极限求解

2024-05-07

极限求解（精选九篇）

极限求解篇1

一、用定义验证法求解[1]

先求出一个累次极限,该累次极限是否为二重极限,再用定义验证。

二、利用性质运算的方法求解[2]

1. 函数在连续点的极限与一元函数一样仍等于连续点的函数值。

2. 二元函数极限四则运算仍然成立。

3. 有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量。

4. 可利用两个重要极限。

三、用变量代换的方法求解[2,3]

利用变量代换把二重极限化为一元函数的极限或化为易于求解的二重极限,从而求得结果。

四、用多元函数收敛判别法的方法求解[4]

通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间,再利用两边夹定理,推出结果。

五、利用复合函数求解[3]

定理若函数于点存在极限,并且函数于点连续其中,则复合函数于点存在极限,且

六、利用累次极限求解[4]

定理设二重极限存在,且也存在(y也看做常数)则累次极限必定存在,且等于A,即

推论1如果下面三个极限都存在

推论2若累次极限都存在,但不相等,则二重极限一定不存在。

综上所述,可以把一元函数极限的求法推广到二元函数,但是在求解过程中要具体问题具体分析,要理解问题的本质,用最简便,最合理的方法来解决二重极限的求解问题。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].第4版.北京:高等教育出版社,1996.

[2]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].第3版.北京:高等教育出版社,1992.

[3]孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京:高等教育出版社,2004.

泰勒公式在极限求解中的应用篇2

泰勒公式在极限求解中的应用

作者：刘靖江飞

来源：《考试周刊》2013年第08期

摘要：泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，我们可以借助它解决很多问题.本文简述了泰勒公式在求解函数的极限中的应用.关键词：泰勒公式极限应用

1.泰勒公式

2.泰勒公式在求极限中的应用

用泰勒公式计算函数极限的实质是计算极限时忽略较高阶的无穷小，当在求函极限的过程中发现用其他方法较难时，可以考虑利用泰勒公式进行求解，尤其是■型极限的求解，此时只需把分子、分母展开到同阶的无穷小即可.通过上面的几个例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限很简洁、方便，从而能准确、高效地解决一些数学问题.参考文献：

一元函数极限的常用求解技巧篇3

关键词：数学分析；函数极限；求解技巧

本文在原有知识体系的基础上加以整理和归纳，针对一元函数极限概括出具有代表性的各种求解方法，并辅以典型的例题来论证方法的可行性和实用性，使学生对所学知识加以巩固和提高，提高解题能力，起到“温故”而“知新”的作用，在原有基础上得到升华，从而对数学分析及相关的后续课程的学习起到抛砖引玉的作用.

函数极限的求解方法大致可以分为以下几种：

一、代入法（四则运算法则的应用）

求解技巧：①只有在各项极限均存在（除式还需要分母极限不为零）才能适用.②若所求极限不能直接运用运算法则，可先对原式进行恒等变形（约分、通分、有理化、分子分母同除以x的最高次幂等），然后再求极限.③四则运算法则的一个重要推论lim[f（x）]n=[limf（x）]n.④复合函数求极限法则limg[f（x）]=g[limf（x）]（这里极限号lim下方未标明x的变化过程，表示对极限的任何一个变化过程都成立，下同）.

二、重要极限法

在函数极限部分，我们来看两个经常用到的极限，它们的具体形式为：①?摇lim■=1，②?摇?摇■?摇?摇（1+■）x=e

求解技巧：①把■■=1扩展为■■=1，其中必须保持当x→a时f（x）以0为极限，且分子、分母中的f（x）必须完全一样.②把?摇■?摇?摇（1+■）x=e扩展为?摇■?摇?摇（1+g（x））■=e，其中必须保持当x→a时g（x）以0为极限，且g（x）与■要在形式上对应.③利用四则运算法则及推论.

