平面向量坐标运算反思

2024-05-09

平面向量坐标运算反思（精选8篇）

篇1：平面向量坐标运算反思

平面向量的坐标运算教案

一、教学目标

1、知识与技能：

掌握平面向量的坐标运算；

2、过程与方法：

通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。3情感态度与价值观：

学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。

二、教学重点与难点

教学重点：平面向量的坐标运算。

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确.三、教学设想

（一）导入新课

思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？

思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗? ②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论? 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:

图1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量AB的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量AB的模与向量OP的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: |AB|=|OP|=(x1x2)2(y1y2)2.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能.②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题

①如何用坐标表示两个共线向量? ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么

y1y2是向量a、b共线的什么条件? x1x2活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我们知道,a、b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2), xx2,即1消去λ后得x1y2-x2y1=0.y1y2.这就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的,但这与

y1y2是不等价的.因x1x2为当x1=x2=0时,x1y2-x2y1=0成立,但

y1yyy2均无意义.因此12是向量a、bx1x2x1x2共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题

a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a=λb, 那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

活动:教师引导推证:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a，x1x2,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,得x1y2-x2y1=0.y1y2.讨论结果:a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.教师应向学生特别提醒感悟: 1°消去λ时不能两式相除,∵y1、y2有可能为0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一个不为0.2°充要条件不能写成y1y2(∵x1、x2有可能为0).x1x2ab3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a∥b(b≠0)

x1y2x2y10.（三）应用示例

思路1 例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练

131.(2007海南高考,4)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量ab

22等于()A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D 2.(2007全国高考,3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b„()

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向 D.平行且反向

答案:A 3

图2 例2 如图2,已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D的坐标为(x,y).∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC,得13x,(1,2)=(3-x,4-y).∴

24x.x2,∴ y2.∴顶点D的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知

BDBAADBABC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴顶点D的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练

图3 如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD时,仿例二得:D1=(2,2);当平行四边形为ACDB时,仿例二得:D2=(4,6);当平行四边形为DACB时,仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A、B、C三点,观察图形,我们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明.∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB∥AC,且直线AB、直线AC有公共点A, ∴A、B、C三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练

已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2

例2 设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当

P1P=λPP2时,点P的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法: 由P1P=λPP2,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y)，x1x2x,xx1(x2x)1即 yy1(y2y)yy1y2.1这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4 解:(1)如图4,由向量的线性运算可知

xx2y1y21,.).OP=(OP1+OP2)=(1222所以点P的坐标是（x1x2y1y2,.)22(2)如图5,当点P是线段P1P2的一个三等分点时,有两种情况,即

P1P1=或PP22P1P=2.PP2如果P1P1=,那么 PP22

图5 PP=OPOP=OP1+11+

1P1P2 31=OP+(OP12-OP1)312=OP+OP12 33=(2x1x22y1y2,).332x1x22y1y2,).33即点P的坐标是(同理,如果

x2x2y12y2P1P,.=2,那么点P的坐标是133PP2点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练

在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.解:(1)若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上, 设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得

3xy50,0, 22∴x=-3,y=-5, 即C点坐标为(-3,-5).(2)若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,OP=OA+tAB.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知AB=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).3t1021若点P在第二象限,则t

333t2021,).33点评:此题通过向量的坐标运算,将点P的坐标用t表示,由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组,这个不等式组的解集就是t的取值范围.变式训练故t的取值范围是(已知OA=(cosθ,sinθ),OB=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB|的取值范围.解:∵AB=OB-OA=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴|AB|=(1+sinθ-cosθ)+(1+cosθ-sinθ)=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB|的取值范围是［2,6］.222 7

（四）课堂小结

1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.（五）作业

篇2：平面向量坐标运算反思

教学目标：

1.知识与技能：

理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。2.过程与方法：

在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。3.情感、态度与价值观：

通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。教学重点：

平面向量的坐标表示及坐标运算。教学难点：

平面向量坐标表示的意义。教学方法：

结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。教学手段：

投影仪、多媒体软件教学过程 1.情境创设

教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？

学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解

设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做

好铺垫。

2.展开探究

问题一：平面向量的基本定理内容是什么？教师请一学生回答，同时投影出示其内容。问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加

