周期函数

周期函数（通用14篇）

篇1：周期函数

周期函数的性质

(1)若T(≠0)是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期。

(2)若T(≠0)是f(x)的周期，则nT(n为任意非零整数)也是f(x)的周期。

(3)若T1与T2都是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x)的`周期。

(4)若f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

(5)若T1、T2是f(x)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(x)不存在最小正周期。

(6)周期函数f(x)的定义域M必定是至少一方无界的集合。

篇2：周期函数

这节课是北师版数学必修4的第一节课，为了吸引学生，我应用了多媒体教学资源，既有视频形式的，又有图片形式的，并结合生活现象采用启发式提问，学生小组讨论等形式，首先通过观察钱塘江潮涨潮落的.视频和演示时钟圆周运动直接的切入了本课的主题――周期现象，然后引导学生再举生活中常见的周期现象，如潮汐，波浪，四季变化等以调动学生的积极性，然后带领学生从数学的角度研究周期现象，这一环节运用了一下教学工具―几何画板，收到了比较好的效果。最后，让学生们做了归纳整理，整体认识，此处设计了三个问题很好的启发了学生对课堂所学进行回顾和反思，总之，这节课上的比较成功，值得回味！

篇3：周期函数浅思

为了体现出学生举一反三的思维灵活性以及特有的数学逻辑, 函数的周期也会以其他形式给出。

设a为非零常数

特例1:若f ( x +a) = -f ( x) , 则函数f ( x) 为周期函数, T =2a为它的一个周期。

证明:f ( x) = -f ( x +a) =f [ ( x +a) +a] = f ( x +2a)

∴ T = 2a

评述:与定义相对比、f ( x + a) = - f ( x) 中多一个负号所以T≠a, 但以此式为依据展开数学逻辑推理, 可得f ( x) = - f ( x + a) , 把“x + a”看作整体, 再依据已知等式即可得 -f ( x +a) =f [ ( x +a) +a], 即f ( x) =f ( x +2a)

特例2:若f ( x +a) =1/f ( x) , 则f ( x) 为周期函数, T =2a为函数f ( x) 的一个周期

证明:f ( x) =1/f ( x) = f [ ( x + a) + a] = f ( x + 2a)

特例3:若f ( x +a) =f ( x - a) , 则f ( x) 为周期函数, T =2a为函数f ( x) 的一个周期

证明:f ( x) =f [ ( x +a) - a] =f [ ( x +a) +a]=f ( x +2a)

评述:f ( x +a) =f ( x - a) 描述的是函数的周期性, 而f ( a + x) = f ( a x) 描述的是函数f ( x) 关于x = a对称的对称性, 二者应相互区别。

特例4:若函数f ( x) 同时关于x =a与x =b对称 ( a <b) , 则函数f ( x) 是周期函数, T =2 ( b - a) 是它的一个周期

证明:若函数f ( x) 关于x =a对称, 则f ( a +x) =f ( a - x) …………1

若函数f ( x) 关于x =b对称, 则f ( b +x) =f ( b - x) …………2

特例5:若f ( x) 关于点 ( a, 0) 对称同时关于点 ( b, 0) 对称, 则f ( x) 是一个周期函数, T =2 ( b -a) 是f ( x) 的一个周期

证明:若函数f ( x) 关于点 ( a, 0) 对称, 则f ( a + x) = - f ( a - x) …………1

若函数f ( x) 关于点 ( b, 0) 对称, 则f ( b +x) = -f ( b -x) …………2

练习1:已知定义在R上的奇函数f ( x) 满足f ( x +2) = -f ( x) , 则f (2010) =________。

分析:

f ( x + 2) = - f ( x) , 根据特例1, f ( x) 是以4为周期的周期函数

因此f (2010) =f (502×4 +2) =f (2)

由已知f ( x) 为定义在R上的奇函数

因此f (0) =0

因此f (2) =f (0 +2) = -f (0) =0, 即f (2010) = 0。

练习2:f ( x) 是定义在R上的奇函数, 且f ( x) 在[0, 4) 上单调递增, 若f ( x +2) 也为奇函数, 试判断f ( x) 在[4, 8) 上的单调性。

