极限

极限（精选十篇）

极限 篇1

二元函数的极限有两种概念, 它们分别是二重极限与累次极限, 其定义分别如下:

2.二重极限与累次极限的关系举例

二重极限与累次极限是分别独立定义的两个概念, 下面举例说明它们在存在性上是相互独立的, 没有必然的联系。

(1) 二重极限存在, 两种不同次序的累次极限也存在, 且相等。例如, xy

(2) 二重极限存在, 两种不同次序的累次极限都不存在。例如,

(3) 二重极限存在, 一种次序的累次极限存在, 而另一种次序的累次极限不存在。例如,

此外, 还有二重极限不存在, 一种次序的累次极限存在, 而另一种次序的累次极限不存在, 以及二重极限不存在, 两种不同次序的累次极限都不存在两种类型关系, 在此不一一例举。

由上面讨论知, 二重极限与累次极限在存在性上没有必然的联系, 但是, 在一定的条件下, 又可以建立下面的两个结论:

3.二重极限与累次极限的应用0

(1) 一般计算比较复杂的二元函数的极限是比较困难的, 而求累次极限实际上是进行两次一元函数的极限计算, 是比较容易的, 由定理1知, 在二重极限存在的条件下, 可用求累次极限来求其二重极限。

(2) 用累次极限可判别二重极限不存在。由定理2知, 若两种不同次序的累次极限都存在, 但不相等时, 则二重极限一定不存在。

(3) 用累次极限可表示某些非初等函数。

例如, 在高等数学中常见的狄利克雷函数

摘要：极限是研究函数的重要工具之一, 二重极限是定义二元以上函数极限的基础, 这里主要介绍了二重极限和累次极限的概念。举例说明了二重极限与累次极限在存在性上相互独立的关系, 最后给出了二重极限与累次极限的某些应用。

关键词：极限,二重极限,累次极限

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析 (第二版) (下) [M].北京:高等教育出版社, 1991.

10专题十数列极限与函数极限 篇2

华中师大一附中孟昭奎

专题十数列极限与函数极限

一、选择题

(1x)mab，则a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(n1

4A．1 111)的值为（）464684682n1111B．C．418D．11 24

x32xa2(x1)3．若函数f(x)15a在点x=1处连续，则实数a=（）(x1)3x

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命题：①发果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x1，那么f(x)=0；③如xx

x22xx,x0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)，那么limf(x)=0，其中真x2x0x2x1,x0

命题是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2bx3cx3bxccxa1，则lim5．设abc≠0，lim的值等于（），limxaxbxbx3cx2a3xbx2c4

419 A．4B．C．D． 944

an1abn126．设正数a, b满足lim(x+ax-b)=4，则lim等于（）nax22b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim等于（）

A．2an1na1n14B．12C．1D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则lim

9．lim(x2Sn=________． nn241)=________． x24x

2专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

anbn

为常数，则limn的值为__________． nabn

ex1,(x0)11．关于函数f(x)(a是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你2ax,(x0)

认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用数字或n的解析式表示）

三、解答题

1x(x0),13．已知f(x) xabx(x0).

（1）求f(-x)；（2）求常数a的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{an}, {bn}都是公差不为0的等差数列，且limanaa2an2，求lim1的值． nbnnbn2n

15．已知数列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中b1=2, bn+1=3bn4, n=1, 2, 3, …．

两个重要极限及其在求极限中的应用 篇3

关键词：重要极限；应用；方法

高等数学中有两个重要极限公式 ， ，这两个重要极限的变形推广，在求解极限问题时有一些重要应用。

一、第一个重要极限 的推广及应用

1.第一个重要极限的推广式

若 ，则 .

2.应用第一个重要极限求极限需要注意的问题

①推广式中的“ ”可换成“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”；

② 是连续函数；

③此重要极限主要解决含有三角函数的“ ”型未定式极限。

3.求解方法

首先将所求极限变形为“推广式”，然后还原即可得出结果。

4.举例说明

例1.求 .

解：

例2. .

解：

例3.求 .

解：

二、第二个重要极限 的推广及应用

1.第二个重要极限的推广式

若 ，则

2.应用第二个重要极限求极限需要注意的问题

①推广式中的“ ”可换成“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”；

②此重要极限主要解决“ ”型幂指函数的极限。

3.求解方法

一变二配三还原。具体如下：

①将幂底数变形为“ ”形式；②配幂指数：将幂指数配成“ ”；

③还原幂指数：通过加、减、乘、除常数的方法还原幂指数。

注：利用此方法时②③步要一起做，即配完幂指数后要立即还原幂指数。

4.举例说明

例4.求 .