合理呢？

组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？

设计目的：此问题引发学生联想，对平面向量坐标表示方法具有指导性作用。教师讲授：在直角坐标系内，我们分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj ,我们把叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标，(x,y)式叫做向量的坐标表示。

3.深化理解

一.平面向量坐标表示的的理解提出问题：

(1)、如果以原点O作为起点作一向量OA=a（投影动画同步演示），那么点A的位置是否可以唯一确定呢？

(2)、点A的坐标与向量OA的坐标之间有什么关系？(3)、两个向量相等的充要条件利用坐标如何进行表示呢？

(4)、如果我们将一个平面向量在直角坐标系中作任意平移（不该表大小和方向），那么它的坐标会改变吗？

组织学生以小组为单位展开探究交流活动，在讨论后回答上述问题，可师生共同完善答案，归纳如下:

(1)、点A的位置受向量OA决定，唯一确定。

(2)、以原点O为起点的向量OA的坐标和终点A的坐标事完全相同的。(3)、两个平面向量相等的充要条件是两个向量的坐标相同。

(4)、在直角坐标系中平面向量在大小和方向不变的前提下自由移动，它们的坐标就是相同的。

设计目的：让学生在合作探究中去主动学习，不仅锻炼了解决问题的能力，还培养了探究协作的能力。

出示练习：用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标（图略）。教师让学生独立完成，之后借助投影让个别学生展示完成情况，教师点评。设计目的：增进了所学新知的内化。

二、平面向量的坐标运算

提出问题：通过以上研究，我们了解了平面向量的坐标表示，向量是可以进行运

算的，如何运用所学的知识进行两个向量的和与差的坐标表示及实数与向量积的坐标表示呢？

投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐标

学生展开讨论，可能给出多种推导方法，教师要耐心给与点评，并做最后归纳。（1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法。

（2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。

（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标教师提问：设AB是表示向量a的有向线段，点A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐标如何表示？

学生结合向量坐标运算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教师强调

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。设计目的：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。

4.例题剖析

例

1、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。

变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标，使这四点成为平行四边形的四个顶点。

教师给学生充足时间独立思考，适当时可提示作图理解，而变式对学生来说

难度增大，要鼓励学生大胆尝试，独立求解，并提示要考虑图形的多种画法。设计目的：通过例题和变式综合考查学生对本节所学知识的理解和掌握程度，也促进学生应用知识解决问题的能力。

5.课堂小结

请学生对本节课内容作归纳，不足之处师生补充完善，最后教师作总结式说明。1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，也可以称之为向量的代数表示，其背景是平面向量的基本定理。

2.向量的坐标表示为我们进行向量的运算提供了方便。

3.向量的坐标表示使得我们借助数的运算对图形的几何性质展开研究，体现了数形结合思想方法的应用。

前面我们还学习了这留待我们下一节再来研究。

6.布置作业（1）.课后习题

（2）如何运用向量坐标来表示和判定共线向量呢？让学生预习下节内容。

7.板书设计

平面向量的坐标运算

1.平面向量的坐标

例1

变式定义

解：

解：（1）

（2）

（3）

篇3：平面向量坐标运算反思

笔者对本校高一年级关于平面向量内容的一次测试进行了分析, 其中一道试题引起笔者的注意.

试题已知向量 $\vec{A B} = (1 ‚ 2)$ 按向量a= (2, -3) 进行平移, 得到向量 $\vec{A^{'} B^{'}}$ , 则向量 $\vec{A^{'} B^{'}}$ 的坐标是___.