分析:

f ( x) 是定义在R上的奇函数

因此f ( x) 关于点 (0, 0) 对称

由已知f ( x +2) 也为奇函数

因此f ( x) 也关于点 (2, 0) 对称

依据特例6, f ( x) 为T =4的周期函数

由已知f ( x) 在[0, 4) 上单调递增

因此在[4, 8) 上也单调递增。

练习3:函数f ( x) 对于任意实数x满足条件f ( x +2) =1/f ( x) , 若f (1) =- 5, 则f [f ( 5) ]= ___________。

分析:由特例2可知f ( x) 是T =4的周期函数

因此f (5) =f (4 +1) =f (1) = -5

而 f ( -5) =f ( -5 +4) =f ( -1)

综上可知

篇4：周期函数

1. 函数y=12|x+1|的值域是.

2. 方程lg(x2-4)=lgx+lg3的解是.

3. 已知幂函数f(x)=x-14，若f(2a+3)＜f(1-a)，则a∈.

4. 已知f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0，则方程x+1=(2x-1)f(x)的解为.

5. 已知函数f(x)满足f2x+|x|=log2x|x|，则f(x)的解析式是 .

6. 设f∶x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1,4},则A∩B等于

7. 49-12-lg5+lg22-lg4+1-31-log32=.

8. 已知函数f(x)=(2a-1)x+7a-2,x＜1,ax,x≥1在(-∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是.

9. 已知函数f(x)=log2(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则实数a的取值范围是.

10. 在y=2x,y=log2x,y=x2这三个函数式中，当0＜x1＜x2＜1时，使fx1+x22＜f(x1)+f(x2)2恒成立的函数个数是.

11. 已知函数f(x)=x2-2x+a，x∈［0,3］,它的任意三个函数值总可以作为一个三角形的三边长，则a的取值范围是.

12. 有下列命题：

（1） 定义在R上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数;

（2） 定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数;

（3） 定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0］上是单调减函数，在区间(0,+∞)上也是单调减函数，则f(x)在R上是单调减函数;

（4） 既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个.

其中真命题有 .

二、 解答题

13. 已知f(x)=x13-x-132,g(x)=x13+x-132.

（1） 计算f(4)-2f(2)g(2)和g2(2)-f2(2)的值；

（2） 概括出函数f(x)和g(x)对所有不为零的实数都成立的两个恒等式.

14. 已知函数f(x)=x+log2m+x1-x（m为常数）的

图象关于原点对称.

（1） 求m的值；

（2） 若x∈-1,13，f(x)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

15. 已知正数a,b,c满足条件：(lgab)·(lgbc)=-1，求ca的取值范围.

16. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23，且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1） 求证：f(x)为奇函数；

（2） 若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

17. 已知函数f(x)=1x-1.

(1) 作出函数f(x)的图象；

(2) 若集合A=y|y=f(x)，12≤x≤2，B=［0,1］，试判断A与B的关系；

(3) 若存在实数a,b(a＜b)，使得集合{y|y=f(x)，a≤x≤b}=［ma,mb］，求实数m的取值范围.

（参考答案见第43页）



巩固练习参考答案

《形影不离的单调性与定义域》

1. (-∞,0)及（0，+∞） 2. a∈(1,2)

3. (-∞,-3) 4. 存在，a∈(1,+∞)

5. x∈12,43

《函数奇偶性判断的常见误区》

1. D

2.f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0.

3. f(x)是在（-1，1）上的奇函数.

4. 令x=y=0，得f(0)=0；再令y=-x，得f(-x)+f(x)=f(0)=0，得证.

《在错误中提升方法》

1. 0＜a＜1,b≤0；

2. (1) a=1;(2) 略.

3. ［2，+∞）.

4. 设x1＜x2＜0，

则y1-y2=2x1+12x1-2x2+12x2=(2x1-2x2)+12x1-12x2=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)2x12x2.