解：

例5.求 .

解：

例6.求 .

解：

例7.求 .

解：

例8.求 .

解：

参考文献：

[1]李心灿.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2003

一类用数列极限计算函数极限的方法 篇4

一、问题的提出

本例中数列极限许多学生认为是由于但这种想法似是而非, 严格地讲这是由得出来的, 同一个类型的例子基本上都是这样, 由此可见这个式子的正确使用是我们必须要掌握的。

其中[x]表示x的整数部分, 令x->+∞时, 不等式左右两侧表现两个数列的极限再利用函数极限的夹逼定理得到

接下来我们重点了解一下能不能从数列极限求函数极限研究数列极限和函数极限时, 许多学生会想到海涅定理, 根据海涅定理, 的充分必要条件是对于任意趋于+∞的数列{n}都有。

二、得到的重要结果

通过上面的分析, 我们就可以提出下面的定理。

定理1设f (x) 在[a, +∞]上有定义, (a>0) , 如果存在数列{xn}, {yn}满足对于任意x>=a, 当n<=x

证明:对于任意A>0, 由于所以存在N∈N+ (假设N≥a) , 当n>N时, 就会有|xn-A|<ε且|yn-A|<ε取X=N+1, 当x>X时, 总可以找到满足n0>N且n0≤x≤n0+1, 由条件可得xn0≤f (x) ≤yn0, 所以xn0-A≤f (x) -A≤yn0-A, 于是|f (x) -A|≤max{|xn0-A|, |yn0-A|}<ε。

在学习定积分时且遇到下面的问题:

极限 篇5

教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用

教学过程：

一、复习引入：

函数极限的运算法则：如果limf(x)A,limg(x)B,则lim

xx0

xx0



xx0

f(x)g(x)

＿＿＿

xx0

lim



f(x).g(x)

＿＿＿＿，lim

f(x)g(x)

＿＿＿＿（B0）

xx0

二、新授课：

数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果limanA,limbnB,那么

n

n

lim(anbn)ABlim(anbn)AB

n

n

lim(an.bn)A.Blim

n

anbn



AB

n

(B0)

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若an

．．

则：lim(anbncn)limanlimbnlimcn

n

n

n

n

，bn，cn有极限，特别地，如果C是常数，那么lim(C.an)limC.liman

n

n

n

二.例题：

例1.已知liman5,limbn3，求lim(3an4bn).n

n

n

例2.求下列极限：（1）lim(5

n

4n)；（2）lim（n

1n

1)

2例3.求下列有限：（1）lim

2n13n

1n

（2）lim

nn1

2n

分析：（1）（2）当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求下列极限：（1）lim（n

3n

1

5n1



7n1



2n1n1)

（2）lim（n

1242139

3n1n1)

说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。练习与作业：

1.已知liman2,limbn

n

n

13，求下列极限

anbn

an

（1）lim(2an3bn)；（2）lim

n

n

2.求下列极限：（1）lim(4

1)；（2）lim

2。

n

n

3.求下列极限（1）limn1；n

n

（3）lim3n21n

；n

4.求下列极限

已知limn

an3,limn

bn5,求下列极限：（1）.lim(3an4bn).n

5.求下列极限:（1）.lim(7

2n

n);

（3）.lim1(34)nnn

n

5

3n

（2）lim

nn

3n2；

（4）lim

5n2n。

n

3n2

1

（2）.lim

anbnn

anbn

（2）.lim（15)n

n

1

(4).lim

n

n1n

1

(5).lim(7).lim123n

2n

n

(6).lim

75n6n11

n

n1（8）lim（2

14n2)

n

n2

9

1

（9）lim

2142nn

1

1113





n

n

n

1n

10）.已知limnana2,求limnn

nnan

隋楚风极限飙车 篇6

初弄商潮

隋楚风大学毕业后就进入了一家大型外企上班，几年下来做到了中层管理者的位置，所以有很多管理的体会，加上公司大量的专业培训，他自认为已经找到了管理的真谛。只是由于环境的束缚，使得他没有太多的施展空间。

