变量与函数教学反思

2024-04-10

变量与函数教学反思（通用11篇）

篇1：变量与函数教学反思

变量与函数的意义是学生难以理解的概念，本课的学习必须用足力气，怎样引起学生的重视，除了学前动员，还有就是利用课本的编排特征加以说明，一般数学新知识的引进有一两个引例就可以了，本课为了引进新知识，课本上安排了五个引例!

在课堂学习时，五个还是要一个一个地研究过去，紧紧围绕着函数的定义解读，初步领会引例的意图，还要舍得用很到的篇幅举出一些变化的实例，指出其中的常量和变量，开始学生举出了几个例子，再由学习小组讨论交流，每个小组都收集五个以上的实例。安排这个活动的意图是让学生感知现实生活中有很多变化着的量，并且两个变化着的量都有各自的数量关系、我们要善于发现这些数量关系，用数学的眼光观察现实世界。再结合课本上的五个引例和学生举出的实例分析解剖，得到函数的概念(一般地，在某个变化的过程中，有两个变量x与y，对于其中一个变量x的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与其对应，那么x叫做自变量，y叫做x的函数)。对照定义再回到五个引例及学生举出的实例，体会函数的意义。

函数定义的关键词是：“两个变量”、“唯一确定”、“与其对应”;函数的要点是：

1有两个变量，

2一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化，

3一个变量的值确定另一个变量总有唯一确定的值与其对应;

函数的实质是：两个变量之间的对应关系;学习函数的意义是：用运动变化的观念观察事物。与学习进行仔细的研究，有助于函数意义的理解，但是，不可能在一课的学时内真正理解函数的意义，继续布置作业：每个同学列举出几个反映函数关系的实例，培育学生用函数的观念看待现实世界，最后，我还说明了，函数的学习，是我们数学认识的第二个飞跃，代数式的学习，是数学认识的第一次飞跃：由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义的数，函数的学习，是由静止的不变的数到运动变化的数。

作了上面的学习过程，使我们这一课更加厚重。

篇2：变量与函数教学反思

函数定义的关键词是：“两个变量”、“唯一确定”、“与其对应”;函数的要点是：1 有两个变量，2 一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化，3 一个变量的值确定另一个变量总有唯一确定的值与其对应;函数的实质是：两个变量之间的对应关系;学习函数的意义是：用运动变化的观念观察事物。与学习进行仔细的研究，有助于函数意义的理解，但是，不可能在一课的学时内真正理解函数的意义，继续布置作业：每个同学列举出几个反映函数关系的实例，培育学生用函数的观念看待现实世界，最后，我还说明了，函数的学习，是我们数学认识的第二个飞跃，代数式的学习，是数学认识的第一次飞跃：由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义的数，函数的学习，是由静止的不变的数到运动变化的数。

在函数概念的教学中，应突出“变化”的思想和“对应”的思想。从概念的起源来看，函数是随着数学研究事物的运动、变化而出现的，他刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存的关系，这种关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系。因此，变化是函数概念产生的源头，是制约概念学习的关节点，同时也是概念教学的一个重要突破口。教师可以通过大量的典型实例，让学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题的量与量之间的变化关系，把静止的表达式看动态的变化过程，让他们从原来的常量、代数式、方程式和算式的静态的关系中，逐步过渡到变量、函数这些表示量与量之间的动态的关系上，使学生的认识实现

