二次函数典型习题复习

二次函数典型习题复习（精选8篇）

篇1：二次函数典型习题复习

二次函数学复习题和练习题

二次函数复习学案

一、导学提纲

1.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a0)一个解x的取值范围 ( )

x 3.23 3.24 3.25 3.26

y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09

A. 3

2.函数图象y=ax2+(a-3)x+1与x轴只有一个交点，则a的值为( )

A.0，1 B.0，9 C.1，9 D.0，1，9

3.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的函数关系式是 ( )

A.y=2(x+2)2-2 B.y=2(x-2)2+2

C.y=2(x-2)2-2 D.y=2(x+2)2 +2

4.已知二次函数 ( )的图象如图所示，有下列结论：

① ;② ;③ ;④ .

其中，正确结论的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

5. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y(米2)与x(米)的关系式为

6.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是

7.某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件.

(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)件的函数关系式;

(2)单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大?最大利润为多少?

二、展示交流

1.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽4m.如图建立平面直角坐标系，求抛物线对应的关系式.

2. 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米.已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30，O、A两点相距8 米.

(1)求出点A的坐标及直线OA的关系式;

(2)求出球的飞行路线所在抛物线的关系式;

(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点?

3. 长江中下游地区发生了特大早情.为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补的额度存在下表所示的函数对应关系.

型 号 Ⅰ型 Ⅱ型

投资金额x(万元) x 5 x 2 4

补贴金额y(万元)

2

2.4 3.2

(1)分别求y1和y2的函数关系式;

(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.

三、反馈练习

1. 对抛物线：y=-x2+2x-3而言，下列结论正确的是 ( )

A. 与x轴有两个交点 B. 开口向上

C. 与y轴的交点坐标是(0，3) D. 顶点坐标是(1，-2)

2. 若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3+ ，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是 ( )

A . y1y3 B . y1y2 C . y2y3 D . y3y2

3.已知二次函数 中，其函数 与自变量 之间的部分对应值如下表所示：

0 1 2 3

5 2 1 2

点A( ， )、B( ， )在函数的图象上，则当 ， 时， 与 的大小关系正确的是( )

A. B.

C. D.

4.在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cm(x6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的.函数关系是 .

5.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的关系式为 .

6.如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y(厘米2)与时间t(秒)之间的函数关系式为

7.一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是 y= ，铅球运行路线如图.

(1)求铅球推出的水平距离;

(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4m.

8.一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0

(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_________元.

(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式.

(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?

注：年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)年销售量.

9. 如图，在Rt△ABC中，ACB=90，AC、BC的长为方程x2-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点.

(1)求a的值.

(2)动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿ADC的路线向点C运动;动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿BC的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.

①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式;并指出自变量t的取值范围;

②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的t的值;若不存在，请说明理由.

篇2：二次函数典型习题复习

形如y=xa(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数，以下是高考数学复习幂函数与二次函数专题检测，请大家仔细进行检测。

一、选择题

1.(2013宝鸡模拟)已知m2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图像上,则( )

(A)y1ca (B)ac

(C)cb (D)ab

6.设abc0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是( )

7.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+)上是减少的,则实数a的取值范围是( )

(A)[-3,0)

(B)(-,-3]

(C)[-2,0]

(D)[-3,0]

8.(2013安庆模拟)设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数是( )

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

9.(2013南昌模拟)设b0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列之一.

则a的值为( )

(A)1

(B)2

(C)-1

(D)-2

10.(能力挑战题)若不等式x2+ax+10对于一切x(0,]恒成立,则a的最小值是( )

(A)0

(B)2

(C)-1

(D)-3

二、填空题

11.若二次函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bR)是偶函数,且它的值域为(-,4],则该函数的解析式f(x)= .

12.(2013上饶模拟)已知关于x的方程x2+a|x|+a2-9=0只有一个实数解,则实数a的值为.

13.二次函数f(x)的.二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)0，则实数a的取值范围是.

三、解答题

15.(能力挑战题)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a0),满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.

(1)求f(x)的解析式.

(2)是否存在实数m,n(m2,

1(，

由函数y=()x在R上是减函数知((，

ab.

6.【解析】选D.对于选项A,C,都有abc0,故排除A,C.对于选项B,D,都有-0,即ab0,则当c0时,abc0.

7.【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,

当a0时,需解得-30,

综上可得-30.

【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.

8.【解析】选C.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得

f(x)=

当x0时,由f(x)=x得x2+4x+2=x,

解得x=-2或x=-1.

