函数问题总结（通用10篇）
篇1：函数问题总结
对数函数中与二次函数有关的问题
教学目的：通过一些例题的讲解 , 对对数函数的性质、图象及二次函数的一些问题进行复习，使学生加深对函数的认识 , 能够对一些有难度的题进行分析。教学难点：复合函数中定义域及值域的求解。 换元后新变量的定义域的确定。教学过程：在前段时间中我们学习了对数函数和它们的一些性质 , 下面我们就先来复习一下有关知识 ( 点击性质 , 见幻灯片 2) 。 下面我们来做两道复习巩固题。 1. 求 的定义域。 （要求一个比较复杂的函数的定义域，首先要看清这个复杂函数是由哪几个简单函数构成的．在此是三个以十为底的对数函数，所以我们只要考虑其真数部分要大于0即可．由此可列出三个不等式．习惯上用大括号括起来，表示要同时满足．） 分析： x>0 0可以写成 lg1 ，而该函数为单调递增函数，由此可解出． 综上所述 x>10 。 2. 试比较 与 的大小。 对于一般的比较大小问题，我们可以通过函数的增减性来解决．这道题目显然也是通过此途径来解决．但是其给出的条件不是很明确，那么我们就只能先从对数函数本身的条件作为着手点． 解： 由这个条件，可以知道这个函数是单调递增的，即真数大的函数值就大． （请学生口述，屏幕显示．第三条可能不会考虑） 则有：当 x-1>3 即 x>4 时， ＞ 当 0
篇2：函数问题总结
1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．
2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题． 教学重点
求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值． 教学难点
将实际问题转化成二次函数问题． 教学过程
一、导入新课
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．从这节课开始，我们就共同解决这几个问题．
二、新课教学
问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．
然后让学生计算当t＝
1、t＝
2、t＝
3、t＝
4、t＝
5、t＝6时，h的值是多少？
再让学生根据算出的数据，画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．
根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．
教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题． 当t＝3时，h有最大值＝45．
答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．
问题2 如何求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值？ 学生根据问题1归纳总结：当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．
三、巩固练习
探究1 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ 教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值．
解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长（－l）m．场地的面积S＝l(30－l)，即S＝－l2＋30l（0＜l＜30）．
因此，当l＝－＝－＝15时，S有最大值＝＝225．也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大．
四、课堂小结
利用二次函数解决实际问题的过程是什么？
找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值．
五、布置作业
习题22.3 第1、4题．
22.3.1实际问题与二次函数说课稿
教材分析
本节课中关键的问题就是如何使学生 把实际问题转化为数学问题，商品销售问题何时获得最大利润这正是我们研究的二次函数的范畴，二次函数化为顶点式后，很容易求出最大至于最小值，从而把数学知识运用于实践，即时否把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。学生分析
学生活泼好动有大但好奇好胜的特点，本节课对于学生之间的相互合作交流，共同探索，培养和提高学生全新的思维能力，探索规律的能力。设计理念 在探索规律的活动中，鼓励学生，提高教学质量，强化解决问题的意识，从而把更多的精力投入到现实的探索性，创造性的数学活动中去。教学目标 知识技能：
1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．
2.通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。过程与方法：
1、通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学建模的思想。
2、通过对“矩形面积”的学习和探究，渗透转化及分类的数学思想方法。
3、通过对生活中实际问题的研究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题。情感态度价值观：
1、通过“二次函数的最大值“的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣。
2、体会到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。重点难点 重点：
让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法，会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值． 难点： 运用二次函数的知识解决实际问题。关键: 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数知识求出实际问题中最大（小）值，发展解决问题的能力。教学方法