为了快速明了的引出课题，课前让学生收集一些变化的实例，从学生的生活入手，开门见山，来指明本节课的学习内容。本课的引例较为丰富，但有些内容学生解决较为困难，于是我采取了三种不同的提问方式：1.教师问，学生答;2.学生自主回答;3.学生合作交流回答。为了较好的突出重点突破难点，在处理教学活动过程中，让学生思考每个变化活动中反映的是哪个量随哪个量的变化而变化，并提出一个量确定时另一个量是否唯一确定的问题，在得出变量和常量概念的同时渗透函数的概念.为了更好的让学生理解变量和常量的意义，由“问题中分别涉及哪些量?哪些量是变化的，哪些量是始终不变的?”一系列问题，在借助生活实例回答的过程中，归纳总结出变量与常量的概念，并能指出具体问题中的变量与常量。函数的概念是把学生由常量数学的学习引入变量数学的学习的过程，学生初步接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义，我设置了以下二个问题：1.在前面研究的每个问题中，都出现了几个变量?它们之间是相互影响，相互制约的。2.在二个变量中，一个量在变化的过程中每取一个值，另一个量有多少个值与它对应?来理解具体实例中二个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念。为了进一步让学生理解“唯一对应”关系，借助函数图像，使学生直观的感受二个变量之间特殊对应关系-----唯一对应。通过这种从实际问题出发的探究方式，使学生体验从具体到抽象的认识过程，及时给出函数的定义。再从抽象转化到实际应用中去，加深学生对函数概念的理解。为了加强学生辨析函数的能力，我准备了一道思考题，Y2=X中对于X的每一个值Y都有唯一的值与之对应吗?Y是X的函数吗?为什么?帮助学生把握概念的本质特征，注重学生的过程经历和体验。变量与函数的概念是学生数学认识上的一次飞越，所以我根据学生的认知基础，创设一定条件下的现实情景，使学生从中感受到变量与函数的存在和意义，体会变量与函数之间的相互依存关系和变化规律，遵循从具体到抽象、感性到理性的认知规律，以教师为主导，学生为主体的教学原则，引导学生探究新知。让学生领悟到现实生活中存在的多姿多彩的数学问题，并能从中提出问题，分析问题和解决问题，并培养学生合作意识，探究和应用的能力，使学生真正成为数学学习的主人。

篇3：变量与函数教学反思

关键词：教学,设计,实施,改进

2013 年5 月, 笔者有幸被人教社邀请参与教师教学用书示范课的录制, 课题是变量与函数 (第2 课时) ———函数的概念 (人教版八年级下册) 。通过设计、实施、反思、改进的几次反复循环, 在人教社专家的指导下, 不断优化教学设计。这一过程虽然过去两年, 仍历历在目, 感悟良多, 受益匪浅。

一、初步设计, 教学尝试

(一) 创设情境, 提出问题

引言:万物皆变, 但变化往往是有规律的, 在事物的运动变化过程中, 往往蕴含着量的变化。利用变量描述变化规律, 研究变量之间的关系, 是把握规律的需要。那么实际问题中, 一个变量数值的变化, 是怎样影响另一个变量变化的呢?这就是本课学习的主要内容。

【设计意图】通过引言教学提出本课需要研究的问题, 激发学习兴趣, 引起合理的选择性注意, 起先行组织者作用。

(二) 合作探究, 形成概念

1. 分析变化, 初步概括

问题1:下列问题中, 其中一个变量的变化怎样影响另一个变量的变化?

(1) 汽车以60 千米/ 时的速度匀速行驶, 行驶的时间为t小时, 行驶的里程为s千米。

(2) 每张电影票的售价为10 元, 设某场电影售出x张票, 票房收入为y元。

(3) 圆形水波慢慢地扩大, 在这一过程中, 圆的半径为r, 面积为S。

(4) 用10 m长的绳子围一个矩形, 当矩形的一边长为x, 它的邻边长为y。

追问1:先来分析问题1 中的 (1) 问, 当汽车行驶时间t分别取1, 2, 3, 4, 5 时, 行驶里程s的数值分别是多少?

师生活动1:教师引导学生列表计算。

追问2:能说说变化过程中时间t的变化怎样影响路程s吗?能列式表示这种关系吗?

师生活动2:共同分析, 有两个变量s, t;当t的数值取定后, s的值有且只有一个;s与t之间的关系可表示为s = 60t。

追问3:对于问题1 中的 (2) (3) (4) 问中的两个变量关系, 能进行类似的分析吗?

