高中数学函数

高中数学函数（精选十篇）

高中数学函数 篇1

一、函数相关知识

学习函数要了解函数定义域和值域,会根据需要选择函数的表达方式( 图像、列表、解析法) ; 掌握基本函数的图像,并结合函数的性质( 单调性、奇偶性、周期性、特殊值) 描绘图像,可由图像的平移、伸缩、对称、翻折得到新函数图像; 利用图像性质解决单调性、最值等问题.

例1求函数 的定义域.

解析由 所以函数的定义域为( -1,0) ∪( 0,2].

例2已知偶函数f( x) 在区间[0,+ ∞ ) 上单调递增, 则满足f(2x -1) < f(1/3)的x的取值范围是什么?

解析由偶函数和递增可知 -1 /3< 2x - 1 <1/ 3,

即1/ 3< x <2/ 3.

例3 f( x) 为奇函数,且x0是y = f( x) + ex的一个零点,则 - x0一定是( ) 函数的零点.

A. y = f( - x) ex- 1B. y = f( x) e- x+ 1

C. y = f( x) ex- 1D. y = exf( x) + 1

解析由已知可得f( x0) = - ex0,则e- x0f( x0) = - 1, e- x0f( - x0) =1,故 - x0一定是y = f( x) ex- 1的零点.

二、三角函数

三角函数完美阐释了函数的单调性、奇偶性、周期性等性质,同时函数周期性规律利用正余弦图像记忆很直观:

1. y = f( x) 的图像关于直线 x = a,x = b 对称,则 y = f( x) 的周期为 2|a - b|.

2. y = f( x) 的图像关于直线 x = a,( b,0) 对称,则 y = f( x) 的周期为 4 | a - b | .

3. y = f( x) 的图像关于直线( a,0) ,( b,0) 对称,则 y = f( x) 的周期为 2 | a - b | .

三、函数可解决方程、不等式、线性规划等问题

例1求方程ex= 2x的解.

分析转化函数g( x) = ex- 2x求零点的问题.

解析 g( x) = ex- 2x,g' ( x) = ex- 2,令g' ( x) = 0,则x = ln2. 当x < ln2时,g' ( x) < 0; 当x > ln2时,g' ( x) > 0. 则g ( x)max= g( ln2) = 2 ( 1 - ln2) > 0,则函数无零点,即ex= 2x无解.

例2 已知定义在R上函数f( x) 满足f( 1) =1,且f( x) 导数f'( x) 在R上恒有f'( x) <1 /2,则不等式f( x2 )

分析 解不等式可以把f( x2 )

解析 设φ( x) = f( x) -x/ 2-1 /2,则有g'( x) = f'( x) -1 /2< 0,g( x) 是R上的减函数,且g( 1) = f( 1) -1/ 2×1 - 1 /2= 0. 则g( x2 ) = f( x2 ) -x2 / 2-1 /2< 0 = g( 1) ,所以x2 > 1, 即x < -1或x >1. 不等式f( x2 )

四、数列与函数

数列本身可以看作定义域为正整数集的函数; 等差数列{ an} 其通项公式an= a1+ ( n - 1) d,前n项和公式sn= na1+(n( n - 1) d)/2分别是以n为变量的一次函数和二次函数;等比数列{ bn} 其通项公式bn= b1qn - 1,前n项和公式sn= (a1( 1 - qn))/(1-q)(q≠1)都与指数函数有关。求数列的最大项及前n项和的最值都可以利用函数的单调性等性质解决.

例设函数f( x) =x/2 + sinx的所有正的极小值点从小到大依次排列成{ xn} ,求{ xn} 的通项公式.

解析f'( x) =1/ 2+ cosx,令f'( x) = 0,则cosx = -1 /2, 解得x =2kπ±2π/3( k∈Z) . 故xn= 2nπ -2π/3( n∈N*) .

五、解析几何与函数

圆锥曲线问题应根据曲线的几何特征,熟练运用圆锥曲线的几何特征转化数量关系,如函数与方程,再结合代数、三角知识解答,尤其要重视函数与方程的数学思想、等价转化的思想.

求圆锥曲线中参数的取值问题一直是高考的重点,应根据题设条件及曲线的几何性质( 曲线的范围、对称性、位置关系) ,构造参数满足的不等式,通过求解不等式( 组) 求得参数范围,常建立关于参数的目标函数,转化为对函数值域的求解.

例已知抛物线C: x2= 4y,设点P为直线l: x - y - 2 = 0上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

分析目标函数法: 建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,其关键是选取适当的变量建立目标函数,然后运用求函数最值的方法确定最值.

解析 设P( x0,y0) ,A( x1,y1) ,B( x2,y2) ,由抛物线的定义可知|AF| = y1+ 1,| BF | = y2+ 1,所以| AF |·| BF | = ( y1+ 1 ) ( y2+ 1 ) = y1y2+ ( y1+ y2) + 1,联立方程 ,所以当y0=1/ 2时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为2 /9.

