代数的几何解答——浅谈构造法在证明不等式的运用

数学在其发展中曾被分为构造性数学和非构造性数学, 这表明在学习数学基础知识, 解答数学问题时, 抓住巧妙的构造性思想, 就能使难于理解的概念清晰, “山穷水尽”的复杂问题会显得“柳暗花明”, 当然这种构造性数学思想并不局限于某个方面, 可用于各个数学分支, 从而得到不同的构造性方法, 如构造图形, 构造方程, 构造过程, 构造反例, 构造模型, 构造例题等, 限于篇幅, 下面就构造图形来证明不等式一类题型谈谈自己的肤浅的认识。

不等式, 属代数问题, 不涉及图形, 但是抓住数学的构造性思想, 如能根据适当的途径构造出相应的图形, 则解决来得直观、清晰。

[题1]已知:a>b>0, 求证:。

证明:构造Rt△ABC, ∠ACB=90°

BC=a, AC=b, CM是中线, CD是角平分线

由CM=

∵S△ABC=S△ACD+S△BCD

∴ab=b·CD sin45o+a·CD sin45

从而CD=

∵a>b即BC>AC

∴∠CDB>∠CDA, 且点M在D、B之间的线段上

∴∠CDB>90°即∠CDM>90°

∴CM>CD, 即:

[题2]已知:求证:a>0, b>0, c>0,

求证:

证明:在平面上取OA、OB、OC三线段, 使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°, 且OA=a, OB=b, OC=c, 分别连结AB、BC、CA构造

如图所示的三角形

则由余弦定理, 得

该题依据:由要求证的形式而联想到余弦定理, 再构造三角形, 根据三角形任意两边之和大于第三边, 于是得解。

[题3]已知:a>0, b>0, a+b=1求证:

证明:∵a+b=1且a>0, b>0

由 (1) 联想到勾股定理,

于是构造如右图所示的直角三角形

由定理:三角形两边之和大于第三边

此题的根据是由给出的条件, 联想结论而构造直角三角形。再用几何和三角中的简单知识得其解答。

[题4]已知, 0<θ<, 求证:1+cotθ

证明:构造如图的单位圆,

其中, ∠XOT1=θ, ∠XOT2=,

过点作A作⊙O的切线AT1T2,

则AT1=cotθ, AT2=cot

∠T1OT2=∠T1T2O=∠XOT2=, OT1=T1T2,

而AT2=T1T2+AT1=OT1+AT1

∵OT1>1

∴AT2>1+AT1

∴cot>1+cotθ

即1+cotθ

该题构造单位圆, 利用三角函数解决。

[题5]已知a是实数, , 求证:-1

证明:在直角坐标系xoy中, 设

由此看来, 对于一些复杂的不等式, 若能抓住条件、结论的特征, 构造恰当的形图, 如三角形、四边形、单位圆等, 有时给构造的图形建立适当的坐标系, 充分运用数形结合这一重要的数学思想方法, 就能得到优美的解答方法, 达到事半功倍之效。从而提高分析问题解决问题的能力。

摘要：本文通过几个典型例题, 将有一定难度的不等式证明, 结合学生已掌握的能熟练应用的知识, 而构造恰当的图像, 在图像上能直观地分析解决不等式关系, 从而培养学生发展思维能力。

关键词：代数,图形,不等式,结合,构造

参考文献

黄益寿, 运用数学思想方法巧解不等式, 中学数学教与学 (2006-12)