三、无穷小量替代法

求解技巧：①等价代换是对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换），而对分子或分母中的“＋”、“－”号连接的各部分不能作替换②而对分子或分母中的“＋”、“－”号连接部分可先作恒等变形成乘积形式再替換

四、性质法（迫敛性和连续性）

求解技巧：①构造左右两边具有同一极限的双向夹逼不等式，适当放大或缩小.②一切基本初等函数都是其定义域是上的连续函数.③任何初等函数都是在其定义域区间上的连续函数.

五、洛比达法则

求解技巧：只有■型和■型不定式才能应用洛比达法则.法则是由lim■存在，导出lim■是存在的，如果lim■不存在时（不包括∞的情形），并不能断定lim■也不存在，这时应使用其他方法.若■■仍为■型和■型的不定式，并且f'（x），g'（x）满足洛比达法则的条件，则可继续使用洛比达法则，即■■=■■=■■，依此类推，直到求出极限为止.除了■型和■型不定式外，还有0·∞?摇?摇，?摇∞-∞?摇，?摇?摇00，?摇?摇1∞，?摇?摇∞0等五种类型的不定式，这些不定式极限的求解方法是先把它们化为■型和■型的不定式，然后用洛比达来计算.

以上归纳和总结了五种求解一元函数极限的常用方法和技巧，在解决具体问题时，还需要根据实际情况灵活应用求解技巧，只有熟练掌握这部分内容，才能进一步理解函数极限的概念，同时也是学好高等数学的关键.

参考文献：

[1]邝荣雨.微积分学讲义（第一册）[M].北京：北京师范大学出版社，2005：70.

[2]侯风波，蔡谋全.经济数学[M].沈阳：辽宁大学出版社，2006：23-27，75.

[3]课程教材研究所数学课程教材研究开发中心.高等数学基础（上册）[M].北京：人民教育出版社，2003：109.

浅析分式极限求解方法篇4

一、用公式法求分式极限

在分式求极限中,公式法是求分式极限一种比较经典的方法,常出现的形式有:直接运用公式和公式与初等数学(约分、通分、有理化等)中的恒等变形相结合.

1. 直接运用公式法

对于公式法,即若分式中分子分母的极限都存在,且分母的极限不为零,则有商的极限等于极限的商.

2. 公式与初等数学中的恒等变形相结合法

对某些类型的分式求极限,如、等类型不能直接运用分式求极限公式求分式的极限,可先通过对函数进行恒等变形,再运用公式求分式极限.

解当x=3时,分子、分母都为0,故可约去公因子x-3(此时x-3又称零因子),即

解当x→0时,分子、分母的极限均为0,但分子为无理式,于是对分子有理化后得

说明若“”有零因子,应先约去零因子,再运用分式求极限公式求分式极限;若分式中有无理式,应先对其进行有理化(分子有理化或分母有理化),再求极限.

说明若分式相减呈“∞-∞”未定型,应先通分并整理,再求极限.

说明若有理分式,当x→∞时呈未定型,应先分子、分母同除以x的最高次幂,再求极限.通过对求多种有理分式在当x→∞时的极限进行分析得到以下结论:

二、运用无穷小的性质求分式极限

无穷小量的性质在求分式极限中有着重要意义.在分式求极限中,运用无穷小的性质求分式极限是一种较常用的方法,出现频率较高的有:利用无穷小的运算性质求分式极限,利用无穷小与无穷大的关系求分式极限,利用第一重要极限求分式极限与利用等价无穷小代换求分式极限等.

1. 利用无穷小及相关知识求分式极限

关于无穷小的运算性质:有限个无穷小的代数和仍是无穷小、无穷小与有界量之积是无穷小、推论常数与无穷小的积仍是无穷小、有限个无穷小的积仍是无穷小,可直接或间接运用到分式求极限中.

解当x→∞时,上式三项均为无穷小,由有限个无穷小的代数和仍是无穷小,得

说明请注意有限个无穷小的代数和仍然是无穷小,无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

例7求xli→m∞xarctanx.