因为x1＜x2＜0，所以0＜2x1＜2x2,x1+x2＜0，2x1+x2-1＜0,所以y1-y2＞0,

所以函数y=2x+12x在（-∞，0）上是单调减函数.

《对数函数学习过程中的关注点》

1. A

2. 由已知得lga,lgb是方程x2+(lg7+lg5)x+lg7·lg5=0的两根，

所以lga+lgb=-(lg7+lg5)=lg135，所以ab=135.

3. 设u=2-ax，则y=logau，由已知a＞0,a≠1，所以u=2-ax在区间［0,1］单调递减，因此要使函数y=loga(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，则a＞1,且u=2-ax＞0在区间［0,1］上恒成立.可得1＜a＜2.

4. （1） 由x+x2+1＞x+x2=x+|x|≥0，可得函数f(x)=lg(x+x2+1)的定义域是R；

（2） 由f(x)=lg(x+x2+1)，可得f(-x)=lg(-x+x2+1)，

所以f(-x)+f(x)=lg(-x+x2+1)+lg(x+x2+1)=lg(-x2+x2+1)=lg1=0，所以f(-x)=-f(x)，即函数f(x)=lg(x+x2+1)是奇函数.

（3） 略.

《幂函数的概念、图象和性质》

1. D 2. C 3. 12008

4. （1） k=0或k=1，f(x)=x2;（2） 存在q=2满足题意.

《比较指数式大小的常用方法》

1. a1.2＞1a-0.3.

2. 1.40.1＞0.93.1.

3. 因为-233为负数，4313大于1，3412大于0小于1,所以4313＞3412＞-233.

4. B

5. ① x＞6:当a＞1时，有a4x-5＞33x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＜33x+1.

② x=6时，a4x-5=a3x+1.

③ x＜6:当a＞1时，有a4x-5＜a3x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＞a3x+1.

单元测试参考答案

1. (0,1］ 2. x=4 3. -23,1

4. 0,2,-1-174

5. f(x)=-log2x 6.{1}或7. 0 8. 38,12 9. (1,2) 10. 2

11. (5,+∞) 12. 2

13. (1)0和1;(2) f(x2)-2f(x)g(x)=0，g2(x)-f2(x)=1.

14. (1)m=1;(2)先证明f(x)单调递增，f(x)max=f13=43.

15. 已知式可化为关于lgb的方程lg2b+(lga+lgc)lgb+lgalgc+1=0.

由Δ≥0得：(lga-lgc)2≥4，所以lgca≤-2或lgca≥2,

所以ca∈0,1100∪［100,+∞).

16. (1) 略.

(2) 因为f(x)在R上是单调函数，且f(3)=log23>f(0),

所以f(x)在R上单调递增.

又f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0,即f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2),所以9x-3x+2＞k·3x，即9x-(k+1)3x+2＞0对x∈R恒成立.

所以k+1≤0或k+1＞0，-k+122+2＞0，解得k＜22-1.

17. (1)

(2) A=［0，1］=B.

(3) 因为a＜b，ma＜mb，所以m＞0.

又f(x)≥0,所以ma≥0，又a≠0，所以a＞0.

① 0＜a＜b≤1，由图象知，f(x)在x∈［a，b］上递减，所以1a-1=mb，1b-1=maa=b，与a＜b矛盾.

② 0＜a＜1＜b，这时f(1)=0，而ma＞0,也与题设不符；

③ 1≤a＜b，f(x)在x∈［a,b］上递增,

所以1-1a=ma，1-1b=mb，可知mx2-x+1=0在［1,+∞)内有两不等实根.

由Δ＞0，12m＞1，解得0＜m＜14

篇5：狄利克雷函数为什么是周期函数

证明过程：

狄利克雷函数即f(x)=1(当x为有理数);f(x)=0(当x为无理数);而周期函数的定义是对任意x，若f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期为T的周期函数。

显然，取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T);当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意个有理数，所以没有最小正周期。

篇6：范尔概周期函数

利用三角多项式给出范尔概周期函数新形式的.定义,并证明两个定义方式的等价性.通过新形式的定义研究范尔概周期函数的傅立叶级数和帕塞瓦尔等式.