当x0时,由f(x)=x得x=2.

故关于x的方程f(x)=x的解的个数是3个.

9.【解析】选C.由b0知,二次函数对称轴不是y轴,结合二次函数的开口方向及对称轴位置,二次函数图像是第③个.从而a2-1=0且a0,a=-1.

10.【解析】选C.方法一:设g(a)=ax+x2+1,

∵x(0,],g(a)为增加的.

当x=时满足:a++10即可,解得a-.

方法二:由x2+ax+10得a-(x+)在x(0,]上恒成立,

令g(x)=-(x+),则知g(x)在(0,]上是增加的,

g(x)max=g()=-,a-.

11.【思路点拨】化简f(x),函数f(x)为偶函数,则一次项系数为0可求b.值域为(-,4],则最大值为4,可求2a2,即可求出解析式.

【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图像关于y轴对称.

2a+ab=0,b=-2或a=0(舍去).

f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-,4],

2a2=4,f(x)=-2x2+4.

答案:-2x2+4

12.【解析】设f(x)=x2+a|x|+a2-9,

则f(-x)=(-x)2+a|-x|+a2-9

=x2+a|x|+a2-9=f(x),

即函数f(x)是偶函数.

由题意知,f(0)=0,则a2-9=0,

a=3或a=-3,

经检验a=3符合题意,a=-3不合题意,故a=3.

答案:3

13.【思路点拨】由题意知二次函数的图像开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.

【解析】由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远函数值越大,|1-2x2-2||1+2x-x2-2|,

即|2x2+1||x2-2x+1|,

2x2+10的否定为:对于区间[0，1]内的任意一个x都有f(x)0.

即

解得a1或a-2.

二次函数在区间[0，1]内至少存在一个实数b，使f(b)0的实数a的取值范围是(-2，1).

答案:(-2，1)

15.【解析】(1)∵f(x)满足f(1+x)=f(1-x),

f(x)的图像关于直线x=1对称.

而二次函数f(x)的对称轴为x=-,

-=1 ①

又f(x)=x有等根,即ax2+(b-1)x=0有等根,

=(b-1)2=0 ②

由①②得b=1,a=-,f(x)=-x2+x.

(2)∵f(x)=-x2+x=-(x-1)2+.

如果存在满足要求的m,n,则必须3n,

篇3：二次函数习题的改造

一、封闭性问题的开放性改造

以问题状态 (条件、过程和结论) 的明确程度为依据, 可将数学问题分为封闭性和开放性两个问题.平时所见的大部分问题属于封闭性问题, 而开放性问题对于发展学生的个性、优化学生的思维品质, 特别是训练学生的发散性思维、创造性思维有着重要意义.对于封闭性问题, 如果我们在认清题目的实质下对于问题的条件、结论或者过程予以适当修改, 则可以使其具有一定的开放性.

题1 求函数f (x) = (x-1) 2对称轴、最值、单调性.

单纯求二次函数的最值、单调性, 难于培养学生发散性思维和创造性思维, 如果将此题的结论作为条件, 可以改编成开放性问题, 不仅调动了学生的学习兴趣, 而且使每名学生的思维能力都得到较大的发展.

题2 老师给出一个函数y=f (x) , 四名学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质.

甲:对x∈R, 都有f (1-x) =f (1+x) .

乙:在 (-∞, 0]上是减函数.

丙:在[2, +∞) 上是增函数.

丁:f (0) 不是函数的最值.

如果其中恰好有三名学生说得正确, 请写出这样一个函数.

适当放宽限制条件, 使得问题存在多种答案, 具有一定的开放性, 从而调动了学生的思维积极性.

题3 已知函数f (x) =asin2x+bsinx+c (a, b, c均为实数) .

(1) 当b=1时, 对任意实数x, 使f (x) ≠0, 求a, c满足的条件;

(2) 当a+c=0时, 求证:存在一个实数x, 使f (x) =0.

此题是比较典型的二次函数零点问题, 如果能放宽数学背景, 增加适当的实际情景, 可将此题改编为一道开放性较强的问题.不仅增加了数学的趣味性, 而且培养了学生的探索能力.

题4 已知函数f (x) =asin2x+bsinx+c, 其中a, b, c为非零实数.甲、乙两人做一游戏, 他们轮流确定系数a, b, c (如:甲令b=1, 乙令a=-2, 甲再令c=3) 后, 如果对任意实数x, 使f (x) ≠0, 那么甲获胜;如果存在一个实数x, 使f (x) =0, 那么乙获胜.