解因为,所以为x→∞时的无穷小;又因为,所以arctanx为有界函数.因此仍为x→∞时的无穷小,即

2. 利用无穷小与无穷大的关系求分式极限

在自变量的变化过程中,无穷大的倒数是无穷小,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.这一关系在求分式极限中凸显了数学的严谨性.

因为即x-3在x→3时为无穷小,而,由无穷小的运算性质可得时为无穷小,又由无穷小与无穷大的关系可知,在x→3时为无穷大,即,所以

说明对于型(k为非零常数)求极限,应先说明其倒数是无穷小,再利用无穷小与无穷大的关系说明其为无穷大.

3. 利用第一重要极限求分式极限

第一重要极限即,在求分式极限中比较常用,通常是和等价无穷小代换结合在一起来用.

例9求.

解设t=x-1,x→1等价于t→0,做变量代换后有

说明关于用第一重要极限求分式极限,要求分式极限可化为第一重要极限形式,或者能化成含第一重要极限的形式,其变形多用变量代换.

4. 利用等价无穷小代换求分式极限

常用的等价无穷小代换,当x→0时,有

说明等价代换是对分子或分母的整体代换或者是其乘积因子的代换,其他如“+”、“-”连接部分不可用,且等价无穷小形式很丰富,请灵活运用.

三、运用洛必达(L'Hospital)法则求分式极限

洛必达法则将求“函数之比”未定型极限转化为“求导数之比”的极限,在求分式极限运算中占相当大的分量.

说明应用洛必达法则求函数极限的习题类型,且将洛必达法则与其他数学方法相结合求极限的类型更是丰富.仅其与等价无穷小结合使用,便在历年的考研高等数学1,2,3中均有显著体现,本文限于篇幅暂不详细举例.关于洛必达法则还有三点需要注意,详见高等数学教材洛必达法则一节,请大家务必仔细阅读.

关于函数极限尤其是分式极限一直是高等数学中的重点也是难点,本文通过例题简要做了归纳,希望能对您学好高等数学有所帮助.

摘要：结合典型例题对求分式极限的方法进行系统归纳,如直接公式法、间接公式法、运用无穷小相关知识、重要极限与洛必达法则等.

关键词：分式极限,公式法,无穷小,第一重要极限,洛必达法则

参考文献

[1]侯风波.高等数学[M].上海:上海大学出版社,2009.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

一类未定型极限的求解方法篇5

一、00型

定理1设函数f (x) →0, g (x) →0, 极限limf (x) g (x) 可看做是00型, 那么limf (x) g (x) =elimg (x) ·lnf (x)

其中 (x→∞, x→-∞, x→+∞;x→a, x→a+, x→a-)

证明因为f (x) g (x) =elimg (x) ·lnf (x) , 所以根据初等函数的连续以及极限的四则运算法则有

其中g (x) ·lnf (x) 为0·∞型可以转化成00或型, 然后再应用洛必达法则.

例1求极限.

解这是00型未定式, 根据定理1可得

二、∞0型

定理2设函数f (x) →∞, g (x) →0, 极限limf (x) g (x) 可看做是∞0型, 那么limf (x) g (x) =elimg (x) ·lnf (x)

其中 (x→∞, x→-∞, x→+∞, x→a, x→a+, x→a-) .

证明因为f (x) g (x) =eg (x) ·lnf (x) , 所以根据初等函数的连续以及极限的四则运算法则有

其中g (x) ·lnf (x) 为0·∞型可以转化成型, 然后再应用洛必达法则.

例2求极限.

解这是∞0型未定式, 应用定理2得

三、1∞型

定理3设函数f (x) →1, g (x) →∞, 极限limf (x) g (x) 可看做是1∞型, 那么limf (x) g (x) =elim (f (x) -1) ·g (x)

其中 (x→∞, x→-∞, x→+∞;x→a, x→a+, x→a-) .