这道试题之所以引起笔者的注意, 是因为这道题几乎所有的学生都给出了答案 (3, -1) , 显然学生是错误的套用了点的平移公式, 从这道试题的解答情况可以看出, 学生并没有完全理解向量坐标的概念, 虽然从其它的试题可以看出大部分学生能够熟练解答有关向量坐标运算的问题, 并能借助向量坐标运算解决一些数学问题, 这一现象在高二年级学生学完空间向量之后也仍然存在.这说明学生对向量坐标概念的理解还仅在“表”, 而并未达到“里”.

为什么会有这种现象, 这与我们教学不到位有密切关系.在笔者周围有很多教师在教授向量坐标 (平面或空间) 这一内容时, 只是照本宣科地把向量坐标的概念给学生做一介绍, 之后就把教学的重点放在了向量坐标的运算与应用之上, 通过各种题型来训练学生如何通过向量的坐标运算来解决各种不同的数学问题, 特别是在高二学习立体几何时, 教师们往往把关注点放在了如何用向量的坐标运算解决空间的垂直、平行、角与距离等问题.各种题型的大量训练, 使学生能够很轻松地利用向量解决一些高考立体几何试题.我们知道, 利用向量的坐标运算解决相关问题的前提是必须能够在图形中建立直角坐标系, 但一旦不能建立直角坐标系, 或虽能建立直角坐标系但一些点的坐标不易写出时, 使用向量坐标运算就存在很大问题.这样我们可以看到, 在高考或高考模拟考试中, 如果直角坐标系较易建立, 那么立体几何试题得分率则较高, 但一旦直角坐标系较难建立, 则立体几何试题的得分率就不会很高, 因为这时学生往往放弃向量运算方法而利用立体几何方法来尝试解决问题.实际上, 学生如果对向量的坐标概念有较为深入的理解, 即使不能建立直角坐标系, 照样可以利用向量运算来解决问题, 以避免由于立体几何方法需添加辅助线而造成困扰.现以一道高考试题加以说明。

例1 (2000年高考题) 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形, 且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.

(Ⅰ) 证明C1C⊥BD;

(Ⅱ) 假定 $C D = 2 ‚ C C_{1} = \frac{3}{2}$ , 记面C1BD为α, 记面BCD为β, 求二面角α-BD-β的平面角的余弦值;

(Ⅲ) 当 $\frac{C D}{C C_{1}}$ 的值为多少时, 使A1C⊥面C1BD, 请给出证明.

此题虽可以建立空间直角坐标系, 但建立坐标系之后计算各点坐标的过程仍然比较复杂.特别是第2问, 一般转化为计算二面角的两个半平面的法向量夹角, 但当不便建系时, 就似乎不能使用法向量法.但实际并不是这样, 当不便建系时, 我们照样可以使用法向量法.

解 (Ⅰ) 取向量 $\vec{C D} ‚ \vec{C B} ‚ \vec{C C_{1}}$ 构成空间的一个基底, 易知它们两两之间的夹角为60°, 且 $| \vec{C D} | = | \vec{C B} |$ .因为

$\begin{array}{l} = \vec{C C_{1}} \cdot (\vec{C D} - \vec{C B}) \\ = \vec{C C_{1}} \cdot \vec{C D} - \vec{C C_{1}} \cdot \vec{C B} \\ = \frac{1}{2} | \vec{C C_{1}} | | \vec{C D} | - \frac{1}{2} | \vec{C C_{1}} | | \vec{C B} | \\ = 0 ‚ \end{array}$

故 C1C⊥BD.