作 者：江利娜 张传义 Jiang Lina Zhang Chuanyi  作者单位：哈尔滨工业大学,数学系,哈尔滨,150001 刊 名：黑龙江大学自然科学学报  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HEILONGJIANG UNIVERSITY 年，卷(期)： 24(5) 分类号：O175 关键词：三角多项式   范尔概周期函数   傅立叶级数   trigonometric polynomial   Weyl almost periodic function   Fourier series  

篇7：奇函数乘以奇函数等于什么函数

（1）奇函数加奇函数所得函数为奇函数。

（2）偶函数加偶函数所得函数是偶函数。

篇8：函数与其导函数的函数特性的关系

关键词：导函数,有界性,单调性,周期性

函数是数学研究的重要对象之一, 函数的特性是分析研究函数和应用函数的基础. 函数的导函数又与其有密切的关系. 下面具体分析函数与其导函数之间的函数特性———有界性、单调性、奇偶性、周期性.

1.有界性

1有界函数的导函数未必有界.

例如函数在区间 (0,1)内有界 ,但是其导 函数

所以f′(x)在区间(0,1)内无界.

因此有界函数的导数未必有界.

2导函数有界,原函数也未必有界.

例如,函数y=x的导函数y′=1在R上有界,但y=x在R上无界.

注:在加强条件下导函数有界,原函数也有界.

如果导函数f′(x)在区间(a,b)上有界,则f(x)在区间(a,b)上也有界.

即说明函数f(x)在区间(a,b)上有界.

2.单调性

1单调函数的导函数未必单调.

例如y=x3在R上是单调函数,但其导函数y′=3x2在R上不是单调函数.

2单调函数的原函数未必是单调函数.

例如y=x在R上是单调函数,但其原函数y=1/2x2在R上不是单调函数.

3.奇偶性

1奇函数的导函数是偶函数.

2偶函数的导函数是奇函数.

证明:假设y=f(x)是(-a,a)上的奇函数,则f(-x)=-f(x),

同理可证,偶函数的导函数是奇函数.

4.周期性

1周期函数f(x)的导函数f′(x)仍然是周期函数.

证明 :因为f(x)是周期函 数 ,所以存在T,使得f(x+T)=f(x),

所以f′(x)也是以T为周期的周期函数.

2导函数f′(x)是周期函数,原函数f(x)未必是周期函数.

例如,函数f′(x)=cosx+5是周期函数,但是f(x)=sinx+5x不是周期函数.

篇9：函数·指数函数与对数函数

1. 已知[x，y]为正实数，则（ ）

A. [2lgx+lgy=2lgx+2lgy]

B. [2lg（x+y）=2lgx?2lgy]

C. [2lgx?lgy=2lgx+2lgy]

D. [2lg（xy）=2lgx?2lgy]

2. 已知一元二次不等式[f（x）<0]的解集为[x|x<-1或x>12]，则[f（10x）>0]的解集为（ ）

A. [x|x<-1或x>lg2]

B. [x|-1

C. [x|x>-lg2]

D. [x|x<-lg2]

3. 函数[f（x）=ax+1（a>0，a≠1）]的值域为[[1，+∞）]，则[f（-4）]与[f（1）]的关系是（ ）

A. [f（-4）>][f（1）] B. [f（-4）=][f（1）]

C. [f（-4）<][f（1）] D. 不能确定

4. 函数[f（x）=lg（|x|-1）]的大致图象是（ ）

[A B C D]

5. 设[a=log36，b=log510，c=log714]，则（ ）

A. [c>b>a] B. [b>c>a]

C. [a>c>b] D. [a>b>c]

6. 已知函数[f（x）=lnx，0

A. [f（a）a

B. [f（a）a

C. [f（b）b

D. [f（c）c

7. 已知函数[f（x）=lg（ax-bx）+x]中，[a，b]满足[a>1>b>0]，且[a=b+1]，那么[f（x）>1]的解集为（ ）

A. [（0，1）] B. [（1，+∞）]

C. [（1，10）] D. [（10，+∞）]

8. 下列命题：①在区间[（0，+∞）]上，函数[y=x-1]，[y=x12]，[y=（x-1）2]，[y=x3]中有三个是增函数；②若[logm32，]则方程[f（x）=12]有2个实数根.其中正确命题的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 已知函数[f（x）=|lgx|，010.]若[a，b，c]互不相等，且[f（a）=f（b）=f（c），]则[abc]的取值范围是（ ）