(1) 甲先选数, 他是否有必胜策略?为什么?

(2) 如果a, b, c是任意实数, 结果如何?为什么?

二、常规型问题的探索性改造

以问题解决者的知识经验为依据, 可以将数学分为常规性问题与探索性问题.平时所见到的例、习题大部分是常规性问题, 而探索性问题对于培养学生的探究能力, 激发学生的学习兴趣与主动性有着常规性问题不可比拟的作用, 改变常规问题的条件、结论或者设问方式就可以引导常规性问题改编为探索性问题.

题5 已知函数f (x) =-ax4+ (2a-1) x2+1, 当undefined时, 求f (x) 的单调区间.

考虑到a的任意性, 我们可以用逆向思维, 运用设问方式, 将此题改变为探索性问题.

题6 已知函数f (x) =-ax4+ (2a-1) x2+1, 问是否存在a (a<0) , 使得f (x) 在区间 (-∞, -4]上是减函数, 且在区间 (-4, 0) 上是增函数?若存在, 求出a;若不存在, 请说明理由.

题7 已知二次函数undefined, 求函数的值域.

这是一道单纯性二次函数在闭区间上的最值问题, 探究性不强, 我们不妨增加已知条件, 改编为下述具有一定探究性的问题.

题8 已知二次函数undefined, 是否存在实数m, n (m

三、纯粹性问题的应用性改造

以问题性质的数学过程 (抽象、变换、应用) 为依据, 可以将数学问题分为纯粹性问题和应用性问题.平时所见的例、习题大部分是纯粹性问题, 而应用性问题对于培养学生的数学建模能力、分析问题与解决问题能力都有着不可替代的作用.对于一些纯粹性问题, 如果能够结合具体的生活、生产实践, 赋予一定的实际情景, 则可以将其改变为应用性问题.

题9 求函数undefined的最值.

此题可看做特殊二次函数undefined为载体给予一定的实际背景, 将此题改编为方案优化型的应用问题.

题10 制作一个容积为18 m3, 深为2 m的长方体无盖水池.若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元, 求水池最低造价?

题11 已知函数undefined, 定义域为 (0, m) .

(1) 求函数的最值;

(2) 当0

以undefined为载体设计适当的实际背景的文字表述, 可以将此题改编为应用性较强的实际问题.

题12 渔场中鱼群的最大养殖量为m吨, 要保证鱼群的生长空间.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空间率的乘积成正比, 比例系数为k (k>0) .

(1) 求y关于x的函数关系式, 并指出该函数的定义域;

(2) 求鱼群年增长量的最大值;

(3) 当鱼群的年增长量达到最大时, 求k的取值范围.

总之, 适当改造传统例、习题确实能调动学生的学习兴趣, 提高学生分析问题和解决问题的能力, 但不恰当的改造不仅没有带来益处, 反而给学生带来新的负担.因此, 哪些传统数学问题可以改造, 如何改造, 改造后如何应用于数学教学, 这些问题需要我们不断地探索.

参考文献

篇4：二次函数典型问题难点突破

二次函数作为中学数学学习的核心版块之一，需要同学们熟练地掌握基本性质，能够灵活应用.二次函数的图像，给大家提供了解决问题的工具，熟练应用不仅能掌握本块知识，也能在学习中自然获得逻辑推理、数形结合、函数变化等思想，从而为进一步学习奠定扎实的基础.本文就二次函数图像问题进行分类讨论，以期找到解决这类问题的一般方法.

1.二次函数图像的识图

例1 y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1所示，则点M（a，bc）在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【分析】先讨论a、c的符号情况，判断直线的位置特征；再结合b的符号，考虑抛物线的位置特征.答案：D.

【点拨】一次函数与二次函数的系数用相同字母表示，意味着一次函数的直线图像的倾斜方向与二次函数的开口方向有关联，两个图像的横纵轴的截距有了联系，进而使二次函数对称轴、顶点坐标有了确定的性质，从而能够确定图像.

二、求解二次函数中的面积最值问题的策略

从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合，使解题具有一定难度.本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考.

例3 如图2，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由.

[图2][图3]

【解析】（1）抛物线解析式为y=-x2-2x+3；（2）Q（-1，2）.

下面着重探讨求第（3）小题中面积最大值的几种方法.

1.补形、割形法.

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快.此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形.

方法一：如图4，

2.“铅垂高，水平宽”面积法.

如图6，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h），我们可得出计算三角形面积的另一种方法：S△ABC=[12]ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

（1）二次函数的顶点在x轴上，求k的值；

（2）若二次函数与x轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），当k为整数时，求A、B两点的坐标.