(Ⅱ) 取向量 $\vec{C D} ‚ \vec{C B} ‚ \vec{C C_{1}}$ 构成空间的一个基底, 则 $| \vec{C D} | = | \vec{C B} | = 2 ‚ | \vec{C C_{1}} | = \frac{3}{2} .$

设 $n = x \vec{C D} + y \vec{C B} + z \vec{C C_{1}}$ 为平面CDB的法向量, 则

$\begin{array}{l} = x \vec{C D}^{2} + y \vec{C B} \cdot \vec{C D} + z \vec{C C_{1}} \cdot \vec{C D} \\ = 4 x + 4 y \cos 60 ° + 3 z \cos 60 ° \\ = 4 x + 2 y + \frac{3}{2} z \\ = 0 ‚ \\ n \cdot \vec{C B} \\ = x \vec{C D} \cdot \vec{C B} + y \vec{C B}^{2} + z \vec{C C_{1}} \cdot \vec{C B} \\ = 4 x \cos 60 ° + 4 y + 3 z \cos 60 ° \\ = 2 x + 4 y + \frac{3}{2} z \\ = 0 . \end{array}$

取x=1, y=1, z=-4, 得

$\begin{array}{l} n = \vec{C D} + \vec{C B} - 4 \vec{C C_{1}} ‚ \\ | n | = (\vec{C D}^{2} + \vec{C B}^{2} + 16 \vec{C C_{1}}^{2} \\ + 2 \vec{C D} \cdot \vec{C B} - 8 \vec{C D} \cdot \vec{C C_{1}} \\ - 8 \vec{C B} \cdot \vec{C C_{1}})^{\frac{1}{2}} \\ = \sqrt{4 + 4 + 36 + 4 - 12 - 12} \\ = 2 \sqrt{6} . \end{array}$

设 $m = x \vec{C D} + y \vec{C B} + z \vec{C C_{1}}$ 为平面C1DB的法向量, 则

$\begin{array}{l} = (x \vec{C D} + y \vec{C B} + z \vec{C C_{1}}) \cdot (\vec{C D} - \vec{C B}) \\ = 2 x - 2 y \\ = 0 ‚ \\ m \cdot \vec{C_{1} B} \\ = (x \vec{C D} + y \vec{C B} + z \vec{C C_{1}}) \cdot (\vec{C B} - \vec{C C_{1}}) \\ = \frac{x}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{3 z}{4} \\ = 0 . \end{array}$

取x=1, y=1, z=4, 得

$\begin{array}{l} m = \vec{C D} + \vec{C B} + 4 \vec{C C_{1}} ‚ \\ | m | = (\vec{C D}^{2} + \vec{C B}^{2} + 16 \vec{C C_{1}}^{2} \\ + 2 \vec{C D} \cdot \vec{C B} - 8 \vec{C D} \cdot \vec{C C_{1}} \\ + 8 \vec{C B} \cdot \vec{C C_{1}})^{\frac{1}{2}} \\ = 6 \sqrt{2} . \\ m \cdot n = (\vec{C D} + \vec{C B})^{2} - 16 \vec{C C_{1}}^{2} \\ = \vec{C D}^{2} + \vec{C B}^{2} + 2 \vec{C D} \cdot \vec{C B} - 16 \vec{C C_{1}}^{2} \\ = - 24 ‚ \\ \cos 〈 m ‚ n 〉 = \frac{- 24}{2 \sqrt{6} \cdot 6 \sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{3}}{3} . \end{array}$

所以二面角α-BD-β的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3} .$

(Ⅲ) 取向量 $\vec{C D} ‚ \vec{C B} ‚ \vec{C C_{1}}$ 构成空间的一个基底, 则 $\vec{C A_{1}} = \vec{C D} + \vec{C B} + \vec{C C_{1}} .$

设 $| \vec{C D} | = | \vec{C B} | = k a ‚ | \vec{C C_{1}} | = a$ , 因为

$\begin{array}{l} = (\vec{C D} + \vec{C B} + \vec{C C_{1}}) \cdot (\vec{C D} - \vec{C B}) \\ = \vec{C D}^{2} - \vec{C D} \cdot \vec{C B} + \vec{C B} \cdot \vec{C D} - \vec{C B}^{2} \\ + \vec{C C_{1}} \cdot \vec{C D} - \vec{C C_{1}} \cdot \vec{C B} \\ = 0 ‚ \end{array}$