2000年夏天，他考虑再三后决定接手一个公司——中通聚合公司。这个公司规模不大，是专门经营电脑配件的，一个典型中关村模式的小公司。这个公司是隋楚风的几个朋友从柜台开始做起，最初从批发商那里拿货，抓到什么就卖什么。一段时间下来，虽积累了一些资金，但同时也丧失了很多做大的机会。

朋友几个有了一定的积累，不再满足于现状，而需要更大份额的蛋糕。他们需要一个更加专业的公司，也需要一个更加专业的人帮助他们，就在这时候隋楚风加盟。于是，注册资金50万元的中通聚合公司成立了。公司成立之后，显然就不能局限于柜台的售卖，而需要一个完整的发展规划。

通过对以往市场的分析，隋楚风认为，以前丧失的最大机会是没有成为一个大品牌机的代理商；同时认为，计算机的应用趋势将是网络化，因此网络产品的需求将是一个很大的空间。为此，隋楚风决定将业务重点转移到网络产品上，并要成为一个大品牌网络产品的经销商。他们还对以后可能遇到的风险做了分析，随后瞄准了某品牌的中低端产品，当时市场正处于混乱局面，这为他们提供了切入的好机会。他们决定代理D-link网络产品。

隋楚风对公司进行了整改。按照准事业部的形式建立了四个独立核算的部门，它们之间可以用长期赚取高额利润的关联业务配合短期赚小钱的业务。在产品分销的部门后面还设置了网络培训部门，以及系统集成部和当时很热的互联网业务部。为了减少风险，隋楚风为他们确定了长短线搭配的业务方向。

在确定组织架构以后，开始招兵买马。实际上当时并不是很好的时机，这个行业已经充满了竞争。竞争对手拥有多年的经验，而他们则刚刚起步，并且没有找到一个打破这种局势的办法，但隋楚风还是顶着压力起步了。开始时小心翼翼，只招聘了6个人。在人员不多的时候，公司的管理还是有序的。

艰难拓展

由于是代理商，这就决定了公司的业务是以销售为主。代理商往往要面临来自两方面的压力，首先是来自于厂家，也就是对销售量的要求；另外则是来自于市场，对市场开拓力度越大，产品销量才会越高。但是销量有时候不仅仅体现在性能上，更大程度上是价格优势。开始时，他们公司连最基本的销售任务都无法完成，根本的原因是因为对成本控制经验的不足，使得产品总是比别人的要贵，而竞争对手在市场决策的质量和速度方面表现非常出色。由于销量不足，厂家的支持也因此明显不足，而缺乏厂家的支持，销量也就更上不去。这形成了一个恶性循环。

为了能够完成销售任务，摆脱这种局面，隋楚风决定进行价格跟进，有时候甚至低于成本价进行销售。赊账在这一行是非常普遍的，一般下家拿货都不会先付款，直到卖出去后才付款，这要求商家要严格控制赊帐的额度和期限，不然会有很大的风险。可是当时，在一切以销售为中心的思想指导下，隋楚风连赊帐这种事情都疏于管理了。三个月以后销量是上去了，可利润率却远低于行业平均水平。

一直到这里，如果不去深究投资决策的问题，其做法似乎还没有什么错误。隋楚风被公司表面繁荣和快速增长的销量所迷惑了，虽然他心中也知道公司潜在的风险和软肋。公司盈利能力和资金控制能力的不足是最需要进行改善的，但改变这些需要承担很大的风险，在主观上他已经不愿正视了，他似乎在尽力地忘掉这些问题，眼睁睁地看着失败的到来。其实他可以有更合适的举措，比如可以加入能够提供更高利润率的产品，也可以修订付款流程加快资金流动，但他没有这样做，因为他对股东承诺每月要有高达两倍半的销售成长率。

为了能够达到更好的销售成长率，隋楚风甚至选择了招收更多的新员工，以增强促销力度，提高销量，并通过各种短期的手段刺激销量的增长。他不断地通过制定低于成本的售价、放松赊帐控制这些方法促使销售量进一步增长。最多的时候他一次招聘10多名员工，也没有为他们进行必要分工和培训。由于新员工的比例太大，对公司的文化、制度和监管等各个方面都构成了很大的挑战。另一方面，由于新员工的数量很多，直接管理已变得很困难。因此他不得不提拔一部分老员工作为中层管理者，他们虽然有很多实际的销售经验，但几乎没有任何管理经验。中层管理能力的薄弱，使人员管理逐渐失去了控制。同时，新老员工存在着明显的隔阂，企业中逐渐形成了一个个的小团体。隋楚风作为企业的最高层，当时最恐惧的事情就是不了解员工的想法。他对组织的疏于管理已渐显苗头。