【点拨】本题着重考查一元二次方程和二次函数之间的联系，同学们要学会运用函数和方程之间的联系来解决问题.

当然二次函数的典型问题很多，在这里介绍了几种典型问题的解题策略，供同学们参考.如果我们能掌握一定的方法，做到举一反三，那就可以得到事半功倍的效果.

（作者单位：江苏省太仓市第一中学）

篇5：二次函数练习题

复习目标

1．二次函数的定义：形如〔a≠0，a，b，c为常数〕的函数为二次函数．

2．二次函数的图象及性质：

〔1〕二次函数的图象是一条抛物线．顶点为〔－，〕，对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增大而增大，x＜－，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－，y随x的增大而减小，x＜－，y随x的增大而增大．

〔2〕当a＞0时，当x=－时，函数有最小值；当a＜0时，当x

=－时，函数有最大值

3．图象的平移：将二次函数y=ax2

(a≠0〕的图象进行平移，可得到y=a(x－h)2＋k的图象．

将y=ax2的图象向左〔h<0〕或向右(h＞0〕平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2

+k的图象，其顶点是〔h，k〕，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

4.二次函数的图象与系数的关系：

(1)

a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，那么a＞0；物线开口向下，那么a＜0．

〔2〕b的符号出的符号由对称轴决定，假设对称轴是y轴，那么b=0；假设对称轴在y轴左侧，那么－＜0即＞0，那么a、b为同号；假设对称轴在y轴右侧，那么－＞0，即＜0．那么a、b异号．即“左同右异〞．

〔3〕c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．假设抛物线交y轴于正半轴，那么

c＞0，抛物线交y轴于负半轴．那么c＜0；假设抛物线过原点，那么c=0．

〔4〕△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．假设抛物线与x轴只有一个交点，那么△=0；有两个交点，那么△＞0；没有交点，那么△＜0

．

5．二次函数表达式的求法：

⑴假设抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得；

⑵假设抛物线的顶点坐标或对称轴方程，那么可采用顶点式：其中顶点为(h，k)对称轴为直线x=h；

⑶假设抛物线与x轴的交点坐标，那么可采用交点式：,其中与x轴的交点坐标为〔x1，0〕，〔x2，0〕

6．二次函数与一元二次方程的关系：

〔1〕一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．

〔2〕二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．

〔3〕当二次函数的图象与

x轴有两个交点时，那么一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+

bx+c的图象与

x轴没有交点时，那么一元二次方程没有实数根．

典例精析

【例1】(1)

抛物线的局部图象如图，那么

再次与x轴相交时的坐标是〔

〕

A．〔5，0〕

B。〔6，0〕

C．〔7，0〕

D。〔8，0〕

〔2〕二次函数的图象如下图，那么a、b、c满足〔

〕

A．a＜0，b＜0，c＞0

B．a＜0，b＜0，c＜0

C．a＜0，b＞0，c＞0

D．a＞0，b＜0，c＞0

【分析】〔1〕由，可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1，0)，那么与x轴的另一交点为(7，0)。

〔2〕由抛物线开口向下可知a＜0；与y轴交于正半轴可知c＞0；抛物线的对称轴在y轴左侧，可知－

＜0．那么b＜0．应选A．

【解答】〔1〕C

〔2〕A

【例2】〔2006宁波〕如图，抛物线与x轴相交于B〔1，0〕、C〔-3，0〕，且过点A〔3，6〕。

（1）

求a，b，c的值。

（2）

设抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，连结CP、PB、BQ。试求四边形PBQC的面积。

【分析】此题第〔1〕小题考察用待定系数法求抛物线的解析式，结合条件可以考虑用交点式。第〔2〕小题关键是求出Q点的坐标，因为它是对称轴与线段AC的交点，所以要先求出直线AC的解析式。

【解答】〔1〕由题意可设：，把点A〔3，6〕坐标代入可得

所以，即

所以

（2）

顶点P的坐标为〔-1，-2〕，对称轴是直线

而直线AC的解析式为

所以对称轴与线段AC的交点Q的坐标为〔-1，2〕

设对称轴与x轴相交于点D，那么可得：DP=DB=DQ=DC=2

所以四边形PBQC的面积为8。

【例3】，≠0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是〔－2，0〕，求原抛物线的解析式。

【分析】①由可知：原抛物线的图像经过点〔1，0〕；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

【解答】可设新抛物线的解析式为，那么原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点〔1，0〕

∴，解得

∴原抛物线的解析式为：

【例4】如图是抛物线型的拱桥，水位在AB位置时，水面宽米，水位上升3米就到达警戒水位线CD，这时水面宽米，假设洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