所以 $\vec{C A_{1}} ⊥ \vec{B D}$ , 因此, 要A1C⊥面C1BD, 只需A1C⊥C1D, 所以

$\begin{array}{l} = (\vec{C D} + \vec{C B} + \vec{C C_{1}}) \cdot (\vec{C D} - \vec{C C_{1}}) \\ = \vec{C D}^{2} - \vec{C D} \cdot \vec{C C_{1}} + \vec{C B} \cdot \vec{C D} \\ - \vec{C B} \cdot \vec{C C_{1}} + \vec{C C_{1}} \cdot \vec{C D} - \vec{C C_{1}}^{2} \\ = k^{2} a^{2} + \frac{1}{2} k^{2} a^{2} - \frac{1}{2} k a^{2} - a^{2} \\ = \frac{3}{2} k^{2} a^{2} - \frac{1}{2} k a^{2} - a^{2} \\ = 0 ‚ \end{array}$

即 $\frac{3}{2} k^{2} - \frac{1}{2} k - 1 = 0$ ,

解得 $k = - \frac{2}{3}$ (舍) 或k=1.

所以当 $\frac{C D}{C C_{1}} = 1$ 时, A1C⊥面C1BD.

波利亚在《怎样解题》中指出, 当你一时找不到解决问题的办法时, 要回到定义中去.上面的方法就是回到向量坐标的定义, 重新审视向量坐标定义后所想到的办法.空间向量坐标的概念来自于空间向量基本定理:如果向量a, b, c是空间3个不共面向量, 那么对于空间任一向量p, 都存在唯一的有序实数组x, y, z, 使得p=xa+yb+zc, 并称{a, b, c}为空间的一个基底.当将空间基底的三基向量取为两两垂直的单位向量i, j, k (称为单位正交基底) , 过空间一点O, 分别以i, j, k方向为正方向建立3条数轴:x轴、y轴、z轴, 这样我们就建立了空间直角坐标系O-xyz, 这时对空间任一向量p, 都存在唯一的有序实数组x, y, z, 使得

p=xi+yj+zk, (1)

我们称有序实数组 (x, y, z) 为向量p在空间直角坐标系O-xyz内的坐标.从定义可以看出, 空间直角坐标是空间基底的特殊形式, 向量的坐标形式只是 (1) 式的简化形式, 向量的坐标运算只是对 (1) 式的向量运算的简化形式 .由它们的关系可以看出, 只要在空间找出3个已知夹角与模长的不共面向量, 就能构造出一个空间坐标系 (斜坐标系) , 一切空间直角坐标系能解决的问题在这个坐标系中仍能够解决, 而一些利用空间直角坐标系不能解决或解决起来较为困难的立体几何问题, 用斜坐标系中的向量运算照样可以游刃有余地加以解决.用斜坐标系解决问题的关键与空间直角坐标系一样, 都是将空间的向量转化为基向量的表达式, 再利用基向量的相关运算解决问题.

根据以上分析, 笔者对向量教学提出下列建议:

1) 应加强平面向量基本定理的教学.因为平面向量基本定理是平面向量坐标概念的基础, 加强平面向量基本定理的教学有利于学生理解平面向量坐标含义;平面向量基本定理在空间向量中又可以发展为判断向量共面的充要条件, 而利用这个充要条件可以解决空间中线面平行、面面平行的有关问题;通过类比, 可以由平面向量基本定理得到空间向量基本定理, 有利于学生对空间向量基本定理的学习与理解.

2) 加强对空间向量基本定理的教学, 除了强化对定理的理解, 还要加强学生将空间向量用给定基向量表示及将空间向量运算转化为基向量运算的练习.

3) 向学生示范、指导利用基向量解决空间问题的方法, 并提供一定量的练习.对于可利用空间直角坐标系解决的问题, 也要尽可能地引导学生利用基向量方法进行思考, 加以解决.

4) 向量的基向量表示的基础是实数与向量的乘法运算, 从实际教学情况看, 学生对实数与向量乘法运算概念的理解也并不深入, 因此也必须加强这方面的教学, 要让学生从方向与模长两个方面去理解概念.