所以根据重要极限有

其中g (x) ·lnf (x) 为0·∞型可以转化成型, 然后再应用洛必达法则.

例3求极限.

解这是1∞型, 根据定理3知

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (上册) (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

[2]陈纪修等.数学分析 (上册) (第一版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.

边坡极限平衡面的求解与应用篇6

关键词：边坡,极限平衡面,极限平衡,积分中值定理,微分中值定理

边坡稳定性分析是工程中十分重要的问题之一, 据初步统计, 全国至少有400多个市, 县、区、镇, 10 000多个村庄受到滑坡灾害严重侵害, 有证可查的滑坡灾害点约为41×104多处, 总面积为173.52×104km 2, 占国土总面积的18.0% (截至2000年) 。此类事故的频频发生, 不仅给人类带来了巨大的财产损失, 同时造成大量人员伤亡, 引起了人们高度重视, 并开展了大量的研究。如何确定边坡极限平衡面是边坡稳定分析的关键, 随着计算机技术的发展, 国内极限平衡面的搜索方法经历了由网格法、单纯形法、和DFP法、遗传算法、模拟退火算法、蚂蚁算法、粒子群算法等历程[1,2]。本文以极限平衡理论为基础, 通过已知的边坡坡面函数f (x0) , 及土的参数, 应用微分、积分中值定理建立边坡极限平衡面方程f (x) 的微分方程, 然后通过幂级数解法求解f (x) 确切的方程或近似的方程。

1边坡极限平衡面确定的力学原理及其微分方程的建立

边坡极限平衡面———在一个潜在的破坏面上, 当总的抗滑力等于总的下滑力时, 此时该面上的土体达到极限平衡, Fs=1。以平面问题为例, 用力学原理及高等数学中的微分、积分中值定理来建立任意边坡极限平衡面的微分方程, 通过幂级数解法求解极限平衡面的方程。如图1设边坡上边界面 (坡面) 为已知函数f (x0) , 一连续或分段连续的极限平衡面的方程为f (x) , 通过土体与边界面交于A, B两点, 将边坡划分为任意n等分并对每一等分应用极限平衡原理受力分析如图2所示[3,4]。

当Fs=1时, f (x) 面上达到极限平衡即:

(2) 式中:Wi为第i条土快的重量, 且

$W_{i} = \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} γ_{i} [f_{0} (x) - f (x)] d x 。$

αi为土条i滑动面的法线与竖直线的夹角, li为土条i的弧长。

$l_{i} = \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} \sqrt{1 + f^{'} (x)^{2}} d x 。$

当Δxi很小时, tanαi=f′ (xi) , 则

由积分中值定理和微分中值定理知[5]

$\begin{array}{l} W_{i} = γ [f_{0} (ξ_{i}) - f (ξ_{i})] Δ x_{i}^{} ‚ \\ l_{i} = \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} \sqrt{1 + f^{'} (x_{i})^{2}} d x = \sqrt{1 + f^{'} (ξ_{i})^{2}} Δ x_{i} 。 \end{array}$

则 (2) 式可表示为

$\begin{array}{l} {c_{i} \sqrt{1 + f^{'} (x_{i})^{2}} Δ x_{i} \frac{1}{\sqrt{1 + f^{'} (x_{i})^{2}}} + \\ ([f_{0} (x_{i}) - f (x_{i})] γ Δ x_{i} + Δ X_{i}) \tan φ} \frac{\sqrt{1 + f^{'} (x_{i})^{2}}}{1 + f^{'} (x_{i}) \tan φ} = \\ {[f_{0} (x_{i}) - f (x_{i})] γ Δ x_{i} + Δ X_{i}} \frac{f^{'} (x_{i})}{\sqrt{1 + f^{'} (x_{i})^{2}}} + \\ Δ E_{i} \frac{1}{\sqrt{1 + f^{'} (x)^{2}}} (3) \end{array}$

