《二次函数最值问题》教学设计

《二次函数最值问题》教学设计（共11篇）

篇1：《二次函数最值问题》教学设计

一、教材分析本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质后，对二次函数性质的应用课。主要内容包括：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点(最低点)，因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值(或最小值).在最大利润这个问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：

1、知识与技能通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。

2、过程与方法通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。

3、情感态度价值观(1)通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。(2)在知识教学中体会数学知识的应用价值。本节课的教学重点是 探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法，教学难点是如何将实际问题转化为二次函数的问题。

二、学情分析在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象出数学模型，使实际问题转化为数学问题。通过数学方法解决问题。学生刚刚学习了二次函数的概念、图象及性质，因此，只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平台，学生完全有可能由对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会学习的快乐。

三、实验研究：作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。把握好以下两方面内容：(一)、利用二次函数解决实际问题的易错点：①题意不清，信息处理不当。②选用哪种函数模型解题，判断不清。③忽视取值范围的确定，忽视图象的正确画法。④将实际问题转化为数学问题，对学生要求较高，一般学生不易达到。(二)、解决问题的突破点：①反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。②加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高自己的分析能力。③注意实际问题对自变量 取值范围的影响，进而对函数图象的影响。④注意检验，养成良好的解题习惯。因此我由课本的一个问题转化为两个实际问题入手通过创设情境，层层设问，启发学生自主学习。

四、教学过程问题与情境师生活动设计意图

一、创设情境引入课题问题1：用60米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大?教师提出问题，教师引导学生先考虑：(1)若矩形的长为10米，它的面积为多少?(2)若矩形的长分别为15米、20米、30米时，它的面积分别为多少?(3)从上两问同学们发现了什么?关注学生是否发现两个变量，是否发现矩形的长的取值范围。学生积极思考，回答问题。通过矩形面积的探究，激发学生学习兴趣。

二、分析问题解决问题问题2你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗?教师引导学生分析与矩形面积有关的量，参与学生讨论。学生思考后回答。解：设矩形的长为x 米，则宽为(30-x)米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为：y=-x2+30x(0画出此函数的图象如图当x=-30/2(-1)=15时，Y有最大值：-302/4(-1)=225答：当矩形的边长都是15米时，小兔的活动范围最大是225平方米。通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值。二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变的取值范围的确定同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分。让学生在合作学习中共同解决问题，培养学生的合作精神。

三、归纳总结问题3 由矩形面积问题，你有什么收获?反思：实际问题中，二次函数的最大值(或最小值)一定在抛物线的顶点取得吗?师生共同归纳：可利用顶点坐标求实际问题中的最大值(或最小值)。利用函数的极值，解决实际问题，本节课所用的方法是配方法、图象法.所用的思想方法：从特殊到一般的思想方法.引导学生反思，得出答案：不一定.要注意自变量的取值范围.养成良好的学习习惯。

四、运用新知拓展练习问题4: 青岛2007中考题某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：(1)求y与x的关系式;(2)当x取何值时，y的值最大?(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元?教师展示问题，学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题。师生板书解：⑴ y=(x-50)w=(x-50)(-2x+240)=-2x2+340x-12000，y与x的关系式为：y=-2x2+340x-12000.⑵ y=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450，当x=85时，y的值最大.⑶ 当y=2250时，可得方程-2(x-85)2 +2450=2250.解这个方程，得 x1=75，x2=95.根据题意，x2=95不合题意应舍去.当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元.通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索。让学生感受到数学的应用价值。

五、课堂反馈

1、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是多少?学生自主分析：先求出面积与直角边之间的函数关系，在利用二次函数的顶点坐标求出面积的最大值.解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x;设其面积为S.S= x(8-x)(0配方得 S=-(x2-8x)=-(x-4)2+8此函数的图象如图26-1-11.当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.教师注意学生图象的画法，学生能结合图象找出最大值.六、课堂小结布置作业

1、归纳小结

2、作业;习题26.1 第9、10题教师引导学生谈本节课的收获，学生积极思考，发表自己的见解。总结归纳学习内容，培养全面分析问题的好习惯。培养学生归纳问题的能力。实验反思：新课程理念下开放式教学，是根据学生个性发展的需求而进行的教学，为使课堂充满生趣，充满孜孜不倦的探索。要掌握学生课堂参与度的因素：

1、提供学生积极、主动、参与学习活动的机会。

2、使课堂充满求知欲(问题意识)和表现欲(参与意识)，好奇求知的欢乐和自我表现的愿望是推动课堂教学发展的永恒内在动力。

3、营造充满情趣的学习情境，宽松平等民主的人际环境，创设有利于体验成功、承受挫折的学习机会，设计富有启发性的开放式问题。在本节课的教学设计，注重学生能够在自主探究、合作学习的过程中，掌握利用二次函数的极值解题，使学生在愉快的情境中学习这种常用的数学模型，能够注意总结、体会，形成良好的学习习惯。教学实践证明，精心创设各种教学情境，能够激发学生的学习动机和好奇心，培养学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性，引导学生形成良好的意识倾向，促使学生主动地参与。教学中，在教师的主导下，坚持学生是探究的主体，根据教材提供的学习材料，伴随知识的发生、形成、发展全过程进行探究活动，教师着力引导多思考、多探索，让学生学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题以及亲身参与问题的真实活动之中，只有这样，才能使学生亲身品尝到自己发现的乐趣，才能激起他们强烈的求知欲和创造欲。