篇4：平面向量坐标运算的教学反思

关键词：坐标运算;向量共线;学生主观能动性

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）12-031-02

一、概述

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。向量的坐标表示,实际是向量的代数表示。引入向量的坐标表示可以使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.而平面向量的坐标运算是常考的知识点,运用向量方法解决解析几何和立体几何中的有关知识,有时候显的非常方便.通过平面向量的坐标运算,我们可以培养学生的归纳、猜想、演绎能力,通过代数方法解决几何问题,提高学生用数形结合思想解决问题的能力。

本节的教学重点是:平面向量的坐标运算

本节的教学难点是:对平面向量共线的坐标表示的理解

二、课程内容设计

1、平面向量得坐标运算

本部分内容比较简单,直接运用向量在基底下的表示形式讲解即可.然后进行小结,然后

再让学生做4道练习;

2、平面向量共线的坐标表示

有向量共线的判定定理: ,将两向量用坐标表示,消元,得到共线的坐标表示 ,然后比较两式的优缺点,并告诉学生消元的时候不能直接两式相除的理由,最后再通过练习强化.最后通过边讲边练,让学生充分动手,动脑,动眼达到掌握本节内容的目的。

但是,在课程内容设计上,我把平面向量的坐标运算和平面向量共线的坐标运算放一起讲解了。课后反思,内容过于大了,一方面学生在接受上有一定的困难,另一方面在细节问题上就很难把握的好,一节课45分钟,在这么短的时间内让学生掌握住如此多的知识,难度很大,同时,一味地赶进度,带来的直接后果就是学生学而不精,对深层的问题,没有实质性的认识,只会死记公式,做原题,对于变形题目,学生仍然无从下手。

三、学生水平分析

本班学生,通过前面几次考核,大部分学生的知识基础和接受的能力还是可以的,20%的学生是很聪明的,通过自己看书,能够基本掌握本节内容,30%的学生在课堂上能够跟上我的思路,通过讲解,也能很快掌握,30%的学生勉强能跟上我的思路,但需要时间消化,剩下20%的学生,如果不预习课本,基本上上课很难听懂,即使提前预习了,也不一定能跟的上.事实证明:我对本班学生的分析还是很不到位的,学生在接受新知识方面,大部分学生还是有一定困难的.

1、课程引入

上课之前,我已经让学生提前预习,因此,我个人认为本节内容,大部分学生都能懂,对平面向量的运算法则,学生再比较数的运算,能很好的理解.因此,在课堂引入过程中,我直接引用平面直角坐标系中的基底: ,有 , 得到: ， ,于是

所以 ,同理: , .如此教学,学生能很快掌握住平面向量坐标的运算法则,但在教学的过程中,我一直未引入平面直角坐标系,导致的直接后果是学生不能够运用数形结合思想,甚至不明白为什么有可得到 .对于 , ,我们有，学生虽然能很快记住这种运算,但却不明白是如何得来了,这是教学的一个失误.

2、习题处理

在处理练习上,我高估了学生的水平,对学生的认知能力没有一个清楚的认识,在应该点评的地方却未做点评,导致学生虽然知道错了,却不知道错在何处,下次再做到这种题型,还是很有可能出现问题.例如:

(3).若 ,且,则点的坐标为.

(4).已知平行四边形的三个顶点 ,则点的坐标为.

这两个小题,我在下面巡视学生做的情况时,发现有一部分学生做错,都是很典型的错误，第4小题有学生得到两个答案,为了赶进度,我只是简单地对了答案，并没有把详细的解题过程写出来,导致的直接结果就是学生仍然不明白.反思后觉得这两个小题应该详细的讲解，以免学生以后出现类似的问题,同时要对学生的认知水平有个清晰的认识.