在之后的一段时间里，公司的根本问题不但没有得到改善，反而越积越多，一些问题变得更加难以解决。本来公司还准备向系统集成、技术培训这些能够赚取很高利润的业务拓展，但它们的成长速度明显不如做产品分销。在产品分销压力越来越大的情况下，隋楚风只好头痛医头脚痛医脚，对具有高利润的业务不再关注，这些业务也渐渐地萎缩了，这使得整个公司的发展缺少足够的利润支持，日益陷入日常琐碎事务中的他渐渐放弃了对公司整体的思考和把握。

在一年后，公司因为销量高速增长，获得了厂商颁发的全国最佳成长大奖。但那一刻也成为一个转折点，公司经营由此加速失控。

刹车、刹车

显然，此时隋楚风和中通聚合公司都陷入了一个僵局中，犹如一辆在一直加油而导致超高速行驶的车，车辆已经几近失控。紧急刹车显然是根本行不通的，惟一的结果就是车辆的跑偏、翻车。中通聚合面临一个高度危险的时期。

其实，像隋楚风和中通聚合公司一样的企业，目前实在是太多了。为了迅速扩大领地、销售额、市场份额等数字指标，一味地拔苗助长，结果致使公司在充满假象的繁荣中衰竭、死亡。而对这类公司而言，企业均衡发展的重要性也就体现了出来。

隋楚风开始意识到问题的重要性了，但他已经陷入了两难的境地。如何让超速的车回到正常的速度上，他不知该如何操控方向盘。

此时，一个关键人物的加入，使得隋楚风和中通聚合在高度危险中得到了解救。她是隋楚风的大学同学冯雪梅，在深圳一家高级顾问公司工作。多年的工作经历，让冯雪梅在与隋楚风交谈了两次后，就对公司的现状一目了然。之后的10天时间中，冯雪梅仔细了解了财务、销售、事业管理几个部门的具体情况后，拿出了一个管理方案。应该说，在那个时期这个管理方案是否可以最终让隋楚风和中通聚合走出危险区，她也没有太大的把握。她将整个方案与隋楚风详细商谈后，得出的结果是，如果按照这个管理方案实施，即使无法帮助中通聚合走出危险区，至少可以起到一个缓冲作用。如果不实施，从财务上看，中通聚合马上就要面临因无法维系资金链而不得不崩盘的结果。

冯雪梅的分析是：公司由于过分追求局部的成长，丧失了对整体的控制，这是过于虚荣造成的。企业需要适当限制发展的速度，因为高速的增长在带来繁荣的同时，也带来了大量的管理问题。如果对这些问题没有做好准备，那么高速增长只能是巨大的风险。要仔细分析商业机会，有些看起来很好的机会，但如果管理者营运不当，实际上是企业未来的一场噩梦。

她采取的方案是，首先修改了付款流程以加快资金流动，因为产品在市场中已经占有一定的份额，并且下面的分销商也不断从中得到甜头，因此她决定逐步改变赊账的局面。刚刚开始的两周，分销商对于此种变化极为不满，销售也曾经一度出现大幅度下滑的局面。没多久，市场的需求让分销商不得不回头，销售也开始稳步回升。经过这一阶段的调整，资金回流速度增快，等于是轻点刹车，让这辆依然在高速行驶中的车稍稍摆脱了一味的提速。公司的资金控制力得到了提高。

其后，随着销售下滑时段的出现，冯雪梅适时选择对员工培训、考核，并且将每个人的业务能力进行分析、归类，同时，解聘部分考核不合格者。这项工作多少改变了公司内部混乱的局面。在这个阶段，冯雪梅让隋楚风做的工作就是细致了解公司每个人的情况，然后重新组合，加强管理。这个过程是很痛苦的，随着措施的实施，公司内部一度出现震动。然而，培训、考核、重组后，首要一点就是将原先的一个个小团体击破。公司利用这个阶段，将原先40多人缩减到不到30人。员工的凝聚力得到了一定程度的提高。