【分析】此题关键是建立适宜的直角坐标系。

【解答】以AB所在直线为轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系，那么抛物线的顶点M在轴上，且A〔，0〕，B〔，0〕，C〔，3〕，D〔，3〕，设抛物线的解析式为，代入D点得，顶点M〔0，6〕，所以〔小时〕

【例5】已抛物线〔为实数〕。

〔1〕为何值时，抛物线与轴有两个交点？

〔2〕如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

【分析】抛物线与轴有两个交点，那么对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。

【解答】〔1〕由有，解得且

〔2〕由得C〔0，－1〕

又∵

∴

∴或

∴或

课内稳固

1.〔2006临安〕抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是〔

〕

A．〔1，1〕

B．〔-1，1〕

C．〔-1，-1〕

D．〔1，-1〕

2．直线y=x与二次函数y=ax2

－2x－1的图象的一个交点

M的横标为1，那么a的值为〔

〕

A、2

B、1

C、3

D、4

3．二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，那么与分别等于〔

〕

A、6、4

B、－8、14

C、4、6

D、－8、－14

4．〔2006湖州〕二次函数y=x2－bx+1〔－1≤b≤1〕，当b从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。以下关于抛物线的移动方向的描述中，正确的选项是〔

〕

A、先往左上方移动，再往左下方移动;

B、先往左下方移动，再往左上方移动;

C、先往右上方移动，再往右下方移动;

D、先往右下方移动，再往右上方移动

5．〔2006诸暨〕抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一局部如下图，那么该抛

物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是

（）

A．〔，0〕；

B．〔1，0〕；

C．〔2，0〕；

D．〔3，0〕

6．函数的图象如下图，给出以下关于系数a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b

＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为___________。

7．二次函数的图象如下图：

〔1〕这个二次函数的解析式是y=__________．

〔2〕当x=_______时，y=3；

〔3〕根据图象答复：当x______时，y＞0．

8．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象〔局部〕刻画了该公司年初以来累积利润S〔万元〕与销售时间〔月〕之间的关系〔即前个月的利润总和S与之间的关系〕。根据图象提供的信息，解答以下问题：

〔1〕由图象上的三点坐标，求累积利润S〔万元〕与时间〔月〕之间的函数关系式；

〔2〕求截止到几月末公司累积利润可到达30万元；

〔3〕求第8个月公司所获利润是多少万元？

9．四边形DEFH为△ABC的内接矩形，AM为BC边上的高且长为8厘米，BC长为12厘米，DE长为x，矩形的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并判断它是不是关于x的二次函数.课外拓展

A组

1.〔2006舟山〕二次函数y=x2+10x-5的最小值为〔

〕．

A．-35

B．-30

C．-5

D．20

2.〔2006绍兴〕小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=的一局部(如图)，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的距离是（）

A．3.5m

B．4m

C．4.5m

D．4.6m

3.函数y=

x2－4的图象与y

轴的交点坐标是〔

〕

A.〔2，0〕

B.〔－2，0〕

C.〔0，4〕D.〔0，－4〕

4.〔2006苏州〕抛物线y＝2x2+4x+5的对称轴是x=_________

．

5.〔2006浙江〕如图，二次函数的图象开口向上,图像经过点〔-1，2〕和〔1，0〕且与y轴交于负半轴．

〔1〕给出四个结论：①＞0；②＞0；③＞0；

④a+b+c=0　　　　　　　其中正确的结论的序号是

．

〔２〕给出四个结论：①abc＜0；②2a+＞0；③a+c=1；

④a＞1．其中正确的结论的序号是。

6.二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式：_______________.7.假设抛物线的最低点在轴上，那么的值为。

8.抛物线过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l〕．

〔1〕求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；

〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；

〔3〕这个函数有最大值还是最小值？

这个值是多少？

9．(2006盐城)：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P．

(1)求A、B、P三点坐标；

(2)

在如图的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；

(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.10.〔2005枣庄〕抛物线的图象的一局部如下图，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A(0，-7)和点B.(1)求a的取值范围；

(2)假设OA=2OB，求抛物线的解析式．

B组

11．〔2005常州〕抛物线的局部图象如图,那么抛物线的对称轴为直线x=,满足y＜0时的x的取值范围是,将抛物线

向

平移

个单位,那么得到抛物线.12．〔2006大连〕如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围______________。