在教师的指导下自主学习法 教学过程
1.创设情境，引入主题
[问题1] 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．
然后让学生计算当t＝
1、t＝
2、t＝
3、t＝
4、t＝
5、t＝6时，h的值是多少？
再让学生根据算出的数据，画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．
根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．
教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题． 当t＝3时，h有最大值＝45．
答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．
[问题2 ]如何求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值？ 学生根据问题1归纳总结：当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．
2.[探究1]现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，（1）若矩形的长为10米，它的面积是多少？（2）若矩形的长为15米，20米，30米时，它的面积有多大？（3）从上两问，同学们发现了什么？教师提出问题，学生独立回答，通过几个简单的问题，让学生体会两个变量之间的关系 在活动中，教师应重点关注： 学生是否发现了两个变量。学生是否发现了矩形长的取值范围。通过矩形的面积的探究，激发学习欲望。自主阅读，合作交流
创设自主学习情景 教师引导学生分析与矩形面积有关的量，教 师要深入小组参与讨论。在活动中，教师应重点关注：(1）学生是否能准确的建立函数关系
（2）学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积。（3）学生是否能准确讨论出自变量的取值范围。通过这种设计，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考察问题的完善性。
小组评价，问题生成
(1)创设问题探究性情境有矩形面积问题，你有哪些收获？学生思考回答，师生共同归纳得到：（1）二次函数是现实生活中的模型，可以用来解决实际问题。(2)利用函数的观点来认识问题，解决问题。通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。综合问题，引发思考 归纳，总结
本节课你后哪些收获？有哪些新的问题？和同伴交流交流。教学反思
因此在本节课的设计上突出了引导学生观察、分析、思考、归纳、猜想、判断的过程，充分注意了让学生去经历初步用数学的思维方式进行观察、分析判断的体验过程。这一教学过程实质上是课程标准中要求我们达到的目标—不是培养学生“学新知识”而是去“生长知识”，也为培养学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的数学知识以及数学思想方法和应用技能，打下良好的基础。
篇3：函数问题总结
一、寻根溯源找函数模型
高考中的多数函数问题是以具体函数为模型,如一次函数、反比例函数、二次函数、分式型函数、指数对数函数、幂函数、高次多项式函数等都是常涉及的函数,因此,解题时根据抽象函数的性质,通过猜想它可能为某种基本函数找出抽象函数的原型,在不需解题过程的填空、选择题中, 可直接用原型函数求解得到答案.
例1( 2009山东) 已知定义在R上的奇函数f( x) 满足f( x +2) = - f( x) ,则f( 6) 的值为() .
A. - 1B. 0C. 1D. 2
分析本题是求抽象函数值问题. 由条件易知,f( x) 的原型函数是f( x) = sinπ/2x,当x = 6时,f( 6) = sin3π = 0. 答案选B.
例2 ( 2009天津) 设函数f( x) 在R上的导函数为f'( x) ,且2f( x) + xf'( x) > x2,下面的不等式在R上恒成立的是() .
A. f( x) > 0B. f( x) < 0C. f( x) > xD. f( x) < x
分析本题主要考查导函数与函数模型的应用. 解决问题的关键是用特例法.
解可取f( x) =1/ 2x2+1 /2,则f( x) 满足条件,验证各个选项,得B,C,D都不恒成立. 答案选A.
例3 ( 2010安徽) 设 ,则a,b,c的大小关系是( ) .
A. a > c > bB. a > b > c C. c > a > bD. b > c > a
解析因为a,c的指数相同底数不同,选用幂函数y = x 2/ 5 ,在x > 0时是增函数,则a > c,而b,c的底数同指数不同,选用指数函数y =(2/5) x在R上是减函数,则c > b. 答案选A.
二、抓住函数性质
例4 ( 2012重庆理7) 已知f( x) 是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f( x) 为[0,1]上的增函数”是“f( x) 为 [3,4]上的减函数”的() .
A. 既不充分也不必要的条件B. 充分而不必要的条件
C. 必要而不充分的条件D. 充要条件
答案D.
解析因为f( x) 为偶函数,所以当f( x) 在[0,1]上是增函数,则f( x) 在[-1,0]上则为减函数,又函数f( x) 的周期是4,所以在区间[3,4]也为减函数. 若f( x) 在区间[3,4] 为减函数,根据函数的周期可知f( x) 在[-1,0]上则为减函数,又函数f( x) 为偶函数,根据对称性可知,f( x) 在[0,1]上是增函数. 综上可知,“f( x) 在[0,1]上是增函数”是“f( x) 为区间[3,4]上的减函数”成立的充要条件,选D.
例5 ( 2009辽宁) 已知偶函数f( x) 在区间[0,+ ∞ ) 上单调递增,则f ( 2x - 1) < f(1/3)的x的取值范 围是( ) .
A.(1/3,2/3)B.[1/3,2/3)C.(1/2,2/3)D.[1/2,2/3)
答案A.
