Matlab与Lingo软件在数模竞赛最值问题解法中的应用案例

2022-09-12

一、问题的重述

某油田计划在铁路一侧建造两家炼油厂, 同时在铁路线上增建一个车站, 用来运送成品油。希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。

(1) 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形, 提出你的设方案。

(2) 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示, 其中A厂位于郊区 (图中的I区域) , B厂位于城区 (图中的II区域) , 两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离 (单位:千米) 分别为a=5, b=8, c=15, l=20。

(3) 为进一步节省费用, 可以根据炼油厂的生产能力, 选用相适应的油管。这时的管道铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元, 输送B厂成品油的每千米6.0万元, 共用管线费用为每千米7.2万元。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 (注:以上为竞赛原题, 在此复制表述)

二、解题思路与计算结果简述

问题1中, 我们假设其中一厂家为A, 与车站垂直距离为a, 另一厂家为B与车站垂直距离为b, 两厂家之间的距离为c, 利用a、b、c三者大小关系以及单线输油管和共线输油管的价格是否相同, 这样一共获得十八种情况, 随后每种情况带入一组符合自身情况的具体数值, 导入MATLAB软件中, 通过数据反馈得到A输油管与B输油管的交汇点 (解此题目的关键) 以及相应情况下的最小铺设费用。所以建立此模型后无论A、B厂家处于什么位置, 都可以从模型中找到符合自己的方案, 使得铺设费用达到最小。

问题1与问题2最大的不同在于后者铺设管道牵涉到拆迁费和工程补偿费, 使得问题一中的模型不适用, 此时必须考虑附加费的问题, 使得附加费最小, 也就是在城区尽量缩短铺设输油管的路程 (对于三家拆迁公司的评估, 我们可以跟据其信誉度, 设一个权数, 求其期望值作为正确的拆迁费) , 解此题的关键在于出城区位置那个点 (设为C) 的确定, 因为C点的位置决定两输油管交点的位置, 所以必需先假设出C点的位置, 然后设出两输油管交点的位置, 此时单线共线输油管的价格相同, 不予考虑, 然后我们可根据交点到车站, 以及两厂所需的铺设费最小, 列出一个高阶方程, 导入LINGO软件中得出C点的位置以及两输油管交点的位置和车站的位置, 此时铺设所需的最小费用约为282.7万元。

问题3是将问题2更进一步变化而得, 由于厂家铺设输油管的成本不同, 必须对铺设线路进行改变, 使铺设费用高的缩短铺设距离, 而费用低的加长铺设距离。同样作为最值问题, 解此题的关键同样是在于两输油管交点位置的确定, 以及出城区的位置, 与问题2一样可以设出两输油管交点处的位置, 以及出城区的位置, 通过交点到厂家与车站的距离产生的铺设费用最短这一主要条件, 代入数值, 应用LINGO软件求出交点的位置, 以及相应的最短费用约为292.4万元。

三、对问题1的分析与解答

(一) 基本假设

本题中两厂家位置不固定, 且铺设费用未知, 应假设出两厂家的位置以及铺设基本费用, 根据最小值的思想建立函数模型寻找自变量关系求解。

(二) 定义符号说明

F表示铺设管道最低的造价;M表示两条输油管在的交汇点;N表示车站的位置;W表示公共线管的价格;S表示单线输油管的价格;a表示A到铁路线的垂直距离;b表示B到铁路线的垂直距离;c表示A、B之间的距离。

(三) 模型建立

根据题意建立一个模型, 即求A、B两厂到车站E的建设费用最省, 则就是求A、B两厂到车站E的总距离为最短, 即此为数学模型的最值问题。设A到铁路线的距离为a, B到铁路线的距离为b, A、B间的距离为c, A、B输油管道在M处开始共用管道, 即可知车站N在M正下方时输油管线路最短, 由此可知M点位置的选取是铺设输油管长短的关键。公用和非公用管道费用相同情况下, 实质就是使公用管道和非公用管道相交点M, 车站N, 油厂A, 油厂B, 四点距离最短问题。把各点位置坐标化, 以A厂到铁路的垂距线为Y轴, 铁路为X轴。

(四) 模型求解

设铺设非共用输油管道费用每千米S万元, 铺设共用输油管道费用每千米W万元, 即最省路线总铺设费用为F万元。

即可得函数F=|MA|S+|MB|S+|MN|W

在此我们将A, B位置情况分为几种, 并且在每一种情况中都抽出一组符合情况具体数字导入matlab软件中, 并以此反馈出在这类数值情况下的最低造价, 以及O点的位置, 车站E的位置, 从而获得数学模型。具体如下:

假设情况一:油厂A到铁路的距离比油厂B到铁路的距离小, 两厂的距离l小于两者, a=5;b=8;c=4。

假设情况二:油厂A到铁路的距离比油厂B到铁路的距离小, 两厂的距离l大于两者, a=5;b=8;c=9。

假设情况三:油厂A到铁路的距离比油厂B到铁路的距离小, 两厂的距离l介于两者之间, a=5;b=8;c=6。

假设情况四:油厂A到铁路的距离比油厂B到铁路的距离大, 两厂的距离l小于两者, a=8;b=5;c=4。

假设情况五:油厂A到铁路的距离比油厂B到铁路的距离大, 两厂的距离l大于两者, a=8;b=5;c=9。

假设情况六:油厂A到铁路的距离比油厂B到铁路的距离大, 两厂的距离l介于两者之间, a=8;b=5;c=6

假设情况七:油厂A到铁路的距离比油厂B到铁路的距离相等, 两厂的距离l小于两者, a=6;b=6;c=4。

假设情况八:油厂A到铁路的距离比油厂B到铁路的距离相等, 两厂的距离l大于两者, a=6;b=6;c=9。

假设情况九:油厂A到铁路的距离比油厂B到铁路的距离相等, 两厂的距离l等于两者, a=6;b=6;c=6。

将以上数据导入MATLAB软件中, 得到数据如下:

求解结果见表1。

费用不同的情况下:假设非公用费用为7.2万元;公用费用 (7.2*1.5) 10.8万元, 仍然分为上述九种情况;模型以费用最小为目标:

求解结果见表2。

则由matlab计算出的以上数据可以看出不论A、B的相对位置如何, 都属于上述数据情况中其中的一种, 所以始终存在一点O, 作为A、B铺设输油管道的交汇点。从而使得从O到A, B以及车站的距离最短。使得成本最低。当A、B处于不同情况时, 对应不同的点, 只需带入上述模型中符合情况的数据即可获得交汇点O的数据, 以及所需花费的最低成本, 和建造车站的位置。

四、对问题2的分析与解答

(一) 基本假设

为使输油管道铺设成本降至最低, 我们应尽量减小额外的拆迁费, 即尽量缩短输油管道在城区铺设的长度, 我们假设从B处出的输油管在C处出城区, 若C在A的下方会使得拆迁费用过高, 不符合我们降低成本的目的, 所以此情况可以排除在外, 即:C必定会在A的上方。

(二) 定义符号说明

F表示铺设管道最低的造价;C表示从B厂铺设的输油管路线与城郊区界限的交点;M表示两条输油管在郊区的交汇点;N表示车站的位置;X表示M的横坐标;Y1表示C的纵坐标;Y2表示M的纵坐标。

(三) 模型建立

由问题1中的我们对各种模型的分析可知, 为了使费用最低, C处开始铺设的输油管会与A处铺设的输油管在AC下方某一点处交汇, 我们设此点为M。有题1中我们对模型的分析可知M点的位置是由C点决定的, 那么我们可以根据假定M点的坐标来确定C。

(四) 模型的求解

对于拆迁所产生的额外费用, 我们通过题中三家公司的资料可以看出, 公司一为甲级资质公司, 根据权数, 我们设其信誉度为0.5, 公司二, 公司三乙级资质的公司, 我们设的信誉度0.25, 则拆迁费的综合为f=21*0.5+24*0.25+20*0.25=21.5万元。

由以上得出的数据可知A输油管与B输油管的交点M (7.5, 5.8) , 火车站N (7.5, 0) 最低成本为282.69万元。

五、对问题3的分析解答

(一) 基本假设与定义符号说明

F表示铺设管道最低的造价;C表示从B厂铺设的输油管路线与城郊区界限的交点;M表示两条输油管在郊区的交汇点;N表示在铁路线上增建车站;X表示M的横坐标;Y1表示C的纵坐标;Y2表示M的纵坐标。

(二) 模型建立

以A厂在铁路线上的投影为原点O, 原点O与A厂的连线为y轴, 铁路线为x轴, 建立直角坐标系, 即可得坐标分别为A (0, 5) 、B (20, 8) 、C (15, y1) 、M (x, y2) 、N (x, 0) , 则如图所示。

(三) 模型求解

由题意可知, 根据引入权数的计算, 附加费同题二。f=21.5 model:

由LINGO反馈出的数据可以得出当两输油管在M (6.7, 7.3) 处交汇时, 所需的铺设费用最低, 此时的铺设费用为249.4万元。

六、模型的评价与改进

此模型可概括为三个优点:第一, 分析问题思路清晰、对于问题一中不同情形都进行了讨论;第二, 该模型求出的是建造路线最短, 铺设费用最省的最佳方案;第三, 应用了Matlab和Lingo, 对于解决非线性规划和最值问题起到了至关重要的作用。缺点是此模型主要是对于给定的问题与限制条件解答, 具有独立性, 同时具有局限性。

摘要：本文对数模竞赛中两家炼油厂要铺设一段输油管通往车站的布置问题进行了详细分析和解答, 为了降低修建成本, 在原材料价格一定的情况下, 通过缩短铺设的路线来使开支达到最小。解决问题1时使用了Matlab, 在对问题2和问题3求解非线性规划最值问题时使用了Lingo, 问题3给出的答案更加精准, 铺设费用最低为249.4万元。

关键词：数模赛题,输油管铺设,MATLAB,LINGO