三角函数的最值求法

三角函数的最值求法（精选九篇）

三角函数的最值求法 篇1

求函数最值常有下面的几种方法:

1.配方法

主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数, 解题过程中, 要特别注意自变量的取值范围.

2.不等式法

通过式子的变形, 将函数解析式化为具有“基本不等式”或“均值不等式”的结构特征, 从而利用基本不等式或均值不等式求最值, 利用基本不等式求最值时, 一定要关注等号成立的条件, 而利用均值不等式求最值, 则必须关注三个条件, 即“一正、二定、三相等”.

3.换元法

主要有三角换元和代数换元.用换元法时, 要特别关注中间变量的取值范围.

4.数形结合法

涉及的解析式、方程的几何意义明显时, 可通过函数的图象或方程的曲线求最值.

5.函数单调性法

先判定函数在给定区间上的单调性, 而后依据单调性求函数的最值.

6.判别式法

主要适用于可化为关于x的二次方程的函数, 当x的范围是R时, 仅考虑Δ即可;当x的范围非R时, 还需结合图象另列不等式组求解.

7.导数法

设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 上可导, 则f (x) 在[a, b]上的最大值和最小值应为f (x) 在 (a, b) 内的各极值与f (a) 、f (b) 中的最大值与最小值.

8.向量法

利用向量的代数表示、坐标表示结合向量运算、数量积的有关性质可求出某些函数的最值.

9.线性规划问题

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题, 称为线性规划问题.

10.三角函数最值问题

总之, 求最值问题常用方法可归纳为:代数法、单调性法、三角法、导数法四种.

一、代数法

【例1】 若x≥0, y≥0且x+2y=1, 则2x+3y2的最小值为______ .

解:由已知有x=1-2y≥0 , 得$0\le y\le \frac{1}{2}.$

令$u=2x+3y{}^2=2(1-2y)+3y{}^2=3(y-\frac{2}{3}){}^2+\frac{2}{3}$,

当$y=\frac{1}{2}$时, $u{}_{\min }=\frac{3}{4}$.故2x+3y2的最小值为$\frac{3}{4}.$

二、单调性法

【例2】 求函数$y=x-\sqrt{1-2x}$的最大值.

解:$\because 1-2x\ge 0‚\therefore x\le \frac{1}{2}‚\therefore$定义域为$(-\infty ,\frac{1}{2}].$

∵函数$y=x,y=-\sqrt{1-2x}$在$(-\infty ,\frac{1}{2}]$上均单调递增, $\therefore y\le \frac{1}{2}-\sqrt{1-2\times \frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$, 故$y{}_{\max }=\frac{1}{2}.$

三、三角法

【例3】 已知x>0, y>0, 且x+y=1, 求$(\frac{1}{x{}^2}-1)\cdot (\frac{1}{y{}^2}-1)$的最小值.

解:∵x>0, y>0, 且x+y=1, 令$x=\cos {}^2\theta ‚y=\sin {}^2\theta ‚\theta \in (0,\frac{\text{π}}{2})$, 则$(\frac{1}{x{}^2}-1)(\frac{1}{y{}^2}-1)=(\sec {}^4\theta -1)(\csc {}^4\text{θ}-1)=(\sec {}^2\text{θ}-1)(\sec {}^2\text{θ}+1)(\csc {}^2\text{θ}-1)(\csc {}^2\text{θ}+1)=\tan {}^2\theta (2+\tan {}^2\theta )\cot {}^2\theta (2+\cot {}^2\text{θ})=5+2(\tan {}^2\theta +\cot {}^2\text{θ})\ge 5+2\cdot 2\sqrt{\tan {}^2\theta \cot {}^2\theta }=9$. (当且仅当tan2θ=cot2θ, 即$\theta =\frac{\text{π}}{4}$时取等号, 此时$x=y=\frac{1}{2}).$

四、导数法

【例4】 求函数$y=\sqrt{2x+4}-\sqrt{x+3}$的最小值.

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{易}\text{知}\text{定}\text{义}\text{域}\text{为}x\ge 2‚\\ y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2x+4}}-\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=\frac{2\sqrt{x+3}-\sqrt{2x+4}}{2\sqrt{x+4}\cdot \sqrt{x+3}}‚\\ \therefore (2\sqrt{x+3}){}^2-(\sqrt{2x+4}){}^2=2x+8\ge 2\cdot (-2)+8=4＞0‚\\ \therefore 2\sqrt{x+3}＞\sqrt{2x+4},\therefore y＞0.\end{array}$

∴函数y在[-2, +∞) 上是增函数.