师生活动3:分小组活动, 每组针对一个问题进行讨论。让学生参照问题 (1) 的方法分析问题 (2) (3) (4) 中的变量关系和变化规律, 教师深入小组进行指导, 然后各小组汇报讨论结果。问题1 中的 (2) (3) (4) 问中的变量关系如下:

【设计意图】通过师生共同讨论, 分析问题1 中的 (1) 问中一个变量的变化对另一个变量变化的影响, 在此基础上, 学生独立进行问题1 问中的 (2) (3) (4) 问中变量之间对应关系的分析, 为发现这些对应关系的共同特征, 实现函数概念的第一次概括提供归纳的样例。

2. 归纳共性, 详细概括

问题2:能用自己的语言说说这些问题中变量之间关系的共同特点吗?试一试!

师生活动: 教师引导学生归纳, 有两个变量, 当一个变量的取定一个值时, 另一个变量有唯一确定的值与之对应。比如由s = 60t, 当t = 1, 2, 3 时能分别求出s的值。

【设计意图】对能用解析式表示的变量之间的对应关系的共同特征进行初步概括。

3. 观察思考, 再次概括

问题3:下面是我国大陆地区人口若干年份的人口统计表, 年份和人口数可以分别记作两个变量x和y, 对于表中的每一个确定的年份x, 都对应着一个确定的人口数y吗?

师生活动:教师引导学生写出年份与人口数的对应关系, 体会用表格也可以由一个变量的值确定出另一个相关变量的值。

【设计意图】让学生感受到由一个变量的值确定出另一个变量的唯一值不一定要通过公式来计算, 可以查表确定, 突出函数的本质属性, 剥离无关属性。

问题4:图4 是北京某天的气温变化图, 你能分别说出9:00, 10:00, 13:00 的气温吗?

师生活动:教师在网上打开天气预报页面, 引导学生阅读气温变化图, 体会根据时温图可以根据时间确定气温数值, 这也是变量之间的单值对应关系。

追问:一天中, 当时间确定时, 气温的数值是否也是唯一确定的?这个问题中, 能用公式求出某时刻的气温吗?

【设计意图】让学生体会图象也可以反映变量之间的单值对应关系, 由一个变量的值确定另一个变量的值, 不一定要通过公式计算。

问题5:在实际问题中的两个变量之间关系, 当一个变量取定一个值时, 既有通过公式确定另一个变量的唯一的值, 又有通过对应表格确定另一变量唯一的值, 还可以通过图象确定另一个变量的唯一的值。综合这些现象, 你能归纳出上面所有实例中的变量之间关系的共同特点吗?请大家讨论。

师生活动:学生分组讨论, 归纳出如下结论:有两个变量, 当一个变量取定一个值时, 另一个变量有唯一确定的值与之对应。

教师与学生一起概括出函数概念:一般地, 在一个变化过程中, 如果有两个变量x和y, 并且对于x的每一个确定的值, y都有唯一确定的值与其对应, 那么我们就说x是自变量, y是x的函数。

追问:请结合问题1 中的 (2) 问说说函数定义中“变化”“对应”“唯一确定”的含义。

师生活动:学生交流, 教师引导学生进行点评, 并顺势带出“函数值”的概念, 即如果当x = a时, 对应的y = b, 那么b叫作当自变量的值为a时的函数值。

【设计意图】在前面分步概括的基础上, 概括出三类不同表现形式的变量对应关系的共同特征, 形成函数概念。

(三) 初步辨析, 了解概念

下列问题中哪些是自变量?哪些是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子。

(1) 每分钟向一水池注水0.1 m3, 注水量y (m3) 随注水时间x (分) 的变化而变化。

(2) 改变正方形的边长x, 正方形的面积S随之变化。

(3) 某汽车加满油后在高速公路上行驶, 耗油量为每0.07L/km, 汽车行驶的公里数为x km, 油箱中剩下的汽油量为y L。

【设计意图】形成函数概念后, 及时进行概念辨析。

(四) 综合应用, 深化理解

图5 是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图, 请问: (1) 蚂蚁离地的高度h是离起点的水平距离的函数吗?为什么?