分析本题解题关键是利用偶函数性质f( x) = f( - x) = f( | x | ) 建立正确的不等式求出x的取值范围,学生往往只建立正数范围的不等式而漏掉负数范围.
解由已知有︱2x -1 ︱<1 /3,即 -1 /3< 2x - 1 <1/ 3,解得1/ 3< x <2 /3. 选A.
例6 ( 2012山东) 定义在R上的函数f( x) 满足f( x + 6) = f( x) . 当 - 3≤x < - 1时,f( x) = - ( x + 2)2,当 -1≤x≤3时,f ( x) = x. 则f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + … + f ( 2012 ) = () .
A. 335B. 338C. 1678D. 2012
分析由条件f( x +6) = f( x) 挖掘出函数的周期性质, 解题时注意题目给出的两个区间的对称性.
解由f( x + 6) = f( x) ,可知函数的周期为6,所以f( - 3) = f( 3) = - 1,f( - 2) = f( 4) = 0,f( - 1) = f( 5) = - 1,f( 0) = f( 6) = 0,f( 1) = 1,f( 2) = 2,所以在一个周期内有f( 1) + f( 2) + … + f( 6) = 1 + 2 - 1 + 0 - 1 + 0 = 1,所以f( 1) + f( 2) + … + f( 2012) = f( 1) + f( 2) + 335×1 = 335 + 3 = 338. 选B.
三、巧用数形结合
数形结合思想方法是重要的数学思想方法,借助函数图像的研究寻找问题的解决途径,用数形结合解题直观,便于发现问题,启发思考,特别是选择题、填空题,灵活应用此法可达到事半功倍的效果.
例7 ( 2011天津理7) 已知
A. a > b > c B. b > a > c C. a > c > b D. c > a > b
答案C.
分析本题借助函数图像能迅速比较指数的大小.
解析令m = log23. 4,n = log43. 6,l = log3 10/3 ,在同一坐标系下作出三个函数的图像,由图像可得m > l > n.
数形结合思想方法还能贯穿到三角函数、平面解析几何中,例如: 如果实数x,y满足等式( x -2)2+ y2= 3,求y /x的最大值. 解析: 解题抓住已知等式( x -2)2+ y2= 3表示的图形是以点( 2,0) 为圆心 为半径的圆,作出图形,所求的y/ x表示这个圆上的点和原点连线的斜率,由图形能很快求出y/ x的最大值.
篇4：函数问题总结
一、 分段函数的含义
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数.对它应有以下两点基本认识：
（1） 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
二、分段函数的定义域
这类问题先求出各分段上的解，然后再合并，体现了“先分后合”的思想.
【例1】
设函数f(x)=2-x-1（x≤0），x12 （x＞0），
若f(x0)>1，求x0的取值范围.
解：若x0≤0，则有2-x0-1>1，得x0<-1；若x0>0，则有 x12 0>1，得x0>1.综合可得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
三、 求函数的值域
求函数的值域关键在于“对号入座”：即看清待求函数值的自变量所在区域，再用分段函数的定义即可解决.
【例2】 已知函数f(x)=x2+1,x∈［0,2］;3x-1,x∈(2,4］;11,x∈(4,+∞),
求函数f(x)的值域.
解：当x∈［0,2］时，f(x)∈［1,5］；当x∈(2,4］时，f(x)∈(5,11］；当x∈(4,+∞)时，f(x)=11.故函数f(x)的值域为［1，11］.
四、求分段函数的函数值
求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值.
【例3】 已知函数f(x)=2x(x＜0),3(0≤x≤1),log13 x(x＞1).
求f{f［f(a)］}(a<0)的值.
分析：f(x)是分段函数，要求f{f［f(a)］}，需要确定f［f(a)］的取值范围，为此又需确定f(a)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解.
解 ∵a＜0,∴f(a)=2a,∵0<2a<1,∴f［f(a)］=f(2a)=3,∵3>1,
∴f{f［f(a)］}=f(3)=log13 3=-12.
五、 求分段函数的解析式
求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式，求此函数在另一区间上的解析式，常用解法是待定系数法、数形结合法等.
【例4】 设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.
解：(1)当x≤－1时，设f(x)=x+b.∵射线过点(－2，0)，∴0=－2+b，即b=2，∴f(x)=x+2.