∴当x=-2时, ymin=-1.

三角函数最值求法浅析 篇2

关键词：三角函数；最值求法；解题方式

G633.6

三角函数的最值求解方式有很多种，同时每一种解题方式又都具备自身所适应的解答题型，因此作为高中生必须掌握三角函数各种最值的求解方式[1-2]。文章介绍了妙转化为y=Asin（ωx+ρ）+k形式进行解答、转化为二次函数模式进行进行解答、充分考虑一般函数的特性以及充分考虑数形结合的解题方式四种三角函数的最值求解方式，旨在提供一些教师提升三角函数教学水平以及学生提升解题速度和正确率方面的理论参考，以下是具体内容。

五、结束语

综上所述，高中数学三角函数的最值求解的方式的方式属于代数求解最值方法的一种拓展和延续，在代数函数的最值求解方式之上再加之三角函数所具有的值域便形成了三角函数的最值求解方式，通过分析可知妙转化为y=Asin（ωx+ρ）+k形式进行解答、转化为二次函数模式进行进行解答、充分考虑一般函数的特性以及充分考慮数形结合的解题方式四种三角函数的最值求解方式是切实可用的三角函数最值的求解方法，可有效提升学生的解题正确率和速度，值得在实际解题中合理的使用。

参考文献：

[1]戴洪彬.三角函数值域（最值）求法探秘[J].乌鲁木齐成人教育学院学报，2003，11（2）：82-85

[2]李丽勤.从高考试题中浅析三角函数的求最值问题[J].高考，2014，21（12）：99-99.

[3]胡金梅.中职数学三角函数最值的几种求法解析[J].中国校外教育（中旬刊），2015，23（4）：124-124.

[4]刘金华.刍议三角函数的最值之常见求法[J].成才之路，2012，12（6）：50-50.

函数最值的几种求法 篇3

函数 (代数式) 最值 (范围) 的确定名目繁多, 方法多样, 但笔者依结构不同主要归纳为以下三种方法.

一、一元函数 (代数式中只有一个未知数)

此类问题主要方法是函数的方法, 即先确立该函数的单调性、定义域, 由单调性和定义域共同求其最值.偶尔也用“不等式”方法, 包括均值不等式、柯西不等式等, 如

例1.设a>1, 函数f (x) =logax在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为1/2, 则a=_____.

点评:∵a>1, ∴f (x) 在[a, 2a]上是增函数, 由f (x) 的单调性及定义域直接求出最值.

例2. 定义域在R上的偶函 数f (x ) 在 [0 , +∞ ] 上递增 , f (1/3) =0, 则满足f (log (1/8) x) >0的x的取值范围是____.

点评:1.由f (x) 的奇偶性、单调性, 知f (x) 在R上的单调性, 推出:log (1/8) x>1/3或log (1/8) x<-1/3进而得解.

2.求最值务必先确立单调性 , 问题随之迎刃而解.

例3.已知函数y=f (x) 是偶函数, 当x>0时, f (x) =x+4/x, 且当x∈[-3, -2]时 , n≤f (x) ≤m恒成立 , 求m-n的值.

点评:此题可有两种方法, 即,

1.先确定x>0时 , f (x) =x+4/x的单调性, 进而求解.

2.可直接使用“不等式”求得x>0时 , f (x) 的最值 , 进而得解.

二、二元函数 (代数式中含有两个未知数)

此类问题的主要方法是依所给条件所定, 如所给条件及目标函数都有较重要的几何意义, 其主要方法是线性规划法及其思想, 如所给条件的几何意义不明显, 则使用方法三.

例1.已知点P (x, y) 的坐标同时满足以下不等式:x+y≤4, y≥x, x≥1, 如果点O为坐标原点, 那么|OP|的最小值等于____, 最大值等于______.

点评:因为其几何意义十分明显, 可直接使用线性规划法.

例2.设实数x, y满足不等 式组求 z = (x+2y) / (2x+y) 的范围.

点评:1. 条件显然有明显的几何意义, 而目标是“斜率”的增函数, 即确定了目标的几何意义, 问题得解.