(2) 请举出一个函数的实例。

师生活动:学生独立完成, 教师个别指导, 并引导学生进行自我评价和相互评价。

【设计意图】巩固函数的概念。

(五) 回顾总结, 反思提升

通过本课学习, 你对函数有什么认识?

(1) 请举例说明什么是函数。

(2) 请结合实例说说你对函数定义中“当变量x每一个确定的值, y都有唯一确定的值与之对应”的认识。

【设计意图】问题 (1) 引导学生回顾函数概念, 问题 (2) 引导学生再次理解函数概念中的单值对应关系及确定对应关系方法 (式子、表格、图象) 。

二、实践反思, 改进设计

通过试教, 发现一些教学片断中存在问题, 并在课后进行设计改进, 再进行改进后的设计的教学方案的实施, 直到满意为止。

教学片断1

按原先引入, 与上一节引入有点重复, 显得拖沓冗长, 冲淡本节的研究主题, 学生缺乏兴趣, 不能较好达到事先的设计意图。

改为:通过上一节的学习, 我们体会到万物皆变, 在运动变化过程中往往蕴含着量的变化, 研究变量之间的关系, 是把握变化规律的关键。

如此改变, 简洁明了, 学生很快进入本节主题。

教学片断2

教师提出追问1 时, 学生缺乏计算表格中数值的目的性, 是教师让计算而计算, 没有传达为什么要去计算, 因此学生就不够主动, 又觉得太过简单, 教学意图不够明确。

改为:教师与学生一起分析变化过程 (1) 中变量之间的关系。在变化过程 (1) 的分析中, 首先引导学生得出, 有两个变量t, s并且s随着t的变化而变化。

师:s与t存在怎样的关系?

生1:s=60t。

生2:s随着t的变化而变化。

师追问:s是怎样随着t的具体变化而变化呢?

学生深思无语……

师:具体的变化而变化, 不妨计算具体的数值而进行观察思考。

学生点头表示赞同。

师生活动1:教师引导学生列表计算。

师生活动2:共同分析, 有两个变量s, t;当t的数值取定后, s的值有一个且只有一个。

师生活动3:引导学生对变化过程 (2) (3) (4) 进行类似于变化过程 (1) 的变量关系分析, 并得到如下结论。

以上改变, 学生自然而然进行本节重点内容的研究, 教学显得流畅, 学生投入程度高, 能初步体会函数的“对应”关系。

教学片断3

问题3 的给出, 学生参与度较低, 难以引起对材料的兴趣与共鸣。

改为:下面是我国体育代表团在第23 ~ 30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表。把届数和金牌数分别记作两个变量x和y, 对于表中的每一个确定的届数, 都对应着一个确定的金牌数y吗?

引导学生说出届数与金牌数的对应关系, 体会用表格也可以由一个变量的值确定出另一个相关变量的值。

追问:根据表格可以由一个变量的值确定出另一个相关变量的唯一的值, 这里有没有确定另一相关变量值的计算公式?

把原问题3 的材料改为概念辨析练习题。这样的改变, 学生对材料有熟悉感和亲切感, 学生参与度较高, 能保持较高的学习热情进行相关内容的学习与研究, 同时丰富辨析的形式, 可谓一举两得。

教学片断4

综合应用, 深化理解的练习1, 增加追问:反过来, t是h的函数吗?为什么?