因为边坡整体处于平衡状态,

求和有: $\sum_{i = 1}^{n} Δ E_{i} = 0 ‚ \sum_{i = 1}^{n} Δ X_{i} = 0$

所以 (3) 式可表示为:

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} c_{i} Δ x_{i} + \sum_{i = 1}^{n} [f_{0} (x_{i}) - f (x_{i})] γ Δ x_{i} \tan φ_{i} + \\ \sum_{i = 1}^{n} f^{'} (x_{i})^{2} c_{i} Δ x_{i} = \\ \sum_{i = 1}^{n} [f_{0} (x_{i}) - f (x_{i})] γ Δ x_{i} f^{'} (x_{i}) (4) \end{array}$

令Δxi→0 则有

$\begin{array}{l} \int_{0}^{x} c d t + \int_{0}^{x} [f_{0} (t) - f (t)] γ t a n φ d t + \\ \int_{0}^{x} f^{'} (t)^{2} c d t = \int_{0}^{x} [f_{0} (t) - f (t) γ f^{'} (t) d t (5) \end{array}$

微分有:

$\begin{array}{l} c + γ \tan φ f_{0} (x) - γ \tan φ f (x) + c f^{'} (x)^{2} = \\ γ [f_{0} (x) - f (x)] f^{'} (x) (6) \end{array}$

式 (6) 为所求的f (x) 微分方程, 次方程为一阶微分方程, 由微分方程理论知f (x) 在[0 x]上连续时一定存在适合一定初始条件的解。

2 边坡极限平衡面幂级数的求解

当c=0时得: f (x) =tanφx (7)

这与常规的方法得出的结论相吻合, 当c≠0时, 其中f (x) 不易直接解出, 这里采用幂级数解法[5],

设有解

$\begin{array}{l} f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + \\ a_{n} x^{n} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} 。 \end{array}$

则

由级数乘法:

$[f^{'} (x)]^{2} = (\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1})^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} (8)$

其中 $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} k (n - k + 1) a_{k} a_{n - k + 1}$ ,

$\begin{array}{l} f^{'} (x) f (x) = (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} + \dots) \\ (a_{1} + 2 a_{2} x + \dots + n a_{n} x^{n - 1}) = \sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n} (9) \end{array}$

其中 $d = \sum_{k = 0}^{n} a_{n} a_{n - k + 1} (n + k - 1)$ 。

则 (6) 式为:

$\begin{array}{l} c + γ \tan φ f_{0} (x) = γ f_{0} (x) \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1} - \\ \sum_{n = 0}^{\infty} (c c_{n} - γ \tan φ a_{n} + γ d_{n}) x^{n} (10) \end{array}$

利用级数相等条件确定an之间关系, 如果f0 (x) =m, 则

$\begin{array}{l} c + γ \tan φ m = \sum_{n = 0}^{\infty} [γ \tan φ a_{n} + \\ γ m (n + 1) a_{n + 1} - c c_{n} - γ d_{n}] x^{n} (11) \end{array}$

对应的

$\begin{array}{l} \sum_{n = 0}^{\infty} [γ \tan φ a_{n} + γ m (n + 1) a_{n + 1} - \\ c \sum_{k = 0}^{n} k (n - k + 1) a_{k} a_{n - k + 1} - \\ γ \sum_{k = 0}^{n} (n + k - 1) a_{n} a_{n + k - 1}] x^{n} = c + γ \tan φ m (12) \end{array}$

即:当n=0时, c+γtanφm=γtanφa0-cc0-γd0;

n=1时, γtanφa1+2γma2-cc1-γd1=0;

同理n∈N+γtanφan+ (n+1) γman+1-ccn-γdn=0。

得到 a0, a1, …an…间的递推关系, 即得到f (x) 的表达式。

由于 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} + k_{n} (x)$ 其中kn (x) 为f (x) 幂级数的余项。