2.几何意义是可以通过“变形”发现的.

三、多元函数 (代数式中含有两个及两个以上未知数)

此类问题多使用“不等式”方法, 即用均值不等式、柯西不等式等结合“一正、二常、三等号”的原则构造结构, 确定范围.

例1.x, y∈R, x2+xy+y2=3, 求u=?

点评:此题可用不等式x2+y2≥2xy可解, 也可用代入法化为方法一求解.

例2.已知a+b+c=1, 求证:

2.此题显然不适合用方法一二 , 只能采用方法三.

例3.a, b∈R+, a+b=1, 求的最大值.

点评:此题一二三种方法都可以解决, 但是用柯西不等式简捷、明了, 是最适用的方法.

以上三种方法是我要介绍的求最值 (范围) 最有效也是最常用的方法, 是我处理此类问题的基本策略, 令我受益匪浅, 希望能给各位同仁提供参考.

摘要：关于函数最值问题一直是高考数学中的热点及重点, 而对于学生而言由于函数最值问题涉及的范围广、内容多, 因此函数最值问题一直是学生学习的难点.本文主要探讨了求函数最值的三种基本方法.

二次函数的最值问题 篇4

初三：年级 数学：学科 出核人：杨守德 审核人：高阳 时间：12月26日 1．若二次函数y=x－3x＋c图象的顶点在x轴上，则c=（）24411A． B．－ C． D．－

9999222．抛物线y=ax＋bx＋c的对称轴的位置（）

A．与a、b、c有关 B．只与a、b有关 C．只与a有关 D．只与b有关 3．关于二次函数y=x＋4x－7的最大(小)值，下列叙述正确的是（）A．当x＝2时，函数有最大值 B．当x＝2时，函数有最小值 C．当x＝－2时，函数有最大值 D．当x＝－2时，函数有最小值 4．二次函数的图象如图所示，则下列判断错误的是（）

A．a＞0 B．c＜0 C．函数有最小值 D．y随x的增大而减小

5．若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x－4x－1有相同的顶点，并且在对称左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的关系式为（）A．y=－x＋2x－4 B．y=ax－ax＋a－3 C．y=－2x－4x－5 D．y=ax－2ax＋a－3（a＜0）6．抛物线y=－222222125x＋3x－的顶点坐标是（）22A．（2，3）B．（3，2）C．（－2，3）D．（－3，2）

7．某商品进货单价为90元，按100元一个出售，能售出500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为（）A．130元 B．120元 C．110元 D．100元 8．将抛物线y=x＋2x＋1向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的最小值是（）A．－3 B．1 C．2 D．3 9．根据二次函数y=（x－1）（x＋2）的图象可知，当x的取值范围是 时，y≤0 10．二次函数y=2x＋x－n的最小值是2，那么n＝

11．抛物线y=2x－4x＋1的开口向，最低点的坐标为

12．抛物线y=ax＋bx＋c在点（3，1）处达到最高点，抛物线与y轴交点的纵坐标为－8，则它的解析式为

13．把二次函数y=2x－4x＋5化成y=a（x－h）＋k的形式是，其图象开口方向，顶点坐标是，当x＝ 时，函数y有最 值，当x 时，y随x的增大而减小。22222214．已知二次函数y=x－6x＋m的最小值为1，那么m的值是

15．已知一个二次函数的顶点为（1，2），且有最大值，请写出满足条件的一个二次函数的关系式

16．心理学家发现学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x＋2.6x＋43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强，当x＝ 时，y有最大值是

17．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=3，求此二次函数的表达式。

18．某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系式y=－x＋200，为获得最大利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少？

19．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2.44米，问能否射中球门？

20．如图，在体育测试时，一位初三同学掷铅球，已知铅球所经过的路线是二次函数的一部分，如果这个同学出手点A的坐标为（0，2），铅球路线最高处B的坐标为（6，5）（1）求这条二次函数的解析式；

（2）该生能把铅球掷多远？（精确到0.01米，15≈3.873）

21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场判定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件

三角函数的最值求法 篇5

关键词：三角形,同名三角函数,最值,导数,方法

虽然导数的应用已经十分广泛, 但导数在三角形中的应用却很少被提及, 在三角形中, 由于受三角形本身的限制, 所以三个内角的同名的三角函数的和、差、积往往都存在极大值或极小值, 受三角形自身条件的限制, 这些极值就是它们的最值;并且这些最值都可以通过观察凭感觉直接得出;虽然感觉有了, 但若要求学生说明理由, 把解题的过程详细的展示出来却是一件十分困难的事情.而用初等方法去解决这些问题要求学生必须掌握一些特殊的方法、技巧;解题凭灵感, 找不到突破口、着力点, 甚至有方法、有技巧, 但却不知道要用哪一个方法、哪一个技巧, 没有普遍适用的方法.基于这一点, 下面简单的谈一谈求三角形中同名三角函数最值的导数求法.