篇2：《二次函数最值问题》教学设计

二次数学的实际运用

——图形面积的最值问题

【知识与技能】：通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题，培养其整体性思想。【过程与方法】：能通过设置的三个问题，概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法，并学会用数学问题的结论，分析是否是实际问题的解，掌握类比的数学思想方法。

【情感态度与价值观】：体会函数建模思想的同时，体会数学与现实生活的紧密联系，培养学生认真观察，不断反思，主动纠错的能力和乐于思考，认真严谨、细心的好习惯。感受多媒体的直观性和愉悦感。【重点】：如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题 【难点】：如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解 【教学过程】 【活动1】：导入引言：

二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类（1）利润最大问题；

（2）几何图形中的最值问题：面积的最值，用料的最佳方案等，本节课，我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题。

【活动2】：师生互动，合作学习

我们来看一道简单的例题

例1：李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24米，则矩形的长宽分别为多少时，围成的矩形面积最大？

师（让学生思考）：题目中已知量是什么？ 未知量是什么？如何理解“矩形面积最大”问题？是什么影响了矩形面积的变化呢？我们一起来看下面的动画演示（通过动画演示，让学生感受量的变化）师：在演示中你们看到了什么？想到了什么？你能列出函数解析式吗？

学生解决：若设矩形一边长为X，当X在变长时，另一边变短，当X变短时，另一边变长，则面积S也随之发生了变化；设宽AB为X米，则长为24-2X(m)所以 面积S=X(24-2X)=-2X2+24X=-2(X-12)2 +288 师：分析归纳解函数问题的一般步骤是什么？

（板书: 第一步，正确理解题意,分析问题中的常量和重量；

第二步，巧设未知数，用未知数表示已知量和未知量，列二次函数解析式表示它们的关系； 第三步，计算，将一般式转化为顶点式，求出数学问题的最值。）

师：请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解，如何检验呢？（在师生共同研讨的过程中找出计算中学生容易犯的错误，分析解答是否符合实际问题）

小结：求解完答案后，我们要善于检查，分析，反思数学问题的解是否是实际问题的解。活动3：变式训练，巩固应用。

师：如果我们在图形中再加一个“竖道”，请问刚才的问题中，什么量在变化，什么量不变化？是否影响面积的变化？

师生共同总结得出：AB不变而BC在变，BC表示时要考虑竖道的个数。

师：请大家看下面的中考题，这个问题中涉及的是方程的思想还是函数的思想？ 一题多变1：

要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB,BC各为多少米？

学生自主探究问题并解答（引导学生分析讨论如何舍去方程的根，获得实际问题的解）

师： 问题中面积是否由“400”可以改为“500”

“600”

“700”呢？面积是否可以取一个任意大的数值呢？

生：不可以，x受墙长的影响，围栏长度的影响，面积不能超过一个最大值。师：引导利用函数的思想解决下面的问题。活动4：深入探究，设疑激趣 一题多变2：

师：请大家仔细阅读下面的例题，分析问题中的已知条件又作了哪些变化？ 如图所示，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB＝xm，面积为ym2.(1)求y与x的函数关系式；（2）y是否有最大值？若有，求出y的最大值。

学生互学，师生共同总结：师：利用函数的思想解决实际问题时，要考虑自变量的取值范围，要在自变量范围内 求出最大值，要学会检验数学问题的解是否是实际问题的解。利用函数解决实际问题，我们在后面的学习中还要继续探究。

【活动4】归纳小结:（1）

利用函数思想解决实际问题的一般步骤是什么？（2）

篇3：二次函数最值问题例谈

一、销售利润问题

例1 (2007年 贵州贵阳) 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果, 物价部门规定每箱售价不得高于55元, 市场调查发现, 若每箱以50元的价格调查, 平均每天销售90箱, 价值每提高1元, 平均每天少销售3箱。

(1) 求平均每天销售量y (箱) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(2) 求该批发商平均每天的销售利润w (元) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(3) 当每箱苹果的销售价为多少元时, 可以获得最大利润?最大利润是多少?

解: (1) y=90-3 (x-50) 化简得:y=-3x+240.

(2) w= (x-40) (-3x+240) =-3x2+360x-9600.

(3) w=-3x2+360x-9600.

∵a<0, ∴其图像抛物线开口向下.

当undefined时, w有最大值。

又∵x<60, w随x的增大而增大,

∴当x=55元时, w的最大值为1125.

∴当每箱苹果的销售价为55元时, 可以获得1125元的最大利润。

二、几何面积问题

例2 (2007年 福建龙岩) 如图1所示, 在△ABC中, ∠A=90°, AB=4, AC=3.M是边AB上的动点 (M不与A, B重合) , MN//BC交AC于点N, △AMN关于MN的对称图形是△PMN, 设AM=x.