为此学生展开争论分析, 通过正反两方面的例子进一步进行函数概念辨析, 深化对函数概念的理解。

针对上述教学尝试中出现的问题, 进行有针对性的改进后, 基本形成了贯穿函数概念的背景、概念概括、概念形成、概念辨析与应用等核心认知过程的自然合理的思考线索:提出问题—样例研究—初步概括—样例泛化—再次概括, 形成概念—概念辨别和应用。

三、体会和思考

(一) 利用适当的情境和问题促进学生对数学本质的理解

数学是抽象的, 创设适当的情境可以帮助学生用已有的知识经验理解抽象的数学, 激发学习兴趣。但是, 情境是为学习服务的, 要用情境提出问题, 引导学生深入思考数学本质问题, 这更重要。在函数概念引入上, 教材列举的例子素材是丰富的, 又贴近学生的生活, 这样易于学生对问题情境产生亲切感, 能较快地进入研究问题的学习状态。而进入研究状态后, 仅仅停留在对问题情境的亲切感是远远不够的, 更为重要的是教师首先要对内容形成过程有本质的理解, 才能设计好教学过程呈现给学生, 让学生经历知识的形成过程。教材列举的问题既有整体性又有知识形成过程的层次性, 从表象上看它包含着函数的三种表示方法, 从本质上看它蕴含着函数概念的两次抽象与概括过程, 同时这两次抽象过程比较符合函数概念的形成过程又符合学生的认知规律, 从学生熟悉的关系式到表格和图象, 最后剥离概念的非本质属性, 概括出函数概念最本质的属性:单值对应关系。

问题的合理性影响着学生的数学思考。例如, 问题中若只是让学生跟着教师列表填表, 则学生不知道为什么要填表, 填表说明什么, 也无法让学生充分感悟“单值对应”, 而引导学生观察变化过程, 用式子表示变量关系, 提出问题“变量t变化是怎样影响变量s的变化的”, 引导学生关注变量之间的联动性。在此基础上, 确定变量t的值, 求s的值, 发现能求出s的值, 并且只能求出一个s的值。这样, 学生知道了填表的目的是从具体取值中看变量之间是怎样影响的, 从而从定性到定量地认识变量之间的单值对应关系。

(二) 尊重认知规律, 设计更有效的教学活动

函数概念的本质是体现变量之间的对应关系, 学生的认知是从具体到抽象, 从特殊到一般的概括过程。因为小学的基础知识, 进入初中后又进行了大量的代数学习, 所以学生对数量关系有一定的感性认知。学生对函数的了解往往从式子开始, 在开始渗透对应关系时, 先从关系式开始, 比如s = 60t, 而不是先列表格, 然而学生还是不会明确其中的含义, 要进一步引导学生考虑变量之间的对应关系。因此要从列表格去感受两个变量之间的对应关系, 进而通过图象进一步感悟函数的本质属性, 这样课堂设计就符合学生的认知规律, 学生能较好地把握函数的含义。

教学是一门遗憾的艺术, 因此需要不断从实践中去改进与完善, 在反思中提高, 这样才能更好地把握教材内容本身的含义和学生的认知规律, 找到更多的解决问题的办法, 从而去有效实施课堂教学。

“教学设计—实践—反思—改进”的教学实践反思改进的行动研究, 能有效促进教师的专业发展。事实上, 经历了这一过程, 使笔者本人对函数本质的认识更深入, 更深刻地体会到理解数学、理解学生、理解教师是设计有价值的数学课堂教学的基础。

参考文献

篇4：变量与函数教学反思

关键词：变量与函数；概念教学；案例分析；教学反思

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）01-247-02

2015年7月22日-8月5日，由兵团教委，教研室组织的中学数学继续教育培训在石河子大学成功举行。本次活动是全疆数学教师的再教育，再深造。其中由兵团教研室杨卫平主任组织的“变量与函数”说课活动引起了大家的关注。作为普通教师的一员，笔者有幸参加了观摩活动，深受启发。下面从以下几个案例提出自己的反思：

案例一：例1、日气温变化图：图18.1.1是某日的气温变化图，根据这张图，你能否得到某个时刻的温度？

从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化.每一个时间t，都有一个唯一的气温T与之对应.

例2、高尔夫球的轨迹

我们用l标识高尔夫球飞行的水平举例，用h标识高尔夫球的飞行高度.此时高度h随着水平距离l的变化而变化。

例3、水中的波纹

把一块小石头投入池塘中，就会激起一阵阵的波纹。

面积S随着半径r的变化而变化.每一个半径r都有唯一的面积S与之对应.