最后也是最根本的措施就是把握方向的问题。对于中通聚合，产品的单一、低利润率始终是公司发展的一大桎梏。两人利用3周的时间对市场进行了梳理，并且6次与股东商谈，最终得到股东们的赞同：现阶段集中精力开拓系统集成、技术培训这些能够赚取很高利润的业务方向。这意味着中通聚合以往那种带有假象的高速发展即将结束，公司将进入一个稳步调整业务范围的阶段。资金投入明显偏重新业务的发展，也会对固有业务造成一定影响。但是，一旦市场培育成熟，其较高的利润率一定会把中通聚合带入一个新的境界。这等于是在车辆即将失控之前，终于把握住了方向。

在整个企业管理过程中，三个措施对公司整体发展形成了一个科学的制约。直到公司整合告一段落时，冯雪梅才告诉了隋楚风一个事实：在她开始了解财务时计算过，如果再不进行调整，公司账务最多只能够维持2个多月。隋楚风惊出一身冷汗。

极限 篇7

一、两个重要极限及特征

undefined的特点

(1) 它是“undefined”型, 即若形式地应用“商”求极限的法则, 得到的结果是undefined。

(2) 在分式中分母、分子分别为角与该角的三角函数的比。

推广:如果undefined可以是有限数x0, ±∞或∞) 则

undefined

(1) lim (1+无穷小) 无穷大;

(2) “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数。

推广: (1) 若undefined可以是有限数x0, ±∞或∞)

则undefined

(2) 若undefined可以是有限数x0, ±∞或∞)

则undefined

二、常见不定式形式及其本质

undefined、undefined、-0·∞、∞·∞、1∞、00、∞0

以上七种类型的不定式中的1、0、∞都只是约定的记号, 并非确定的数, 而是以1、0、∞为极限的变量 (函数) 。因此, 其本质是表示在同一个极限过程中的两个无穷小量的比的极限问题, 如undefined;是表示在同一极限过程中的两个无穷大量的比的极限问题, 如undefined。至于其他类型的不定式, 通过适当的初等变换, 都可以转化为undefined或undefined型的不定式, 如undefined, 或undefined, 即是将 (0·∞) , (∞-∞) 转化成undefined型。上述问题的极限可用多种方法求解, 然而像undefined型“不定式”的极限中的一部分, 转化为两个重要极限或者与其等价的形式来求解, 显得更为简练快捷。

三、求undefined型不定式的极限

1.直接利用undefined或undefined公式①求极限

例1:求undefined

解:undefined (令undefined

例2:求undefined

解:undefined (其中φ (x) =1-cosx)

2.转化后利用公式①求极限

例3:求undefined

undefined

例4:求undefined

undefined

例5:求undefined

解:令arcsinx=t, 则x=sint且x→0时t→0

所以undefined

例6:求undefined

undefined

3.直接利用undefined或undefined公式②求极限

例7:求证:undefined

undefined

注意:本题证明并不难, 只须利用对数函数的连续性, 将左式变形, 即可得证。如果我们进一步深化思考还可得出一个推论, 即:将本题中的对数底数a换为e, 则其结果为1。这正体现了自然对数的优越性。

4.转化后利用公式②求极限

例8:求undefined

解:令undefined, 则undefined, 当x→∞时t→0

undefined

例9:求undefined

解:令undefined, 则undefined, 当x→∞时u→0

undefined

例10:求undefined

解:设t=tanx, 则undefined, 当x→0时t→0

于是undefined

例11:求undefined

解:设undefined, 则undefined

将此式两边取自然对数得:undefined

即undefined

但u≠0, 所以ln (1+u) ≠0

于是undefined, 当n→∞时, u→a0-1=0

undefined

注意:例8～例10貌似1∞型, 例11貌似0·∞型, 经过换元后均变成了undefined型, 进而利用公式②或上例结论顺利求解。特别地, 例11中若a=e时, 我们不难得出结论:

undefined, 由此我们还能得出一个近似计算公式:

eu-1≈u

此法在解下列类型极限中起着很大的作用, 请看下面的例题。

例12:求undefined的值

解:分析:本题仍属于undefined型不定式, 用undefined可解

设α-β=u, 则α=β+u

于是eα-eβ=eβ+u-eβ=eβ (eu-1)

当α→β时有u→0

故原式undefined

例13:求undefined的值 (α, β为常数)

undefined

上式第一项中, 令u= (α-β) x, 当x→0时, u→0, 由前例可知其值为lne, 第二项及第三项显然为1, 故, 原式=1

四、求1∞不定式的极限

1.直接应用公式①、②求解

例14:求undefined的值

undefined

例15:求undefined为常数) 的值

解:undefined, 当x→∞时, 有undefined, 所以原式=em

(想一想:undefined )