(2)当－1 ∴f(x)=－x2+2. (3)当x≥1时，f(x)=－x+2. 综上可知，f(x)=x+1（x≤-1），2-x2(-1＜x＜1),-x+2（x≥1）. 【例5】 已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5. (1)证明：f(1)+f(4)=0; (2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式； (3)试求y=f(x)在［4,9］上的解析式. 解：(1)证明：∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4－5)=f(－1).又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)当x∈［1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4). (3)∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0.又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1).∵f(1)=2(1－2)2－5=－3,又f(1)=k?1=k,∴k=－3.∴当0≤x≤1时，f(x)=－3x；当－1≤x＜0时，f(x)=－3x；当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)=－3(x－5)=－3x+15,当6＜x≤9时，1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5.∴f(x)= -3x+15(4≤x≤6),2(x-7)2-5(6＜x≤9). 六、 求分段函数的最值 求分段函数的最值常用的方法有：（1）数形结合法；（2）逐段分析，再综合求解. 【例6】 求函数y=2x+3(x≤0),x+3(0＜x≤1),-x+5(x＞1) 的最大值. 解法1：先求每个分段区间上的最值，后比较求值. 当x≤0时,y=f(x)=2x+3,此时显然有ymax=f(0)=3; 当0 当x>1时，y=f(x)=-x+5，此时y无最大值. 比较可得当x=1时,ymax=4. 解法2：利用函数的单调性. 由函数解析式可知，f(x)在x∈(-∞,0)上是单调递增的，在x∈(0,1)上也是递增的，而在x∈(1,+∞)上是递减的， 由f(x)的连续性可知,当x=1时,f(x)有最大值4. 解法3： 作函数y=f(x)的图像（如右图），显然当x=1时，ymax=4. 说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得. 七、 判断分段函数的奇偶性 所谓函数的奇偶性是指整个函数的性质，首先其定义域一定关于原点对称，然后要在全定义域上满足f(x)=f(-x)就是偶函数，f(x)=-f(-x)就是奇函数.一段是偶函数,一段是奇函数这种说法是不对的.判断分段函数的奇偶性，应先判断其定义域是否关于原点对称，再对x的值进行分类讨论. 【例7】 判断函数f(x)=12 x2+1(x＞0)，-12 x2-1(x＜0) 的奇偶性. 解:当x >0时,－x<0 ,于是f(-x)=-12(-x)2-1=-12x2-1=-f(x)； 当x <0时,－x >0,于是f (x)=-f (－x)，∴f (x)为奇函数. 注: 当x>0时,检验f (－x)=－f(x),并不能说明f(x)具备奇偶性.因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画.因此必须x>0，x<0均有f (－x)=－f (x)成立，二者缺一不可. 八、求分段函数的反函数 求分段函数的反函数应先求出各个区间上的反函数及其定义域，再合并得到分段函数的反函数. 【例8】 求函数f(x)=x2-4(-2≤x＜0),16-x2(0≤x＜4) 的反函数. 解：当-2≤x＜0时，y=x2-4∈(-4,0］，由y=x2-4反解得x=-y+2， 故当-2≤x＜0时，反函数为y=-x+2(-4＜x≤0)； 当0≤x＜4时，y=16-x2∈(0,4］，由y=16-x2反解得x=16-y2， 故当0≤x＜4时，反函数为y=16-x2(0＜x≤4). 所以函数f(x)的反函数为 f-1（x）=-x+2(-4＜x≤0),16-x2(0＜x≤4). 九、解分段函数不等式 【例9】 定义符号函数sgnx=1(x＞0)，0（x=0），-1（x＜0）， 则不等式x+2＞(2x-1)sgnx的解集是 . 解：原不等式可化为： （1）x＞0，x+2＞2x-1， 即0＜x＜3； （2）x＜0，x+2＞(2x-1)-1， 解得-3+334 ＜x＜-3+334 ； （3）x=0，x+2＞(2x-1)0， 即x=0. 综上得｛x|-3+334 ＜x＜3｝. 十、求分段函数的方程的解 【例10】 函数f(x)=x+6(x≤-2），x3(-2＜x≤4)3x(x＞4)， ，解方程f(x)=3. 解：当x≤-2时，由f(x)=x+6=3得x=3； 当-2＜x≤4时，由f(x)=x3=3得x=33； 当x＞4时，由f(x)=3x=3得x=1，不合题意. 综上，方程f(x)=3的解为x=-3，或x=33. 函数是高中数学的重点知识，涉及很多思想、方法，分段函数首先是函数，并且是一个函数，不是多个函数，其关键是根据各段解析式的自变量取值范围来取对应的解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想. 