运算技巧

运算技巧（精选七篇）

运算技巧 篇1

一、凑整法

凑整是数学运算中最基础的一种简便运算方式, 在小学阶段就有过接触. 凑整法的目的就是把一个算式中能够凑成整十或整百的数先凑到一起进行运算, 也可以通过引入数字, 对原式中的数进行凑整, 从数字上简化运算, 实现快速且准确的计算.

例1计算89 + 899 + 899 + 89999 + 899999.

解析原式 = 90 - 1 + 900 - 1 + 9000 - 1 + 90000 - 1 +900000 - 1 + 999990 - 5 = 999985.

点评当式子中的数接近某个整十或整百数时, 凑整法是最先要考虑的, 如题中, 通过凑整的方式实现了口算, 快速且准确.

二、分解法

分解法主要就是根据需要对某些数或式子进行分解, 从而简化运算.

解析原式中不能进行约分, 可以在整数部分构造出一个与分母相同的数来简化运算.

点评通过拆分的方法把数字拆成与分母相关的数, 在计算中就可以进行约分, 从而让计算变得更加简单.

三、结合法

结合法就是把能进行简单运算的数结合到一起, 比如说同分母的分数结合在一起, 就可以免去通分, 直接进行计算.

点评关于分数的加减, 最好的方法就是免去通分, 直接加减, 而在分数的乘除法中, 最好的方法就是能够约分. 这是两种简化分数运算的常用方法.

四、裂项法

裂项法一般就是把一个分数拆成两项相加或相减, 在前后项的连续运算中进行抵消, 最后转化成为简单的运算.

点评通过裂项, 把一个分数拆成两个分数的差, 与前后的项互相抵消, 运算就简单了, 这是一种很典型的计算题, 方法和思路也是比较固定的, 一般是先将原式中分母拆分为两个连续自然数的乘积.

五、巧用公式

在初中阶段的计算中, 常会用到平方差或完全平方公式对算式进行变形计算, 公式比较简单, 但要能够灵活运用还是需要一定的技巧的.

例5计算 (1 + 2) (1 + 22) (1 + 24) (1 + 28) .

解析因为1= 2 - 1.

所以, 原式 = (2 - 1) (2 + 1) (1 + 22) (1 + 24) (1 + 28) = (22- 1) (1 + 22) (1 + 24) (1 + 28) = (24- 1) (1 + 24) (1 + 28) = (28- 1) (1 + 28) = 216- 1.

点评公式的灵活运用, 首先要明确使用公式的算式中的一些特征, 看到题目中出现了平方, 我们就要想到有关平方的一些公式, 而“1”是比较特殊的, 可以写成12, 像这样的一些分析方法和解题技巧是需要平时积累的.

六、换元法

换元法不一定就是在解方程组中使用, 在一些算式中, 如果总是出现某个相同的代数式, 并且这个代数式还比较复杂, 那就可以考虑使用换元法先将算式化简, 再进行计算.

点评像这种题目, 如果按照正常的计算方法, 肯定是很难的, 计算量相当大, 而通过换元法, 把算式先化简之后再计算, 就简单了很多. 这种类型的题目特征也很明显, 就是相对复杂的代数式重复出现, 代数式之间存在着某种关联, 这样就可以用假设的方式用字母代替这个代数式再进行化简运算.

七、乘方的巧算

乘方是初中阶段学习的又一种运算方式, 在乘方运算中, 如果指数特别大, 是很难算的, 而乘方的运算同样也可以通过巧妙的方法来简化计算.

点评这道题目中是通过把指数不同的式子转化成为指数相同的算式, 再通过积的乘方公式把相应的算式合并起来, 简化计算.

综上所述, 有理数的运算题型是多种多样的, 在解题时要先观察算式中的数字和算式结构, 结合算式的特征选定适当的方法进行计算. 这样不仅能提高计算的正确率, 还能节省时间. 因此, 在平时的练习中要善于总结和反思, 归纳出一套有效的解题方法, 提高计算及解决问题的能力.

参考文献

[1]钱唐儿.有理数计算的若干技巧.数学大世界:初中版, 2013 (11) .

[2]赵国瑞.有理数混合运算需要具备五种意识.语数外学习:七年级 (上旬) , 2013 (9) .