13．阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．

例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为〔m，2m－1〕，即当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得y=2x—1⑤．可见，不管m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x－1。答复以下问题：〔1〕在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；〔2〕根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标与横坐标x之间的关系式_________.14．〔2006台州〕如图，抛物线y=ax2+4ax+t〔a＞0〕交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点B的坐标为〔－1，0〕.〔1〕求此抛物线的对称轴及点A的坐标；

〔2〕过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？请证明你的结论；

x

y

〔3〕连结AC，BP，假设AC⊥BP，试求此抛物线的解析式.15．〔2006大连〕如图，抛物线E：y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点。

〔1〕求F的解析式；

〔2〕在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形。假设存在，求点N的坐标；假设不存在，请说明理由；

〔3〕假设将抛物线E的解析式改为y＝ax2＋bx＋c，试探索问题〔2〕。

16．〔2006嘉兴〕某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚〔点C〕的水平线为x轴、过山顶〔点A〕的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图〔单位：百米〕．AB所在抛物线的解析式为y＝－x2＋8，BC所在抛物线的解析式为y＝(x－8)2，且B〔m，4〕．

〔1〕设P〔x，y〕是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；

〔2〕从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上〔见图〕．

①分别求出前三级台阶的长度〔精确到厘米〕；

②这种台阶不能一起铺到山脚，为什么？

〔3〕在山坡上的700米高度〔点D〕处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道站的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE＝1600〔米〕．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y＝(x－16)2．试求索道的最大悬空高度．

反思纠错

1．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙〔墙的最大可利用长度a为10米〕围成中间隔一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为米，面积为平方米。

（1）

求与的函数关系式；

（2）

如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？

（3）

能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。

解：〔1〕花圃宽米，长为米，那么它的面积与的函数关系式为。

〔2〕

当时，所以，当AB长为3米或5米时花圃的面积为45平方米。

〔3〕

所以，能围成面积比45平方米更大的花圃，它的最大面积为48平方米。

篇6：函数基本性质典型习题课教案

教学目标：

1、掌握函数的基本性质；

2、能灵活运用函数单调性、奇偶性解部分中等难度题目 教学重点：能用函数单调性、奇偶性解部分中等难度题目 教学难点：灵活运用函数的单调性、奇偶性 教学方法：讲练结合 教学过程：

一、复习

1、增函数、减函数的定义，如何判断一个函数的单调性？步骤是什么？

2、如何求一个函数的最值？

3、奇函数、偶函数的定义，如何判断一个函数的奇偶性？步骤是什么？

4、奇函数、偶函数的性质分别是什么？

二、典例析评

例

1、设函数f(x)是R上的偶函数，在区间(-,0)上递增，且有f(8)-f(3a2-2a)0求a的取值范围。

解：f(8)-f(3a2-2a)0

f(8)f(3a2-2a)

又函数f(x)在R上的偶函数，在区间(-,0)上递增

2-83a-2a8

得a-或a2

43评：根据题意和偶函数的定义大致画出函数f(x)的图像，然后再解不等式

例

2、证明函数f(x)xax(a0)在（0，a）上是减函数，在（a，）上是增函数.证明：任取x1,x2(0,a),令x1x2，则

f(x1)-f(x2)(x1aaaa)-(x2)(x1-x2)(-)x1x2x1x2a)x1x2a0 x1x

2=(x1-x2)(1-

0x1x2a

x1-x201-

(x1-x2)(1-a)>0

即f(x1)f(x2)x1x2ax

故函数f(x)x

(a0)在（0，a）上是减函数 同理：函数f(x)在(a,)上是增函数

例

3、已知函数f(x),g(x)在R上是减函数，求证函数 f（g(x))在R上也是增函数。

证明：任取x1,x2R,令x1x2

g(x)在R上是减函数

g(x1)g(x2)

又f(x)在R上是减函数

f(g(x1))f(g(x2))

函数f（g(x))在R上也是增函数

评：定义法是证明函数单调性的常用方法，对于复合函数求单调性就有“同增异减” 变式：

1、已知函数f(x),g(x)在R上都是增函数，求证函数f(g(x))在R上也是增函数。

2、已知函数f(x)在R上是减函数,g(x)在R上都是增函数，求证函数f(g(x))在R上是减函数。

3、已知函数f(x)在R上是增函数,g(x)在R上都是减函数，求证函数f(g(x))在R上是减函数。

例

4、已知函数f(x),g(x)都是奇函数，则f(x)g(x)是什么函数？

解：f(x)是奇函数

f(-x)-f(x)