A. [（1，10）] B. [（5，6）]

C. [（10，12）] D. [（20，24）]

10. 已知[log12（x+y+4）

A. [（-∞，10]] B. [（-∞，10）]

C. [[10，+∞）] D. [（10，+∞）]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 对任意的非零实数[a，b]，若[a?b=b-1a，a

12. 已知函数[f（x）=|2x-1|]，[af（c）>f（b）]，则下列结论中，一定成立的是 .

①[a<0]，[b<0]，[c<0] ②[a<0]，[b≥0]，[c>0] ③[2-a<2c] ④[2a+2c<2]

13. 函数[y=1log0.5（2x-1）+（4x-3）0]的定义域为 .

14. 设函数[f（x）=2x，x≤0，log2x，x>0，][f[f（-1）]=] .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知函数[f（x）=13ax2-4x+3].

（1）若[a=-1]，求[f（x）]的单调区间；

（2）若[f（x）]有最大值3，求[a]的值.

16. （12分）已知函数[f（x）=loga（3-ax）].

（1）当[x∈[0，2]]时，函数[f（x）]恒有意义，求实数[a]的取值范围；

（2）是否存在这样的实数[a]，使得函数[f（x）]在区间[[1，2]]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出[a]的值；如果不存在，请说明理由.

17. （10分）已知函数[f（x）=lgkx-1x-1（k∈R且][k>0）].

（1）求函数[f（x）]的定义域；

（2）若函数[f（x）]在[[10，+∞）]上是单调增函数，求[k]的取值范围.

18. （12分）已知函数[f（x）=lg（ax-bx）（a>1>b>0）].

（1）求[y=f（x）]的定义域；

（2）在函数[y=f（x）]的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于[x]轴；

（3）当[a，b]满足什么条件时，[f（x）]在[（1，+∞）]上恒取正值.

篇10：奇函数乘偶函数是什么函数

判断方法

判定函数奇偶性，首先要看定义域，如果定义域关于原点对称，再讨论奇偶性，否则直接判定是非奇非偶函数。

其次，奇函数满足f(x)=-f(-x)，偶函数满足f(x)=f(-x)。

篇11：周期函数

构造函数 析构函数与赋值函数是每个类最基本的函数。它们太普通以致让人容易麻痹大意，其实这些貌似简单的函数就象没有顶盖的下水道那样危险。

每个类只有一个析构函数和一个赋值函数，但可以有多个构造函数（包含一个拷贝构造函数，其它的称为普通构造函数）。对于任意一个类A，如果不想编写上述函数，C++编译器将自动为A产生四个缺省的函数，如

A(void);// 缺省的无参数构造函数

A(const A &a);// 缺省的拷贝构造函数

~A(void);// 缺省的析构函数

A & operate =(const A &a);// 缺省的赋值函数

这不禁让人疑惑，既然能自动生成函数，为什么还要程序员编写？

原因如下：

（1）如果使用“缺省的无参数构造函数”和“缺省的析构函数”，等于放弃了自主“初始化”和“清除”的机会，C++发明人Stroustrup的好心好意白费了。

（2）“缺省的拷贝构造函数”和“缺省的赋值函数”均采用“位拷贝”而非“值拷贝”的方式来实现，倘若类中含有指针变量，这两个函数注定将出错。

对于那些没有吃够苦头的C++程序员，如果他说编写构造函数 析构函数与赋值函数很容易，可以不用动脑筋，表明他的认识还比较肤浅，水平有待于提高。

本章以类String的设计与实现为例，深入阐述被很多教科书忽视了的道理。String的结构如下：

class String

{

public:

String(const char *str = NULL);// 普通构造函数

String(const String &other);// 拷贝构造函数

~ String(void);// 析构函数

String & operate =(const String &other);// 赋值函数private:

char*m_data;// 用于保存字符串

篇12：偶函数减奇函数等于什么函数

在一个变化过程中，发生变化的.量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

篇13：周期函数

一、寻根溯源找函数模型

高考中的多数函数问题是以具体函数为模型,如一次函数、反比例函数、二次函数、分式型函数、指数对数函数、幂函数、高次多项式函数等都是常涉及的函数,因此,解题时根据抽象函数的性质,通过猜想它可能为某种基本函数找出抽象函数的原型,在不需解题过程的填空、选择题中, 可直接用原型函数求解得到答案.

例1( 2009山东) 已知定义在R上的奇函数f( x) 满足f( x +2) = - f( x) ,则f( 6) 的值为() .

A. - 1B. 0C. 1D. 2

分析本题是求抽象函数值问题. 由条件易知,f( x) 的原型函数是f( x) = sinπ/2x,当x = 6时,f( 6) = sin3π = 0. 答案选B.

例2 ( 2009天津) 设函数f( x) 在R上的导函数为f'( x) ,且2f( x) + xf'( x) > x2,下面的不等式在R上恒成立的是() .

A. f( x) > 0B. f( x) < 0C. f( x) > xD. f( x) < x

分析本题主要考查导函数与函数模型的应用. 解决问题的关键是用特例法.

解可取f( x) =1/ 2x2+1 /2,则f( x) 满足条件,验证各个选项,得B,C,D都不恒成立. 答案选A.

例3 ( 2010安徽) 设 ,则a,b,c的大小关系是( ) .

A. a > c > bB. a > b > c C. c > a > bD. b > c > a

解析因为a,c的指数相同底数不同,选用幂函数y = x 2/ 5 ,在x > 0时是增函数,则a > c,而b,c的底数同指数不同,选用指数函数y =(2/5) x在R上是减函数,则c > b. 答案选A.

二、抓住函数性质

例4 ( 2012重庆理7) 已知f( x) 是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f( x) 为[0,1]上的增函数”是“f( x) 为 [3,4]上的减函数”的() .

A. 既不充分也不必要的条件B. 充分而不必要的条件

C. 必要而不充分的条件D. 充要条件

答案D.

解析因为f( x) 为偶函数,所以当f( x) 在[0,1]上是增函数,则f( x) 在[-1,0]上则为减函数,又函数f( x) 的周期是4,所以在区间[3,4]也为减函数. 若f( x) 在区间[3,4] 为减函数,根据函数的周期可知f( x) 在[-1,0]上则为减函数,又函数f( x) 为偶函数,根据对称性可知,f( x) 在[0,1]上是增函数. 综上可知,“f( x) 在[0,1]上是增函数”是“f( x) 为区间[3,4]上的减函数”成立的充要条件,选D.

例5 ( 2009辽宁) 已知偶函数f( x) 在区间[0,+ ∞ ) 上单调递增,则f ( 2x - 1) < f(1/3)的x的取值范 围是( ) .

A.(1/3,2/3)B.[1/3,2/3)C.(1/2,2/3)D.[1/2,2/3)

答案A.

分析本题解题关键是利用偶函数性质f( x) = f( - x) = f( | x | ) 建立正确的不等式求出x的取值范围,学生往往只建立正数范围的不等式而漏掉负数范围.

解由已知有︱2x -1 ︱<1 /3,即 -1 /3< 2x - 1 <1/ 3,解得1/ 3< x <2 /3. 选A.

例6 ( 2012山东) 定义在R上的函数f( x) 满足f( x + 6) = f( x) . 当 - 3≤x < - 1时,f( x) = - ( x + 2)2,当 -1≤x≤3时,f ( x) = x. 则f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + … + f ( 2012 ) = () .

A. 335B. 338C. 1678D. 2012

分析由条件f( x +6) = f( x) 挖掘出函数的周期性质, 解题时注意题目给出的两个区间的对称性.