Excel最常用公式运算技巧 篇2

一、求和： =SUM(K2:K56)——对K2到K56这一区域进行求和；

二、平均数： =AVERAGE(K2:K56)——对K2 K56这一区域求平均数；

三、排名： =RANK(K2，K$2:K$56)——对55名学生的成绩进行排名；

四、等级：“=IF(B2<60,“差”,IF(B2<=80,“中”,IF(B2<=90,“良”,IF(B2>90,“优秀”))))”

五、学期总评： =K2*0.3+M2*0.3+N2*0.4 ——假设K列、M列和N列分别存放着学生的“平时总评”、“期中”、“期末”三项成绩；

六、最高分： =MAX(K2:K56)——求K2到K56区域(55名学生)的最高分；

七、最低分： =MIN(K2:K56)——求K2到K56区域(55名学生)的最低分；

八、统计人数：

1、统计一个班的总人数：=COUNTIF(C3:C34,“<>”“")

2、统计一个班女生的人数：=COUNTIF(D3:D34,”女“)

3、统计一个班考试的人数：=COUNTIF(E3:E34,”>=0“)

4小于30分的人数：=COUNTIF(E4:E35,”<=30“)

5、统计一个班70到80分=COUNTIF(E3:E34,”>=70“)-COUNTIF(E3:E34,”>80“)

九、优秀率： =TEXT(COUNTIF(B2:B40,”>=80“)/COUNTA(B2:B40)*100,”00.00“)&”%“

使学生掌握简便运算的技巧 篇3

一、熟练掌握四则运算的法则和定律是前提

俗话说:“熟能生巧”,只有熟练地掌握各种基本运算法则、定律,有了扎实的基本功,才能灵活地选择简便运算的方法,反之就会经常出错。下面就是学生在没有熟练掌握四则运算的法则和定律时,做习题时出现的错误:

①3600÷40+3600÷60=3600÷(40+60)

②25×15=(15×4)×(25×4)

③3.6+5.4-3.6+5.4=(3.6+5.4)-(3.6+5.4)

如果学生的四则计算法则和运算定律的基本功掌握得不够扎实的话,那么他们就会似懂非懂,常常出错。例①、③题,为了简便而违反了四则运算的法则,这是不行的,例②题是对积不变和商不变的性质混淆不清。

二、培养数的想象力是关键

有些题目,由于简算的条件比较隐蔽,如果学生不具备必要的数的想象能力,就无法洞悉其隐蔽的条件,简算的方法也就无从发现。培养数的想象力,主要是从数的组成,还有一个数的"凑整"法和数的变形三方面加以训练,当学生熟练地掌握了这些知识后,那么当他们看到一个数时,就会发挥较好的数的想象力,从而找到简便运算的隐蔽条件。如果有了数的想象力后 ,当学生看到42这个数时,就会想象出下面一系列与之有关的数和式子:

①42=40+2 ②42+58=100 ③42=6×7=3×14

这种数的想象力是很重要的,因为这些数和式子,都有可能成为某些题目可简便运算的条件,如:250×42=250×(40+2) 252÷42=252÷7÷6

另外,对于一些特殊的“数”,如125,只要在乘法算式中出现,不管是125、1250或者是0.125,都要立即联想到与之进行简便运算相配合的数8、80和0.08,如125×6×8=125×8×6。这种数的“凑整”,用儿童的语言讲,就是这二列数中的二个数是一对“好朋友”,它们结合形成“凑整”,学生在做题时,就是在做“找朋友”的游戏,只要一下子能寻找到这对“好朋友”即可完成简便运算。所以随着数的变化形式日趋复杂,加强这方面的训练,就显得更为重要了。只有这样,数的想象能力越丰富,挖掘隐蔽条件才能越顺利,才能更加灵活地选择简算的方法。

三、由浅入深,先易后难是途径

由浅入深,先易后难可以提高学生学习简便运算的兴趣。先让学生练习那些最基本,最容易接受的简便题,如①21+96+79②105-37-5③7.2+3.9+2.8+6.1。学习时可以要求学生先按一般计算法则进行计算,再引导学生利用学过的运算规律,按“凑整”的思路进行简便运算,然后让学生自己进行对照,这样既可以使学生学到了简便运算的方法,又提高了学生学习简便运算的兴趣。