当|Rn (x) |很小时, 由高等数学知识得

$f (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{n} x^{k} (13)$

同理f0 (x) =ax+b 或者其它多项式形式时, 总可以确定f (x) 的幂级数解, 如果f0 (x) 为分段函数给出, 则相应得有f (x) 的相应分段解。

3 算例分析

已知某边坡坡角β=60°, 土的容重γ=18.6 kN/m3, 土的内摩擦角φ=12°, 粘聚力c=16.7 kPa。

由上面给出的边坡的条件可知: $f_{0} (x) = \sqrt{3} x$ , 代入有:

$\begin{array}{l} c + \sqrt{3} γ \tan φ x = \sqrt{3} γ \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n} - \\ \sum_{n = 0}^{\infty} (c c_{n} - γ \tan φ a_{n} + γ d_{n}) x^{n} (14) \end{array}$

n=0时: c-γtanφa0+cc0+γd0=0;

n=1时: $\sqrt{3} γ \tan φ = \sqrt{3} γ a_{1} + γ a_{1} \tan φ - c c_{1} - γ d_{1}$ ;

n=2时: $2 \sqrt{3} γ a_{2} + γ a_{2} \tan φ - c c_{2} - γ d_{2};$

n=3时: $3 \sqrt{3} γ a_{3} + γ a_{3} \tan φ - c c_{3} - γ d_{3};$

n=4时: $4 \sqrt{3} γ a_{4} + γ a_{4} \tan φ - c c_{4} - γ d_{4}$ 。

其中 c0 = a $_{1}^{2}$ , d0=a0a1,

c1=4a1a2 , d1 = a $_{1}^{2}$ + 2a0 a1 ,

c2 = 6a1 a3 + 4a $_{2}^{2}$ ,

d2=3a0a3+3a1a2,

c3=8a1a4+12a2a3,

d3 = 4a0 a4 + 4a1 a3 + 2a $_{2}^{2}$ ,

c4 = 10a1 a5 + 16a4 a2 + 9a $_{3}^{2}$ ,

d4=5a0a5+5a4a1+5a2a3。

得到 f (x) =-2.3+x+1.5 x2+4.7x3。

4 结论

本文以极限平衡理论为基础, 通过已知的边坡坡面函数f (x0) , 及土的参数, 应用微分、积分中值定理建立边坡极限平衡面方程f (x) 的微分方程, 然后通过幂级数解法求解f (x) 确切的方程或近似的方程, 并对一已知尺寸及参数的边坡进行了计算, 求得了该边坡极限平衡面的方程f (x) 的解, 为边坡极限平衡面的确定提供了一种有效方法。

参考文献

[1]周翠英, 刘祚秋, 董立国, 等.边坡变形破坏过程的大变形有限元分析.岩土力学, 2003;24 (4) :644—647

[2]陈祖煜.土质边坡稳定分析.北京:中国水利水电版社, 2003

[3]张天宝.土坡稳定分析和土工建筑物的边坡设计.成都:成都科技大学出版社, 1987

[4]陈仲颐.周景星.王洪瑾.土力学.北京:清华大学出版社, 1992

不定式极限求解方法探讨篇7

微积分中求极限的方法很多,L'Hospital法则就是其中之一,它是求解不定式极限的有效方法.为叙述方便,现给出“undefined”型不定式的L'Hospital法则,而“undefined”型L'Hospital法则与之完全类似,故从略.

L'Hospital法则(“undefined”型,x→a+)若:

(1)函数f(x),g(x)在(a,a+δ)内有定义(δ>0),并且undefined;

(2)f′(x)和g′(x)在(a,a+δ)内存在,且g′(x)≠0;

undefined为常数或为∞);

则undefined

该法则也适用x→a-,x→a,及x→∞的情况.

使用L'Hospital法则,应注意以下几个方面:

一、L'Hospital法则的条件是充分条件而不是必要条件

(1)如果undefined不存在(也非∞)时,不能说明原极限undefined不存在,应选用其他方法重新计算.