例16:求undefined的值

undefined

例17:求undefined

undefined

而undefined

显然, 当x→∞时, 有undefined

于是, 上式右端第一项趋向于1, 第二项趋向于1、0, 即趋向于0

从而undefined

undefined

注意: (1) 求底数含三角函数式的极限时宜进行拆项, 或者加“零”, 如例17中加的“零”是1-1; (2) 三角恒等变换亦应熟练; (3) 引进变量代换, 使其“形似”, 再利用公式①、②求解。

2.转化后利用公式①、②求极限

例18:求undefined的值

解:令x-1=u, 则x=u+1, 当x→+∞时u→+∞

故, 原式undefined

例19:求undefined的值

解:令undefined, 则cot2x=3u, 且当x→0时, tanx→0

所以u→∞

原式undefined

例20:求undefined的值

undefined

注意:合理进行初等函数的恒等变换是转化的关键。

小结:通过上面的探讨, 我们看到了借助“两个重要极限”可以使部分“不定式”的极限得到巧解;当然直接能利用“两个重要极限”解答的这类极限问题很有限, 大部分都需要经过转化 (转化的根据是初等函数的恒等变形) 。所以在平时训练时要善找窍门, 勤于总结, 系统归纳, 这样, 才能在解这类极限问题时收到事半功倍的效果。

参考文献

[1]刘玉琏.数学分析讲义练习题选解[M].北京:高等教育出版社, 1996.

极限 篇8

一、二重极限与累次极限的概念

1. 二重极限

定义1:设f为定义在DR2上的二元函数, P0为D的一个聚点, A是一个确定的实数。若对任给的正数ε, 总存在某正数δ, 使得当P∈U0 (P0;δ) ∩D时, 都有|f (P) -A|<ε, 则称f在D上当P→P0时, 以A为极限, 记作=A。在对于P∈D不致产生误解时, 也可简单写作=A。当P, P0分别用坐标 (x, y) , (x0, y0) 表示时, 上式也常写作

在研究的极限中, 两个自变量x、y同时以任何方式趋于x0、y0, 这种极限也称为重极限。如果x与y依一定的先后顺序相继趋于x0与y0时f的极限, 这种极限称为累次极限。

2. 累次极限

定义2:设Ex, EyR, x0是Ex的聚点, y0是Ey的聚点, 二元函数f在集合D=Ex×Ey上有定义。若对每一个y∈Ey, y≠y0存在极限f (x, y) , 由于此极限一般与y有关, 因此记作φ (y) =, 而且进一步存在极限L=, 则称此极限为二元函数f先对x (→x0) 后对y (→y0) 的累次极限, 并记作L=或记作

二、二重极限与累次极限间的关系

1. 二者间没有必然关系

累次极限与重极限是两个不同的概念, 它们的存在没有必然的蕴含关系。我们来看两个例子。

例1:设f (x, y) =, 它关于原点的两个累次极限分别为。当沿斜率不同的直线y=mx, (x, y) → (0, 0) 时, 所得极限也不同, 因此该函数的重极限不存在。

例2:设f (x, y) =, 它关于原点的两个极限都不存在。因为对任何y≠0, 当x→0时f的第二项不存在极限。同理, 对任何x≠0, 当y→0时f的第一项也不存在极限, 但是由于≤|x|+|y|, 故按定义1知道f的重极限存在, 且

以上两道例题, 例1说明两个累次极限存在且不相等, 二重极限不存在;例2说明了两个累次极限都不存在, 可二重极限存在。

2. 二者在一定条件下的联系

定理:若f (x, y) 在点 (x0, y0) 存在重极限与累次极限, 则它们必相等。

证明:设=A, 则对任给的正数ε, 总存在正数δ, 使得当P (x, y) ∈U0 (P0;δ) 时, 有|f (x, y) -A|<ε (1) , 另由存在累次极限之假设, 对任一满足不等式0<|x-x0|<δ (2) 的x, 存在极限=φ (x) (3) , 回到不等式 (1) , 让其中y→y0, 由 (3) 可得|φ (x) -A|≤ε (4) , 故由 (2) 、 (4) 证得

由此定理可导出两个便于应用的推论。

推论1:若累次极限, 重极限都存在, 则三者相等。

推论2:若累次极限存在但不相等, 则重极限必不存在。

上述定理保证了在重极限与一个累次极限都存在时, 它们必相等。但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论。推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件;推论2可被用来否定重极限的存在性。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001.