六、立体几何

高中数学函数方法 篇2

做函数题目要有信心，对自己要相信的态度，不要被难题吓倒，给自己积极的心理暗示，对做题也会有帮助。

函数未知数的求法会比较难求，所以要总结自己的做题顺序，寻求老师的帮助会更好。课后一定要记得去看，反复练习，不然过一阵子就会忘记，一定要经常去翻看课本教材。

2函数学习方法

高中数学函数方法：理解函数三要素：定义域，对应法则，值域。题目类型：求定义域，值域，相等函数概念.值域求法：换元法，单调性法，分离系数法，数形结合法，配方法等。求函数解析式:a待定系数法;b配凑法;c换元法;d代入法;e构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。f赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。g递推法。

函数的性质和图像：性质：单调性，奇偶性，周期性。函数的性质和图像要相互结合起来思考，把每一个条件都要分析处理，从中寻找解题思路。

导数与函数的单调性：复杂的函数要求函数的单调性，可以用导数的方法，可以使问题大大简化。函数模型与综合应用：对于一些常见的问题，可以构建我们熟悉的函数模型进行求解。注意函数的定义域问题。

3函数学习方法

首先就是熟悉坐标系：在除以学习过坐标轴以后，我们在初二阶段开始学习坐标系，坐标系是所有函数的容器，在所有的函数里面需要坐标系来体现的。

理解函数概念：理解自变量和应变量的概念进而理解函数的概念，函数的概念理解了，理解了函数的概念才可以进行函数题的计算。

学习简单的函数：学习简单的函数，完全掌握简单的函数，一次函数和二次函数。将一次函数和一元一次方程对应，将二次函数和一元二次方程对应，学会求点求数值。学会表示点：另外需要学会表示点，学会利用横纵坐标来表示点的位置和特点。学会表示点的位置，点的移动和点的特性。

读懂函数图像：根据函数的图像能想够读懂函数图像上的点的意义和函数图像的意义。在实际的生活中能够看懂图像，看懂图像的意义。学习简单的函数建立：在学习计算的过程中，试着可以将遇到的问题转化为我们的函数问题，培养动态思维能力。

4函数学习方法

函数其实在初中的时候就已经讲过了，当然那时候是最简单的一次和二次，而整个高中函数最富有戏剧性的函数实际上也就是二次函数，学好函数总的策略是掌握每一种函数的性质，这样就可以运用自如，有备无患了。

高中数学函数的设计思路 篇3

一、高中数学新课程中的函数设计思路

（一）一般有两种方法，一种是先学习映射，再学习函数，即从一般到特殊的方法；另一种是通过具体函数实例的分析，归纳总结出数集之间的一种特殊对应关系——函数，即从特殊到一般的方法。例如，对于函数概念，先引导学生梳理已经掌握的具体函数（如，初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数、简单分段函数等），通过分析这些具体函数的特征，构建函数的一般概念，再由函数概念抽象出映射概念。

（二）提倡运用信息技术研究函数运用信息技术可以呈现函数的直观图像，迅速精确地实施函数运算，通过函数图像和函数运算，可以帮助学生加深对函数所表示的变化规律的理解。信息技术还为运用函数模型解决问题提供了便利，高中数学新课程提倡运用信息技术研究函数。

二、高中数学新课程中函数教学建议

（一）整体把握函数的内容与要求，在与函数有关的内容的教学进程中不断加深学生对函数思想的理解。函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的具有一般意义的抽象概念，在这个概念下可以派生出许多不同层次的具体函数。学生对于这种多层次的抽象概念的理解是需要时间和经验积累的，需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步理解，才能真正掌握，灵活运用。因此，函数教学应整体设计，分步实施。教师应整体规划整个高中阶段函数的教学，对函数教学有一个整体的全面的设计，明确不同时段、不同内容中学生对函数理解应达到的程度，在与函数有关的内容的教学进程中，通过运用函数不断加深学生对函数思想的理解。

（二）关注认识函数的三个维度，引导学生全面理解函数的本质。第一，函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，即变量说。在现实生活和其他学科中，存在着大量的变量和变量之间的依赖关系。例如：邮局收取邮资时，邮资（变量）随着邮件的重量（变量）的变化而变化。这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。基于这种认识，就可以用函数来表示和刻画自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角，也是数学联系实际的基础。第二，函数是连接两类对象的桥梁，即映射说。对函数的这种认识反映了数学中的一种基本思想，在数学的后续学习中具有基础作用。数学中的许多重要概念都是这种认识的推广和拓展。例如，代数学中的同构、同态是构架两个代数结构的桥梁，拓扑学中的同胚也是构架两个拓扑结构的桥梁等。第三，函数是“图形”，即关系说。函数关系是平面上点的集合，因而可以看作平面上的一个“图形”。在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。因此，从某种意义上说，研究函数就是研究曲线的变化、曲线的性质。基于这种认识，函数可以看作数形结合的载体之一。实际上，解析几何、向量几何、函数是高中数学课程中数形结合的三个主要载体。