在平面向量共线问题中,设 , ,其中  ,有平面向量共线的判断定理可得:存在实数 ,使得 ,进而得到 ,两式消去 ,得到 ,在这个过程中应该让学生自己去消 ,学生中肯定存在直接两式相除的,这样就可以引导学生,相除的时候应该注意什么,从而得出分类讨论,进一步把分类讨论思想灌输给学生

(1)已知 , ,且 ,则 .

(2)已知且 ,则

(3)若向量与共线且方向相同,则

以上3题,是让学生到黑板上做的,我只让学生写了答案,并没给出过程,这是一个失误.在教学的过程中,学生做题的过程才是重要的,对于第3题,我只是简单的提示了一下,仍然是高估了学生,有一部分学生不明白为什么只有一个答案。

3、发挥学生主观能动性

在解题的过程中,应该充分发挥学生的主观能动性,学生的思维是灵活的,只要给他一丝春风,他就会给你一片灿烂的花园.

例1 已知 ,试判断三点之间的位置关系

变式:已知向量 ,若三点共线,则.

在这个例题讲解中,我只给了两种方法,如果我当时给一点时间让学生自己再思考,学生肯定能想到更多很好的方法,这是我应该反思的地方。在做下面的变式时,我让一个学生到黑板上去做,这个学生在做到因式分解时,迟迟写不出来,由于时间关系,我没让她再做下去。课后反思,既然让学生做了,就应该让她做完,也许她会做,就是算的慢点,如果中途制止她,很有可能会打击她学习的积极性。作为教师,我们应该充分相信学生,充分发挥他们的主观能动性,给他们创造奇迹的机会和平台。

4、对学生能力估计不足

在课堂教学之前,做为教师,我应该对学生有个充分的估量,在这些容易错的地方,学生会出现那些错误,学生会用什么方法解决此题,我应该事先有个充分的估量,不至于课堂教学中,出现我没预料到的情况,造成教学的被动。

总之，在本节课的教学反思中,我学到了很多东西.作为教师,我们只是组织者,推进者和指导者,我们应该把更多的主动权交给学生,让学生充分发挥自己的主观能动性,去创造奇迹,让他们的思维更灵活,情感升华更彻底,知识的获得将更完善。

参考资料

[1] 张惠英.关于《平面向量》教学的几点建议[J].教育实践与研究,2005(11).

[2] 褚人统.平面向量解题策略与方法. [J].数理化解题研究(高中版),2009(01).

篇5：平面向量坐标运算反思

知识要点精讲

知识点1平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj ①

我们把（x，y）叫做向量a的直角坐标，记作：a＝（x，y）②

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示，与a相等的向量的坐标也为（x，y）．

解题方法、技巧培养

出题方向1 求向量的坐标

（1）已知A（1，3），B（－3，2），求a的坐标；

（2）已知A（2，－1），a＝（4，1），求B点坐标；

（3）已知B（－1，2），a＝（5，－2），求A点坐标．

点拨只有起点在坐标原点的向量才能用终点坐标表示，其它向量的坐标都要用其终点坐标减去其起点坐标表示．

出题方向2 向量的坐标运算

例2 已知a＝（1，2），b＝（3，4），求－2a＋3b，4a－2b的坐标．

［答案］ ∵ －2a＝（－2，－4），3b＝（9，12），∴ －2a＋3b＝（－2，－4）＋（9，12）＝（7，8）．

∵ 4a＝（4，8），2b＝（6，8），∴ 4a－2b＝（4，8）－（6，8）＝（－2，0）．出题方向3 由向量相等则它们的坐标相等来求某些点的坐标

［答案］设顶点D的坐标为（x，y），点拨平面向量相等的代数表示沟通了数与形的联系．

例4 已知向量a＝（3，－2），b＝（－2，1），c＝（7，－4），若c＝ma＋nb，求m，n．［解析］先求ma＋nb，再根据向量相等即向量坐标对应相等，列出方程组求m，n．［答案］ ma＋nb＝m（3，－2）＋n（－2，1）＝（3m－2n，n－2m）．