小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元。 （1）试写出小明的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式。（2）小明的同学小张以前没有存过零用钱，听到小明在存零用钱，表示从现在起每个月存18元，争取超过小明。半年后小张的存款数是多少？能否超过小明？至少几个月后小张的存款数超过小明？ 解：（1）设小明的存款数y,从现在开始的月份数x y=50+12x(2)半年后小张的存款数是18*6=108元,小明的存款数=50+12*6=110元 还没有超过小明 （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 解：（1）根据题意，得y=（2400-2000-x）（8+4×），即； （2）由题意，得 整理，得x2-300x+20000=0，解这个方程，得x1=100，x2=200，要使百姓得到实惠，取x=200，所以，每台冰箱应降价200元； （3）对于 当时，y最大值=（2400-2000-150）（8+4×）=250×20=5000，所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最高，最高利润是5000元。 ． 2、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？ 解：（1）y=（210-10x）（50+x-40）=-10x2+110x+2100（0≤x≤15且x为整数）； （2）配方法，有y=-10（x-5.5）2+2402.5∵a=-10<0 ∴当x=5.5时，y有最大值2402.5 ∵0≤x≤15，且x为整数 当x=5时，50+x=55，y=2400 当x=6时，50+x=56，y=2400 ∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元； （3）当y=2200时，-l0x2+110x+2100=2200 解得x1=1，x2=10。 ∴当x=1时，50+x=5 1当x=10时，50+x=60 ∴当售价定为每件51或60元时，每个月的利润恰为2200元 当51元≤售价≤60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价为51，52，53，54，55，56，57，58，59或60元时，每个月的利润不低于2200元）。 3、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售 经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个； （1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是______________________个；（用含x的代数式表示）（4分） （2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分） 解：（1）.(10+x)（500-10x） （2）.500-10x （3）.由(10+x)（500-10x）=-10x2+400x+5000=-10（x-20）2+9000得最大利润9000 此时售价604、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上 涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？ (1)y=(210-10x）(50+x-40)=-10x^2+110x+2100=-10(x-5.5)^2+2402.5(0≤x≤15) (2)∵X为正整数∴最大利润代入X=5（或者6），y=2400 (3)根据题意，得（210-10x）（10+x）=2200． 整理，得x2-11x+10=0，解这个方程，得x1=1，x2=10 ∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60． 中考是九年义务教育的终端显示与成果展示，中考是一次选拔性考试，其竞争较为激烈。为了更有效地帮助学生梳理学过的知识，提高复习质量和效率，在中考中取得理想的.成绩，下文为大家准备了中考数学复习的内容。 初中数学所涉及的函数无非也就一次函数，反比例函数以及二次函数。二次函数基本上只会考和一次函数的综合问题，二次函数与反比例函数基本不会涉及。所以如何掌握好一次函数与反比例函数的综合问题就成为了又一重点。这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。 一次函数、反比例函数以及二次函数是初中数学需要掌握的函数知识内容，也是中考必考的热门知识板块。纵观近几年全国各地中考试题，我们发现二次函数基本上与一次函数结合的综合问题较多;二次函数与反比例函数基本不会涉及; 一次函数与反比例函数的综合问题时一个“冷门”中考考点。 例1(2014·滨州）如图1，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4.反比例函数(x<0）的图像经过顶点C，则k的值为_____. 【分析】先根据菱形的性质求出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值. 解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4, ∴C(-3,2). ∵点C在反比例函数的图像上， ∴，解得k=-6. 