（三）重视函数模型的作用，帮助学生在头脑中“留住”一批函数模型理解函数的一个重要方法，就是在头脑中“留住”一批具体函数的模型。那些优秀的数学工作者，对于每一个抽象的数学概念，在他们的头脑中都会有一批具体的“模型”。这是很好的数学学习习惯。高中数学课程中有许多基本函数模型，高中数学教学的重要任务之一就是把这些基本函数模型留在学生头脑中，这些模型是理解函数和思考其他函数问题的基础。在教学中，对于上述基本函数模型应有一个全面的设计，要帮助学生在头脑中留下三方面的东西：第一，背景，即要熟悉这些函数模型的实际背景，从实际背景的角度把握函数；第二，图像，即从几何直观的角度把握函数；第三，基本变化，即从代数的角度把握函数的变化情况。只有在学生头脑中“留住”这样一批具体的函数模型，才能逐步实现对函数本质的理解，并灵活运用函数思考和解决问题。

（四）揭示函数与其他内容的内在联系，强化学生对函数思想的认识。函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中，在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成函数图像与轴交点的横坐标，解方程就是求函数的零点的横坐标，从而解方程问题可以归结为研究函数局部性质的问题，即研究函数图像与x轴的交点问题。这样，如果一个函数在闭区间[a，b]上连续，且端点函数值异号，则就可以运用二分法求方程的近似解。还可以用切线法（函数在闭区间有一阶导数）、割线法（函数在闭区间有二阶导数）等求方程的近似解。在坐标系中，函数的图像把横坐标轴分成若干区域。一部分是函数值等于0的区域，另一部分是函数值大于0的区域，再一部分是函数值小于0的区域，用函数的观点看，解不等式就是确定使函数的图像在x轴上方或下方的的x区域。这样，就可以先确定函数图像与x轴的交点（方程的解），再根据函数的图像来求解不等式。

高中数学中的“怪异函数” 篇4

顾名思义, 绝对值函数指的是函数里面带有绝对值的函数, 通常这类问题不容易找到解题的着手点。处理绝对值函数的问题通常有两个思路: (1) 分类讨论; (2) 画图像, 数形结合分类讨论, 一般都是按“零点分段讨论”, 此类问题只要讨论不重复不遗漏, 计算认真, 一般不容易出问题, 不做详细说明。下面重点说说图像法。绝对值函数的图像画法, 除了上面的零点分段讨论, 另外要注意的是图像的翻转变换:

分析:首先这是个不等式恒成立问题, 不等式恒成立问题通用的做法是划归为求函数最值问题。如果把不等式左右两边展开讨论一下, 这是一个含有4个绝对值的函数, 讨论最值是非常麻烦的事情, 因此分类讨论不是很适用这道题。

二、最值函数

分析:新定义型题最重要的即使根据定义解题, 划归为我们熟悉的问题。第一二问不属于我们今天讨论的范畴, 第三问刚好问的就是最大值函数, 不过取值是正弦余弦函数总绝对值最大的那个值。不画图像很容易将函数的解析式求错, 最主要问题是分段函数哪里分段容易搞混淆。

三、符号函数、狄利克雷函数

符号函数是个非常特殊的函数, 它的解析式是没办法写出来的, 根据自变量的符号决定函数的值:

四、总结

通过前面几类怪异函数的解题的分析, 我们发现这些问题的解决也不是非常困难的事情, 但是里面有几点特别值得注意的:

1. 读懂题不可疏忽, 基本上这类题都算新定义题, 有些定义是根据课本的定义改编的, 切忌自己按照原来的认识解题, 按照题目给定的定义解题是最基本的要求。

2. 划归思想的运用非常重要。划归和转化思想是这类题解决的关键, 我们平时练习过的题在高考的时候肯定不会出现, 高考中出现的题要学会转化成平时自己练习过的题。这样再怪异的函数也怪不起来, 本质上就是新瓶装旧酒。

3. 数形结合的思想也是解决函数题的一大利器, 千万不可小觑画图像在解决怪异函数问题中的作用。

从前面的例题来看, 陌生的函数我们没有现成的公式可以套用, 理解起来也是比较抽象的。通过函数图像的描绘, 很多性质就自然而然出来了, 可以极大的帮助我们快速的找到解题的突破口。

参考文献

[1]林国夫.解决高斯函数的函数值问题的策略初探[J].数学通讯, 2012, (6) :59-61.