反思：考虑实例要尽量贴近学生的生活，此案例对课本上提供的例子作了修改，选择了"一日内的温度变化"、"高尔夫球的运动"、"水中的波纹"这样三个例子.如果后两个例子学生在生活中根本没有经验，学生理解起来会有困难。

案例二：例1、《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高.你知道其中的道理吗？”

例2、我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？

反思：此案例的设计意图是想从学生的生活入手，但现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单的问题.当然，这里的问题是作为研究“背景”呈现，教学时应作“虚化”处理，以突出主要内容。否则，教师不易控制课堂节奏，会在这一环节浪费大量时间，这样的引入是否有必要？

案例三：问题一：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.

1、请同学们根据题意填写下表：

t/时12345t

s/千米

2、在以上这个过程中，变化的量是______。不变化的量是__________。

3、试用含t的式子表示s=__________，t的取值范围是 _________。

这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.

问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元。怎样用含x的式子表示y ？

1、请同学们根据题意填写下表：

售出票数（张）早场150午场206晚场310x

收入y （元）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含x的式子表示y.__y=_________________x的取值范围是__________.

这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程.

问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为l cm，怎样用含m的式子表示l？

1、请同学们根据题意填写下表：

所挂重物（kg）12345m

受力后的弹簧长度l（cm）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含m的式子表示l. l=___________m的取值范围是_____。

这个问题反映了_________随_________的变化过程.

问题四：圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢？怎样用含有圆面积s的式子表示圆半径r？关系式：________

1、请同学们根据题意填写下表：

面积s（cm2）102030s

半径r（cm）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含s的式子表示r.__r=_________________s的取值范围是__________

这个问题反映了___随___的变化过程.

问题五：用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化.记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。设矩形的长为xm，面积为sm2，怎样用含有x的式子表示s呢？

1、请同学们根据题意填写下表：

长x（m）1234x

面积s（m2）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含x的式子表示s=_______________，x的取值范围是 __________。

这个问题反映了矩形的__随__的变化过程.反思：此案例引用了课本的五个实例。第三个例子，由于不少学生在理解“弹簧问题”时面临列函数关系式的困难，可能冲淡对函数概念的学习，对于繁难的概念，我们更应注重为学生构建学生所熟悉的、简单的数学现实，化繁为简、化抽象为形象.过难、过繁的背景会成为学生学习抽象新概念的拦路虎.

综合以上案例分析：

篇5：《变量与函数》教学反思

首先，本课例在处理“函数”这一抽象概念时，紧紧抓住“对的确定的一个值，都有唯一的值与其对应”中的“唯一”，并通过不断地运用具体例子来让学生感受“唯一”。

其次，本课例的过渡处理得比较好。例如，在讲授自变量的取值范围时，先通过一般的没背景要求的式子分类学习，再到实际问题的过渡，让学生非常清晰地知道实际问题与一般代数式之间是区别比较大的，并且对于实际问题的自变量取值范围的思考与计算都详细讲授。

再次，本课例的重难点处理得比较好。学生对函数的概念及自变量的取值范围的理解是难点，本节课进行了重点讲授，而求函数值的问题则是比较简单，进行了略讲。

第四，本课例还注重培养学生注意问题间的区别，防止学生概念混乱。

篇6：变量与函数教学反思

变量与函数

变量和函数的概念是学好全章的基础，是全章中的重点内容之一.借助于实例的展示，是一种从熟悉到陌生的认识方法，变量和函数是用来描述我们所熟悉的变化的事物以及自然界中出现的一些变化的现象的两个重要的量，对于我们所熟悉的变化，在用了这两个量的描述之后更加鲜明．其中所出现的常量、自变量、函数值也必须把它们联系起来，进一步进行区分，进一步加以辨析，不可以混淆起来．教学中立足于学生的认知基础，激发学生的认知冲突，提升了学生的认知水平，学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来，这一课学生对什么是如何用变量来描述变化的事物掌握较好，对问题中的哪些量是变量还是常量也能很好地指出来.不足之处是学生在对自变量的取值范围的确定，不能注意问题的实际意义，还需补充这一类题进行强化训练．