例2(2014·安顺）如果点A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3）都在反比例函数(k>0）的图像上，那么y1,y2,y3的大小关系是（）. A.y1<y3<y2B.y2<y1<y3 C.y1<y2<y3D.y3<y2<y1 方法一：分别把各点的横坐标代入反比例函数(k>0）中，求出y1,y2,y3的值，再比较其大小即可. 方法二：反比例函数(k>0）的图像在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小.A(-2,y1),B(-1,y2）在第三象限，因为-2<-1，所以y2<y1<0，因为点C(2,y3）在第一象限，所以y3>0，所以y3>y1>y2. 【点评】比较反比例函数值的大小，在同一个象限内，根据反比例函数的性质比较；在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定. 例3(2014·湘潭）如图2,A,B两点在双曲线上，分别经过A,B两点向x轴、y轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=(). A.3 B.4 C.5 D.6 【分析】欲求S1+S2，只要求出过A,B两点向x轴、y轴作的垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线的系数k，由此即可求出S1+S2. 解：∵A,B是双曲线上的点，分别经过A,B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图像的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4, ∴S1+S2=4+4-1×2=6. 故选D. 【点评】利用反比例函数中k的几何意义解决有关面积问题时，要注意点的坐标与线段长之间的转化. 例4(2014·广东）如图3，已知A(-4,),B(-1,2）是一次函数y=kx+b与反比例函数(m≠0,m<0）图像的两个交点，AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D. (1）根据图像直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ (2）求一次函数的解析式及m的值； (3)P是线段AB上的一点，连接PC,PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标. 【分析】（1）根据一次函数图像在反比例函数图像上方的部分是不等式的解，观察图像，可得答案； (2）根据待定系数法，可得函数解析式； (3）根据三角形面积相等，可得答案. 解：（1）由图像得一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的x的取值范围是-4<x<-1，即当-4<x<-1时，一次函数的值大于反比例函数的值. (2）设一次函数的解析式为y=kx+b. 因为一次函数y=kx+b的图像过点（-4,),(-1,2), 所以一次函数的解析式为. 因为反比例函数的图像过点(-1,2), 所以m=-1×2=-2. (3）连接PC,PD，如图4, 设点P的坐标为. 由△PCA和△PDB的面积相等，得 ∴点P的坐标是. 1.函数零点求解方法 把求函数零点问题转化为方程的实数解问题，求方程的实数解。 例1.求下列函数零点 （1）f(x)=x3-2x2-x+2 （2）f(x)=x-4/x 解析：（1）由x3-2x2-x+2=0得x2(x-2)-(x-2)=0 ∴ (x-2)(x+1)(x-1)=0 ∴ x=2或x=1或x=-1 ∴ 函数f(x)的零点是2,1，-1 (2)由x-4/x=0得x2-4/x =0 ∴ (x-2)(x+2)=0 ∴ x=2或x=-2 ∴ 函数f(x)的零点是2或-2 点评：求函数f(x)的零点，转化为方程f(x)=0，通过因式分解把方程转化为一次方程或二次方程再求解。 2.函数零点所在区间的判断 用零点存在性定理判断零点所在的区间或通过函数图象及函数的性质进行判断。 例2.（1） 函数f(x)=2x+3x零点落在的一个区间是（ ） A．（-2，-1）B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2) （2） 函数f(x)=－cosx在[0，+∞)内（ ） A. 没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 解析：（1）f(-1)=-5/x- <0 , f(0)=1>0 函数y=2x， y=3x在（-∞，+∞）均为增函数，∴f(x)=2x+3x在（-∞，+∞）是增函数 。 ∴f(x)在(-1,0)内有一零点。所以选B。 (2）在同一坐标系中分别作出函数y= 和y=cosx的图象，如图： 当x>1时，y=>1, y=cosx≤1, ∴两图象只有一个交点，即方程-cosx=0在[0，+∞)只有一个实数解。 ∴f(x)=-cosx在[0，+∞)内只有一个零点 所以选B。 点评：（1）运用零点存在性定理判断零点所在区间，必须结合端点函数值的符号和单调性。 （2）运用图象进行判断，要求学生能够熟练掌握基本初等函数的图象。 3.函数零点个数的判断 函数f(x)在某区间上是否有零点，有几个零点通常用下列方法进行判断：（1）通过解方程判断函数零点个数，（2）利用零点存在定理判断，（3）利用图象法转化为求两个函数图象交点的个数问题进行判断。 例3.(1) 函数f(x)= 的零点的个数为（） A．