[2]江杰.高考中的狄利克雷函数[J].中国科教创新导刊, 2013, (09) :83.

[3]康宇, 马跃进.绝对值函数的解析性质与应用[J].数学通讯, 2009, (24) :14-16.

高中数学幂函数教学教案 篇5

通过实例，理解幂函数的概念;能区分指数函数与幂函数;会用待定系数法求幂函数的解析式。

教学重难点：

重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些特征.

难点 指数函数与幂函数的区别和幂函数解析式的求解.

教学方法与手段：

1.采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.

2.利用投影仪及计算机辅助教学.

教学过程：

函数的完美追求：对于式子 ，

如果 一定，N随 的变化而变化，我们建立了指数函数 ;

如果 一定， 随N的变化而变化，我们建立了对数函数 .

设想：如果 一定，N随 的变化而变化，是不是也应该确定一个函数呢?

创设情境

请大家看以下问题：

思考：以上问题中的函数 有什么共同特征?

引导学生分析归纳概括得出：(1)都是以自变量 x为底数;(2)指数为常数;(3)自变量x前的系数为1;(4)只有一项.上述问题中涉及的函数，都是形如 的函数.

探究新知

一、幂函数的定义

一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数.

中 前面的系数是1，后面没有其它项.

小试牛刀

判断下列函数是否为幂函数：

(1) ，

思考：幂函数 与指数函数 有什么区别?

“高中数学函数对称问题”的探究 篇6

讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

高考题回放：（2005年广东卷I）设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上只有f（1）=f（3）=0

（1）试判断函数y=f（x）的奇偶性；

（2）试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上根的个数并证明你的结论。

分析：由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）可得：函数图像既关于x=2对称，又关于x=7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。

定理1 函数f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）

证明（略）

推论 函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）

定理2 函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b

证明（略）

推论 函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0

偶函数、奇函数分别是定理1、定理2的特例。

定理3 ①若函数y=f（x）的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

②若函数y=f（x）的图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

③若函数y=f（x）的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4 函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点A（a，b）成中心对称。

证明：设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）。点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点为P′（2a-x0，2b-y0），此点坐标满足y=2b-f（2a-x），显然点P'（2a-x0，2b-y0）在y=2b-f（2a-x）的图像上。

同理可证：y=2b-f（2a-x）图像上关于点A（a，b）对称的点也在y=f（x）的图像上。

推论 函数y=f（x）与y=-f（-x）的图像关于原点成中心对称。

定理5 函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像關于直线x=a成轴对称。

证明 设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任意一点，则y0=f（x0）。点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P'（2a-x0，y0），显然点P'（2a-x0，y0）在y=f（2a-x）的图像上。

同理可证：y=f（2a-x）图像上关于直线x=a对称的点也在y=f（x）图像上。

推论 函数y=f（x）与y=f（-x）的图像关于直线y轴对称。

定理6 ①函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。

②函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图像关于直线x-y=a成轴对称。

推论 函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称。

三、函数对称性应用举例

例1 定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（ ）

A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数

C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数

解：因为f（10+x）为偶函数，所以f（10+x）= f（10-x）。

所以f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，所以x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。故选（A）。

例2 设定义域为R的函数y=f（x）、y=g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）的函数图像关于直线y=x对称，若g（5）=2002，那么f（4）=（ ）

A.2002 B.2003 C.2004 D.2005

解：因为y=f（x-1）和y=g-1（x-2）的函数图像关于直线y=x对称，所以y=g-1（x-2）的反函数是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函数是y=2+g（x），所以=f（x-1）=2+ g（x），所以有f（5-1）=2+g（5）=2004

故f（4）=2004，应选（C）。

例3 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x），当-1≤x≤0时，f（x）=- ，则f（8.6）=___________

解：因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以x=0是y=f（x）的对称轴；

又因为f（1+x）=f（1-x）所以x=1也是y=f（x）的对称轴。故y=f（x）是以2为周期的周期函数，所以f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3

例4 设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图像关于直线x= 对称，则：

f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=_____________

高中数学中的函数教学 篇7

一、让学生充分体验数学, 激发兴趣

体验就是个体主动经历和虚拟经历某件事并获得相应的认知和情感的直接经验活动.新颁布的《高中数学课程标准》与原来的教学大纲相比, 一个明显的特征是增加了过程性目标和体验性目标, 特别强调学生“经历了什么”、“体会了什么”、“感受了什么”.对数学的认识不仅要从数学本质的观点去领悟, 更要从数学活动的亲身实践中去体验, 重视从学生的生活实践和已有的知识经验中学习数学、理解数学和应用数学.所以, 数学教师必须引导学生通过主动参与和亲身实践, 或独立思考、或与同学或教师合作探究, 让他们发展能力, 感受自己的价值, 从而激发对数学的兴趣.

