让学生在数学王国里自由猜想

波利亚有一段精彩的论述:“我想谈一个小小的建议, 可否让学生在做题之前猜想该题的结果或部分结果, 一个孩子一旦表示出某种猜想, 他就把自己与该题连在一起, 他会急切地想知道他的猜想是否正确。于是, 他便主动地关心这道题, 关心课堂的进展, 他就不会打盹或搞小动作。”

在国家《数学课程标准 (实验稿) 》中要求:“人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展”。同时提出:“数学学习应当是现实的、有意义的、富有挑战性的, 有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。教师职责已经越来越少地传递知识, 而越来越多地激励思考, 教师必须集中更多的时间和精力从事那些有效果的和有创造性的活动。

猜想, 已经成为学生当今学习数学的一种重要方式, 从心理学角度看, 是一项思维活动, 是学生有方向的猜测与判断, 包含了理性的思考和直觉的推断;从学生的学习过程来看, 猜想是学生有效学习的良好准备, 它包含了学生从事新的学习或实践的知识准备、积极动机和良好情感。在数学学习中, 猜想作为一种手段, 目的是为了验证猜想是否正确, 从而使学生积极参与学习的过程, 使学生主动地获取知识。培养学生的创造性思维。

一、新课前猜想, 激发学习动机

猜想, 最常运用于对新知识的探索起步阶段, 因为这个阶段的猜想可以激活学生的思维, 有利于架起已知与未知的桥梁, 并且正如波利亚所说, 这样做, 更利于学生积极主动地参与到学习过程中来。例如, 在教学长方形的面积计算方法中, 我首先出示一个长2厘米, 宽1厘米的长方形, 引导学生注意长方形的长和宽, 然后多媒体展示一组图形的变化, 问长方形的面积大小可能跟什么有关?一组感性学习材料的提供和适当启发, 学生的思维有了一定的指向和集中。学生凭着对学习材料的直接反应, 很有预见性地作出了大胆的设想:长方形的面积大小跟长方形的长和宽有关。

接着, 我没有明确地作出肯定, 而是进一步组织实验进行点拨:长方形的面积是不是和长与宽有关呢?如果有关系, 那么它们是一种什么样的关系呢?最后布置验证要求, 通过摆放、填表、计算等方法对发现进行验证, 通过验证让学生感受到成功的喜悦。

学生有了这种猜想, 并且已验证猜想的正确性, 就使接下来的探索过程有了方向和目标, 使学生对解决问题充满了自信。所以我们要充分挖掘教材中可供猜想的因素, 引导学生积极猜想, 为学习活动作好良好的准备。

二、教学中猜想, 培养学习动机

在学生学习数学知识的过程中, 加入“猜想”这一“催化剂”, 可以促进学生多角度思维, 加快大脑中表象形成的速度, 抓住事物的本质特征。

在教《三角形面积的计算》时, 是这样设计的, 先出示直角、锐角、钝角三种不同的三角形, 让学生比较谁的面积大, 学生用数方格的方法得出三个面积一样大。然后, 多媒体用表格分别出示这三个三角形的底和高, 让学生自己去分析, 看能发现些什么?鼓励学生大胆地猜一猜, 三角形的面积怎么算?学生大胆地猜测出三角形的面积=底×高÷2。老师支持他的猜想, 然后进行验证, 通过验证, 证实三角形的面积=底×高÷2。

这种设计非常巧妙, 它启动了学生思维的闸门, 使其思维处于亢奋状态, 发展了学生的潜在能力。数学的学习, 对学生来说如同科学发现的过程, 所以在学习过程中不断演绎着猜想、验证、再猜想、再验证的循环, 从而使学生从对数学认识的模糊到清晰, 从知之甚少到知之较多, 最终使学生学会学习的方法。

