6.（山西）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.三、解答题

1.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由.2.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N•在⊙O上.(1)求证：=

；

成立吗？

(2)若C、D分别为OA、OB中点，则 13

3.如图，已知AB=AC，∠APC=60°

(1)求证：△ABC是等边三角形.(2)若BC=4cm，求⊙O的面积.能力提升

一、选择题

1.如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，是()

A.AB⊥CD

B.∠AOB=4∠ACD

C.D.PO=PD

2.如图，⊙O中，如果=2，那么()

A.AB=AC

B.AB=2AC

C.AB＜2AC D.AB＞2AC

则下列结论中不正确的14

3.如图，∠

1、∠

2、∠

3、∠4的大小关系是()

A.∠4＜∠1＜∠2＜∠3

B.∠4＜∠1=∠3＜∠2

C.∠4＜∠1＜∠3＜＜∠2

D.∠4＜∠1＜∠3=∠2 4.如图，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于()

A.3

B.3+

C.5-

D.5

二、填空题

1.P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______.2.如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______(只需写一个正确的结论).3.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.4.半径为2a的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是________.5.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______.15

三、解答题

1.如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长.2.如图，∠AOB=90°，C、D是AE=BF=CD.三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：

3.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°.(1)求证：AB为⊙C直径.(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.综合探究

1.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为___________.16

2.AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=DAC的度数.，求∠答案与解析基础达标

一、选择题

1.A 2.C 3.D 4.D 5.D

6.D 7.D 8.D 9.D 10.A

二、填空题

1.8 2.28° 3.50° 4.60°，30°，10cm 5.45 6.第二

三、解答题

1.AN=BM 理由：过点O作OE⊥CD于点E，则CE=DE，且CN∥OE∥DM.∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，∴AN=BM.2.(1)连结OM、ON，在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON，∵OA=OB，AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN，∴∠AOM=∠BON，∴