四、养成认真观察、分析,然后简便计算的好习惯

我们经常发现对于试卷或习题中所规定要简便运算的题目,学生的简算方法做得较好,而在平常计算中,对于能简算的题目,学生往往不能自觉简算,这说明学生不能灵活地计算,不是方法问题,而是学生在计算中存在盲目性,也就是说,学生不能认真地观察式题,自觉地运用简便计算。

没有认真的观察,就不可能有细致地分析;没有认真的观察,对于蕴含在题目中的某些条件就不能充分地挖掘和利用。因此,教师在教学中要重视学生观察能力的培养,显得特别的重要。学生观察能力的形成,不仅需要有正确的指导,而且要有一个时间的过程。把这一理论渗透到计算的始终,使学生养成先观察、分析,然后计算的良好习惯,这就可以减少学生计算的盲目性,学生在熟练掌握简便运算的技巧后,他们简便运算的能力,也会提高到一个新的水平。

五、不要把法则变成教条

有些题目有特殊的条件,就应该用特殊的方法解决,使“凑整”的思路贯穿其中。如:438+454+462+446这个式子如按一般的计算法则,从左到右依次运算,这样多位数连加的计算,就显得较为麻烦。根据这四个数的特点,可以“凑整”进行简便计算:438+454+462+446=(38+62)+(54+46)+400×4又如: 1 ×5如按一般方法,必须先把带分数化成假分数再相乘,然后再把假分数再化成带分数。这样做,就很繁琐,也浪费时间。我们可以教学生利用带分数可以写成整数与真分数相加,1×5+ ×5的积还是真分数这两个特殊条件,然后运用乘法分配率来进行计算就简便多了。

浅谈数学合理化运算技巧 篇4

一、抓住数字特征

“数”是数学研究的主要对象.学生解题时, 对题目中的数字关系分析得越透彻, 认识得越明确, 解题就越合理、简明.

【例1】计算

解析:学生若对这个题目不加以分析, 直接计算, 过程是十分繁杂的.而通过分析可以发现:, 因此有如下简捷的解法.

原式

二、观察图形特征

“形”是数学研究的又一主要对象.因此, 学生在寻求问题的合理解法时, 既要分析数学关系, 又要细心观察图形特征.学生解题时, 要充分利用题目中的数学特征和图形特征.

【例2】如右图, 正方形的边长为a, 以各边为 直径在正 方形内画半圆, 计算围成 的图形 (阴影部分) 的面积.

解析:细心观察图形可以发现, 四个半圆的面积之和与正方形的面积之差, 恰好是阴影部分的面积.一般通过计算弓形的面积, 再求阴影的面积会使解题简便得多.

三、注意结构特征

认真分析题目的结构特征, 瞻前顾后, 理清各部 分的相互关系, 是寻求巧解的又一“秘诀”.

【例3】解方程:

解析:如果按分式方程的常规解法, 先取分母, 化为整式方程求解, 会出现高次方程, 运算就复杂了.若注意到各个分式的结构特点, 先把各部分化简, 整体就会随之化简.

原方程可化简为

这种解法不但简捷、合理, 而且由于 方程在变 形过程中, x的取值范围没有变化, 所以也不需要验根.

【例4】 (1996年全国初中数学竞赛试题) 设x1, x2是方程x2+x-3=0的两个根, 那么x31-4x22+19的值等于 () .

A.-4B.8C.6D.0

解:由已知得x21+x1-3=0, x22+x2-3=0, x1+x2=-1, 故x21=3-x1, x22=3-x2.

故选D.

四、避免循环运算

在解题的整体过程中, 必须始终明确解题的最终目的是什么, 分析能否直接达到目的, 要尽量避免盲目解题而造成无益的循环运算.

【例5】直角三角形的周长为2+6, 斜边上的中线是1, 求这个三角形的面积.

解:设两直角边的长分别是a, b, 斜边长为c, 则有:

又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

故c=2.

把c=2分别代入12, 得a+b=槡6, a2+b2=4.

此题的最终目的是 求S△ABC.因为S△ABC=1/2ab, 所以关键是求ab.如果分别求出a、b, 再计算它们的积ab, 运算将会繁杂得多.这种解法紧扣最终目的, 简洁明快.