在《函数》一节中, 设计小组讨论, 让学生举出自己生活中遇到、见到的函数实例.同学们经过热烈的讨论, 举出许多生活中函数的实例, 实实在在地体验到函数就在身边, 原来函数就是如此!数学起源于生活, 但经过抽象后形成的书本知识远比生活知识难以接受.如课本中函数的概念、函数的三种表示、函数的性质等等, 学生觉得数学难懂、难学, 一个重要原因就是课程知识与生活经验脱节, 把学生死死地绑在课本里, 死记那些学生认为枯燥的概念和公式.新教材的一个重要特征就是引导学生关注生活, 让知识显示在生活的问题情境中, 学会应用数学的思想方法去观察、分析.同时教师要把丰富的、贴近学生生活的素材展现在学生面前, 并以此为基点延伸、拓展, 这种建立在学生生活经验上的知识就容易被他们理解、掌握、同化以至于转化成学生的一种数学能力.

二、加强反思维定势教学, 创新思维

思维的独创性是指思维活动的创造精神或叫创新思维, 其显著特征是思维独特性和新颖性, 表现为思维不落俗套, 解题不拘常法, 寻求变异勇于创新.函数教学中首先应培养合理的思维定势, 这种定向、定法、定序的思维方式能简化并加快思维的进程, 快速有效地汲取一切有价值的知识, 它是数学素养的重要标志之一.但思维定势也容易引起负迁移, 表现为思维呆板, 不易改变思维方向, 不能多角度、全方位地把握和看待问题, 因此教学中既要利用定势的优势, 又要加强反定势教学, 突破定势的围城, 创造性地解决问题.

例如, 对于满足|m|≤2的一切实数m, 函数f (x) =mx2+2x+m-1的值恒等于零, 求f (x) 的定义域.学生已习惯求使函数解析式有意义的定义域和由定义域求值域.本例限定参数范围下, 由值域逆求定义域, 定势已失效.启迪学生分析变化的相对性.反客为主, 视参数m为自变量, x为参数, 则问题转化为已知关于m的一次函数g (m) = (1+x2) m+2x-1的定义域、值域, 求参数x的取值范围.本例定势的突破来源于大胆的主元更换, 这微妙的更换, 开创了柳暗花明又一村的新局面.

三、让学生应用数学, 挖掘内涵

新教材的内容特别注意加强数学应用意识的培养, 这是因为随着社会主义市场经济的发展, 数学知识应用更加广泛, 在很多方面可以直接为社会创造价值.让学生学会数学、认识数学、体验数学, 形成正确的数学观, 在这个过程中以数学知识为载体的数学, 不能仅仅追求知识的获得和问题的解决, 更重要的是使学生通过这一过程学会数学的思维, 体会数学的思想方法, 感悟数学的精神并形成积极应用数学的态度.

在教学中, 充分挖掘其科学的和应用的价值, 让学生通过对身边的具体事例的研究, 体会数学和生活的紧密联系, 感受数学在科学决策中的价值, 从而提高学习数学的兴趣.学生在学习过程中因为数学的抽象性, 解决数学问题经常伴随着困难, 但只要难度不超过学生的能力, 总有可能获得成功.美国著名的数学教育家波利亚说过:“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐, 那么他的数学教育就在最重要的地方失败了.”但在失败后的成功是更令人兴奋的, 当学生有了这种情感体验后, 就会不断去追求, 使自己的学习走向深入, 就会感受到数学是伟大的.

四、利用多媒体信息技术促进高中数学教学

1.突破教学重点和难点

高中数学中的集合、逻辑运算、函数、立体几何等比较抽象, 离学生生活较远.虽然教材进行了一些具体的处理, 但是学生还是难以理解和接受.在课堂教学中, 利用多媒体信息技术, 通过动画模拟、局部放大、过程演示等手段, 可以使新知识的产生过程或解题思路的分析, 更加直观、形象和具体, 轻松地突破教学难点, 使 学 生 更好地领悟和掌握, 取得良好的教学效果.例如, 函数的概念较为抽象, 不易理解和掌握.上课时, 演示用Power Point97自编的课件, 从计算机中调出函数的图象式、图表式、表格式等, 让学生集中精力观看, 图象清晰, 对比明确, 学生的思维清楚, 思路开阔.在对两个函数的判别中, 设计插入一个程序MathcadPLUS6.0绘制的函数图象, 可以使学生一目了然.又如, 通过平移和伸缩变换, 由y=sinx图象得到y=sin (wx+φ) 的图象.教学时可以借助课件, 对整个变换的过程进行动态演示, 这样学生不仅能看清同类曲线内部的图象位置关系, 而且可从本质上分清不同类型曲线的变化规律, 很快地归纳出图象的变化规律, 从而理解和掌握三角函数的图象变换.