(1) 用含x的式子表示△AMN的面积 (不必写出过程) ;

(2) 当x为何值时, 点P恰好落在BC上;

(3) 在动点M的运动过程中, 记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y, 试求y关于x的函数关系式;并求x为何值时, 重叠部分的面积最大, 最大面积是多少?

解:undefined;

(2) 如图4所示, 由轴对称性质知:

AM=PM, ∠1=∠2.

又∵MN//BC,

∴∠2=∠3, ∠1=∠B.

∴∠B=∠3.

∴AM=PM=BM.

∴点M是AB中点,

即当undefined时, 点P恰好落在边BC上。

(3) 以下分两种情况讨论:

第一种情况:

当0

当2

由 (2) 知ME=MB=4-x.

∴PE=PM-ME.

=x- (4-x) =2x-4.

undefined

第二种情况:

∵当0

∴易知undefined

又∵当2

undefined

∴当undefined时 (符合2

综上所述, 当undefined时, 重叠部分的面积最大, 其值为2.

备注:在求函数关系式时要分情况讨论。

三、动点题

例3 (2007年 山东济南) 已知:如图6直角梯形ABCD中 , undefined

(1) 求梯形ABCD的面积;

(2) 点E, F分别是BC, CD上的动点, 点E从点B出发向点C运动, 点F从点C出发点D运动, 若两点均以每秒1个单位的速度同时出发, 连接EF, 求△EFC面积的最大值, 并说明此时E, F的位置。

解: (1) 如图7, 过点D作DM⊥BC, 垂足为M,

在Rt△DMC中,

undefined

undefined

(2) 设运动时间为 x秒,

则有 BE=CF=x, EC=10-x,

过点F作FN⊥BC, 垂点为N,

undefined

当undefined时,

undefined

即△EFC面积的最大值为10, 此时点E, F分别在BC、CD的中点处。

篇4：二次函数的最值问题研究

一、 定轴动区间

点评：通过以上两个例题发现：区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值.那为什么求最值有时分三种情况讨论，有时候分两种情况讨论呢？通过观察发现：二次函数的最值总是在区间的端点或二次函数的顶点取到.在例1中，二次函数开口向上，最值在两个端点或函数顶点都可能取到，所以分三种情况讨论；而在例2中，最大值不可能在函数顶点时取得，只有可能在两个端点处取得，所以通过端点与区间中点距离的远近分两种情况来讨论.

点评：在例4中，是二次函数的开口方向和对称轴都在变化，区间不变的最值问题；在例5中，先转化为分段函数，两题都是再根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论即可.在求最值时，分类是关键，结合图形去确定最值比较直观，但对学生的画图能力要求较高.在求二次函数动轴定区间的最值问题时，本质还是研究对称轴与区间的位置关系.

三、 动轴动区间

反思：本题是变轴变区间的类型，仍然从轴与区间的位置关系入手展开讨论.

通过以上几个例题，对于可化为二次函数在某区间上的最值问题，基本分为动轴定区间、定轴动区间以及动轴动区间，三种题型解题思路都可以从二次函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系来进行讨论.讨论时要理清思路，必要时画出草图，借助数形结合，可以清晰地进行分类并解决问题.

篇5：二次函数的最值问题

雷州市第一中学 徐晓冬

一、知识要点

对于函数fxax2bxca0，当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。

二、典例讲解

例

1、已知函数fxx2x2，（1）、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。（2）、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。（3）、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。

例

2、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。

变式

1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。

点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例

3、已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。

例

4、已知函数fxmx2x2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。

三、练习

1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。

2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．

3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。

4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。（1）、求ga的表达表；（2）、求能使ga

5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值．

篇6：二次函数最值问题参考答案

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数yx4x2(x2)2函数的最大值为f(2)2，最小值f(0)2。练习.已知2x23x，求函数f(x)xx1的最值。

解：由已知2x3x，可得0x222223，函数f(x)的最小值为f(0)1，最大值为2319。f2

42、轴定区间变

2例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

解：函数f(x)(x1)1 21t，当xt时，函数取得最小值f(x)minf(t)(t1)21。

t1t1，即0t1。当x1时，函数取得最小值f(x)minf(1)1。t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值f(x)minf(t1)t21

综上讨论，f(x)min(t1)21,t1 1,0t12t1t02f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求对称轴为x1．

f(x)minf(t)tt21t3，f(x)maxf(t1)t22（1）当时，．（2）当t≤1≤t1，即0≤t≤1时，．

tt11即22tt111t≤12f(x)f(t1)t2max22即2若时，． 根据对称性，若

0≤t≤122时，f(x)maxf(t)t2t3．

f(x)maxf(t)t22t3t11t0（3）当即时，．

第1页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上，f(x)max12t2,t2 t22t3,t12

23、轴变区间定

例4.已知x21，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知有1x1，a2，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将

aa f(x)配方得：f(x)x32422aa2a二次函数f(x)的对称轴方程是x顶点坐标为，3，图象开口向上

422a1，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。2函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。由a2可得x

图3 例.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为xa，211即a时，f(x)maxf(2)4a5； 2211 当a即a时，f(x)maxf(1)2a2。