解由f( x + 6) = f( x) ,可知函数的周期为6,所以f( - 3) = f( 3) = - 1,f( - 2) = f( 4) = 0,f( - 1) = f( 5) = - 1,f( 0) = f( 6) = 0,f( 1) = 1,f( 2) = 2,所以在一个周期内有f( 1) + f( 2) + … + f( 6) = 1 + 2 - 1 + 0 - 1 + 0 = 1,所以f( 1) + f( 2) + … + f( 2012) = f( 1) + f( 2) + 335×1 = 335 + 3 = 338. 选B.

三、巧用数形结合

数形结合思想方法是重要的数学思想方法,借助函数图像的研究寻找问题的解决途径,用数形结合解题直观,便于发现问题,启发思考,特别是选择题、填空题,灵活应用此法可达到事半功倍的效果.

例7 ( 2011天津理7) 已知

A. a > b > c B. b > a > c C. a > c > b D. c > a > b

答案C.

分析本题借助函数图像能迅速比较指数的大小.

解析令m = log23. 4,n = log43. 6,l = log3 10/3 ,在同一坐标系下作出三个函数的图像,由图像可得m > l > n.

数形结合思想方法还能贯穿到三角函数、平面解析几何中,例如: 如果实数x,y满足等式( x -2)2+ y2= 3,求y /x的最大值. 解析: 解题抓住已知等式( x -2)2+ y2= 3表示的图形是以点( 2,0) 为圆心 为半径的圆,作出图形,所求的y/ x表示这个圆上的点和原点连线的斜率,由图形能很快求出y/ x的最大值.

篇14：谈高考中的周期函数

一、定义

函数f（x）定义在数集A上，如果存在正数T，对任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），称函数f（x）是周期函数，T称为函数f（x）的一个周期。

二、几点注意事项

1.如果T是函数f（x）的周期，则2T也是它的周期

事实上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.显然，如果T是函数f（x）的周期，则nT（n是整数）也是它的周期。如果函数f（x）有最小的正周期，通常将这个最小正周期称为函数f（x）的周期。

2.周期函数不一定有最小正周期

对一般函数而言，都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观，且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。

如：f（x）=a（a为常数）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函数f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函数，其最大负周期为-2π；

3.周期函数的定义域至少一端趋向∞

由周期函数的定义可知，若x∈M，只需x+T∈M，当然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函数的定义域一定是无限集，即定义域与区间的一端无界，但不要求定义域两端无界。

4.几个重要结论

（1）f（x+a）=-f（x），则最小正周期为|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），则最小正周期为|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），则最小正周期为2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定义法

例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.

2.公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？渍）、Acosωx+？渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|，Aant（ωx+？渍）正切型函数T=π/|ω|.y=f（kx+b）型类似正切型函数。若y=f（x）最小正周期为T，则y=f（kx+b）最小正周期为T/|k|.

例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍数法

设f（x）与g（x）是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍数。

例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、图象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的图象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一个函数的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函数是周期函数，但没有最小正周期。

五、高考题欣赏

例1.（2013山东理10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陕西理3）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则函数y=f（x）的图像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全国新课标理11）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期为π，且f（-x）=f（x）则

（A）y=f（x）在（0，■）单调递减 （B）y=f（x）在（■，■）单调递减

（C）y=f（x）在（0，■）单调递增 （D）y=f（x）在（■，■）单调递增

【答案】A

例4.（2013全国大纲卷12）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的是

（A）y=f（x）的图像关于（π，0）中心对称

（B）y=f（x）的图像关于x=■对称

（C）f（x）的最值为■

（D）f（x）既是奇函数，又是周期函数

答案：D

周期性是函数的一个重要性质，也是高考中每年必考的知识。掌握到何种程度，才能在高考中游刃有余呢？对此，笔者就自己的一点认识与大家共勉。

一、定义

函数f（x）定义在数集A上，如果存在正数T，对任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），称函数f（x）是周期函数，T称为函数f（x）的一个周期。