三、延伸处猜想, 激发学习动机。

你也许会认为, 对新知识的探索结束了, 猜想也告一段落了, 课堂小结以后就没有猜想存在了吗?应该有, 那将是猜想的延伸。学习新内容后, 可以让学生猜想以后会学习什么内容, 今天学习的内容有什么作用。如学习除数是整数的小数除法后, 学生自然会猜想到接下来要学习除数是小数的小数除法, 这样有利于激起学生对后学知识的兴趣。还可以让学生在学习新知识后猜想知识的运用, 如学习长方形和正方形的面积之后可以让学生猜想自己住的小房间的面积, 吃饭桌子的面积。这样的猜想有利于培养学生将所学知识运用于实际生活的能力。

我们要鼓励学生去猜想, 这样有助于培养学生的创造性思维, 但运用猜想也有我们要注意的。学生的猜想可能是经过周密思考的, 符合逻辑性, 颇像一个大数学家, 但更可能是稚嫩无据的, 只是顽童小技;学生的猜想状态可能是积极主动的, 但也可能是消极被动的, 这都是正常的, 教师要在学生的猜想中发挥“主导作用”, 引导他们去合理甚至求异地猜想, 使学生更具信心地猜想, 更好地发展他们的创造性思维。

1、提高猜想的有效度。

猜想可分为正向猜想与反向猜想。正向猜想就是学生根据已有的知识经验, 按照常规有序的思考得到新知识, 是学生利用迁移学习新知识的一种重要方法。如复习平行四边形的面积推导过程以后, 让学生猜想三角形或梯形的面积计算方法该怎样推导, 学生很容易作出正向猜想。引导学生在已有知识的基础上再作新的猜想, 长此以往学生对正向猜想会比较自觉地进行。

反向猜想指的是换个角度甚至从常规角度相反的方向猜想, 如教学“能被3整除的数的特征”, 学生按常规很难猜想到规律, 在学生有了几次失败的猜想以后, 让学生交换能被3整除的数中数字的位置, 看结果怎么样, 再引导猜想。这两种猜想, 对学生来说, 前者是基础, 后者是创新的灵魂, 我们应重点扶持前者, 精心设计后者。

2、猜想与验证相结合。

任何猜想都要经过验证, 才能确定其普遍意义, 猜想验证的过程, 也就是学生主动参与数学知识的探索过程。只有猜想没有验证, 那只能是空想, 把猜想与验证紧密结合, 可以产生猜想的良性循环。有的猜想通过简单计算和操作马上就可以验证。如猜想周长相同的长方形和圆的面积谁大, 学生随机举例计算, 就可以得出正确的结果。

3、用鼓励性评价对待猜想。

学生的猜想不可能都是正确的, 而且往往是“异想天开”。作为教师, 对待任何猜想, 始终应该保持一条原则, 那就是进行鼓励性评价, 保护学生积极猜想的精神。教师对错误猜想不能简单地否定, 而要引导学生仔细分析, 然后再作新的猜想。猜想作为数学思维的一个极小组成部分, 却可以发挥较大的辐射作用, 培养学生的猜想能力可以促进学生创造性思维的形成, 可以促使学生主动地进行学习, 增强学生爱数学的情感。我们要对教材中的猜想因素深入挖掘, 恰当处理, 引导学生进行正向、反向猜想, 使学生的创新意识、主体意识在猜想中得到发展。

牛顿曾经说过:“没有大胆的猜想, 就做不出伟大的发明。”而学生的学习过程并非要出现像科学家那样的猜想, 但应具有知识的再发现和再创造。培养学生的猜想意识, 引导学生进行积极的猜想, 正是培养学生进行知识再发现和再创造的良好开端。学生的合理猜想中融合了直觉思维、联想等要素, 是较复杂的思维过程, 让学生根据已有的知识或直觉进行猜想, 既能调动学生的各种思维能力, 在猜想的过程中能更好地获取知识, 又能展现他们的创新才智, 提高学习的自信心。

在数学知识的发展过程中, 数学家们常要先猜测问题的结论, 在作出详细证明之前, 先得猜测证明的思路。因而, 猜想在数学的发展过程中有着重要的地位。如果没有猜想, 数学家将寸步难行;如果没有猜想, 如今这座雄伟瑰丽的数学宫殿就不会存在。