[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].上海:同济大学出版社, 2004.

[3]姜东平, 江惠坤.大学数学教程[M].北京:科学出版社, 2005.

[4]洪毅.数学分析[M].广州:华南理工大学出版社, 2001.

[5]徐森林, 薛春华.数学分析[M].北京:清华大学出版社, 2005.

[6]刘玉琏, 傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社, 2003.

极限滑雪安全垫 篇9

8年前, 年仅20岁的阿龙·克莱特脚穿单板滑雪板在加拿大西部的一座山上飞驰而下, 他飞速向着一个15米长的坡道做了一个又一个熟悉的动作。但是, 当他腾空时, 出现了失误, 肩膀下沉过度了一点儿, 使这个旋转动作失控, 背部着地, 顷刻间失去了知觉。后来他成了高位截瘫, 颈部以下完全没了知觉。

后来在住院时, 他常想, 如果滑雪选手做惊险动作时, 万一失误有一个防护垫就不会造成他今天这个样子了。克莱特寻求了他最要好的朋友斯蒂芬·斯兰的帮助。 斯兰是加拿大不列颠哥伦比亚大学的一位工程学学生, 他让克莱特的梦想变成现实。

单板滑雪选手为了在空中完成翻腾和旋转, 必须要懂得如何利用重力优势。当滑板的速度在下坡越来越快时, 运动员就会集中力量, 这种力量产生的惯性很难使自己停止, 甚至可以将选手拖到很远。

滑板选手接近跳跃时, 获得了足够的动量克服重力进行空中飞行。但是如果这一技巧, 没控制好重力就变成了不利因素。当这种力将滑雪运动员身体扭曲时, 就形成了一种潜在的危险着陆姿态。

所有极限单板滑雪运动员都会犯这种错误, 尤其是当他们学习新动作时。但是直到最近, 也没有一种更为安全的方法来进行新动作的练习。而克莱特和斯兰过去有时练习新的技术是在游泳池中, 这样即便动作不成功也不会使身体受伤。不过这种体验和真正从雪山上滑行做动作是不同的。

克莱特和斯兰于是决定创造发明一种充气垫来解决练习新动作时受伤的问题, 这种垫子叫做“卡塔尔着陆垫” (KATAL LANDING PAD) , 当极限单板滑雪选手在气垫子上着陆时, 垫子能吸收冲击力。

在克莱特出现事故后的7个月, 他坐着轮椅回到了学校。他和斯兰便着手研制垫子的工作。他俩知道这种着陆垫是专为滑雪单板选手在斜坡上着陆而准备的, 而且必须非常适应这种地形。

极限滑雪安全垫使运动者在落地时

首先, 这种着陆垫的形状要非常合适。当滑雪选手起跳时, 他们沿着抛物曲线运动, 这是由于重力在拖着他们。克莱特和斯兰将气垫倾斜摆放, 使其与滑雪运动员的跳跃腾空落到山坡上时的轨迹相对应。

而且, 着陆垫需要一个像雪一样光滑的平面。如果表面粗糙, 在雪板接触时会产生较大的摩擦力, 容易让滑雪者摔倒。故而, 克莱特和斯兰采用光滑的乙烯塑料做表面材料。

最后, 着陆垫必须能让滑雪者起到缓冲作用, 但是也不能太软, 以免使得滑雪者沉入垫子里面。为了测试好恰如其分的支撑度, 克莱特和斯兰设计了一种带有双层空气室的着陆垫。

这种设计的上层气室被密封, 使其足够坚硬牢固, 让滑雪者着陆后保持站立状。而下面的气室有阀门可让空气排出, 以帮助气垫兜住滑雪者的身体。这就像一个充气的城堡一般。同时充气垫在启用时利用电吹风机不断吹气以保持其富有弹性。

对于极限滑雪的初学者和职业运动员都可利用这种着陆垫完成它们的动作技巧。克莱特和斯兰目前已经开发出两款样品, 大型着陆垫售价42000美元, 而迷你型则只有25000美元。目前正在世界各地的滑雪圣地, 例如科罗拉多的威尔和俄罗斯的基洛威斯克等展出。

求极限的方法 篇10

一、“变换代入法”

有的函数可通过初等代数变换 (如因式分解或分子.分母有理化, 或分子和分母同除以代数式, 化简去掉零子或无穷大因式, 再利用极限运算法则和连续函数定义undefined代入即可.