例1 求解:undefined

解本题虽然形式上为“undefined”型不定式,但由于undefined不存在,故不满足L'Hospital法则的条件(3),因此不能由此判断原极限是否存在.事实上undefined

(2)如多次应用L'Hospital法则后得到的总是不定式或还原为原来的极限,此时也应选用其他方法重新计算.

例2 求解:undefined

解若使用一次L'Hospital法则,有undefined,且仍是“undefined”型不定式,再使用一次L'Hospital法则,极限则还原为原极限,因而本题不符合L'Hospital法则的条件3),应改用其他方法.若原极限的分子分母同时除以ex,则undefined

由此可见,虽然L'Hospital法则对解不定式非常有效,但它并不是万能的,当条件不满足时,则不能使用L'Hospital法则.特别地,如果极限中含有sinx或cosx(x→∞)以及undefined或undefined时不能使用L'Hospital法则.

二、“0·∞”型不定式的转化

对于“∞-∞”、“0·∞”型不定式,需先转化为“undefined”型或“undefined”型不定式才能使用L'Hospital法则.对于“∞-∞”型不定式,一般先通分、有理化或变量代换等方法转化为“undefined”型或“undefined”型;而对于“0·∞”型不定式,需将其中一个因子移至分母中去,转化为“undefined”型或“undefined”型,选择哪种转化型,应视计算繁简而定,一般转化时对数函数或反三角函数保持不动,而将其他函数移至分母中去.

例3 求解:undefined

undefined

(※)说明:

(1)若此处转化为undefined,则undefined,多次应用L'Hospital法则后总是“undefined”型不定式,故不能由此得出原极限是否存在.

(2)应用L'Hospital法则时能化简尽量先化简,同时要与其他方法结合使用,尤其是与等价无穷小代换结合,能使计算过程非常简单.

三、“1∞”型不定式的求解方法

对于“00”、“∞0”及“1∞”3种不定式,设为undefined,需先用取对数法,转化为undefined,求出极限undefined(是“0·∞”型)即可求得原极限.而对于“1∞”型不定式,还可借助重要极限求解,但本质是一样的,因为若用对数法,则

undefined

若用重要极限,则

undefined

由于undefined,所以两种方法最终都转化为求undefined

例4 求解:undefined

解法1

undefined

解法2

undefined

对“1∞”型不定式,若底数中含有一项为1,则用重要极限计算更为简便.

摘要：给出了使用LHospital法则的注意事项,及“1∞”型不定式的两种转化方式的一致性.

关键词：微积分,不定式,极限

参考文献

[1]复旦大学数学系.数学分析(上)[M].北京:人民教育出版社,1979.

[2]陈文灯.高等数学复习指导(上)[M].北京:北京理工大学出版社,1992.

[3]王五生,黄延廷.不定式函数极限的七种求法[J].河池师专学报,2004,24(2):5-8.

[4]白水周.极限运算中两个值得注意的问题[J].开封大学学报,2005,19(4):95-96.

巧用无穷小量求解极限问题篇8

1 无穷小量的概念[1]

1.1 定义:

若函数(包括数列)在某一变化过程中以零为极限,则称该函数(数列)为这个变化过程中的无穷小量。例如:x2,sinx,1-cosx是x→0过程中的无穷小量,是x→∞时的无穷小量,x-1是x→1时的无穷小量。

1.2 无穷小量的性质[1]

性质1:在某一变化过程中,函数f(x)以A为极限(limf(x)=A)的充分必要条件是f(x)-A是同一变化过程中的无穷小量,即f(x)-A=α或f(x)=A+α,其中α是无穷小量。

性质2:有限个无穷小量的代数和为无穷小量

性质3:有界函数与无穷小量的乘积为无穷小量

性质4:有限个无穷小量的乘积为无穷小量

从以上定义和性质可以看出,无穷小量与极限有密切的关系,无穷小量是以零为极限的变量,而极限可以用无穷小量来描述,因此我们可以利用无穷小量求解极限。如果我们能巧妙运用无穷小量,不仅可以求出极限,也可以简化计算。