22当a综上所述：f(x)max12a2,a2。4a5,a12a2a2aaaa(2)函数y(x)图象的对称轴方程为x，应分11，1，1即242222第2页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.2a2，a2和a2这三种情形讨论，下列三图分别为

（1）a2；由图可知f(x)maxf(1)（2）2a2；由图可知f(x)maxf()（3）a2时；由图可知f(x)maxf(1)

a2

y最大(a1),a2f(1),a22aaf(),2a2；即y最大,2a2 24f(1),a2a1,a

2（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例5.已知函数f(x)ax2ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

解：f(x)a(x1)1a,x[3,2]（1）若a0,f(x)1,，不符合题意。（2）若a0,则f(x)maxf(2)8a1 22由8a14，得a3 8（3）若a0时，则f(x)maxf(1)1a 由1a4，得a3

第3页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上知a3或a3 8x2例6.已知函数f(x)x在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：讨论对称轴中1与m,mn,n的位置关系。2①若，则f(x)maxf(n)3n

f(x)minf(m)3m 解得②若f(x)maxf(1)3nmn，无解 1n，则2f(x)minf(m)3mf(x)maxf(1)3nmn③若m1，则，无解

f(x)f(n)3m2min④若，则f(x)maxf(m)3n，无解

f(x)minf(n)3m综上，m4,n0 解析2：由f(x)1111(x1)2，知3n,n,，则[m,n](,1]，2226f(x)maxf(n)3n

f(x)f(m)3mmin又∵在[m,n]上当x增大时f(x)也增大所以解得m4,n0

评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

篇7：二次函数最值问题的研究

（内江师范学院 内江 641100）

摘要：最值问题是中学数学的重要内容之一，中学数学最值问题遍及代数、三角函数、立体几何及解析几何各部分之一，最值问题为载体，利用数形结合的思想，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想考查二次函数的最值问题，利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题，遍及初高中数学代数和几何部分的几乎所有，利用数与形进行分类和分轴以及参数问题讨论出最值问题的变化，同时利用数学等优秀的数学思想，将观察、类比、实验、归纳、一般化、抽象化等方法解决生活中遇到的最值问题。

关键字：数学 最值 数形结合 图像

1、前言

数学是一种古老而又年轻得文化，人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙航行，无时无刻不在受到数形结合和空中二次函数的思想的恩惠和影响，进入21世纪，我国数学课程中有关数学学习的理念时刻在发生变化，数学教学的主要目的和任务早已经不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习在传授知识分方法的同时培养学生的数学能力，咋促进学生数学学习的过程中，加强数与行的结合，能化简为繁，对于帮助学生开阔思路，突破思维定势有积极地作用，能加深学生对知识的理解和掌握，学习二次函数的知识不仅是高中教材的内容，而且更是解决生活的实际问题有很大的帮助，但是二次函数包括的知识点不仅多，难度比较大之外，更重要的是具有可行性的量化和质变的本质区别，二次函数的最值问题作为研究二次函数的图像和性质，以及二次函数的区间最值问题都是需要学生去总结和探讨的。

作为初中和高中教材中的主要函数知识点的部分，学习二次函数起到一个承上启下的作用，同时二次函数也是中考和高考命题的重点，如何让初高中学生对二次函数了解的更加深刻和透彻，本文利用和数形结合的思想对初高中二次函数做了更深入的研究和讨论，主要运用数形结合的思想和分类讨论的思想以及根据二次函数的性质，从不同的角度进行分析二次函数的最值问题，利用二次函数的图像解决：定轴动区间、动轴动区间、动轴定区间的最值问题，以及根据开口方向、对称轴、所给区间确定；所给区间确定、对称轴位置变化；所给区间变化、对称轴位置确定；区间、对称轴位置都不确定，巧用二次函数的图像来进行讨论二次函数所遇到的最值问题，利用图像讨论含参数的问题，以及巧用二次函数图像讨论二次函数与一次函数交汇问题和运用数形结合求解问题误区的探讨这几个方面论述.2、国内外研究现状：

查阅相关文献，众多数学教育者和数学专家从不同角度和侧面探讨了二次函数的最值问题，同时结合教学、解题、以及函数的应用，王丰霞在文献[1]中浅谈了构造数形结合在二次函数中的培养创新思维，张冰、杨光在文献[2-3]中浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣，孙雪梅、王雨来、朴林玉等文献[4-6]分析了二次函数的最值问题，周建涛、姚爱梅在文献[7]中二次函数在闭区间的最值问题的研究，陈晨在文献[8]闭区间上的二次函数的最值，张连友在文献[8]二次函数在最值求法例谈，陈林文在文献[9]巧解最值问题，黄小琴在文献[10]二次函数最值求法探索，张武在文献[11]中“数形结合”解题误区的认识与思考给出了自己独特的见解和分析，通过观看以上等教育工作者的研究和对二次函数最值问题的研究，让我受益匪浅，从他们的研究中看到了对二次函数最值问题的深入剖析。