2.拓宽教学的知识容量

多媒体信息技术可以为教师提供无穷无尽的教学资源.在课堂教学中, 根据教学的需要, 老师只要在地址栏中输入网址, 就可以在很短的时间内获取所需要的资料.例如在教学过程中需要回顾一些旧的知识点, 需借用其他相关或相似的知识进行比较, 而学生一时又难于准确回忆时, 可以立即通过计算机显示出来, 或要求学生自己利用网络查询并收集有关资料, 大大节省了教学的时间.在课堂教学总结时, 可以采用网络技巧及特写处理, 把本节课的主要内容和解题技巧, 以特写方式归于一张幻灯片中, 集中显示给学生, 使学生能够及时归纳、小结和掌握.

目前, 我国基础教育课程改革迅速, 随着新课程的不断推进, 我们在实践中还会遇到更多的困难, 这对我们一线数学教师来说既是机遇又是挑战.教师要加强对新课程理论的研究, 彻底转变教学观念和教学思想, 一切为了学生的发展, 积极挖掘现有教育资源, 充分利用现有教学条件, 让新课程能够顺利实施从而取得良好的效果.

参考文献

[1]王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集[M].北京:海洋出版社, 2008.

[2]田万海主编.数学教育学[M].浙江:浙江教育出版社, 2007.

关于高中数学函数教学的研究 篇8

一、旧教材中函数的内容编排与知识体系结构分析

1. 旧版教材函数的内容编排分析

过去的人教版 (下称旧版教材) 将“函数”列为一章, 将“映射与函数”设为标题作为第一节, 先学习“映射”, 再学习“函数”, 将“函数”作为一种特殊的映射来展开.在介绍“函数”性质时, 旧版教材介绍了单调性与奇偶性.在介绍奇偶性时, 旧版教材对奇偶性的编写顺序还是按照传统的传授方式, 先给出概念, 再介绍奇偶性的特点.旧版教材将函数中的反函数这一部分内容作为重点内容之一来编排, 由它展开的相关内容也比较多.整个一章, 旧版教材采取传统的介绍形式, 按照数学的逻辑性逐步展开.旧版教材没有对幂函数进行系统介绍, 而是延续初中所学内容.

2. 知识体系结构分析

函数是一个抽象的学习内容, 旧版教材注意到了从一定的背景知识入手, 引出新的学习内容, 教材中函数内容的呈现模式较多遵循着“实际例子 (问题) ———数学解答———从过程中提炼出数学概念———对概念性质的深化研究”这一模式.这种呈现模式更显出一种收敛性、结构化, 即从一些作为“引子”的例子出发引出函数的各种概念, 并进而着重讨论各种性质与形式变化.呈现的重点是对于知识条理化、结构化的掌握与理解.

函数思想是函数相关知识的一个重要组成部分.在数学教学中, 如果能重视函数思想及其方法的传授, 就有利于帮助学生掌握开启知识的钥匙, 也就有利于加速知识转化为能力的进程.数学家乔治·波利亚在数学教学中强调把“有益的思考方式和应有的思维习惯”放在教学的首位, 他认为活的、生动的方法能让学生学到数学的更多知识.这些精辟的论述都说明了数学思想方法是数学的精髓.

函数具有多种表示性, 它表现在两个方面:一是定义域表示的多样性, 主要体现在集合表示法、不等式表示法、区间表示法;二是一个具体函数表示的多样性, 即一个函数可以给出它的几种表示, 如自然语言表示、图像表示、表格表示、解析表示、箭头表示等.

二、新版教材中函数内容编排分析

新教材以现代观点建立合理的学科结构体系, 以现代观点讲述科学知识的基本概念和原理.计算机的应用走进课堂, 删改了部分陈旧繁琐的知识, 大大减轻了学生的负担, 使得有更多的时间与空间进行新知识的探索思考.比如在讲授“函数和映射”的时候, 将名字和映射联系了起来, 知识给出得实用、自然.在用映射定义函数的时候, 简洁透彻, 课文的题目就是“函数是一类特殊的映射”, 特别重视函数表示方法的应用.课文联系到了“某农场的防洪大堤”“没有使用收款机的商店”“医院及时了解住院病人的病情”等有价值的实际问题.还利用课后“多知道一点”补充了“标尺法”和“函数法”两种表示函数的方法, 专门讲授利用图像研究函数的性质, 并在阅读和思考中研究了计算机编程语言中的函数和在数学实验中用计算机做函数的图像及列函数表.

与旧教材相比, 新教材的的内容较少, 只有集合与函数、指数函数、对数函数和幂函数这几部分内容, 真正地减轻了学生的负担.给出知识的方式也有所变化.