2 利用无穷小量求解极限

2.1 利用性质“有界变量与无穷小量之积还是无穷小量”求解极限

所以x-2是x→2时无穷小量,是有界函数

所以是n→∞时的无穷小量,(-1)n+1是有界变量

由性质3可知道

2.2 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限

例3:求

因为,所以不能直接用用极限的四则运算法则。但是由于可以求出,也就是说是x→2时的无穷小量。由无穷小与无穷大的关系知,

对于分子极限不为零,而分母极限为零的极限形式,都可以用上述方法求解。

2.3 巧用等价无穷小量代换法求解极限

2.3.1 常用的等价无穷小量以及推论常用的等价无穷小量:

当x→0时,x～s i n x～t a n x～arcsinx～arccosx

2.3.2 直接利用等价无穷小量代换定理求极限

设都是某一极限过程中的无穷小量

定理1[2]:设α～,β～若存在,则

定理2[2]:设α～g(x)是同一过程中的另一函数,若lim g(x)存在,则limαg(x)=lim g(x)

这四个例子解法都不唯一,也可以用罗彼塔法则来求,但用等价无穷小量来求解方法更简单。注意在求极限的过程中,相除或相除的因式可以直接用等价无穷小量进行代换,而相加或相减的部分不能随意用等价无穷小量替换。

2.3.3 利用等价无穷小量代换法求解1∞,00,∞0型极限

2.3.3.1 (1∞型)

结论1:设是同一过程中的无穷小量,

2.3.3.2(00型)

结论2:α>0,是同一极限过程中的无穷小量,若,

上述三个例子巧妙地运用了等价无穷小量代换法求出了00,1∞∞0型的极限,相比较我们教材[2]中介绍的方法,既简单,又快捷。

3 利用无穷小量求解极限需要注意的问题

无穷小量在求极限的过程中起着关键的作用,通过巧妙地利用无穷小量可以简化求极限过程,因此,对于初学者来说,应深刻理解无穷小量的定义、性质以及有关定理,同时在学习过程中注意等价无穷小量的积累,只有对无穷小量有了深刻的认识,掌握更多的等价无穷小量,才能巧妙地运用其求解极限。

摘要：求解极限的方法很多,通过巧妙利用无穷小量求解极限,方法会更简单。

关键词：无穷小量,等价无穷小量,极限

参考文献

[1]张德舜.石中陆.高等数学[M].中国医药科技出版社.2003,1-310

[2]同济大学应用数学系.高等数学(上册)[M].第5版.高等教育出版社.2002;1-137

[3]张芳.无穷小量在1∞型极限中的应用[J].高等数学研究.2005;9(5):25-26

数列极限求解的几种常用方法篇9

关键词：数列极限,求解,方法

数列极限是学习微积分理论的基础,它的求解方法也是后续学习函数极限理论的先决条件。数列极限的求法有很多种,我们不能一一列举,而数列极限的求法和函数极限求法在某种程度上是彼此相似的,这里我们总结几种数列极限求解的常用方法,希望对大家在学习数列极限乃至日后学习函数极限的过程有所帮助。

一、利用定义法求数列极限

二、利用基本定理求数列极限

这种方法是根据部分已知数列极限,通过进行四则运算来求解数列极限的。

三、利用极限存在的准则求数列极限

证明:因为

四、利用重要极限求数列极限

五、利用微分中值定理求数列极限

Lagrange中值定理是微分学中重要的基本定理,其应用特别广泛,这里我们举例说明如何利用它来求解数列极限。

以上对求解数列极限的方法进行了简单的总结,在实际学习中很多题是多种方法综合运用加以求解的。例如求解数列极限时,首先应该观察数列的形式,进而选择适当的方法进行求解,只有方法得当,才能准确、快速、灵活地求解极限。

参考文献

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