2、国内外研究现状评价

在所查阅到的国内外参考文献中，教育者们对在二次函数中最值问题的研究，只是针对了二次函数的某一些问题或是某一些最值问题探究的比较清楚，其中关于二次函数的深层次或是大学知识的解决办法未能够涉及到里面去，相对高思想高研究高知识层面的探讨问题研究的不是很充分，其次对于二次函数利用思想方法和数形结合的思想方法的分析缺乏深入的研究和探讨，数形结合的思想在初高中二次函数中是比较重要的一个内容，对数形结合的思想在高中二次函数中的综合运用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用二次函数的图像和数形结合的思想去进行二次函数的教学、解题、以及二次函数最值问题的分析在初高考的应用具有重要的意义。

3、提出问题：

二次函数最值问题是结合初高考的代数和几何进行考试的内容，同时也是大部分学生遇到的问题最多的地方，所以探讨二次函数的最值问题的具有可行性的，同时也是对函数部分的知识进行深入的剖析，在具体探讨二次函数的最值问题的时候加入一些数学思想和数学方法以及高等数学的解题方法，根据定义域的问题和对称轴的问题进行深入分析和探讨是有必要的数学研究，4、结束语：

通过对国内外数学中二次函数的了解和研究以及专家和教育学者的文献的分析，二次函数是初高中数学的重点和难点，贯穿高中知识的始终，同时二次函数与其他知识的综合也是高考的重点和难点，是解决很多复杂的数学问题的一把利刃，利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题，求解函数的最值是高考的重点以及难点，必须从根本上解决高中生面对最值问题所遇到的困难，很多文献都是有解法的缺乏思想，有教学的缺乏实践支撑,本文就是让学生将解题的技巧与求解函数的最值结合起来，让学生不再害怕最值问题，不再高考的大部分涉及函数最值的题目中失分。凡题有法而可解，高中生在做题的时候往往照抄书本模式，禁锢于思维定势，用解法解题便成了盲区，对于解法，教材中只提到了二次函数配方法求最值，利用函数的单调性、奇偶性求最值，这些方法可以应对一些简单的题目，如果题目加大难度，学生就束手无策，文章对函数最值问题的解法进行研究，目的就是为了扩大学生之视野，扩张学生之思维，以解学生学习最值问题的重点和难点。参考文献：

【1】 王丰霞，构造数形结合思想在二次函数中培养创新思维[J]，胜利油田专科学校学报，2001，（04）

【2】 张冰、杨光，浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣，山西财经职业技术学院，2011，（7）

【3】 孙雪梅、王雨来、朴林玉，二次函数的最值问题[J]，2010,(11)：45-46 【4】 周建涛、姚爱梅，二次函数在闭区间的最值问题的研究[J],数学教学学报，2005，（12）：24-25 【5】 陈晨，闭区间上的二次函数的最值[J]，中学数学杂志，2004（12）【6】 张连友，二次函数在最值求法例谈[J]，黑河教育，2008（4）【7】 陈林文，巧解最值问题[J],时代教育，2007（7）

篇8：二次函数最值问题及其解决方法

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】求二次函数f (x) =x2-2x-3在以下区间上的最值.

(1) x∈[-2, 0]; (2) x∈[0, 3]; (3) x∈[2, 4].

分析:f (x) = (x-1) 2-4.

1若对称轴在给定区间的右侧或左侧, 此时函数在该区间上是单调函数, 最大值和最小值分别在区间端点处取得, 比如本题的 (1) (3) 小题;

2若对称轴穿过区间, 此时函数在该区间上先减后增, 最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可, 或比较哪个端点距离对称轴较远 (端点离对称轴越远, 函数值越大) 即可, 比如本题的 (2) 小题;

3函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】求二次函数f (x) =x2-2x-3在区间[t, t+2]上的值域.

分析:随着区间位置的改变, 对称轴和 区间的相 对位置对函数值域的影响便一目了然了.

1当对称轴位于区间的左侧, 即t≥1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上为增函 数, 此时f (x) 的取值范 围是f (t) ≤f (x) ≤f (t+2) ;

2当对称轴位于左半区间, 即t≤1≤t+1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上是先减后增, 右端点t+2距离对称轴较远, 此时f (x) 的取值范围是f (1) ≤f (x) ≤f (t+2) ;

3当对称轴位于右半区间, 即t+1≤1≤t+2时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上也是先减后增, 此时是左端点t距离对称轴较远, 所以f (x) 的取值范围是f (1) ≤f (x) ≤f (t) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即t+2≤1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上为减函数, 此时f (x) 的取值范围是f (t+2) ≤f (x) ≤f (t) .

部分学生可能只讨论了三种情况, 将2 3合并, 这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】求函数f (x) =x2-2mx+2在区间[-1, 1]上的值域.

分析:对称轴x=m可改变, 对称轴与区间[-1, 1]的相对位置也是变化的, 仿照例2可以求出函数的值域.

1当对称轴 位于区间 的左侧, 即m≤ -1时, 有f (-1) ≤f (x) ≤f (1) ;

2当对称轴 位于左半 区间, 即 -1≤m≤0时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (1) ;

3当对称轴位于右半区间, 即0≤m≤1时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (-1) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即m≥1时, 有f (1) ≤f (x) ≤f (-1) .