篇7：《17.1变量与函数》教学设计

一、教学目标

1．知识技能目标

（1）掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；

（2）了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图像法，并会用解析法表示数量关系．

2．过程性目标

（1）通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；

（2）引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式．

二、教学过程

（一）创设情境

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．问题1 如图是某地一天内的气温变化图．

看图回答：

（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．

（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？

解：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；（2）这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；

（3）这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．

从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？

（二）探究归纳

问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．解：随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．

问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数值：

观察上表回答：

（1）波长l和频率f数值之间有什么关系?（2）波长l越大，频率f 就________．解：（1）l 与 f 的乘积是一个定值，即 lf＝300 000，或者说f300000． l（2）波长l越大，频率f 就越小．

问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________．

利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1．5 cm、2 cm、2．6 cm、3．2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________．解：S＝πr2．

圆的半径越大，它的面积就越大．

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量（variable）．

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量（independent variable），y是因变量（dependent variable），此时也称y是x的函数（function）．表示函数关系的方法通常有三种：

（1）解析法，如问题3中的f系式．

（2）列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．（3）图像法，如问题1中的气温曲线．

问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant），如问题3中的300 000，问题4中的π等．

（三）实践应用

例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高．

300000，问题4中的S＝π r2，这些表达式称为函数的关l

（1）从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?（2）该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?

（3）上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量? 解：（1）平均身高是146.1cm；

（2）约从14岁开始身高增加特别迅速；

（3）反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．

例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：（1）圆的周长C与半径r的关系式；

（2）火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；

（3）n边形的内角和S与边数n的关系式．解：（1）C＝2π r，2π是常量，r、C是变量；（2）s＝60t，60是常量，t、s是变量；

（3）S＝（n－2）×180，2、180是常量，n、S是变量．

（四）交流反思 1．函数概念包含：（1）两个变量；

（2）两个变量之间的对应关系．

2．在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．

3．函数关系三种表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图像法．

（五）检测反馈

1．举3个日常生活中遇到的函数关系的例子． 2．分别指出下列各关系式中的变量与常量：

（1）三角形的一边长5cm，它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式是S5h； 2（2）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β（度）与α间的关系式是β＝90－α ；

（3）若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y（元）与x间的关系是：y＝ax．

3．写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：

（1）每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y（元）与学生数n（个）的关系；

篇8：变量与函数教学反思

应用举例:设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

求X,Y的方差和协方差cov(X,Y).

解法一:根据协方差计算公式cov(X,Y)=E(XY)+E(X)E(Y)可先分别求出X和Y的边缘密度函数,再分别求得它们的数学期望和方差.

当-1≤y≤0时x的取值范围为-y≤x≤1,此时其密度函数为:

当0≤y≤1时x的取值范围为y≤x≤1,此时其密度函数为:

综上可得Y的边缘密度函数为:

分别求X,Y,XY的数学期望得:

X的数学期望为:

X的方差为:

Y的数学期望为:

Y的方差为:

XY的数学期望为:

综合上面所得,可求得X,Y的协方差为:

解法二:根据密度函数的取值情况及连续型随机变量的计算方法有:

再根据协方差计算公式可得:

值得注意的是,解法一是根据联合分布的协方差的一般求法来解的,而当联合密度函数为连续函数时,根据重积分的相关知识二重积分的积分顺序是可以交换的,并不会影响最终结果,所以在计算联合分布中单个随机变量的数学期望时,可直接利用联合密度函数进行计算,而无须先求边缘密度函数,从而使计算得到简化.

参考文献

[1]李海军,王文丽.概率论与数理统计(第二版).北京:北京理工大学出版社,2015.

