三角函数式求值的几种题型

近几年的高考考题中都出现了三角函数式求值, 也是高考考试大纲要求的必考内容。三角函数的高考考题一般出现在中等难度题型中, 考察学生灵活运用基础知识的能力。三角函数主要体现了等价的数学思想, 三角函数问题均以考查三角变换为核心。熟练掌握并能灵活运用有关三角函数的方式, 掌握变换技巧与方法对高中生来说是很必要的。

一、给出角终变上一点, 利用三角函数定义即可求出角的各个三角函数值

例1已知角a终边上一点P (-3, 4) , 求sina, cosa, cota, seca的值。

这类问题比较简单, 只需掌握三角函数的定义即可。

二、给角求值

要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式, 特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式;灵活运用以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

例2求值:sec50°+tan10°

解析:sec50°+tan10°

总结评述:本题的解题思路是:变角→切割化弦→化异角为同角→转化为特殊角→约去非特殊角的三角函数。

解此类问题的方法是:化切、割为弦, 化异角为同角, 化大角为小角, 化高次为低次。对于不同的题目还要采用不同的策略, 需要学生灵活思考。

三、给值求值

给出角的某个三角函数值, 求其他的三角函数式的值, 常用到同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、和差公式, 有时会用到辅助角公式和“配角”的技巧, 解题的关键是找出已知条件与所求的函数值之间的角的运算及函数名称的差异, 对已知式与所求式加以适当的变形, 以达到解决问题的目的。

采用不同解题方法, 可以有效提高学习效率, 培养灵活运用知识的能力。

四、给值求角

给出三角函数值求角的关键有二: (1) 求出要求角的某一三角函数值 (通常以正弦或余弦为目标函数) 。 (2) 确定所求角在 (已求该角的函数值) 相应函数的哪一个单调区间上 (注意已知条件和中间所求函数值的正负符号) 。

例4若、β∈ (0, π) , , 求2+2β的值。

解析:由已知不难求出tanα与tan2β的值, 这就可求出tan (2+2β) 的值, 所以要求a+2β的值, 关键是准确判断a+2β的范围。

总结评述:给值求角问题中, 求出三角函数值后, 要注意限制角的范围。

五、求三角形内的角或三角函数值

要求能够掌握、运用正弦定理和余弦定理。

例5在△ABC中, 边a, b, c的对角分别为A、B、C, 且满足sin2A+sin2C-sin A·Sin C=sin2B, 求角B的值。

总评:此题利用正弦定理化三角函数关系式为三角形的边的关系, 再由余弦定理用边的关系求角。解题方向要明确。

三角函数考题比较灵活, 解题策略多样, 公式较多, 通过平时的训练培养学生思维水平, 提高学生解题应用能力。