4.轴变区间变问题

【例4】求函数f (x) =x2-2mx+2在区间[a, b]上的值域.

分析:还是同前面的例子相同的讨论.

1当对称轴 位于区间 的左侧, 即当m<a时, 有f (a) ≤f (x) ≤f (b) ;

2当对称轴位于 左半区间, 即a≤m≤a+b/2时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (b) ;

3当对称轴位于 右半区间, 即a+b/2≤m≤b时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (a) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即m>b时, 有f (b) ≤f (x) ≤f (a) .

二、求二次函数值域的方法和技巧

要求二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 在指定区间[m, n]上的值域, 归根结底是要求出函数在这个区域上的最大值和最小值, 而求函数在这个区间上的最值关键是看函数的对称轴x=-b/2a是否落在指定区间[m, n]内.

1当对称轴落在区间内, 即m≤-b/2a≤n时, 函数的值域为[min (f (-b/2a) , f (m) , f (n) ) , max (f (-b/2a) , f (m) , f (n) ) ].

2当对称轴落在区间外, 即-b/2a<n或-b/2a>m时函数的值域为[min (f (m) , f (n) ) , max (f (m) , f (n) ) ].

篇9：二次函数最值问题分类剖析

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

篇10：专题六 二次函数的最值问题

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

专题六 二次函数的最值问题 【要点回顾】

1．二次函数yaxbxc(a0)的最值．

二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况 24acb2b当a0时，函数在x处取得最小值，无最大值；

4a2a4acb2b当a0时，函数在x处取得最大值，无最小值．

4a2a2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：yaxbxc在mxn（其中mn）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：xx0； 第二步：讨论：

[1]若a0时求最小值或a0时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m即x0m，即对称轴在mxn的左侧；

②对称轴mx0n，即对称轴在mxn的内部；

③对称轴大于n即x0n，即对称轴在mxn的右侧。[2] 若a0时求最大值或a0时求最小值，需分两种情况讨论： 2mn，即对称轴在mxn的中点的左侧； 2mn②对称轴x0，即对称轴在mxn的中点的右侧；

2①对称轴x0说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）y2x3x5；（2）yx3x4．22

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

例2当1x2时，求函数yxx1的最大值和最小值．

例3当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

2125xx的最小值(其中t为常数)． 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

125解：函数yxx的对称轴为x1．画出其草图．

22125(1)当对称轴在所给范围左侧．即t1时：当xt时，ymintt；

22125(2)当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时： 当x1时，ymin113；

22(3)当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时：当xt1

151ymin(t1)2(t1)t23．

222例4当txt1时，求函数y

122t3,t0综上所述：y3,0t1

15t2t,t122例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

1．抛物线yx(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点． 2

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．设a0，当1x1时，函数yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b的值．

4．已知函数yx2ax1在1x2上的最大值为4，求a的值．

5．求关于x的二次函数yx2tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

222专题六 二次函数的最值问题 参考答案

22例1分析：由于函数y2x3x5和yx3x4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解：（1）因为二次函数y2x23x5中的二次项系数2＞0，所以抛物线y2x23x5有最低点，即函数有最小值．

334949 因为y2x23x5=2(x)2，所以当x时，函数y2x23x5有最小值是．

48482（2）因为二次函数yx3x4中的二次项系数-1＜0，所以抛物线yx23x4有最高点，即函数有最大值．

因为yx23x4=(x2532253，所以当x时，函数yx23x4有最大值．)4242例2解：作出函数的图象．当x1时，ymin1，当x2时，ymax5．

说明：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

例3解：作出函数yx(2x)x2x在x0内的图象．

可以看出：当x1时，ymin1，无最大值．所以，当x0时，函数的取值范围是y1． 例5解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x30)元，那么m件的销售利润为ym(x30)，又m1623x． y(x30)(1623x)3x2252x4860,30x54

(2)由(1)知对称轴为x42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

当x42时，ymax3422252424860432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

【巩固练习】

l22311．4 14或2，2．m 3．a2,b2． 4．a或a1．

篇11：改中考中的二次函数最值问题

中考中的二次函数最值问题

【教学目标】二次函数的最值问题是二次函数性质的一个重要应用，也是每年中考的重点考查题型之一，现结合几道2011年的中考试题说明这类题的求解方法

【知识要点】如何求抛物线的顶点、对称轴和最值？

1、配方法：将二次函数关系式化为yaxhk的形式，则顶点坐标为h,k，2对称轴为直线xh。若a0，则y有最小值，当xh时，y最小k；若a0，则y有最小值，当xh时，y最大k。

b4acb2bx

2、公式法：直接利用顶点坐标公式求其项点，利用求,2a2a4ab4acb2其对称轴。若a0，则y有最小值，当x时，y最小；若a0，则

2a4ab4acb2y有最大值，当x时，y最大。

2a4a【经典例题】

一、求最大利润

例1 某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每个面包的成本是5角。

设这种面包的单价为x角，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y角。（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；

（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？

2012初三数学寒假

二、确定图形的周长最值。

例2 已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B1,0，P是AC上的一个动点（P与点A，C不重合）。