这类最值一般以下面两个命题为依据.

命题1 (极值的充分条件) 设函数z=f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 的某一领域内有二阶连续偏导数, 且P0 (x0, y0) 是函数的驻点, 即fx (x0, y0) =0, fy (x0, y0) =0.

记fxx (x0, y0) =A, fxy (x0, y0) =B, fyy (x0, y0) =C, 则

(1) 当Δ=B2-AC<0时, 函数z=f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 处有极值;当A<0时, 有极大值;当A>0时, 有极小值;

(2) 当Δ=B2-AC>0时, 函数z=f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 处没有极值;

(3) 当Δ=B2-AC=0时, 函数z=f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 处可能有极值, 也可能没有极值.

命题2 (拉格朗日乘数法) 要找函数z=f (x, y) 在附加条件φ (x, y) =0下的可能极值点, 可以先作拉格朗日函数L (x, y) =f (x, y) +λφ (x, y) (其中λ为参数) .求其对x, y的一阶偏导数, 并使之为零, 然后联立方程组

undefined

由这个方程组解出x, y, 这样得到的点 (x, y) 就是f (x, y) 在附加条件下的可能极值点 (这个方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形) .

例1 在△ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求sinx+siny+sinp的最值.

分析 由初等函数可以明显的看出, 当undefined时, sinx+siny+sinp有最大值undefined, 但是, 具体要证明它却并非容易, 这是由于把握不住这类题型的规律, 从而往往感觉到有力无处使, 无从下手, 当然这道题的初等解法也很多, 这里就不再赘言, 而着重谈一谈它的导数解法.

解法1 (利用命题1) 设z=sinx+siny+sinp,

则此函数显然满足命题条件, 由于x+y+p=π,

∴p=π- (x+y) ,

z=sinx+siny+sin[π- (x+y) ]

=sinx+siny+sin (x+y) . ①

①式关于x, y分别求导, 得

undefined

②③两式关于x, y分别求导, 得

undefined

令②③两式分别为零, 联立组成方程组

undefined

找驻点, 解之得

undefined

即所求驻点为

undefined

将undefined分别代入④⑤⑥, 得

undefined

且undefined

∴由命题1知:

z=sinx+siny+sinp在undefined时取得极大值, 极大值为undefined, 由这个问题的实际意义知该极大值就是所求最大值.

由此种解法可以明显看出:以导数为工具解题, 首先要构造一个满足命题条件的函数, 一般在三角形中通常构造二元函数z=f (x, y) , 但确定函数的驻点时, 由于三角函数的多值性, 不要忘记条件:0

解法2 (利用拉格朗日乘数法) 这个问题可以看成满足条件x+y+p=π的条件极值, 而求条件极值的最好方法当然是“拉格朗日乘数法”, 因此, 可以构造拉格朗日函数:

L (x, y, p, λ) =sinx+siny+sinp+λ (x+y+p-π) .

对上式分别求关于x, y, p, λ的偏导数, 得方程组

undefined

解之得undefined

因为问题本身一定存在最大值, 而点undefined是唯一可能的极值点, 所以最大值必在此点取得, 因此当三角形的三个内角分别为undefined时, z=sinx+siny+sinp的值最大, 最大值为undefined

推广1 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求undefined是不小于1的实数) 的最值.

此种类型的三角形极值问题都能用例1所提供的两种解法来解决.下面再举例说明.

例2 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求cosx+cosy+cosp的最值.

