一类直线方程求解的三种方法及其启示

2022-12-26

引言:求解最大 (小) 值或在满足最大 (小) 值的条件下解决相关问题是数学教与学的重点和难点。在教学过程中, 除了知识和思想外, 还要教会学生解决问题的方法和技巧, 引导学生如何综合思考数学问题, 培养学生的灵感。

问题:过点P (m, n) (m×n≠0) 直线l交轴于点A, 交y轴于点B, 点A、B与原点皆不重合, △AOB为直线l与点P (m, n) 所在象限围成的三角形。求:当△A O B的面积S△AOB最小时直线l的方程。

分析:本问题是求解满足最小值条件下的直线方程, 首先已知条件只有点P (m, n) , 显然欲求直线方程还需要一个条件。因此另一个条件需要在求解△AOB的最小面积过程中寻找。

显然, △A O B是直角三角形, 其面积等于直线在轴和y轴上的截距之积绝对值的一半, 所以, 直线方程预设为截距式最简便直观。于是可设所求方程为:

根据题目条件有:△A O B=。

解答方法一:三角不等式法。由直线方

程过点P (m, n) 知, , 则:

将 (1) 式看作是关于的二次函数, 于是求解 (1) 式的最小值如下:

令, 则, 则△

脱绝对值如下:

(1) 当点P (m, n) 在第一、四象限时,

, 则>0, 于是△A O B=

, 由三角不等式知+

≥;于是, 当且仅当=, 即=m时, △A O B的面积取得最小值Sm i n=, 此时解得

;

(2) 当点P (m, n) 在第二、三象限时,

, 由三角不等式知

-, 于是, 当且仅当, 即=m时△AOB的面积取得最小值Smin= (-m)

。

由以上 (1) (2) 讨论知, 当直线在轴和

y轴上的截距分别为时解得的方程满足条件, 即。解答方法二:三角函数法。由直线方程过点P (m, n) 知, ;显然, 总有

且;因此,

。类比sin2α+cos2α=1与两式的结构和形式, 我们令=sin2α (0, 1) , =cos2α (0, 1) 于是

是, 根据正 (余) 弦三角函数性质可知, 当sin22α时, 即sin2α=±1时, S△AOB=

取得最小值2×|m×n|。此时有。

当时, sin2α=,

cos2α=, 于是

, , 则求得直线方程为

。

对教与学的启示:

本人认为数学教与学不外乎三点:一是知识;二是方法;三是思想。以上对一道解析几何问题的探讨, 两种解法, 无不体现出数学知识、方法、思想在问题解决过程中各自的地位, 知识是基础, 方法是手段, 思想是灵魂, 两者缺一不可。而解答技巧是两者有机“组合”的巅峰, 是探讨数学问题的永恒话题。对于教授者和学习者来说, 从中我们得到哪些启示呢?

首先, 要体现数学思想。任何数学问题的解答, 其目的并非仅仅是为了解答出这个问题的结果;对于解析几何来说, 其思想核心是运用代数思想和分析数学思想来解决几何问题——即解析思想。以上两种方法是解析思想最为生动的诠释, 淋漓尽致地体现了解决解析几何问题的数学思想内涵;同时从哲理上讲, 说明了思想才是灵魂, 解决问题并非仅仅在于需要的结果, 而在于解决过程。无论是做人还是做事, 只有有了思想, 整个过程才有了灵魂, 才能使问题的解答变得有声有色, 韵味无穷。

其次, 要找对方法, 方法是解决问题的钥匙。文中两种方法都是抓住问题的关键——那就是紧抓最值不放, 联想解决最值问题的各个知识点, 从中梳理出有用的信息, 通过信息加工, 提炼出解决问题的有效方法。

其三, 学会观察、类比和联想, 深刻领悟两者在解答问题时的重要性, 学会激发运用灵感。虽然三角不等式法和导数法都圆满地解答了问题, 但本人认为是最好的方法是三角函数法。从解答过程看该方法不仅最简单明了, 而且还灵活运用了二次函数和三角函数的知识, 通过观察、类比和纵横联想, 技巧性地解决了问题。其思维过程能更好地启迪学生的智慧, 更好地诠释了“没有做不到的, 只有想不到 (方法) 的”丰富哲理, 从方法论的角度看“三角函数法”体现了“想到”的精妙。

结语

其实灵活运用所学数学知识, 落实数学思想, 技巧性地解决相关数学问题才是教与学的最终落脚点, 更是教师数学功底和学生数学能力的最终体现。

摘要：本文借助三个求最值的知识点, 用三种方法解答了一类直线方程。三种方法都充分体现了解析思想的精髓之所在, 并对“三角函数法”加以总结升华, 指出观察、类比和联想的重要性, 提出了“想到 (方法) 与做到 (结果) ”之间关系的深刻哲理。

关键词：数学思想,最值,技巧