公务员考试数学运算题的答题技巧 篇5

在备考中，行测方面是必争之地，而行测要想拿到高分，数学部分又是重中之重。但一百个考生中九十个在数学方面都是做题速度慢、时间不够，感觉一个题的时间要控制在1分钟内做完确实太难了。所以众多考生把数学运算题目放到最后去做，一部分考生随便选几个题目做一下，还有很多考生因为没有时间直接放弃。舍弃数学，还想要在激烈的竞争中获胜那就更是难上加难。可是数学部分随然难，涉及知识点多，又比较灵活，可是选调生数学更多的还是应用的数学基础知识来解题的，关键是考生们能否灵活应用。很多数学的基础知识如果能应用自如，便能快速解题，可以简化计算量，提高解题效率，使得大家在短时间内就能在数学运算部分得到提高，从而在行测数学部分获得较高的分数。

一、奇偶性

奇偶性是我们小学数学当中非常基础的一部分知识，但是奇偶性如何帮助我们在行测考试中快速解题呢?

首先我们要回顾下奇偶特性的基本原则：

奇数+奇数=偶数

奇数+偶数=奇数

偶数+偶数=偶数

奇数x奇数=奇数

奇数x偶数=偶数

偶数x偶数=偶数

那么利用这些基础的知识，我们就可以把很多题目化繁为简，快速解决了，比如：

例题1：某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训?

A.8 B.10 C.12 D.1

5【答案】D

【解析】根据题意，设甲教室当月举办了x次培训，乙教室当月举办了y次培训，当然，这道题目可以进行解方程求解，但是数字比较大，运算量较大。但是用奇偶特性就非常简单，直接秒杀。由，50x+45y=1290，1290是偶数，50x是偶数，则45y一定是偶数，即y是偶数。又，因为 x+y=27，27是奇数，则x一定是奇数，选D项。

例题2：一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题?

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】A。

【解析】本题直接计算的话比较复杂，但是应用奇偶性就可以快速排除干扰选项，简化解题过程：答对题的得分是偶数，而答错一题扣1分，总分为奇数，未答题不得分，则答错的题目应为奇数个，排除B、D。接下来，只需分情况讨论，带入A、C当中任意一个选项就可以了。

假如答错3道题，则答对(23+3)÷2=13道题，未答的题是4道，符合条件，选择A。

假如答错5道题，则答对(23+5)÷2=14道题，未答的题是1道，与题干未答的题的数目是偶数矛盾，排除C，选择A。

二、整除性

整除也是我们在小学刚刚开始接触数学的时候所学习的一个知识，这个特性同样可以帮助我们在考试当中快速的排除错误选项，节约做题时间，下面我们就来看一下，如何应用这个数学的基础思想来快速解题。

例题1：一单位组织员工乘坐旅游车去泰山，要求每辆车上的员工人数相等。起初，每辆车上乘坐22人，结果有1人无法上车;如果开走一辆空车，那么所有的员工正好能平均乘到其余各辆旅游车上，已知每辆车上最多能乘坐32人。请问该单位共有多少员工去了泰山?

A.269人 B.352人 C.478人 D.529人

【答案】D。

【解析】这个题目当中的位置量很多，很难计算，但是用整除可以快速的锁定答案：每辆车坐22人时，有一个人无法上车，说明除去无法上车的这个人，员工数一定是22的倍数，也就意味着员工的总人数减去1，应该能够被22整除。带入检验，答案只有D选项。

例题2：某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人。问今年男员工有多少人?

A.329 B.350 C.371 D.504

【答案】A。

【解析】：很多同学拿到这个题目直接列方程，发现最后做出答案了，但可能两分钟也过去了，其实，运用整除思想直接口算，10秒内就可以解题了。由题意知，今年的男员工/去年的男员工=94%=47/50，因此今年的男员工人数能被47整除，观察选项，只有A符合，故选A;只需要口算，根本不需要列方程来把简单的问题复杂化。

