换元法在数学教学中的应用

2022-09-11

解数学问题时, 如果直接解决原问题有困难或原问题不易下手或原问题的条件难以直接得出结论, 往往需要引入一个或若干个“新元”代换问题中原来的“元”, 使以“新元”为基础的问题求解比较容易解决, 以后将结果恢复原来的“元”, 即可以得到原问题的结果。这种解决问题的方法称为换元法, 又叫变量代换法。

利用换元法解数学题的关键在于适当地选择“新元”, 引进适当的代换, 找到较容易的解题思路, 能使问题简化。使用换元法时要注意“新元”的范围, “新元”所受的限制条件还要注意根据题设条件验证结果。换元的总目的是化繁为简, 具体地说是:化超越为代数, 化无理为有理, 化分式为整式, 化高次为低次等等。

运用换元法解题时, 要引入什么样的“新元”和怎样引入“新元”, 不同的问题有不同的方法和技巧。换元中的“元”一般作为变量理解, 但也可以作更为广泛的理解, 如“元”可以表示常数、代数式、函数等。事实上所“换元”的不同形式, 有各种各样的代换方法:代数换元法、三角换元法、常量换元法、比值换元法、参数换元法、参变量换元法、标准量换元法、多元换元法等。下面阐述换元法在中学数学中的应用:

一、代数换元法

(1) - (2) 得:t=2代入 (2) 得:2x2-3x-2=0解之得:经检验知:x1=2和均为原方程的解。

小结:例1小结:通过换元避免了常规解法中两次平方的复杂运算, 使问题更加容易解决。此曰:代数换元法。例2通过换元使问题更加明朗。再用均值证明不等式。

二、常量换元法

例3:已知f (x) =2x5+3x3-x2-4x+12, 求的值。

小结:利用常量换元法构造零因子, 使计算量大大减小。充分体现常量换元法在解题中的精妙作用。

三、增量换元法

例4:求证:对任意实数a>1, b>1有不等式

证明:设a=1+x, b=1+y, x, y∈R则

当且仅当x=y=1, 即a=b=2时取等号。

此题解法为增量换元法。所谓增量换元法就是用相关变量x代换m+t, 其中m为恰当的常数, 因此严格地说起来, 未必一定是增量;另外从本质上讲这种代换仍然是线性的, 这样像上面例11中的1-2y=t的基本代换也是线性代换或增量代换。又如:

例5:求函数的最大值和最小值。

解得4≤x≤5, 即函数的定义域是:4≤x≤5, 所以x是4与5之间的一个变化的量。

小结:此例既是三角换元法, 又属增量换元法。通过换元后转化为三角知识使问题得到了巧妙的解决。

四、参数换元法

例6:已知x2+4y2+8x4+7=0, 求x2+y2的最小值且求相应的x、y的值。

所以:当cosθ=1时, (x2+y2) min=1, 此时x=-1, y=0当cosθ=-1时, (x2+y2) max=49, 此时x=-7, y=0

小结:对于条件是圆锥曲线所对应二元二次方程, 同时求两个变量x、y的结构式F (x, y) 的最值都可以用参数换元法去解决。

综上所述, 换元思想方法在数学解题中有着不可低估的作用。总结解题的规律和技巧, 强化思维训练, 对提高学生分析问题、解决问题的能力将是十分有益。也能全面提高学生素质, 培养和提高学生创造能力。因此, 我们更有必要对数学方法进行再认识, 全面提高教学质量。

摘要：换元是指对结构较为复杂、量与量之间关系不甚明了的命题, 通过恰当引入新的变量, 代换命题中的部分式子, 简化原有结构, 使其转化为便于研究的形式。分为代数换元和三角换元等。它是一种重要的思想方法, 在中学数学中有着十分广泛的应用。许多复杂的数学问题, 若能很好地利用换元方法, 可以使问题由难变易, 由繁到简, 达到事半功倍的奇效。

关键词：数学方法,换元法,应用