篇9：变量与函数检测题

1. 根据图 1 （其中 t 表示时间，T表示温度）知道，每一个确定的时刻都有一个确定的，可以把变量看成变量的函数，叫自变量，叫因变量．

2. 如图 2，△ABC的边BC的长不变，BC边上的高AH的长x在变化，若BC的长为8，则△ABC的面积y = ．这一问题中，变量有、

，可以将看成的函数．

3. 图 3 是桂林冬季某一天的气温 T 随时间 t 变化的图象．请根据图象填空：在时气温最低，最低气温为 ℃，这一天的温差为

4. 在空中，自地面算起，每升高1 km，气温下降若干摄氏度．某地空中气温T（℃）与高度h（km）间的函数关系如图 4．由图可知：该地地面气温为℃，当高度h为 km时，气温为0 ℃．

5. 已知矩形的周长为12，它的长与宽之间存在着函数关系，当长为4时，宽为，当宽为1时，长为.

二、选择题

6. 函数y ＝中自变量x的取值范围是（）.

A． x ≠－ 1B． x ＞－ 1

C． x ＝－ 1D． x ＜－ 1

7. 一支蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系图象是（）.

8. 沈阳市的春天经常刮风，给人们的出行带来很多不便．小明观测了4月6日连续12个小时的风力变化情况，并画出了风力随时间t变化的图象（如图5）．下列说法正确的是（）.

A. 在8时至14时，风力不断增大

B. 在8时至12时，风力最大为7级

C. 8时风力最小

D． 20时风力最小

9. 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地．他们离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数图象如图6．现有下列说法：

（1）他们都行驶了18 km；

（2）甲在途中停留了0.5 h；

（3）乙比甲晚出发了0.5 h；

（4）相遇时，甲的速度小于乙的速度；

（5）甲、乙两人同时到达目的地．

其中，符合图象描述的说法有（）.

A. 2个B. 3个

C. 4个 D. 5个

10. 小红骑自行车到离家2 km的书店买书，行驶了5 min后，遇到一个同学，因说话停留了10 min，继续骑了5 min到书店.下面能大致描述小红去书店过程中离书店的距离s（km）与出发后所用时间t（min）之间关系的图象是（）.

三、解答题

11. 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2 m.

（1）这一运动过程反映了哪两个变量之间的关系？

（2） 3.5 s时小球的速度为多少？

（3）哪个变量是自变量？哪个变量是它的函数？

12. 拖拉机开始工作时，油箱中有油40 L，每小时耗油6 L ．

（1）此变化过程反映了哪两个变量之间的关系？

（2） 3 h后，油箱中的剩油量为多少？

（3）哪个变量是自变量？哪个变量是它的函数？

13. 汽车由天津驶往相距120 km的北京，它的平均速度是30 km / h．当汽车距北京30 km时，共用了多长时间？

14. 从A地向B地打长途电话，按时收费，3 min内收费2.4元，以后每增加1 min收1元．某人在A地向B地打电话共用了8 min，花费多少元？

15. 某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水4个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图7．根据图象解答下列问题．

（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？

（2）已知洗衣机的排水速度为19 L ／ min．

篇10：变量与函数评课稿

本节课的亮点有：

1、情境的引入新颖，富有创造性，有一种耐人寻味的感觉。老师和一名学生各自伸出一只手用红领巾捆绑着，老师的走动带动着学生也走动。师生表演后，学生带着疑惑走进了今天的课堂。

2、重视学生的课堂参与，培养学生自主学习的能力。老师给了学生充分的时间自学教材，放手让学生了解新知，完成本节课的知识网络图，抓住本节课的核心内容，及时进行学法指导提出问题“以上概念你是如何理解的?”再次让学生精读教材，提出问题“利用上表你能解决什么问题?”充分地尊重学生个性差异，鼓励学生参与，有的学生利用表格中的数据来说明“什么是变量，什么是常量?”有的`学生用表格的数据来说明“什么是自变量?”，“谁是谁的函数”等问题。学生各抒己见，充分调动了学生参与热情。