例1 求f (x) =|x-2|, 求undefined

解undefined

例2 (0801) 求undefined

解undefined

例undefined.

解undefined

二、“公式法”

利用两个重要极限公式:undefined和代数函数当x→∞极限:

undefined

利用上述公式关键是认清它们的标准形式和蕴涵的条件, 并能熟悉它们的扩充和变形形式, 如:

undefined

对于不符合条件不能使用, 例如undefined不能用上述公式, 可利用无穷小量的性质求得undefined.考题一般需要通过代数、三角变换或变量替换后, 化为符合公式条件下才应用.两个重要公式几乎每次都考到.有时单独使用, 更常与其他方法 (如利用函数的连续性质等) 综合使用, 特别是对于连续的复合函数, 极限符号可以先与函数符号交换, undefined, 再根据函数的形式选择相应的方法.

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例6 (1001) 求undefined

undefined

例undefined

解undefined

三、“求导法”

对于未定式极限undefined, 常直接利用洛必达法则 (先分别求出分子和分母的导数再求极限) .其他未定式极限:0·∞, ∞-∞, ∞0, 0∞, 1∞, 可通过通分、对数数恒变形等手段化为undefined.利用洛必达法则是求未定式极限的常用有效的办法.但必须注意只有undefined, 且undefined存在方可直接利用, 而且只要条件符合可多次使用.用法则失败时, 要考虑用其他办法解决.用洛必达法则时常常结合使用其他方法 (如用无穷小替换定理) .此方法每年必考.

例8 (0901) 求极限undefined

解undefined

例undefined

undefined

例10 (0907) 求极限undefined

undefined

例undefined

解 原式undefined

例undefined

undefined

另解undefined

∴原式undefined

四、“无穷小法”

利用无穷小的性质 (如无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量) 及无穷小替换定理也是常用的方法.无穷小替代, 注意不能进行和差分别代换, 只能整体代换.常用的无穷小替换有:undefined

此方法常和其他方法结合使用.

例13 (0807) 求极限undefined

解 原式undefined

例14 (1001) 求限极undefined

解undefined原式=0.

例15 (0904) 求极限undefined

undefined

又undefined原式=0.

例undefined

解 此题属1∞型.设undefined

undefined

五、“求单侧极限法”

对于分段函数分段点两侧表达式不同的分段点极限要分别求出左右极限, 然后才能判断函数在该点的极限是否存在.

例17 (1001) 已知

undefined

在x=1处连续, 则k=____.

解 此题关键是求undefined是分段点且两侧表达式不同, 要分别求出左右极限.

undefined

A.2 B.1 C.4 D.∞

解 x=2是分段点但两侧表达式相同.

undefined

例19 (1004) 已知

解 x=1是分段点且两侧表达式不同, 要分别求出左右极限.

undefined

六、其他方法

另外对于一些特殊复杂的数列, 要采取相应的特殊方法, 如用夹逼准则、单调有界数列必有极限法则或用等比和等差求和公式先求和再求极限等方法.

例undefined

A.0 B.1 C.不存在D.∞

undefined

又undefined原式=1.

例undefined

A.6 B.3 C.2 D.∞

解 根据等比数列前n项和公式得undefined

∴原式undefined

极限是高数最基本的概念.导数、定积分定义式是极限形式, 级数也与极限密切相关.因此, 利用这些导数、积分、级数知识可丰富求极限的方法.如利用导数、定积分定义、中值定理、泰勒公式、级数也可求极限.对于有些特殊极限还可利用定义和柯西准则.解答题中求极限一般需诸法并用.

例22 (0807) 设f′ (1) =1, 则undefined

解 根据导数定义, undefined

∴原式undefined

例23 (0810) 设f′ (0) =1, 则undefined

解 根据导数定义, undefined

∴原式undefined

例24 (1004) 设函数

undefined

试确定常数a和b的值, 使得在x=0处连续.

解 此题是综合题, 关键是求undefined,

因为x=0是分段点且两侧表达式不同,

所以要分别求出左右极限.

undefined (变换代入法) .

undefined (用公式法) .

undefined

摘要：极限运算是高等数学中的最基本运算, 本文结合近年来的全国自考高数 (一) 题目谈谈求极限常用方法.