解法1 (利用命题1) 同例1一样, 设z=cosx+cosy+cosp, 则此函数显然满足命题条件, 由于x+y+p=π,

∴p=π- (x+y) ,

z=cosx+cosy+cos[π- (x+y) ]

=cosx+cosy-cos (x+y) . ⑦

⑦式关于x, y分别求导, 得

undefined

⑧⑨式关于x, y分别求导, 得

undefined

undefined (12)

联立组成方程组

undefined

undefined

将undefined分别代入⑩ (11) (12) ,

undefined

且A=-1<0, 所以由命题1知:

z=cosx+cosy+cosp在undefined时取得极大值, 极大值为undefined.结合这个问题的实际意义知该极大值就是所求最大值.

解法2 (利用拉格朗日乘数法) 仿照例1可以构造拉格朗日函数:

L (x, y, p, λ) =cosx+cosy+cosp+λ (x+y+p-π) .

对上式分别求关于x, y, p, λ的偏导数, 得方程组

undefined

解之得undefined

因为问题本身一定存在最大值, 而点undefined是唯一可能的极值点, 所以最大值必在此点取得, 因此当三角形的三个内角分别为undefined时, z=cosx+cosy+cosp的值最大, 最大值为undefined

推广2 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求undefined是不小于1的实数) 的最值.

例3 在△ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求sinxsinysinp的最值.

解法1 (利用命题1) 设z=sinxsinysinp, 则此函数显然满足命题条件, 由于x+y+p=π,

∴p=π- (x+y) ,

z=sinxsinysin[π- (x+y) ]=sinxsinysin (x+y) . (13)

(13) 式关于x, y分别求导, 得

undefined (14)

undefined (15)

(14) (15) 两式关于x, y分别求导, 得

undefined (16)

undefined (17)

undefined (18)

联立组成方程组

undefined

undefined

将undefined分别代入 (16) (17) (18) ,

undefined

且undefined, 所以由命题1知:

z=sinxsinysinp在undefined时取得极大值, 极大值为undefined.由这个问题的实际意义知该极大值就是所求最大值.

解法2 (利用拉格朗日乘数法) 略.

推广3 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求undefined是不小于1的实数) 的最值.

例4 在△ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求cosxcosycosp的最值.

解法1 (利用命题1) 设z=cosxcosycosp,

由于x+y+p=π, ∴p=π- (x+y) ,

z=cosxcosycos[π- (x+y) ]=cosxcosycos (x+y) . (19)

(19) 式关于x, y分别求导, 得

undefined (20)

undefined (21)

(20) (21) 两式关于x, y分别求导, 得

undefined (22)

undefined (23)

undefined (24)

联立组成方程组

undefined

undefined

将undefined分别代入 (22) (23) (24) ,

undefined

且A=-1<0, ∴由命题1知:

z=cosxcosycosp在undefined时取得极大值, 极大值为undefined.由这个问题的实际意义知该极大值就是所求最大值.

解法2 (利用拉格朗日乘数法) 略.

推广4 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求undefined是不小于1的实数) 的最值.

例5 在△ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求tanx+tany+tanp的最值.

解法1 (利用命题1) 略.

解法2 (利用拉格朗日乘数法) 这个问题显然是满足条件x+y+p=π的条件极值, 故也可用“拉格朗日乘数法”, 因此, 可以构造拉格朗日函数:L (x, y, p, λ) =tanx+tany+tanp+λ (x+y+p-π) .

对上式分别求关于x, y, p, λ的偏导数, 得方程组

undefined

解之得undefined

因为问题本身一定存在最大值, 而点undefined是唯一可能的极值点, 所以最大值必在此点取得, 因此当三角形的三个内角分别为undefined时, z=tanx+tany+tanp的值最小, 最小值为undefined

推广5 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求undefined是不小于1的实数) 的最值.

例6 在△ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求tanxtanytanp的最值.

解法1 (利用命题1) 设z=cosxcosycosp, 则此函数显然满足命题条件, 由于x+y+p=π,

∴p=π- (x+y) ,

z=tanxtanytan[π- (x+y) ]=-tanxtanytan (x+y) . (25)

(25) 式关于x, y分别求导, 得

undefined (26)

undefined (27)

(26) (27) 两式关于x, y分别求导, 得

undefined

(下转94页)

参考文献

[1]曾庆柏.大学数学应用基础 (下) .长沙:湖南教育出版社, 2004:70.

浅谈函数中最值的求法 篇6

一、“数”和“形”求最值

例1如图1, 已知O为坐标原点, ∠AOB = 30°, ∠ABO = 90°, 且点A的坐标为 ( 2, 0) . 若二次函数y = ax2+ bx + c的图象经过A、B、O三点.