（1）求点A，E的坐标；（2）若y632xbxc过点A，E，求抛物线的表达式； 7（3）连接PB，PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

2、如图2所示,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=PR=5cm,QR8cm,点BCQR在同一条直线l上,当CQ两点重合时,等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左开

2始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR生命部分的面积为Scm.(1)当t3s时求S的值;(2)当t5s时求S的值;(3)当5t8时,求S与t的函数关系式,求S的最大值.2012初三数学寒假

三、求解图形的面积和某一代数式的最值问题。

例3 如图3所示，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE。记CD的长为t。（1）当t1时，求直线DE的函数关系； 3（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；

3）当OD2DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。

2012初三数学寒假

【大显身手】

一、你有经商头脑吗？——商业经营活动中有两大问题是必须面对和解决的：

(一）怎样销售利润最大

1、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）

y（件）15 25 20

… …

若日销售量y是销售价x的一次函数：

（1）求日销售量y（件）与销售x（元）之间的函数关系式；

2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？

（二）何时能盈利

2、某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产生每年可创利33万元，该生产线投产后，人第一年到第x年的维修、保养费用累计为y（万元），且yaxbx，若第一年的维修保养费为2万元，第二年的为4万元。

（1）求二次函数的表达式；（2）投产后，这个企业在第几年就能盈利？

22012初三数学寒假

二、何时面积最大

二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一个常见的数学模型。利用二次函数的图象与性质可以解决几何图形中面积的最值问题。

1、如图1所示，某房地产公司要在拆迁的长方形地ABCD上规划出一块长方形地面，用来建造住宅小区公园（公园的一边落在CD上，但不能超过文物保护区的斜线EF），问如何设计才能使公园的占地面积最大？求出最大面积

（已知ABCD200m,BCAD160m,AE60m,AF40m）。

三、生活中的二次函数最值问题

（一）二次函数帮你定价

小明的妈妈开了间海产品干货店,今年她从沿海地区进了一批墨鱼干,并将每市斤的单价定为40元,大家一致认为该墨鱼质量好,价格又便 宜,再加上该店地处旅游风景区的黄金地段,因而顾客云集,连续几天门庭若市,一时间销售了不少.看到这种红火的销售场面,小明的妈妈决定用调高单价来增加利润,于是她将单价调到每市斤50元,结果销售量虽然减少了,但每天的利润却有所增加.她干脆再把单价调 高到每市斤70元,此时过往游客大多数嫌贵,销售量明显再次下降,连利润也呈下降趋势.面对如此情况,她想到了这么一个问题:单价究竟定为多少才能使每天的利润最大? 小明知道后马上进行了调查,并从妈妈那里了解到如下数据: 单价(元)销售量(市斤)40 40

35

30

25 通过观察,小明发现原来每天的销售量与单价成一次函数关系,他将每天的销售量设为y市斤,单价设为x元,则ykxb.由x40,y40,得4040kb,①由x50,y35,得3550kb.②联立 5

2012初三数学寒假

①、②，解得k11,b60。所以yx60。2211x60，即wx260x。配方，得

22小明一想，要使每天的利润最大，只需每天的销售额最大即可。他把每天的销售量额设为w元，则wxyxw1x6021800。由二次函数的性质，得当x60时，w最大1800。因此，2当单价定为每市斤60元时，每天的销售额最大，从而利润也最大。

看来，在现实生活中，数学知识能帮上不少忙。同学们，你是否也能像小明那样用所学的知识来解决问题呢？

（二）、广告设计与二次函数

函数思想是一种重要的解题思想，在实际生活中应用广泛，函数思想解决广告设计问题就是函数实际应用的一种体现。

例1 某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x米2x8，广告牌的面积为S平方米。（1）写出广告牌面积S与边长x的函数关系式；

（2）画出这个函数的大致图象（其中2x8）；

（3）根据图象观察当边长为何值时，广告牌的面积S最大？

2012初三数学寒假

二、确定图形的周长最值。

例2分析：本题求解的切入点是依据点B的坐标、△ABC的边长和边、高的关系结合三角形中位线定理求解出（1），再依据题意求解出（2），最后依据轴对称的知识求解出（3）

解：（1）如图1所示，连接AD，不难求得A1,23,OE1AD,得2E0,3；

（2）因为抛物线y632xbxc过点A，E，把点A，E的坐标代入，7得c3，b133，7632133xx3； 77所以抛物线的表达式为y（3）如图2所示，先作点D关于AC的对称点D，连接BD交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值。

不难求得DDC30，DF3，DD23，则可得点D的坐标为4,3 所以直线BD的表达式为y为y3x33。

求直线BD与AC的交点可得点P的坐标为此时BD33，直线AC的表达式x557233,3。BGDG52223227，所以△PBD的最小周长L为272。把点P的坐标代入y632133xx3成立，所以此时点P在抛物线上。77