∵ c＝ma＋nb，∴（7，－4）＝（3m－2n，n－2m）．

出题方向4 利用向量共线的坐标表示的充要条件解决有关直线平行、三点共线问题例5 已知a＝（2，k），b＝（2k，3k＋1），若a∥b，求k的值．

［解法二］ ∵ a∥b，∴ 2（3k＋1）－k（2k）＝0，即k2－3k－1＝0．

点拨两种表达式不同，但实质是一样的．

点拨在证明必要性时，不需要像证明充分性一样，将A、B、C三点所在直线与坐标轴垂直的情况单独证明，因为那是显然成立的．

易错易混点警示

（1）混淆向量坐标与点的坐标是向量坐标运算中常见的错误之一；

（3）向量平行的充要条件与后面向量垂直的充要条件混淆．

学法导引

1．理解向量的坐标表示的含义：向量的坐标表示是向量的一种表示形式

向量坐标表示的背景是平面向量基本定理；每一个向量都可用唯一一个有序数对来表示：向量的坐标与向量的起点、终点无关，只与起点终点的相对位置有关．

篇6：《平面向量的坐标表示》教学反思

在教学过程中不失时机地给不同层次的学生以充分的肯定、激励和赞扬，使学生在心理上获得自信和成功的体验，激发学生的学习动机，诱发其学习兴趣，进而使学生积极主动地学习。

本节教案的设计很好地体现了新课程的理念，对于两个向量的和、差及实数与向量的积的坐标运算的教学，教师重在引导，让学生动脑、动手推导。例3的教学教师活动中设计了思考问题引导学生作图分析，并引导学生从不同角度思考，探索不同的解题思路和方法，让学生经历作图分析、分组讨论、探索解题思路与方法、选择最优解法、完成解答的思维过程。对积极思考、踊跃发言，回答或见解有创意的学生给予表扬。

归纳小结是在教师设计的问题的引导下，从知识和方法两个方面进行归纳总结的，让学生反思本节的收获，经历学生深入思考、教师适当补充完整、最后归纳出了本节课学习的内容和解决问题的思路方法的过程。

篇7：平面向量坐标运算反思

1、本节课先是通过对相关知识的回顾，然后引进与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，进一步探索两个向量数量积的坐标表示。最后通过几个例题加强学生对两个向量数量积的坐标表示的理解及其灵活应用。课堂结构清晰完整流畅。在教学中，知识的回顾，题目的设计都围绕数量积坐标表示展开。数量积公式得出后，启发学生自己动手推导出模、夹角的坐标表示，回顾了公式的同时又培养了学生的推导能力、自主学习能力。在与学生的课堂交流中能倾听学生的想法，及时纠正偏差，激发了学生自主探究的欲望，较好的提升了学生的思维能力，对于学生在探究过程中出现的问题都能认真加以点评，适时指出不足与优点，对于学生的发现与总结都能给于很好的评价与赞扬，让学生收到激励，保持学习的热情。

2、教学设计结构严谨，过渡自然，时间分配合理。知识回顾部分把上节课的数量积、夹角、模、垂直、平行的有关知识进行回顾，每一条知识点的回顾都是本堂课的新课内容。

3、新课引入部分问题设计合理，但提问的字句还需斟酌，要语简意赅，如

22思考2中：对于上述向量i,j，则i,j,i.j分别等于什么？这样的问法觉的还是太繁琐，是否可以改为计算i2,j2,i.j？这样可能更直接一点。

4、公式的得出，在应用之前或者应用之后都应该对公式的结构特征进行归纳总结。学生因为接受新知识，对公式肯定不是很了解，应该要引导学生分析公式特征及应用的注意点。

5、一节课的知识与技能是否落实，难点是否得到突破，是教学者最为关心的话题。课堂习题正是检验教学效果的工具。在习题设置上，除了覆盖重难点外，还应做到由简入深。同时，在教学过程中，通过旧知生成新知的过程，采用问题串的形式引导学生一步步完成自主探究得到生成，是比较有效的教学方式。