运算技巧 篇6

【关键词】小学数学 应用题 图形解答 方程解答 运算能力

【中图分类号】G623.5【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）06-0133-01

1.教会学生读懂题目

（1）题目冗长。应用题中对事件的过多赘述，往往造成学生对题目的阅读产生疲惫感，以至于无法在题目中及时有效地把握正确的信息进行解答，甚至做出错误的判断。（2）给出的已知条件表述不直接。应用题中或许不总会正面给出学生做题所需的已知量，缺乏分析能力的学生也许就不能正确找到隐含条件，并运用此已知量来求得答案。（3）不能正确判断比较量。在一些应用题中，往往出现A 物比B 物大多少，B 物比C 物大多少，已知A 物，求C 物等题。在处理这些问题中，学生们往往不能清晰辨认出各方之间的关系，导致做题困难。（4）概念不清。在一些应用题中，已知条件给出的是半径还是直径，求半圆周长抑或是圆周长，学生们也不时会弄错。但这除了是概念不清外，也有可能是粗心导致的结果。（5）错误的习惯性思维。部分学生认为给出的条件都有用，给出的条件都只用一次。但这并不总是如此。相反，有些题目给出的条件就是混淆视听、而有些条件却需要用上两次才能解决。

2.教会学生运用直观式方法解答小学数学应用题

2.1 会借助图形解答应用题

在小学数学应用题的解答过程中，动用线段等图形辅助工具解答题目是最直观且准确率最高的方法之一。小学生的思维正处于以具体形象思维为主，向以抽象逻辑思维为主的过渡阶段。思考总是离不开形象的材料作为辅助手段，对于抽象的总是理解起来比较困难。而这一转变往往依靠一定量的直观思维做基础，学生才可以在遇到相类似题目时迅速反应过来。而当学生们在面对此类题目也无需再依靠画图便能准备理清各者之间的关系时，便是抽象思维的培养。例1：十棵树苗，要栽五行，每行四棵，请你想法。解符合题目要求的图形应是一个五角星。4×5÷2=10。因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。

2.2 会利用方程解答应用题

同任何一种知识点的学习一样，利用方程解决实际问题的教学也决不能仅仅停留在“会”的层面，而应该以“会”为依托支点 ，追求更为深入的数学化， 只有这样方程思维模型的抽象构建才能实现。方程这个名词在小学生看来像是一个极其复杂的内容，为此，老师务必引导学生正确接受方程这一解题方法，使学生从图像思维模式过渡到运用准确的数学语言解答小学数学应用题。算术算法的特点是未知数不参加列式，根据题里的数量关系，确定是怎样用已知数算出未知数，再列式计算；而方程算法的特点是，未知数是用字母表示，然后参加列式，根据题意找出数量间的相等关系，再列方程解。

3.训练小学生加、减、乘、除运算能力

运算能力主要是指逻辑思维能力与运算技能的结合，即不仅会根据法则正确地进行运算，而且要理解运算的算理，能够根据题目条件寻求简捷、合理的运算途径。它不能独立存在和发展，而是与观察力、记忆力、理解力、推理能力、表达能力以及空间想象力等一般能力互相渗透、互相支撑形成的一种综合性能力。运算能力始终贯穿着学生学习数学的始终。而在小学数学应用题的解答过程中，加、减、乘、除运算的准确性是正确完成一道应用题解答的最后一步。因此，合理有效、针对性地丰富小学生的运算量，是提高运算准确度和速度的关键。但是，也有小学生们反映，运算的失误是由于粗心大意造成的。本人认为，偶尔一次失误，可能是由于粗心造成，但多次的失误，就因归结到运算能力不过关上，还须加大力度锻炼自身的运算能力和技巧。例2：买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5=0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16=1.92（元）列成综合算式0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元），答：需要1.92元。

综上所述，在小学数学应用题的教学上，主要分为三个环节，第一，帮助学生克服畏难等错误心理，引导学生能够自主正确读懂、理解是题意，找出有用信息；第二，通过图形等辅助手段，领会方程解题的思想方法，正确解答小学数学应用题；第三，着力提高小学生们的四则运算能力，正确完成解答应用题的最后一步。应用题对于小学生来说之所以难，无非是因为这是一类综合性题型，考查了学生掌握数学学习各层次内容，只要老师们能一步一步，帮助学生们攻克每一个层次的问题，小学生遇到小学数学应用题便能迎刃而解。

参考文献：

定积分运算的一般规律和技巧 篇7

1.与不定积分比较, 定积分有一个明显的特征, 就是定积分有明显的积分区间, 被积函数在积分区间上的性质, 对积分的计算都有直接的影响.