三、在新教材下如何实施函数教学

1. 函数教学要激发全体学生的参与感

首先要培养学生的参与意识.比如在教学中要求学生结合实际情况, 每人再举一例说明“一个量随另一个量的变化而变化”.学生稍加思考后积极回答, 如“水费随水量的变化而变化”“生活费随餐数的变化而变化”“衣服随时间的变化而变化”, 等等.这样不但使学生深刻理解了函数的概念, 而且促使全体学生参与, 活跃了其思维, 增强了其学习信心.

2. 函数教学要为学生提供参与的机会

在教学过程中教师要根据教材的特点和学生的实际情况, 想方设法创造条件, 为学生提供参与和学习的机会, 从而提高他们探求知识和自学的能力.学生在掌握函数概念后, 我设计了这样几个问题: (1) y=2x+3; (2) y=x; (3) 直角三角形的两个锐角的度数分别为x, y, 用x表示y的关系式; (4) 从边长为20的正方形的四角剪去四个边长为x的小正方形, 做成一个无盖的小方盒子, 设此盒的容量为V, 写出V关于x的函数解析式.所有这些问题中自变量的取值范围是什么?学生通过思考、比较、互相讨论可得出函数定义包含的三层意思, 这使学生有了发现规律的时间和空间, 能更好地开发其智力.

3. 函数教学要培养学生使用数学的习惯

数学知识是从实践中提炼出来的, 同时又应用于实际生活中.在学习函数的应用后, 有老师要求学生根据自家月水费、电费或电话费等支出情况设计出一个有关函数应用的问题, 从而让学生懂得“生活中处处有数学, 数学处处应用于生活”, 使他们既掌握了基本知识, 又形成了基本技能, 还培养了运用能力.总之, 在实施新课程标准的新时期, 教师要从大处出发, 深入透彻地学习、钻研教材, 结合学生的实际情况, 寻找出一套与教材相结合、与学生相适应、与时代相契合的行之有效的教学方法.

高中数学函数对称性问题 篇9

一函数的对称性

函数的对称性分为中心对称和轴对称。第一, 中心对称。将一个函数图像绕某一点旋转180°后, 如果旋转后的图像与原图像完全重合, 则该函数图像具有中心对称的性质, 其中该点称为该函数的对称中心。一个函数图像可以有多个对称中心。第二, 轴对称。将一个函数图像沿一条直线对折后, 如果直线两侧的函数图像完全重合, 则该函数图像具有轴对称的性质, 其中该直线为该函数的对称轴。一个函数图像可以有多条对称轴。

二常见函数的对称性

第一, 常数函数。y=c (c∈R) 。既是轴对称又是中心对称, 与该直线垂直的直线均为其对称轴, 直线上所有点均为其对称中心。

第二, 一次函数。y=kx+b (k为一次项系数≠0, k≠0, b为常数) 。既是中心对称又是轴对称, 对称中心为原点, 对称轴为与该直线相垂直的直线。

第三, 反比例函数。y=k/x (k∈R且k≠0) 。既是轴对称又是中心对称, 对称轴为y=x与y=-x, 对称中心为原点。

第五, 指数函数。y=ax (a>0且a≠1) (x∈R) 。既不是中心对称也不是轴对称。

第六, 对数函数。y=logax (a>0, 且a≠1) 。既不是中心对称也不是轴对称。

第七, 幂函数。y=xa (a为常数) 。幂函数中非奇非偶函数不具有对称性;幂函数中的奇函数中心对称, 对称中心为原点;幂函数中的偶函数为轴对称, 对称轴为x=0。

第十, 三次函数。三次函数中的奇函数中心对称, 对称中心为原点, 其他三次函数的对称性通过求导得极值点进行作图判断。

以上就是对常见函数的对称性总结归纳, 要理解掌握, 不能死记硬背, 这就需要学生结合实际的习题及函数图像, 自己体会, 理解记忆, 活学活用, 在实践中体会以上常见函数的对称性特点, 真正做到举一反三, 思维发散。

三抽象函数的对称性

常见函数的对称性容易理解掌握, 抽象函数种类众多, 但万变不离其宗, 以下是对抽象函数对称性质的总结归纳, 并结合例题介绍抽象函数的对称性。

性质一:若函数y=f (x) 的图像关于直线x=a轴对称, 则其充要条件为f (a+x) =f (a-x) , 也即是f (x) =f (2a-x) 。由此条性质易得函数y=f (x) 的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) =f (-x) 。

例1:函数f (x) 满足f (x) =f (3-x) , 则该函数满足轴对称, 对称轴为x=1.5。

性质二:若函数y=f (x) 的图像关于点 (a, b) 中心对称, 则其充要条件为f (x) +f (2a-x) =2b, 即f (a+x) +f (a-x) =2b。