在二次函数图形的OB段 ( 不包括点O、B) 上, 是否存在一点C, 使△OBC的面积最大? 若存在, 求出最大值及C点坐标; 若不存在, 请说明理由.

通过上两例, 求函数的最大 ( 小) 项, 可针对题目的特点, 运用相应的方法.

三、等差数列前n项和求最值

数列是特殊的函数, 数列的前n项和仍是一数列, 它也是n的函数, 遇到求前n项和的最大 ( 小) 值问题, 可以先求出其前n项和{ S n } , 仿照上两例的做法即可. 但作为等差数列这种特殊数列, 除可用上述方法外, 针对它的特点, 有几种简单的方法, 先举例如下.

例3首项a 1 > 0的等差数列{ a n }, {S n}是其前n项和, S3= S 11 , 问此数列前多少项的和最大?

谈求解三角函数的最值的策略 篇7

一、转化为正、余弦函数的最值问题

f (x) 有最大值

f (x) 有最小值为

点评:三角函数的最值都是在给定区间上取得的, 因而特别要注意题设中所给出的角的范围, 还要注意弦函数的有界性.此类问题通常并不是直接研究原函数, 而是根据原函数f (x) =Asi n (ωx+θ) +B的定义域x的范围, 求出与之对应的α=ωx+θ整体的范围, 再利用函数f (α) =si nα的范围, 来研究f (α) =Asi nα+B的最值, 也就是原函数f (x) =Asi n (ωx+θ) +B的最值.

二、转化为二次函数的最值

例2已知函数f (x) =2cos2x+si n2x-4cosx.求函数f (x) 的最大值和最小值.

所以当cosx=-1时, f (x) 取得最大值6;

点评:本题主要考查了三角函数化简中的倍角公式及同角三角函数关系的应用, 利用配方法求最值, 但要注意三角函数自身的值域限定.

三、利用三角函数的单调性

所以函数f (x) 在区间上的最大值为2,

最小值为-1.

点评:对于给定区间上求三角函数值域 (或最值) 时, 先化为Asi n (ωx+φ) +B形式, 然后利用三角函数的单调性求解.其中注意二倍角公式和辅助角公式的运用.

四、利用三角函数的有界性求最值

例4已知函数.求函数h (x) =f (x) -g (x) 的最大值, 并求h (x) 取得最大值时x的集合.

点评:在求三角函数值域 (或最值) 时, 常将三角函数统一为Asi n (ωx+φ) +B或A cos (ωx+φ) +B (x∈R) 的形式, 最大值为|A|+B, 最小值为-|A|+B.

五、应用辅助角公式求最值

例5已知函数求函数的最大值及取得最大值时对应的自变量x的集合.

综上当自变量x的集合为

点评:将y=asi n2x+bsi nxcosx+cos2x转为化可求得最值.

三角函数是一种特殊的函数, 用三角函数的特征加上函数的思想就是求解三角函数最值的常用策略.求三角函数的最值, 要仔细观察函数的特征, 联系已有的函数知识, 把陌生的问题转化为熟悉的问题.要特别注意角的范围, 要善于总结, 勤于反思, 这样, 就可以提高我们分析问题和解决问题的能力, 就可以跳出题海, 达到举一反三、触类旁通的目的.

摘要：三角函数的最值 (或值域) 是三角函数的重点内容, 是高考常考的题型之一.三角函数的最值都是在给定区间上取得的, 因而特别要注意题设中所给出的角的范围, 还要注意弦函数的有界性.在给定区间上求三角函数值域 (或最值) 时, 先化为Asin (ωx+φ) +B的形式, 然后利用三角函数的单调性求解, 注意二倍角公式和辅助角公式的运用.

三角函数的最值求法 篇8

一、配方法

典例1已知函数y = ( ex- a)2+ ( e- x- a)2( a∈R,a≠0) ,求函数y的最小值.

解析y = ( ex+ e- x)2- 2a( ex+ e- x) + 2a2- 2令t = ex+ e- x,∴ f( t) = t2- 2at + 2a2- 2.

∵ t≥2,∴ f( t) = ( t - a)2+ a2- 2,

∵抛物线y = f( t) 的对称轴为t = a.

∴当a≤2且a≠0时,ymin= f( 2) = 2 ( a - 1)2;

当 a > 2 时,ymin= f( a) = a2- 2.