0B. 1C. 2D. 3 (2) 函数f(x)=4x3+x-15在[0,2]上的零点的个数为____ (3) 函数f(x)=2-x+x2-3的零点个数为______ 解析：① 由得x=-3, 由得x=e2 ∴f(x)的零点个数为2，故选C ② ∵函数y=4x3 和y= x-15在[1,2]上为增函数， ∴函数f(x)=4x3+x-15在[1,2]上为增函数。 ∵f (0)=-15, f(1)=-10<0,f(2)=19>0 ∵f(x)=4x3+x-15在[1,2]内存在一个零点 ③ 分别作出函数f(x)=3-2-x 与函数g(x)= x2 的图象 ∵ f(0)=2,g(0)=0 ∵ 从图象上可以看出它们有2个交点，函数f(x)=2-x+x2-3的零点个数为2。 点评：用解方程确定零点个数要注意函数定义域，用零点存在性定理判定，需将判定的区间划分为函数的单调区间逐一判定，借助基本函数图象判定零点个数是常用方法之一。 4.用二分法求零点的近似值 二分法是求方程函数零点的近似值的一种常用方法，通过不断“取中点”来逐步缩小零点所在范围，达到求函数零点的近似值。 例4、若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值，用二分法计算，其参考数据如下： 则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解（精确到0.1）为______ A．1.2B. 1.3 C. 1.4D. 1.5 解析：Cf(1.40625)=- 0.054<0 , f(1.4375)=0.162>0且都接近0，由二分法可知其根近似值为1.4，故选C。 点评：二分法的思想方法是一种可用计算机求方程近似解的方法，也是求零点近似解编程的基本依据。 5.函数零点的应用 （1）若方程是一元二次方程，利用方程根与系数的关系或数形结合求解。 （2）若非一元二次方程，则构造函数，利用函数图象求解。 例5.（1）已知函数f(x)= x2+(a2－1)x+a－2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围。 解析：方法一：设方程f(x)=0两个根为x1, x2 (x1 则(x1－1)( x2－1)<0∴x1x2－(x1+x2)+1<0 由根与系数的关系得到 即a2+a－2<0 ∴ -2 ∴a的取值范围是（-2，1） 方法二：函数的大致图象如图： 则f(1)<0 即1+(a2-1)+(a-2)<0 得： a2+a-2<0∴ -2 ∴ a的取值范围是(-2,1) （2）已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1g(x)= x+(x>0）,m·e2/x2取何值时，方程g(x)-f(x)=0有两个相异实根。 解析：方程g(x)-f(x)=0有两个相异实根，即g(x)=f(x)中g(x)和f(x)图象有两个不同交点。 对于函数,g(x)= x+e2/x2(x>0) g(x)=1-e2/x2 g(x)=1-e2/x2≥0 得 x≥e, 故函数g(x)单调递增区间为[e,﹢∞) 由 = 1-e2/x2 ≤0 得0＜x≤e,故函数g(x)单调递减区间为(0,e] ∴ x=e时，g(x)有最小值2e 对于函数f(x)=- x2+2ex+m-1=-(x-e)2 + m-1+e2为开口向下的抛物线，对称轴为x=e，最大值为m-1+e2 ∴ 当2e＜m-1+e2 即 ∴ m＞- e2+2e+1时，f(x)与g(x)有两个不同交点 ∴方程g(x)-f(x)=0有两个相异实根 ∴ m的取值范围是(- e2+2e+1,﹢∞) 1. 映射定义：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射 2. 若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B可建立nm个映射 3.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素 4.相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则(两点必须同时具备) 5.求函数的定义域常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义⑥注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响 6.函数解析式的求法： ①定义法（拼凑）： ②换元法： ③待定系数法 ④赋值法7.函数值域的求法： ①换元配方法。如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域。②判别式法。一个二次分式函数在自变量没有限制时就可以用判别式法去值域。其方法是将等式两边同乘以 dx2+ex+f移项整理成一个x的一元二次方程，方程有实数解则判别式大于等于零，得到一个关于y的不等式，解出y的范围就是函数的值域。 ③单调性法。如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域 8.函数单调性的证明方法: 第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1 第二步：作差(x1)-(x2)，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”； 第三步：判断差式(x1)-(x2)的正负号，从而证得其增减性 9、函数图像变换知识 ①平移变换： 形如：y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左或向右平移 ｜a｜个单位，就得到y=f(x+a)的图象。 