同理：g(-x)-g(x)

f(-x)g(-x)f(x)g(x)故f(x)g(x)是偶函数

例

5、已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)g(x)是什么函数？ 解：略

例

6、已知函数f(x),g(x)都是偶函数，则f(x)g(x)是什么函数？ 解：略

三、课堂练习

1、已知f(x)ax2bx3ab是R上的偶函数，且定义域为[a-1,2a]，则ab

<1>

32、判断下列函数的奇偶性

1-x2(1)f(x)

(2)f(x)1-x2x2-1

2-x2

(3)f(x)x1x-

1(4)f(x)xx[-1, 4]

参考答案：(1)奇函数；(2)既是奇函数又是偶函数

(3)偶函数(4)非奇非偶函数 评：判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点成中心对称，然后判断f(-x)是否与-f(x)相等或是否互为相反数。

四、课堂小结

本节课复习了函数的基本性质的概念 ②用定义法证明或判断函数的单调性或奇偶性以及解题步骤

篇7：二次函数复习教案

一、备考策略：

通过研究分析近5年德州中考试题，二次函数中考命题主要有以下特点（1）二次函数的图象和性质，以选择题和填空题为主。

（2）直接考察二次函数表达式的确定的题目不是很多，大多与其他知识点相融合，以解答题居多。

（3）二次函数与方程结合考察以解答题居多，与不等式结合以选择题为主。（4）二次函数图象的平移考察以选择题和填空题为主。（5）二次函数的实际应用，以解答题为主。

二、.命题热点：

（1）二次函数的图象和性质。（2）二次函数表达式的确定。

（3）二次函数与方程和不等式的关系。

（4）抛物线型实际问题在二次函数中的应用。（5）应用二次函数的性质解决最优化问题。

三、教学目标：

1、掌握二次函数的定义、图象及性质。

2、会用待定系数法求二次函数解析式。

3、能运用二次函数解决实际问题。教学重点：

二次函数图象及其性质，并利用二次函数解决实际问题。教学难点：

二次函数性质的灵活运用，能把实际问题转化为二次函数的数学模型。

四、教学过程：

（一）基础知识之自我建构

（二）考点梳理过关

考点一、二次函数的定义 1.什么是二次函数？

2.二次函数的三种基本形式

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；

(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．

达标练习1.(2017·百色中考)经过A(4,0),B(-2,0), C(0,3)三点的抛物线解析式是__________.考点二、二次函数的图象和性质

达标练习

2、(2017·衡阳中考)已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是：y1________y2(填“<”“>”或“=”).考点三、二次函数的图象与系数a,b,c的关系

达标练习

3、(2017·烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论: ①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.其中正确的是（）A.①④

B.②④

C.①②③

D.①②③④ 考点四

二次函数图象的平移

达标练习

4、(2017·常德中考)将抛物线y=2x2向右平移3个单位,再向下平移5个单位,得到的抛物线的表达式为（）

A.y=2(x-3)2-5 B.y=2(x+3)2+5 C.y=2(x-3)2+5 D.y=2(x+3)2-5 考点五

二次函数与方程和不等式

达标练习5、1.(2017·徐州中考)若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是（）

A.b<1且b≠0

B.b>1

C.0

D.b<1 【答题关键指导】

二次函数与一元二次方程的关系

(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,则两个交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解.(2)二次函数的图象与x轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判别式的符号确定.2、(2017·咸宁中考)如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是____________.考点六

二次函数的实际应用 列二次函数解应用题的两种类型 1.未告知是二次函数

（如求最大利润,最大面积等最优化问题）2.已告知二次函数图象

(如涵洞、桥梁、投篮等抛物型问题)

五、堂清检测

4、六、作业

必做题：

篇8：二次函数典型习题复习

本案例源于浙教版九 (上) 《二次函数图象 (3) 》。本节课的目标是:会根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标;能用配方法将一般形式y=ax2+bx+c化成顶点式;会用顶点式求二次函数的解析式。

学生根据预习提纲课前完成预习。课堂上, 在完成学生预习问题交流并进行一定量的变式练习后, 我们重点交流了预习提纲中的如下问题 (课本“课内练习”3改编) :

你能求如图所示的二次函数图象吗? (如果可以, 请尝试用不同方法)

[教学片段]

问题一展出, 学生纷纷举手。

我请一位成绩偏下的小A同学回答:

“老师, 我觉得这个二次函数可设成y=a (x-2) 2+4, 再把 (0, 1) 代进去, 就可以求出a的值。”

“你是怎么想到设成y=a (x-2) 2+4的呢?”我紧跟着问。

“从图形中, 我注意到 (2, 4) 是抛物线的顶点坐标, 知道了顶点坐标就可以写出二次函数的解析式。”

“非常好, 你能把你的解题过程给大家展示一下吗?”