点评配方法是求二次函数最值的基本方法,形如F( x) = af2( x) + bf( x) + c得函数的最值问题,可以考虑用配方法.

二、换元法

典例2已知,x∈R. 求f( x) = a·b的取值范围.

点评换元法是指通过引入一个或几个新的变量,来替换原来的某些变量( 或代数式) ,以便使问题得以解决的一种数学方法

三、不等式法

典例3 [2014·重庆卷]若则a + b的最小值是( ) .

点评利用不等式法求解函数最值,主要是指运用均值不等式及其变形式来求解函数最值的一种方法,常常使用的基本不等式有以下几种:

四、导数法

典例4 [2014·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f( x) =ex- e- x- 2x( 1) 略.

( 2) 设g( x) = f( 2x) - 4bf( x) ,当x > 0时g( x) > 0,求b的最大值; ( 3) 略.

( i) 当b≤2时,g'( x) ≥0当且仅当x = 0时取等号,所以g( x) 在( - ∞ ,+ ∞ ) 上单调递增. 而g( 0) = 0,所以对任意x > 0,g( x) > 0.

点评设函数f( x) 在区间[a,b]上连续,在区间( a,b)内可导,则f( x) 在[a,b]上的最大值和最小值应为f( x) 在( a,b) 内的各极值与f( a) ,f( b) 中的最大值和最小值.

五、数形结合法

典例5求函数的值域.

解析由题意令) 其图像,如图所示,原式A = x + y其几何意义是直线在坐标轴上的截距,其图形如图所示,结合图像可知

点评数形结合法,是指利用函数所表示的几何意义,借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法.

六、线性规划法

典例6 [2014·新课标全国卷Ⅱ]设x,y满足约束条件,则z = 2x - y的最大值为( ) .

A. 10B. 8C. 3D. 2

解析已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A( 5,2) 处取得最大值,故目标函数的最大值为2×5 - 2 = 8.

三角函数的最值求法 篇9

一、关于内接图形的面积最值问题

1.圆的内接矩形问题

例1.如图所示, 半径为R的⊙O的内接矩形为ABCD, 求矩形ABCD面积的最大值。

分析:圆的内接矩形并不是固定的, 但是其对角线一定经过圆心, 所以可以用对角线与一边所成的角来刻画矩形的变动。

则AD=2Rsinφ, AB=2Rcosφ

2.推广至半圆的内接矩形问题

变式1.如图所示, 半径为R的半圆O的内接矩形为ABCD, 求矩形ABCD面积的最大值。

故设∠AOB=θ, 且θ为锐角, 半圆的半径为R, 则

S矩形ABCD=AB·DA=Rsinθ·2Rcosθ=R2sin2θ

所以, 当θ=45°时, 矩形ABCD的面积取得最大值R2。

3.再推广至扇形的内接矩形

例2.如图, 求圆心角为60°, 半径为1的扇形AOB内接矩形PQMN面积的最大值。

另外, 扇形的内接矩形还有其他形式, 如图, 使矩形的一边平行于弦AB作出内接矩形PQMN。而这样的内接矩形, 我们以扇形的角平分线为分界将这个扇形分成两个相等小的扇形。

接下来小扇形的内接矩形就可以类比第一种方法了。

另外如果圆心角为钝角, 可以参考第二种做法分成两个全等的小扇形, 即转换为圆心角为锐角来解决。

总结分析这几种情况都有一个中心思想, 就是找出哪个量哪个点的变化导致我们所求的量变化。那么如何抓住这个原始动点呢, 可以找到一个参数, 让它的变化代替原始动点的变化, 最终将所求变成关于这个参数的函数形式, 进而利用函数来解决最值问题。

二、与圆相关的最值问题

在直角坐标系中, 圆的坐标都可以用角度表示。圆 (x-a) 2+ (y-b) 2=r2的参数方程即为x=a+rcosα, y=b+rsinα。这样就可以利用三角函数解决圆的相关问题了。

例3.已知实数x, y满足x2+y2=1, 求x+y的取值范围。

此处使用了单位圆上一点与角度的关系, 还可以把这种关系拓展到椭圆。

分析:设x=4cosα, y=3sinα, 则x+y=5sin (α+φ) , 取值范围是[-5, 5]。

所以当α=60°时, x+y有最大值为2。

三、反思总结