三、求解图形的面积和某一代数式的最值问题。

2012初三数学寒假

例3分析：本题（1）、（2）的求解均抓住△CDO～△BED，所以

CDCO，即BEBD12731，得BE则点E的坐标为1,。设直线DE的函数关系式为ykxb。199BE13因为直线经过点D,1和E1,，所以把点D，E的坐标代入ykxb，得k故所求直线DE的函数关系式为y13791。3110x； 39CDCO，即BEBD（2）存在S的最大值。由已知易知△COD～△BDE，所以t111115,BEtt2。所以S11tt2t。故当t时，BE1t222282S有最大值5； 8(3)Rt△OED中,OD2DE2OE2,OD2DE2的算术平方根取最小值,也就是斜边OE取最小值.当斜边OE取最小值且另一边直角边OA为定值时,另一直角边AE达到最小值,于是△OEA的面积达到最小值,此时,梯形COEB的面积达到最大值.由(2)知,当t13地,梯形COEB的面积达到最大值,故所求点E的坐标是1,.24(一）怎样销售利润最大

解：（1）设此一次函数表达式为ykxb，则

15kb25k1,解得所以一次函数表达式为yx40.20kb20b40.(2)设每件产品的销售价定为x元,所获销售利润为W元,则

Wx1040xx25255.2当x25时,W最大225,即产品的销售价应定为25元,此时每日 获得最大销售利润为225元.（二）何时能盈利

2x1时，y2,x2时，y246。解：（1）由题意知，分别代入yaxbx，8

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得ab2a1，解得。yx2x。

4a2b6b1（2）设M33x100xx，则Mx232x100x16156。

22当1x16时，y随x的增大而增大，且当x1,2,3时，M的值均小于0，当x4时，M1221560，所以设产后企业在第4年就能盈利。

评注：求二次函数最值的实际问题，要确定好自变量的取值范围，以及二次项的系数与问题的实际意义来判定最值情况，不然会误入歧途。

二、何时面积最大

1解：要使公园的面积最大，必须有一顶点落在EF上，设此点为P。过点P作PHAB于H，交CD于M，作PGAD于G，设。

△FGP～△FAE，PGGFx40PH，即。AEAF60402PHx40。

3SBHPM200x160PH

2200x160x40

32x10272200。33所以当所设计的长方形公园以C点为顶点，一边落在CD上，且长为190m,宽为380722002m时,公园有最大面积,且最大面积为m.332

分析:本题是将动点设置于直线l上,让我们在变化的条件下,探求重合部分的图形面积,题型设 计新颖、灵活富有创意，第（3）问重点考查了运用二次函数解决面积最大问题，在解答这类综合性题目时可将动手操作与推理计算巧妙地结合，运用数形结合的思想、分类讨论的思想解决问题。

解：（1）如图3所示，作PEQR，E垂足，设PQ与CD交于G，则QERE4cm，PE52423cm。

所以当t3s时，重合部分的图形是RtQCG。

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又易证△QCG～△QEP。所以

SSQEP3。42SQEP6cm2，272Scm。

8（2）当t5s时，如图4所示，此时QC5cm,CR3cm。设PR与CD相交于G。

由△RCG～△QEP，得SRCG故SSPRQSRCG27cm2，8692cm。8（3）当5t8时，如图5所示，此时QBt5,RC8t。设PQ交AB于H，PR交CD于G。

由△HPB～△PQE，得

SHQB3t52cm2。8由△RCG～△REP，得

38t2cm2。83322S12t58t，883239171t即St。

44813165cm2。当ts时，S的值最大，S最大216SRCG评注：当t在不同的范围内变化时，重合部分的图形有三种情形；（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形。同学们可想一想，在每一种情形下对应的t的取值范围是什么。

（二）、广告设计与二次函数

分析：将矩形的另一边长用x的代数式表示，根据矩形的面积即可求出函数的关系式。

解：（1）矩形的另一边长为10x米，所以

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Sx10xx210x2x8；

（2）Sx525，取一组点，利用描点法可画出函数的2图象如图所示；

（3）根据图象观察，当x5时，矩形的面积最大为25平方米。

例2 某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告牌设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x米，广告牌的面积为S平方米。

（1）写出广告牌面积S与连长x的函数关系式，并确定自变量的取值范围；（2）将矩形广告牌的连长设计为多少米时，公司获得的设计费最多？并求出此最大值；

（3）为使广告美观，客户要求把它做成矩形的长是宽与（长+宽）的比例中项，此时设计费是多少？（精确到1元）

分析：矩形的面积等于长乘以宽，所以只需把矩形的长和宽表示出来即可解决问题。解：（1）因为周长为12米，一边的长为x米，所以矩形的另一边的长为6x米。所以Sx6xx26x。

所以S与x的函数关系式为Sx6x0x6；

2（2）设广告设计费为y元，则y1000S1000x6000x。配方，得y1000(x3)29000。当x3时，y有最大值为9000。

即矩形广告牌设计为连长为3米的正方形时，面积最大，此时公司获得的设计费最多，最多为9000元；

（3）为使设计美观，设做成矩形长为x米，则宽为6x米，所以长加宽为

2x6x6(米)。

由x66x，整理，得x345。22解得x1353,x2353(舍去).所以

y1000x26000x1000353600035322249137518497(元)即当矩形的长设计为353米时,设计费用为8497元.学习数学,关注数学,解决非生活中的实际问题,是学习数学的根本目的,只有你关注2 11

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