2.定积分计算的基本方法是应用牛顿—莱布尼兹公式, 因此只要先求出被积函数f (x) 的任意一个原函数F (x) , 然后求出F (x) 在区间[a, b]上的增量F (b) -F (a) 即可.定积分的计算关键在于求出被积函数的原函数, 即定积分的计算应以计算不定积分为基础.这里要指出的是:应用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分时必须注意被积函数及其原函数在积分区间[a, b]上的连续性, 否则就会出现错误.例如∫undefinedundefined就不能用牛顿—莱布尼兹公式计算, 因为函数undefined在区间[-1, 1]上是不连续的.

3.关于定积分的换元法有两个法则.

第一法则 ①若f (x) 在[α, β]上连续, ②u=φ (x) 在[a, b]上具有连续导数φ′ (x) , 且当x在[a, b]上变动时, 相应地φ (x) =u不超出[α, β], ③φ (a) =α, φ (b) =β, 则有

∫undefinedf[φ (x) ]φ′ (x) dx=∫undefinedf (u) du. (1)

或∫undefinedf[φ (x) ]φ′ (x) dx=∫undefinedf[φ (x) ]dφ (x) . (2)

第二法则 ①若f (x) 在[a, b]上连续, ②x=φ (t) 在[a, b]上具有连续导数φ′ (t) , 当t在[α, β]上变动时, 相应地x=φ (t) 不超出[a, b], ③a=φ (α) , b=φ (β) , 则有

∫undefinedf (x) dx=∫undefinedf[φ (t) ]φ′ (t) dx. (3)

以上两个换元法则中的条件①②是为了保证积分两端被积函数的连续性 (即原函数存在, 牛顿—莱布尼兹公式成立的充分条件) , 条件③说明在换元时, 积分的上下限要相应改变.这两个还原法则, 实质上是一个, 只不过是为了应用方便而分成两个, 在应用上各有特点, 要予以注意.

首先, 当被积函数具有形如∫undefinedf[φ (x) ]φ′ (x) dx时, 可用第一法则, 即令u=φ (x) , 把被积函数中的某个函数作为新的积分变量, 若变换中明显地出现新的积分变量u, 则应用公式 (1) 改变积分上下限;若变换中没有明显地出现新的积分变量u, 则应用公式 (2) , 积分上下限不变.

其次, 当被积函数中出现根式或其他不易积分的因子时, 可用第二法则.即用x=φ (t) , 这样可把被积表达式中积分变量x换成新的积分变量t, 同时改变积分的上下限, 在新的积分变量下求出原函数, 不必再回到原积分变量, 只需把相应的积分上下限代入相减即可.

4.如果被积函数含有高次乘方, 可设法降低其次数, 也可以用分部积分导出递推公式.如果被积函数是两个以上的不同类型的函数之积, 则要用定积分的分部积分法.

5.如果积分区间关于原点对称时, 可考察被积函数是否有奇偶性, 若被积函数为奇函数, 则积分为零;若被积函数为偶函数, 则有∫undefinedf (x) dx=2∫undefinedf (x) dx.

这样可以使运算简化.

例如, 计算定积分I=∫undefinedxln (1+ex) dx.

当我们审视题目时, 首先引起我们兴趣的是积分区间的对称性.因此如果被积函数是奇函数, 那就更好了.令

f (x) =xln (1+ex) .

则f (-x) =-xln (1+e-x) =-xln (1+ex) +x2≠-f (x) , 故f (x) 不是奇函数.此时我们容易把被积函数分解成奇、偶函数之和, 为此, 对被积函数f (x) 添点什么, 使其成为奇函数.

令f (x) +g (x) 是奇函数, 让g (x) 待定,

∫undefinedf (x) dx=∫undefined{[f (x) +g (x) ]-g (x) }dx=-∫2-2g (x) dx.或许右边的积分更容易些.因为

f (x) +g (x) =-[f (-x) +g (-x) ]=-f (-x) -g (-x)

=xln (1+ex) -x2-g (-x)

=f (x) -x2-g (-x) .

即g (x) +g (-x) =-x2.

于是, 可取undefined, 因为undefined是奇函数, 故原积分等于undefined

undefined

因为undefined是奇函数, undefined是偶函数, f (x) =φ (x) +ψ (x) .从而对称区间[-a, a]上任何定积分都可以表示为某个偶函数在半个区间[0, a]的积分的2倍, 即:∫undefinedf (x) dx=∫undefined[f (x) +f (-x) ]dx.