二、几点注意事项

1.如果T是函数f（x）的周期，则2T也是它的周期

事实上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.显然，如果T是函数f（x）的周期，则nT（n是整数）也是它的周期。如果函数f（x）有最小的正周期，通常将这个最小正周期称为函数f（x）的周期。

2.周期函数不一定有最小正周期

对一般函数而言，都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观，且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。

如：f（x）=a（a为常数）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函数f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函数，其最大负周期为-2π；

3.周期函数的定义域至少一端趋向∞

由周期函数的定义可知，若x∈M，只需x+T∈M，当然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函数的定义域一定是无限集，即定义域与区间的一端无界，但不要求定义域两端无界。

4.几个重要结论

（1）f（x+a）=-f（x），则最小正周期为|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），则最小正周期为|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），则最小正周期为2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定义法

例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.

2.公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？渍）、Acosωx+？渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|，Aant（ωx+？渍）正切型函数T=π/|ω|.y=f（kx+b）型类似正切型函数。若y=f（x）最小正周期为T，则y=f（kx+b）最小正周期为T/|k|.

例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍数法

设f（x）与g（x）是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍数。

例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、图象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的图象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一个函数的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函数是周期函数，但没有最小正周期。

五、高考题欣赏

例1.（2013山东理10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陕西理3）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则函数y=f（x）的图像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全国新课标理11）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期为π，且f（-x）=f（x）则

（A）y=f（x）在（0，■）单调递减 （B）y=f（x）在（■，■）单调递减

（C）y=f（x）在（0，■）单调递增 （D）y=f（x）在（■，■）单调递增

【答案】A

例4.（2013全国大纲卷12）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的是

（A）y=f（x）的图像关于（π，0）中心对称

（B）y=f（x）的图像关于x=■对称

（C）f（x）的最值为■

（D）f（x）既是奇函数，又是周期函数

答案：D

周期性是函数的一个重要性质，也是高考中每年必考的知识。掌握到何种程度，才能在高考中游刃有余呢？对此，笔者就自己的一点认识与大家共勉。

一、定义

函数f（x）定义在数集A上，如果存在正数T，对任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），称函数f（x）是周期函数，T称为函数f（x）的一个周期。

二、几点注意事项

1.如果T是函数f（x）的周期，则2T也是它的周期

事实上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.显然，如果T是函数f（x）的周期，则nT（n是整数）也是它的周期。如果函数f（x）有最小的正周期，通常将这个最小正周期称为函数f（x）的周期。

2.周期函数不一定有最小正周期

对一般函数而言，都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观，且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。

如：f（x）=a（a为常数）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函数f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函数，其最大负周期为-2π；

3.周期函数的定义域至少一端趋向∞

由周期函数的定义可知，若x∈M，只需x+T∈M，当然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函数的定义域一定是无限集，即定义域与区间的一端无界，但不要求定义域两端无界。

4.几个重要结论

（1）f（x+a）=-f（x），则最小正周期为|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），则最小正周期为|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），则最小正周期为2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定义法

例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.

2.公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？渍）、Acosωx+？渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|，Aant（ωx+？渍）正切型函数T=π/|ω|.y=f（kx+b）型类似正切型函数。若y=f（x）最小正周期为T，则y=f（kx+b）最小正周期为T/|k|.

例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍数法

设f（x）与g（x）是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍数。

例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、图象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的图象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一个函数的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函数是周期函数，但没有最小正周期。

五、高考题欣赏

例1.（2013山东理10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陕西理3）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则函数y=f（x）的图像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全国新课标理11）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期为π，且f（-x）=f（x）则

（A）y=f（x）在（0，■）单调递减 （B）y=f（x）在（■，■）单调递减

（C）y=f（x）在（0，■）单调递增 （D）y=f（x）在（■，■）单调递增

【答案】A

例4.（2013全国大纲卷12）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的是

（A）y=f（x）的图像关于（π，0）中心对称

（B）y=f（x）的图像关于x=■对称

（C）f（x）的最值为■

（D）f（x）既是奇函数，又是周期函数