形如：y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上或向下平移｜a｜个单位，就得到y=f(x)+a的图象 ②.对称变换 y=f(x)→ y=f(－x),关于y轴对称 y=f(x)→ y=－f(x) ,关于x轴对称 ③.翻折变换 y=f(x)→y=f|x|, (左折变换) 把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换） 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 10.互为反函数的.定义域与值域的关系：原函数的定义域和值域分别是反函数的值域及定义域； 11.求反函数的步骤：①求反函数的定义域（即y=f(x)的值域）②将x,y互换，得y=f–1 (x)；③将y=f(x)看成关于x的方程，解出x=f–1 (y)，若有两解，要注意解的选择；。 12.互为反函数的图象间的关系：关于直线y=x对称； 13. 原函数与反函数的图象交点可在直线y=x上，也可是关于直线y=x对称的两点 14.原函数与反函数具有相同的单调性 15、在定义域上单调的函数才具有反函数；反之，并不成立（如y=1/x） 16．复合函数的定义域求法： ① 已知y=f(x)的定义域为A，求y=f[g(x)]的定义域时，可令g(x)A，求得x的取值范围即可。 ② 已知y=f[g(x)]的定义域为A，求y=f(x)的定义域时，可令xA，求得g(x)的函数值范围即可。 17.复合函数y=f[g(x)]的值域求法： 首先根据定义域求出u=g(x)的取值范围A， 在uA的情况下,求出y=f(u)的值域即可。 18 .复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数；单调性不同则函数是减函数。增增、减减为增；增减、减增才减 ①f(x)与f(x)+c (c为常数)具有相同的单调性 ②f(x)与c·f(x)当c>0是单调性相同，当c<0时具有相反的单调性 ③当f(x)恒不为0时，f(x)与1/f(x)具有相反的单调性 ④当f(x)恒为非负时，f(x)与具有相同的单调性 ⑤当f(x)、g(x)都是增(减)函数时，f(x)+g(x)也是增(减)函数 设f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)当f (x)，g(x)两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数 19.二次函数求最值问题：根据抛物线的对称轴与区间关系进行分析， Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则 a>0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； a<0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则 a>0时：最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得； a<0时：最大值在离对称轴近的端点处取得，最小值在离对称轴远的端点处取得 20.一元二次方程实根分布问题解法： ① 将方程的根视为开口向上的二次函数的图像与x轴交点的横坐标 ②从判别式、对称轴、区间端点函数值三方面分析限制条件 21.分式函数y=(ax+b)/(cx+d)的图像画法： ① 确定定义域渐近线x=-d/c ②确定值域渐近线y=a/c③根据y轴上的交点坐标确定曲线所在象限位置。 22.指数式运算法则 23.对数式运算法则： 24.指数函数的图像与底数关系： 在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近y轴。 25.对数函数的图像与底数关系： 在第一象限内，底数越大，图像（顺时针方向）越靠近x轴。 26. 比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较 27.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： ①f(x1＋x2)＝f(x1)+f(x2)正比例函数f(x)=kx(k0) ②f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；f(x1-x2)＝f(x1)÷f(x2) y=ax； ③f(x1x2)=f(x1)+f(x2)；f(x1/x2)＝f(x1)-f(x2) y=logax 28.如果f(a+x)＝f(b-x)成立，则y＝f(x)图像关于x＝(a+b)/2对称; 特别是，f(x)＝f(-x)成立，则y＝f(x)图像关于y轴对称 29.a>f(x)恒成立a>f(x)的最大值 a 30. a>f(x)有解a>f(x)的最小值 【函数问题总结】相关文章： 函数问题解决05-28 函数的最值问题06-05 二次函数的探究性问题05-15 中考二次函数面积问题06-10 二次函数衔接最值问题05-27 二次函数衔接最值问题11-11 高中数学一类函数应用问题解决方法09-10 中考中的二次函数问题05-10 二次函数最值问题学案05-23 实际问题与反比例函数巩固练习04-25篇5：初中一年级函数问题
篇6：二次函数利润问题
篇7：函数交叉综合问题考试题型
篇8：从反比例函数问题看函数学习
篇9：函数零点问题探析
篇10：高中函数知识总结