例2:函数f (x) 满足f (5+x) +f (1-x) =4, 则该函数呈中心对称, 对称中心为 (3, 2) 。

性质三: (1) 若函数y=f (x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b (a≠b) 成轴对称, 则y=f (x) 是周期函数, 其一个周期为2a-b。 (2) 若函数y=f (x) 图像同时关于点 (a, c) 和点 (b, c) (其中a≠b) 中心对称, 则y=f (x) 是周期函数, 其一个周期为2a-b。 (3) 若函数y=f (x) 图像既关于点 (a, c) 中心对称又关于直线x=b轴对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数, 其一个周期为4a-b。

例3:函数f (x) 的一个对称中心为 (1, 1) , 一条对称轴为x=2, 则其一个周期为2。

以上的性质是函数图像的自对称性质, 有了以上的基本性质做铺垫, 我们可以导出两个函数之间存在的对称性。下面介绍函数的互对称。

性质四:函数y=f (x) 与y=2b-f (2a-x) 的图像关于点 (a, b) 成中心对称。

性质五:函数y=f (x) 与a-x=f (a-y) 的图像关于直线x+y=a成轴对称。

性质六:函数y=f (x) 与x-a=f (a+y) 的图像关于直线x-y=a成轴对称。

例4:函数y=f (x) 的图像与x=f (y) 的图像成轴对称, 对称轴为x=y, 这种情况下也就是我们所说的两个函数互为反函数。

关于高中数学函数教学的研究 篇10

( 1) 函数的概念。函数是一个抽象的数学概念,教材从实际的例子出发,进行数学解答,从而得出 “函数” 的概念: 函数是由自变量、因变量、对应关系所组成的,即对应关系将自变量与因变量结合起来。简单地说,函数就是因变量随着自变量的变化而发生变化,满足一一对应的关系,这是函数之所以为函数的最根本要求。反之,不满足一一对应的关系不能称之为函数。

( 2) 函数的基本性质。函数的研究主要从以下几个方面着手: 第一,定义域与值域。定义域是自变量的变化范围,值域是因变量的变化范围。不同的函数类型有着不同的定义域与值域,需要根据具体的函数解析式进行分析。第二,单调性,包括单调递增和单调递减。通过画图的方法可以看出函数的变化趋势,从而了解它的单调性。第三, 奇偶性。依据奇偶性,根据题目中所给的半个区间就可以轻易地算出对应的半个区间的解析式,从而完整地表达出函数不同区间的解析式,掌握整个函数的运动规律。第四,周期性。它与奇偶性的用法相差不大,它可以把很大的一个取值范围换算到已知的区间,降低做题的难度。第五,最值问题。找到函数的拐点,分析讨论哪个点对应哪种最值。

( 3) 函数的基本类型。高中阶段所学的基本函数类型有常函数、指数函数、对数函数、幂指函数、三角函数等,结合不同函数类型的图象,需要从定义域、值域、单调性、周期性、对偶性、奇偶性六大方面进行分析研究,全方位地掌握函数性质,并且能够熟练地绘出不同函数图象,达到心中有图、图中看性的境界,对基本知识了如指掌。

( 4) 函数的实际应用。函数是解决数学问题的手段与方法,通过与实际问题的结合,应用函数构建数学模型, 写出函数解析式,方便快捷地解决数学问题。

二、函数的教学方法

( 1) 引导学生做好课前预习。无论是哪门课程,课前预习是必不可少的。通过课前预习,可以知道本节课的内容梗概,课前掌握较容易的部分,课上有针对性地听重难点,使得学生能够紧跟老师的教学步伐,减少课后的学习负担。数学函数部分的预习,主要包括函数解析式、定义域与值域、函数图形、单调性、周期性、对偶性这几个方面。教师可引导学生适当地做一些课后练习,检测自己预习的成果。之后,要求学生在书中做好标记,哪一点是自己所不理解的,哪一点是自己的难点,以便上课有针对性地听讲,加深对知识点的理解。

( 2) 激发学生参与函数课堂。数学课堂需要学生与老师之间互动起来, 一方面让老师知道学生的掌握情况,另一方面充分集中学生的注意力,增强其学习函数的热情。比如,对函数定义域的研究,教师让学生通过课堂的学习, 总结出求定义域有哪几种求法,激发学生参与课堂学习的热情,让他们加深对函数的理解,提高学习效率。

( 3) 培养学生使用函数解决实际问题的习惯。函数是一种解决数学问题的手段,而数学问题来源于日常生活, 也就是说利用函数可以解决日常生活中的问题,函数的学习更侧重对实际问题的解决。如老师可以设计一些与实际相关的应用题,如怎么样用料最省、怎么样建设面积最大等,要求学生运用函数的相关知识进行解决。这样做,不仅让学生打消惧怕函数学习的心理,而且能锻炼其函数的应用能力,同时增加学生的生活常识。可见,慢慢培养学生使用函数解决实际问题的习惯,对学生函数学习是有很大帮助的。