“好。”小A同学在实物投影上展示了他非常清晰的解题过程。

“肯定没错, 我旁边几个同学答案跟我一样的。”临下讲台之前, 小A自信地说。

“老师, 我觉得还可以设成y=ax2+bx+c。”小B同学马上抢着站起来说。

“我觉得图形中虽然没有三个点, 但y=ax2+bx+c的顶点坐标是再把 (0, 1) 代入, 就得到三个方程, 可求出a, b, c的值。”

很多同学频频点头表示赞同。少部分只想到一种解法的组的同学在专注地整理自己的思路, 教室里很安静。大部分同学在准备进入下一个练习的交流。

“老师, 我还有不同的解法。”突然小C的声音打破了沉静。

“还有?好, 请讲。”我有些意外, 但更多的是惊喜。全班同学不由自主地将目光齐刷刷盯向了小C。

“我们还是设成y=ax2+bx+c, 我是这样想的:顶点坐标是 (2, 4) , 对称轴就是直线x=2, 在图象中可以写出点 (0, 1) 关于对称轴的对称点是 (4, 2) , 把这三个点分别代入y=ax2+bx+c, 就可以求出a, b, c。”

“是的, 我怎么就没想到。”教室里不由得掌声响起。这确实是一种非常有价值的发现, 对后续的学习意义非同一般。何况, 我一直认为学生不会有第三种解法了。

“简直太了不起了。你刚才用了‘我们’, 看来是小组讨论完成的。你能给大家讲讲你们是怎么想到的吗?”

小C很干脆地说:“好的。我们想把函数设成y=ax2+bx+c, 但题目中只有两个点, 肯定不够, 于是我们试着找第三个点, 刚开始也不知道找什么点, 后来小D提到了图形中的对称轴, 小E马上想起抛物线上的点关于对称轴对称, 于是我们就找到了 (4, 2) 这个点。”

“我们再次把掌声送给这组了不起的同学。”教室里的掌声更响了。

……

[教学反思]

1. 创造性地使用教材, 引领学生多角度思考

创造性地开发和利用教材资源是新教育理念和新课程目标的体现。教科书作为重要的课程资源, 在备课过程中, 教师要充分挖掘教材的内在教育因素, 结合学生实际, 精心设计, 组织引导学生富有个性地开展学习, 充分调动学生的学习兴趣。更可通过适当的变式而把问题的解决延伸到课堂以外, 拓展学生探究的空间, 引领学生触类旁通、举一反三, 培养学生的发散性思维。

2. 恰当的课前预习, 提供学生充足的思考时间

现在的教学采用多媒体教学, 课堂的知识密度比较大, 节奏快, 而且数学的逻辑性强, 再加上九年级时间紧任务重, 若一个环节出了问题, 将直接会导致整节课都无法理解, 甚至会影响到下一节的学习, 从而严重伤害学生学习数学的积极性。“凡事预则立, 不预则废”, 恰当的课前预习是非常必要的。

在具体的预习过程中, 教师应淡化学生的最终学习结果, 要重点关注学生学习的过程。因此, 教师可根据教材和学生实际, 预测学生可能存在的预习障碍, 设置一定量的预习问题, 引导学生通过阅读、独立思考、查资料、询问探讨等方式, 在有较充足时间保证的前提下, 先进行一系列的热身, 还有不能解决的或不够完善的问题留到课堂上集体讨论解决。这样, 不仅使学生的思维能力得到锻炼, 同时还把课本知识当工具去启迪学生的心智和“发现”的能力, 对培养学生创新精神、创造能力尤为重要。这是授人以渔, 将使学生终身受益。

3. 良好的课外合作学习, 能让学生碰撞出独特的思维火花

我们平时讲的合作学习, 一般都是在课内开展的, 但很多时候因局限于课堂的时间、任务, 往往草草了事, 不能深入地开展, 甚至有些时候纯粹是一种作秀, 起不到应有的作用。其实, 学习小组的课外作用更应引起教师的高度关注, 课外的合作学习较课堂环境更为宽松的, 时间相对更充足, 更适合同伴之间的深入交流探讨, 更易碰撞出思维的火花。